高中數(shù)學(xué)-化歸與轉(zhuǎn)化思想_第1頁
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考點(diǎn)回顧化歸與轉(zhuǎn)化的思想,就是在研究和解決數(shù)學(xué)問題時(shí)采用某種方式,借助某種函數(shù)性質(zhì)、圖象、公式或已知條件將問題通過變換加以轉(zhuǎn)化,進(jìn)而達(dá)到解決問題的思想。轉(zhuǎn)化是將數(shù)學(xué)命題由一種形式向另一種形式的變換過程,化歸是把待解決的問題通過某種轉(zhuǎn)化過程歸結(jié)為一類已經(jīng)解決或比較容易解決的問題?;瘹w轉(zhuǎn)化思想是中學(xué)數(shù)學(xué)最基本的思想方法,堪稱數(shù)學(xué)思想的精髓,它滲透到了數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容的各個(gè)領(lǐng)域和解題過程的各個(gè)環(huán)節(jié)中。轉(zhuǎn)化有等價(jià)轉(zhuǎn)化與不等價(jià)轉(zhuǎn)化。等價(jià)轉(zhuǎn)化后的新問題與原問題實(shí)質(zhì)是一樣的,不等價(jià)轉(zhuǎn)則部分地改變了原對(duì)象的實(shí)質(zhì),需對(duì)所得結(jié)論進(jìn)行必要的修正。應(yīng)用化歸轉(zhuǎn)化思想解題的原則應(yīng)是化難為易、化生為熟、化繁為簡(jiǎn),盡量是等價(jià)轉(zhuǎn)化。常見的轉(zhuǎn)化有:1、等與不等的相互轉(zhuǎn)化等與不等是數(shù)學(xué)中兩個(gè)重要的關(guān)系,把不等問題轉(zhuǎn)化成相等問題,可以減少運(yùn)算量,提高正確率;把相等問題轉(zhuǎn)化為不等問題,能突破難點(diǎn)找到解題的突破口。2、正與反的相互轉(zhuǎn)化對(duì)于那些從“正面進(jìn)攻”很難奏效或運(yùn)算較難的問題,可先攻其反面,從而使正面問題得以解決。3、特殊與一般的相互轉(zhuǎn)化對(duì)于那些結(jié)論不明或解題思路不易發(fā)現(xiàn)的問題,可先用特殊情形探求解題思路或命題結(jié)論,再在一般情況下給出證明,這不失為一種解題的明智之舉。4、整體與局部的相互轉(zhuǎn)化整體由局部構(gòu)成,研究某些整體問題可以從局部開始。5、高維與低維的相互轉(zhuǎn)化事物的空間形成,總是表現(xiàn)為不同維數(shù)且遵循由低維想高維的發(fā)展規(guī)律,通過降維轉(zhuǎn)化,可把問題有一個(gè)領(lǐng)域轉(zhuǎn)換到另一個(gè)領(lǐng)域而得以解決,這種轉(zhuǎn)化在復(fù)數(shù)與立體幾何中特別常見。6、數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化通過挖掘已知條件的內(nèi)涵,發(fā)現(xiàn)式子的幾何意義,利用幾何圖形的直觀性解決問題,使問題簡(jiǎn)化。7、函數(shù)與方程的轉(zhuǎn)化經(jīng)典例題剖析例1、設(shè),.(Ⅰ)令,討論在內(nèi)的單調(diào)性并求極值;(Ⅱ)求證:當(dāng)時(shí),恒有.解析:(Ⅰ)討論在內(nèi)的單調(diào)性并求極值只需求出的導(dǎo)數(shù)即可解決;(Ⅱ)要證當(dāng)時(shí),恒有,可轉(zhuǎn)化為證時(shí),亦即轉(zhuǎn)化為時(shí)恒成立;因,于是可轉(zhuǎn)化為證明,即在上單調(diào)遞增,這由(Ⅰ)易知。答案:(Ⅰ)解:根據(jù)求導(dǎo)法則有,故,于是,列表如下:20極小值故知在內(nèi)是減函數(shù),在內(nèi)是增函數(shù),所以,在處取得極小值.(Ⅱ)證明:由知,的極小值.于是由上表知,對(duì)一切,恒有.從而當(dāng)時(shí),恒有,故在內(nèi)單調(diào)增加.所以當(dāng)時(shí),,即.故當(dāng)時(shí),恒有.點(diǎn)評(píng):對(duì)于證明在區(qū)間恒成立問題,常運(yùn)用化歸轉(zhuǎn)化思想轉(zhuǎn)化為證明在區(qū)間上恒成立,令,即可轉(zhuǎn)化為在上,這樣只需求出在區(qū)間上的最小值即可解決之。這種化歸轉(zhuǎn)化的思想方法在近幾年高考中經(jīng)常用到。例、設(shè)數(shù)列的首項(xiàng).(1)求的通項(xiàng)公式;(2)設(shè),證明,其中為正整數(shù).解:方法二:由(1)可知,因?yàn)?,所?.由可得,即 兩邊開平方得 .即 為正整數(shù).例、在平面直角坐標(biāo)系中,已知的頂點(diǎn)和,頂點(diǎn)在橢圓上,則_____.例、若一條直線與一個(gè)正四棱柱各個(gè)面所成的角都為,則=______解:不妨認(rèn)為這個(gè)正四棱柱為正方體,與正方體的所有面成角相等時(shí),為與相交于同一頂點(diǎn)的三個(gè)相互垂直的平面所成角相等,即為對(duì)角線與該正方體所成角.故.點(diǎn)評(píng):象這種“特殊與一般的相互轉(zhuǎn)化”在高考的選擇題和填空題中經(jīng)常應(yīng)用例、已知函數(shù).(1)求曲線在點(diǎn)處的切線方程;(2)設(shè),如果過點(diǎn)可作曲線的三條切線,證明:解析:(1)通過求導(dǎo)得出切線的斜率,從而由點(diǎn)斜式較易寫出切線方程;(2)由(1)易得過點(diǎn)的曲線的切線方程,曲線有三條切線可轉(zhuǎn)化為方程有三個(gè)相異的實(shí)數(shù)根,即函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn),故只需的極大值大于零且的極小值小于零。答案:解:(1)的導(dǎo)數(shù).曲線在點(diǎn)處的切線方程為:,即.(2)如果有一條切線過點(diǎn),則存在,使.若過點(diǎn)可作曲線的三條切線,則方程有三個(gè)相異的實(shí)數(shù)根.記,則.當(dāng)變化時(shí),變化情況如下表:0+0-0+增函數(shù)極大值減函數(shù)極小值增函數(shù)由的單調(diào)性,當(dāng)極大值或極小值時(shí),方程最多有一個(gè)實(shí)數(shù)根;當(dāng)時(shí),解方程得,即方程只有兩個(gè)相異的實(shí)數(shù)根;當(dāng)時(shí),解方程得,即方程只有兩個(gè)相異的實(shí)數(shù)根.綜上,如果過可作曲線三條切線,即有三個(gè)相異的實(shí)數(shù)根,則即 .點(diǎn)評(píng):將證明不等式的問題通過等價(jià)轉(zhuǎn)化化歸為函數(shù)的極值問題來討論,這是近年來高考試題中常出現(xiàn)的一種類型。例、已知函數(shù)(Ⅰ)若,試確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;(Ⅱ)若,且對(duì)于任意,恒成立,試確定實(shí)數(shù)的取值范圍;解析:(Ⅰ)求出的導(dǎo)函數(shù),易得的單調(diào)區(qū)間;(Ⅱ)易知是偶函數(shù),于是對(duì)任意成立可等價(jià)轉(zhuǎn)化為對(duì)任意成立,進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為在上的最小值大于零,從而求出實(shí)數(shù)的取值范圍。答案:解:(Ⅰ)由得,所以. 由得,故的單調(diào)遞增區(qū)間是, 由得,故的單調(diào)遞減區(qū)間是. (Ⅱ)由可知是偶函數(shù). 于是對(duì)任意成立等價(jià)于對(duì)任意成立. 由得. ①當(dāng)時(shí),. 此時(shí)在上單調(diào)遞增. 故,符合題意. ②當(dāng)時(shí),. 當(dāng)變化時(shí)的變化情況如下表:x-0+單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增由此可得,在上,.依題意,,又.綜合①,②得,實(shí)數(shù)的取值范圍是.選擇題:1.若函數(shù)的定義域?yàn)镽,則實(shí)數(shù)的取值范圍是A.B.C.D.2.函數(shù)的圖象關(guān)于()A、原點(diǎn)對(duì)稱B、x軸對(duì)稱C、y軸對(duì)稱D、直線y=x對(duì)稱3.若、滿足,則有A.最小值和最大值1B.最小值和最大值1C.最小值但無最大值D.最大值1,但無最小值4.若關(guān)于的不等式≤+4的解集是M,則對(duì)任意實(shí)常數(shù),總有:()A、2∈M,0∈M;B、2M,0M;C、2∈M,0M;D、2M,0∈M.5.若不等式x2+ax+10對(duì)于一切x(0,)成立,則a的取值范圍是_________6.若,則點(diǎn)的軌跡是A.圓B.橢圓C.雙曲線D.拋物線填空題:7.P(x,y)在直線x+2y-3=0上運(yùn)動(dòng),則x2+y2的最小值是________.8.在-6,4,-2,0,1,3,5,7這8個(gè)數(shù)中,任取兩個(gè)不同的數(shù)分別作為虛數(shù)的實(shí)部和虛部,則所組成的所有不同虛數(shù)中,模大于5的虛數(shù)的個(gè)數(shù)是________.解答題:9.已知函數(shù),.(I)求的最大值和最小值;(II)若不等式在上恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.

解析答案:1.C解析:函數(shù)的定義域?yàn)镽,對(duì)恒成立。當(dāng)時(shí)有對(duì)恒成立,符合題意;當(dāng)時(shí),要使對(duì)恒成立,必須且,解得。綜上,故選C.2.A解析:函數(shù)定義域滿足,∴f(x)為奇數(shù),∴選A.3.B解析:因、滿足,故可設(shè),,則=,所以的最大值為1,最小值為,故選B。4.A解析:方法1:代入判斷法,將分別代入不等式中,判斷關(guān)于的不等式解集是否為;方法2:求出不等式的解集:≤+4;故選A。5.解析:設(shè)f(x)=x2+ax+1,則對(duì)稱軸為x=,若,即a-1時(shí),則f(x)在〔0,〕上是減函數(shù),應(yīng)有f()0-x-1;若0,即a0時(shí),則f(x)在〔0,〕上是增函數(shù),應(yīng)有f(0)=10恒成立,故a0若0,即-1a0,則應(yīng)有f()=恒成立,故-1a0綜上,有-a。6.C解析:由得,由雙曲線的定義知點(diǎn)的軌跡是雙曲線。故選C。7.解析:x2+y2為原點(diǎn)與直線x+2y-3=0上的點(diǎn)距離的平方,其最小值為原點(diǎn)到直線x+2y-3=0距離的平方.8.32個(gè)解析:當(dāng)a=0時(shí),b可?。?,7;當(dāng)a≠0時(shí),從-6,-4,-2,1,3,5,7中任取2個(gè)作為a、b,共個(gè),其中不合格的是從-4,-2,1,3中任取2個(gè)共個(gè).∴模大于5的不同虛數(shù)共2+個(gè).17.本小題主要考查三角函數(shù)和不等式的基本知識(shí),以及運(yùn)用三角公式、三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)解題的能力.解:(Ⅰ).又,,即,.(Ⅱ),,且,,即的取值范圍是.高考數(shù)學(xué)試題十分重視

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