2022-2023學(xué)年高一數(shù)學(xué) 人教A版2019必修第一冊(cè) 同步講義 第12講 函數(shù)值域的六中常見(jiàn)求法 含解析

第12講函數(shù)值域的六中常見(jiàn)求法

題型一：直接法(直接利用不等式的性質(zhì)，由定義域X的取值范圍，推出y的取值范圍)

2

【例1】函數(shù)y=——的定義域是(—8,1)142,5),求值域。

x-1

【答案】(―8,0)0(g,2

22

【詳解】解法一：圖象法：由題意知函數(shù)y=-是由y=—向右平移1個(gè)單位得到，畫(huà)出

x-17X

函數(shù)圖象易得值域?yàn)?-s,0)u1g,2

解法二：直接利用不等式性質(zhì)：因?yàn)閤<l或2≤x<5,所以x—1<0或l≤x-1<4,所

以」一<0或,<—l-41,所以二一<0或L<」一≤2

X-14X—1X—12X—1

【例2】函數(shù)y=J16—尤2的值域是

(A)[0,+∞)(B)[0,4](C)[0,4)(D)(0,4)

【答案】B

【詳解】因?yàn)棣?≥o,所以—f<o,所以0≤i6-χ24i6,所以0≤J16-尤2≤4

v?-L1

【例3】(2022?全國(guó)?高三專題練習(xí))函數(shù)y=當(dāng)(x>3)的值域是()

A.(l,+∞)B.(0,+∞)C.(3,+∞)D.(4,+∞)

【答案】A

γ—4:444γ-L1

解：y=l又Λ>3.?.-4>0.?.>?>1,所以函數(shù)y==(x>3)的值域?yàn)?/p>

x-3x-3x-3x-3

(l,+∞)

故選：A

[例4](2022.廣東深圳.高一期末)(多選)世界公認(rèn)的三大著名數(shù)學(xué)家為阿基米德、牛頓、

高斯，其中享有“數(shù)學(xué)王子”美譽(yù)的高斯提出了取整函數(shù)y=[x],[同表示不超過(guò)X的最大整

Γ9A--1-I

數(shù)，例如[1?1]=1?已知〃X)=—,xe(-∞,-3)52,+∞),則函數(shù)f(x)的值可能為()

A.0B.1C.2D.3

【答案】BCD

【分析】利用常數(shù)分離法知二2r-一1二2——3—,根據(jù)X的取值范圍結(jié)合不等式的性質(zhì)求出

x+1x÷l

2-777的取值范圍，進(jìn)而得到函數(shù)“X)的值.

2x+13

【詳解】Qj￡zl=()~=2__L,x∈(-∞,-3)u(2,+∞)

x+1x+1x+1

1133

當(dāng)x>2時(shí)，x+1>3,/.O<---<-=>O<----<1,.,.1<2-----<2,

x+?3x+lx+?

此時(shí)〃x)的取值為1；

113337

當(dāng)XV—3時(shí)，X÷1<—2,—<----<0=—<<0,.,.2<2-----<―,

2x÷l2x+lx+l2

此時(shí)F(X)的取值為2,3.

綜上，函數(shù)"x)的值可能為1,2,3.

故選：BCD.

【例5】(2021.全國(guó)?高--課時(shí)練習(xí))已知函數(shù)/(x)的定義域?yàn)橹涤驗(yàn)镽,則()

A.函數(shù)/(V+1)的定義域?yàn)镽

B.函數(shù)/(χ2+l)-l的值域?yàn)镽

C.函數(shù)/(Y+2x+2)的定義域和值域都是R

D.函數(shù)/(f(X))的定義域和值域都是R

【答案】B

【分析】對(duì)于A選項(xiàng)：根據(jù)抽象函數(shù)的定義域令/+1>1,推出f(*+l)的定義域判斷正

誤；

對(duì)于B選項(xiàng)：因?yàn)?(x)的值域?yàn)镽,所以/(Y+l)的值域?yàn)镽,進(jìn)而推導(dǎo)出/(f+l)-l的

值域，判斷正誤；

對(duì)于C選項(xiàng)：令f+2χ+2>l,求出函數(shù)/(V+2x+2)的定義域，即可判斷正誤；

對(duì)于D選項(xiàng)：若函數(shù)f(f(x))的值域?yàn)镽,則/(x)>l,即可判斷正誤；

【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)：令f+ι>ι,可得XH0,所以函數(shù)/任+1)的定義域?yàn)閧x∣XW0},

故A選項(xiàng)錯(cuò)誤；

對(duì)于B選項(xiàng)：因?yàn)榈闹涤驗(yàn)镽,x2+l≥l,所以f(d+l)的值域?yàn)镽,可得函數(shù)

/(V+ι)τ的值域?yàn)镽,故B選項(xiàng)正確；

對(duì)于C選項(xiàng)：令V+2χ+2>l,得x≠T,所以函數(shù)/(f+2x+2)的定義域?yàn)閧x∣x≠7},

故C選項(xiàng)錯(cuò)誤；

對(duì)于D選項(xiàng)：若函數(shù)f(∕(x))的值域?yàn)镽,則/(x)>l,此時(shí)無(wú)法判斷其定義域是否為R,

故D選項(xiàng)錯(cuò)誤.

故選：B

［例6］(2021?全國(guó)?高一課時(shí)練習(xí))［多選題］函數(shù)/(x)=兇的函數(shù)值表示不大于X的最大整

17

數(shù)，當(dāng)-]≤X≤]時(shí)，下列函數(shù)時(shí)，其值域與/(x)的值域相同的是()

A.y=x,x∈｛-l,0,1,2,31B.y=2x,x∈∣--,O,-,l,?-?-

C.y=LD.y=x2-1,x∈∣0,l,?∕2,->^,2∣

【答案】ABD

【分析】根據(jù)取整函數(shù)的概念，求得函數(shù)“X)的值域?yàn)椋?1,0,1,2,3｝,再分別求得選項(xiàng)中函

數(shù)的值域，即可求解，得到答案.

【詳解】當(dāng)Xe-；，。)時(shí)，/(x)=T;

當(dāng)xe[0,l)時(shí)，/(X)=O；當(dāng)x∈[l,2)時(shí),/(%)=1；

「71

當(dāng)xe[2,3)時(shí)，/(x)=2;當(dāng)Xe3,-時(shí)，/(χ)=3.

^?7^

所以當(dāng)Xe時(shí)，F(xiàn)(X)的值域?yàn)椋?1,0,1,2,3｝.

對(duì)于A選項(xiàng)，y=x,x∈｛-l,0,l,2,3｝,該函數(shù)的值域?yàn)椋?,0,1,2,3｝；

對(duì)于B選項(xiàng)，y=2x,x∈∣-∣,θ?,l,jj,該函數(shù)的值域?yàn)椋鸗,0,1,2,3｝；

對(duì)于C選項(xiàng)，y=L?e?-l,l??,4,該函數(shù)的值域?yàn)椋?1,1,2,3,4｝；

X[234J

對(duì)于D選項(xiàng),y=x2-l,x∈｛0,l,√2,^,2｝,該函數(shù)的值域?yàn)椋鸗O,1,2,3｝.

故選：ABD.

【題型專練】

1.(2022?湖南?雅禮中學(xué)高一期中)函數(shù)y=1的值域是()

Jr+1

A.[h+∞)B.(0,l]C.(→o,l]D.(0,+oo)

【答案】B

因?yàn)椋?+l≥l,所以0<*41,因此，函數(shù)y="的值域是(0,1].

故選：B.

2.(2021?全國(guó)?高一課時(shí)練習(xí))若一系列函數(shù)的解析式相同，值域相同，但其定義域不同，

則稱這些函數(shù)為“攣生函數(shù)”，那么函數(shù)解析式為y=2f-3,值域?yàn)椋鸗5｝的“攣生函數(shù)”共

有()

A.7個(gè)B.8個(gè)C.9個(gè)D.10個(gè)

【答案】C

【分析】根據(jù)李生函數(shù)的定義，即函數(shù)的定義域不同而已，由2∕-3=T得，x=±l;由

2√-3=5,得x=±2,分別寫(xiě)出函數(shù)的定義域即可.

【詳解】函數(shù)解析式為y=2χ2-3,值域?yàn)閧T,5},由2d一3=-1得，x≈±l;

由2儲(chǔ)一3=5,得x=±2,則定義域可以為{1,2},{l-2},{-l,2},{-l,-2},{1,-1,2},

{1,-1,-2},{-l,2,-2},{l,-2,2},{1,-1,2,-2),因此“攣生函數(shù)”共有9個(gè).

故選：C

3.(2021?江蘇?高一單元測(cè)試)下列函數(shù)中，值域是(0,+8)的是()

________2

A.y=√χ2-2x+lB.y=-x-+-(x∈(0,+oo))

Jx+1

11

X2+2x+l∣x+lI

【答案】CD

【分析】利用完全平方、常熟分離、絕對(duì)值的意義，即可得到結(jié)果.

【詳解】對(duì)于A,y=?∣x2-2x+?=?/(?-l)2HX-11>0,值域?yàn)閇0,+∞),?,?A不正確：

對(duì)于3,丁=七彳=1+—值域?yàn)?1,2),???8不正確；

對(duì)于C,?y=F+[+∣=77^7>°,值域?yàn)镺+∞),'C正確；

對(duì)于ay=r?>°,值域?yàn)?0,+8),二。正確.

∣χ+l∣

故選:CD

4.(2021?全國(guó)?高一專題練習(xí))函數(shù)/(x)=f+l(0<χ42且xeN*)的值域是()

A.{x∣x≥l}B.{x∣x>l}C.{2,3}D.{2,5}

【答案】D

【分析】根據(jù)函數(shù)性質(zhì)及其定義域即可判斷值域.

【詳解】解：0<x42ILxwN*,???x=l或χ=2..?.41)=2,〃2)=5故函數(shù)的值域?yàn)閧2,5}.

故選：D.

5.(2021?全國(guó)?高一專題練習(xí))函數(shù)/(X)=一(x>0)的值域?yàn)?)

x+?

A.(-LDB.[-1>1)C.(-1,1]D.[-L1]

【答案】A

22

【分析】先分離常數(shù)，再求出-2<——-<0,從而得到-1<1——<l即可得到答案.

x÷lx+1r

【詳解】f(?)=---------=1---------'由于X>O'/.X+1>1?O<-------<2,-2<--------<O,

x+lx+lx+1x+1

2

于是7<1——-<1,故函數(shù)/3的值域?yàn)?/p>

x+?

故選：A.

題型二：配方法(一般適用求二次函數(shù)的值域，一般看開(kāi)口方向和對(duì)稱軸即可)

【例1】已知/(x)=?√-χ-2,定義域?yàn)閇1,3],求其值域。

【答案】[—2,4]

【詳解】由題意知函數(shù)/(x)=/—X—2的開(kāi)口向上，對(duì)稱軸為％=；,所以

/(X)=Vr-2在[1,3]上為單調(diào)遞增函數(shù)，所以/(χ)n,hι=y■⑴=—2,

/Wmax=/(3)=4得值域?yàn)閇-2,4]

(2022?全國(guó)?高三專題練習(xí))函數(shù)/(X)=T^~^的值域?yàn)?

【例2】

X—LX+2

A.(0,1]B.(θ,?C.(0,1)D.

【答案】A

【詳解】因?yàn)?(X)=VrH

且(X-I)2+l≥l,

所以/(x)∈(0,1],即/(x)=ττ?的值域?yàn)?0,1].

故選：A

【例3】(2022?全國(guó)高三專題練習(xí))函數(shù),f(x)=2-√≡?兀的值域是()

A.[-2,2]B.[1,2]C.[0,2]D.[-√2,χ^]

【答案】C

【詳解】由-f+4χ≥o得f-4χ≤o,得0<χ≤4,

設(shè)t=-X2+4X=-(X—2)2+4,則0≤Z≤4,

所以y=2-"e[0,2∣,即函數(shù)y=2-，一f+4x的值域是【。，幻.

故選：C

[例4]已知函數(shù)y=Jl-X+Jx+3的最大值為Af,最小值為加,則的值為.

M

【答案】①

2

【詳解】函數(shù)定義域何―3≤x≤l}

y~—(j]-X+Jx+3—1—x+x+3+2J(l-X)(X+3)=4+2,-x~-2x+3

設(shè)y1-24+4,〃=-X2-2x+3,u=-X2一2x+3開(kāi)口向下，對(duì)稱軸為〃=一1,

2

當(dāng)“=_］時(shí)，Mιrax?-(-l)-2(-1)+3=4,當(dāng)M=—3或〃=］時(shí)

%n=0所以丁=2?+4目4,8］，所以max=2后,％in=2,所以=義=坐

IVl2Λ∕2，

【例5】(2021.全國(guó)?高一單元測(cè)試)函數(shù)f(x)=Jαγ2+4尤+”的值域?yàn)椋?),??),則實(shí)數(shù)“的

可能取值是()

A.0B.1C.2D.3

【答案】ABC

【分析】根據(jù)各選項(xiàng)中。的取值，依次判斷了(x)的值域即可得到結(jié)果.

【詳解】對(duì)于A,當(dāng)α=0時(shí)，/(x)=2√^>0,則/(x)值域?yàn)椋?,M),A正確；

對(duì)于B,當(dāng)α=l時(shí)，/(x)=JX2+4χ+ι=J(X+2)2-3≥0,則f(力值域?yàn)椋邸?內(nèi))，B正確；

對(duì)于C,當(dāng)α=2時(shí)，/(x)=√2X2+4X+2=√2(x+l)2≥0,貝∣］∕(x)值域?yàn)椋郐?a),C正確；

對(duì)于D,當(dāng)α=3時(shí)，X)=43*2+4x+3=J卜+∣?)+g≥??-,則/(x)值域?yàn)?^?,+∞^?

D錯(cuò)誤.

故選：ABC.

「25-

【例6】(2022?全國(guó)?高三專題練習(xí))若函數(shù)y=f-3工-4的定義域?yàn)椋?,向，值域?yàn)?彳,-4

則加的取值范圍是()

"251「3］「3、

A.(0,4］B.4,—C.∣,3D.∣,+∞I

【答案】C

【詳解】?「y=f_3工一4二卜一斗--?

325

當(dāng)X=不時(shí)，y=---；當(dāng)X=O或3時(shí)，y=-4.

24

因此當(dāng)］≤m≤3時(shí)，函數(shù)尸龍2-31在區(qū)間［0,向上的最小值為-亍，

^3-

最大值為T，所以，實(shí)數(shù)，”的取值范圍是-.3.

故選：C

【例7】(2020?上海高三)對(duì)于函數(shù)/(X)=y/ax'bx,其中b>0,若/(x)的定義域與值域

相同,則非零實(shí)數(shù)a的值為.

【答案】-4

【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)棣力?+bχZ0,即x(ax+b)≥0,若α>0,則/(x)的定義域?yàn)?/p>

D=I-oo--3°，”)，但/(x)的值域A=Io,4<≈),估O≠A,不合題意

Iβj

若α<0,對(duì)于正實(shí)數(shù)b,則/(x)的定義域?yàn)椤?O,-?,/(χ)的最大值為

a

bb

由題意知一上=一=,由于J>0,

a2√-α

【例8】已知函數(shù)/(x)=x2+bx+2,xeR,若函數(shù)g(x)=∕(∕(X))與/(x)在XeR時(shí)

有相同的值域，則實(shí)數(shù)〃的取值范圍為

【答案】b<-2^tb≥4

2

∕7Ij

【詳解】由于函數(shù)/(x)=d+bχ+2,χ∈R,則當(dāng)*=一上時(shí)，/(%)min=2--,又函數(shù)

g(x)=/(/(X))與/(χ)在XeRn寸有相同的值域，則函數(shù)g(x)必須能夠取到最小值，即

∕2h

7解得b≤-2或6≥4

42

【例9】已知/(x)=∕-2χ+2,在IL加2—加+2]上任取三個(gè)數(shù)a,b,c,均存在以

4

/(α),/S),/(c)為三邊的三角形，則m的取值范圍為()

A.(0,1)B.[θ,??)C.D.[-^-,√2]

【答案】A

【詳解】由于函數(shù)/(x)=f-2x+2的對(duì)稱軸為χ=l,因?yàn)?/p>

、7(I、27

22

m-m+2=m-m+—+—=m——+—>1.則當(dāng)X=I時(shí)，/Mmi∏=1，又

4412；4

、I3(IA2331

m2-m+2—l=m2-mH----1?—=m—H—≥—=1—即加？一根+2與對(duì)稱軸的距

44L2j444

離較遠(yuǎn)，所以當(dāng)x=m2-m+2時(shí)，

222

f(x)nιax=^m-m+2)-2(m-m+2^+2=^m-m+?^+1

不妨設(shè)/(?)=/⑹=1,/(c)=(m2f+i)2+l,由以/(α)"S)J(C)為三邊的一角形，

由構(gòu)成三角形的條件可得1+1>(m?—m+11+1,解得0<相<1

【題型專練】

1.(2022?全國(guó)?高三專題練習(xí))函數(shù)y=J-d+2χ+3定義域和值域分別為M、N,則MCN

=()

A.[-1,3]B.[-1,4]C.[0,3]D.[0,2]

【答案】D

解:要使函數(shù)y=y∣-x2+2x+3有意義,則-χ2+2x+3≥0解得T≤X<3,故M=[-1,3]；

由y=J-(*-l)2+4e[0,2],所以N=[O,2].故MCN=[O,2].

則選：。

2.J(3-a)(α+6)(-6≤a≤3)的最大值為.

9

【答案】一

2

【詳解】

解法一：均值不等式：J(3”)(α+6)≤3藝α+6=［

解法二：二次函數(shù)思想：因?yàn)?gt;=4,以=(3-。)(。+6)=-。2-3。+18,開(kāi)口向下，對(duì)

33Q1

稱軸為。=一式,當(dāng)Q=-不時(shí)?，u=———3—+18=—，所以y=J7的最

mdx

22Ik2J{2)4

大值為舊V

1Q

3.(2022,全國(guó)?高三專題練習(xí))若函數(shù)/(x)=^χ2-χ+］的定義域和值域都是［1,句，則

()

A.1B.3C.-3D.1或3

【答案】B

141

因?yàn)楹瘮?shù)f。)=］/-*+］=3χ-l)2+l在口,句上為增函數(shù)，且定義域和值域都是［1,歷，

2

所以f(x)ms=F(I)=I，f(x)max=f(b)=^b-b+^=b,解得b=3或6=1(舍)，

故選：B

4.(2022?全國(guó)福三專題練習(xí))已知函數(shù)"x)=d-4x在［0,〃力上的值域?yàn)椋跿O］,則實(shí)數(shù)相

的取值范圍是()

A.(0,2］B.［2,4］C.(0,4］D.(-∞,2］

【答案】B

函數(shù)/(力=/一4X在［0,2］上單調(diào)遞減，在［2,+8)上單調(diào)遞增，

/(())=l,/(2)=-4,/(4)=0,x>4時(shí)/(x)>0,0<x<4時(shí)T≤/(x)≤0,

函數(shù)〃力=石-4X的部分圖象及在［0,加］上的的圖象如圖所示.

所以為使函數(shù)"K)=/-4X在［0,回上的值域?yàn)椋?4,0］,實(shí)數(shù)m的取值范圍是［2,4］,

5.(2022?全國(guó)?高一課時(shí)練習(xí))設(shè)/(小)=&+2依+3的值域?yàn)椋?)，”)，則實(shí)數(shù)”的值組成

的集合是.

【答案】［3,+8)

【分析】根據(jù)值域?yàn)椋?,+∞),分析可得，函數(shù)Kr)=〃/+2以+3開(kāi)口向上，且最小值要小

于等于0,列出方程，即可得結(jié)果.

【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)y=Jd√+2αv+3的值域?yàn)椋?,+∞),

設(shè)函數(shù)1x)=0r2+2以+3,當(dāng)α=0時(shí)，/(x)=3顯然不成立：

當(dāng)。<0,二次函數(shù)開(kāi)口向下，有最大值，值域不為［0,+∞),不成立；

當(dāng)4>0,二次函數(shù)開(kāi)口向上，要保證值域?yàn)椋?,+∞),則最小值要小于等于0

??fo?>lO-w≥o,解得3

故答案為：［3,+∞)

ab

6.(2021?重慶市璧山中學(xué)校高一階段練習(xí))定義運(yùn)算=ad-bc若函數(shù)

cajf

x-l2

"x)=Tχ+3，則“X)的最小值為()

A.-3B.-7C.1D.3

【答案】B

【分析】根據(jù)定義寫(xiě)出函數(shù)解析式，配方即可得最小值.

x-l2,

［詳解］/(x)==(x-l)(x+3)+2x=x2+4x-3=(x+2)-7≥-7.

/(-2)=-7.

故選：B

7.(2021.全國(guó).高一課時(shí)練習(xí))求函數(shù)y=√Γ7+√iT7-l的值域.

【答案】[√2-l,l]

【分析】首先求出函數(shù)的定義域，然后將函數(shù)平方，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解.

[l-x≥O

【詳解】由，、八，得T4x≤l?

[l+x≥0

?y—y∕?~-~x+Jl+X-1,??y+l=?/l—x+Jl+x,

?*?(y+l)2=I-X+2Λ∕1-父+l+χ=2+2λ∕l-χ2.

V-l≤x≤l,???O≤χ2≤ι,

?2≤2÷2√1-X2≤4?即2≤(y+l>≤4?

XVy+l>O,Λ√2≤j+l<2,Λ√2-l≤γ≤l,

?,?函數(shù)的值域?yàn)閇及-1,1].

題型三：換元法(適用于形如/(x)=6zx+∕?÷?[cxTd{ac≠0),以及y=力"⑴+好⑴+。)

如：函數(shù)/(x)=αx+?+yfcx-Γd(acWO),可以令1=?∣cx+d?≥0),得到x=-------,

c

函數(shù)/(%)=以

+b+y∕cx+d(ac≠0)可以化為y=""二，)+f+b(t≥O),接下來(lái)求解關(guān)于/的二次

C

函數(shù)的值域問(wèn)題，求解過(guò)程中要注意t的取值范圍的限制.

【例1].求函數(shù)/(x)=d+3%2τ的值域。

【答案】

【詳解】設(shè)χ2=r(f≥o),則/(t)=/+3/—1的對(duì)稱軸為r=—：,所以f(r)=∕+3f-1

在[0,+8)上單調(diào)遞增，所以當(dāng)/=0時(shí)，/(t)mκ=-1，所以/(x)=∕+3χ2-1的值域?yàn)?/p>

[-1,400)

【例2】求函數(shù)y=2x-1一J13-4x的值域。

…小(13-

【答案】I-c0,-^^

1O_'

【詳解】設(shè)J13-4x=f(f≥0),則尤=二^―,函數(shù)可化為

[3—產(chǎn)1]§

y=2--―t=--t2-t+-(t≥Q),對(duì)稱軸為/=—1,所以函數(shù)在[0,+8)上單調(diào)遞

減，所以當(dāng)f=O時(shí)，∕0)max=y.所以原函數(shù)的值域?yàn)?一8,1

【例3】(2021.全國(guó).高一課時(shí)練習(xí))求函數(shù)y=f+4ji-2χ2的值域.

【答案】；，4

【分析】令f=√i≡*,換元可得y=-5/+4,+5(0≤∕<l),轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)在給定區(qū)

間的值域問(wèn)題，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即得解

【詳解】令f=√ΓM,則V='

由χ2≥0及i-2f≥o,得0W/W；,所以O(shè)≤tVl,

1_≠211

則y=------+4，=一一r2÷4∕t+-(0≤r≤l),

222

為開(kāi)口向下的二次函數(shù)，對(duì)稱軸為，=4,故在f∈[0,l]單調(diào)遞增

因此當(dāng)UO時(shí)，‰in=∣;當(dāng)f=l時(shí)，‰=4

故函數(shù)的值域?yàn)?

【例4】(2019?重慶.高一)函數(shù)/(x)=-gj2x-χ2+√^+√Γ?最大值為().

L35

A.y/2B.-C.-D.2

22

【答案】B

【分析】先求解函數(shù)定義域，然后分析等式發(fā)現(xiàn)：(6+√Γ7)2=2+2亞二7,由此可通

過(guò)換無(wú)法令√7+√Γ7=f來(lái)構(gòu)造二次函數(shù)求解最大值，注意取等號(hào)條件.

x≥0

【詳解】因?yàn)椋?-x≥0,所以xe[0,2],即"x)定義域?yàn)閇0,2]；

2X-X2>0

設(shè)G+?∣2-X=T且*=2+2?∣2x-x1，又因?yàn)楫a(chǎn)=2+2?∣2X-X2=2+2^-(x-l)2+1∈[2,4]，

所以止[&,2],

所以/(x)=-=+t=J(f-2)2+3,當(dāng)且僅當(dāng)f=2時(shí)/(X)有最大值)當(dāng)f=2時(shí)，

4422

?∣x+?∣2-x=2,所以X=I滿足；

故選B.

【點(diǎn)睛】本題考查利用換元法求解函數(shù)的最值，難度一般.使用換元法后要注意到新函數(shù)定

義域，同時(shí)要注意與用換元法求解函數(shù)解析式作對(duì)比.

【題型專練】

1.(重慶市巴蜀中學(xué)高一上期中)函數(shù)/(x)=2x-3I,xe[-],3)的值域?yàn)?

)

A.[—2,0)B.(—3,0)C.——,θjD.——

【答案】C

【詳解】設(shè)而I=則X=產(chǎn)—1，函數(shù)可化為丁=2(/—1)-3/=2/-3/-2,

對(duì)稱軸為，=],所以當(dāng)r=3時(shí)，函數(shù)Xnin=—"，當(dāng)?=2時(shí)，/(∕)max=0,所以原函

448

數(shù)的值域?yàn)椤?/p>

2.(2022.全國(guó)?高一課時(shí)練習(xí))函數(shù)/(x)=√^T-x的值域是()

A.(一。0,；B.C.(→o,l]D.[∣,+∞)

【答案】C

【分析】令f=0ΓΓT,轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)y=三士絲擔(dān)Q≥0)在定區(qū)間的值域，即得解

【詳解】由題意，函數(shù)的定義域?yàn)?/p>

----/一]

令t=√2x+1X=-----(t≥0)

2

故/(?)=V2x+1-X<=>y=t-~~='[\"IQ-0)

由于y=±產(chǎn)L(f≥O)為開(kāi)口向下的二次函數(shù)，對(duì)稱軸為f=l

故當(dāng)t=l時(shí)，ymax=i,無(wú)最小值

故函數(shù)/O)=儂+1的值域是(5]

故選：C

3.(2021?江蘇?高一單元測(cè)試)若函數(shù)y=生?的值域是A,函數(shù))，=2x-JTT的值域是B,

x-3

則AB=.

【答案】*2)U(2,+s)

【分析】先求出集合A8.再求A8得解.

【詳解】由題得y=a?=熱二半Z=2+-^≠2,所以函數(shù)的值域?yàn)锳={y∣y*2}.

X—3X-3X—3

對(duì)于函數(shù)y=2x-J有，函數(shù)的定義域?yàn)閇1,+8),

設(shè)Jx-1=f(z≥O),所以x=/+1,所以y=2廣+2—r=2〃—，+2,(fN0),

-11is

函數(shù)的對(duì)稱軸為“丁屋所以函數(shù)的值域?yàn)槠?/p>

所以AB=U(2,+oo).

故答案為:y,2ju(2,+∞)

4.(2022?江西省定南中學(xué)高二階段練習(xí)(文))函數(shù)y=2x-√Γ斤的值域

為()

A.卜8,TB.卜考C.傳TD?p+∞)

【答案】D

【分析】本題通過(guò)換無(wú)法求值域，先令G萬(wàn)=f,將函數(shù)y=2x-√Γ斤轉(zhuǎn)化成二次函數(shù)進(jìn)

行求解.

【詳解】函數(shù)的定義域是{χ∣χNl},令√∏=r,則rv[0,E),x=t-+?,所以

y=1(t2+l)-f=2『-f+2=2Q-；)2+￡,

因?yàn)閒≥0,所以丫堂，所以原函數(shù)的值域?yàn)榘资?.

OO

故選：D.

5.(2022?福建三明?高一期末)已知函數(shù)/(x)=zHJ-X2-2x+3+Jl-x+∕3+x,其中，〃為

實(shí)數(shù).

⑴求/(X)的定義域；

(2)當(dāng)機(jī)=0時(shí)，求f(x)的值域;

⑶求/(尤)的最小值.

【答案】(l){x∣-3效k1},(2)[2,2√2]

⑶當(dāng)〃Jl-血時(shí)，/(x)的最小值為2；當(dāng)“<1-0時(shí)，/(x)的最小值為2m+2√Σ

【分析】(1)根據(jù)函數(shù)的解析式列出相應(yīng)的不等式組，即可求得函數(shù)定義域；

(2)令r=√Γ7+國(guó)7,采用兩邊平方的方法，即可求得答案；

(3)仿(2),令t=<l-x+y]3+x，可得J_X2_2x+3=，——,從而將

2

/(X)=my∣-x2-2x+3+√Γ7+向M變?yōu)殛P(guān)于f的二次函數(shù)，然后根據(jù)在給定區(qū)間上的二

次函數(shù)的最值問(wèn)題求解方法，分類討論求得答案.

l-x≥O,

⑴由?3+x≥O,解得-3≤x≤l.所以/(x)的定義域?yàn)椋鸛-3烈1).

3-2X-X2≥O,

(2)當(dāng)W=O時(shí)，/(%)=√l-x+>∣3+x.設(shè)t=√l-x+j3+x，則r=-x,-2x+3+4.

=2J-(X+I):+4+4.當(dāng)X=-I時(shí)，產(chǎn)取得最大值8；當(dāng)x=-3或x=l時(shí)，*取得最小值4.

所以*的取值范圍是[4,8].所以/Cr)的值城為[2,2√2].

⑶設(shè)f=Jl-x+j3+x,由(2)知，fe[2,2>∕∑],且J—x?—2x+3=’24，

貝∣Jm?∣-x2-2Λ+3+JI-X+j3+x=-(t2-4?+t=-t2+t-2m.

2172

令夕Q)=5廠+r—2/”,t∈[2,2-^2].

若機(jī)=O,φ(t)=t,此時(shí)*(。的最小值為此2)=2；

當(dāng)初>0時(shí)，夕⑺在［2,2√Σ］上單調(diào)遞增，

此時(shí)φ(t)的最小值為8(2)=2；

當(dāng)———N1+,即1—∕w<O時(shí)，

m

此時(shí)9。)的最小值為8(2)=2；

當(dāng)O<<1+&■,即m<?-?∣2.時(shí)，

m

此時(shí)。⑺的最小值為^(2√2)=2m+2√2.

所以，當(dāng)M.1-√Σ時(shí)，/(x)的最小值為2；當(dāng)w<l-√∑時(shí)，/(x)的最小值為2加+2&

題型四：分離常數(shù)法反解法(利用函數(shù)有界性)

分離常數(shù)法：

ex+d

將形如y=一(α≠0)的函數(shù)分離常數(shù)，變形過(guò)程為：

ax-?-rb

c訃TbC,bebe

cx+da［aX+)+ac,",再結(jié)合X的取值范圍確定"的取值范

ax-jrbax+baax+bax+b

圍，從而確定函數(shù)的值域.

【例D求函數(shù)y=2的值域

X-3

【答案】(V,2)D(2,M)

【詳解】方法一：分離常數(shù)法：設(shè)y=絲I=生二?±N=2+--，因?yàn)楣ち?,

X—3X—3X—3X—3

所以yw2,所以原函數(shù)的值域?yàn)?YO,2)U(2,+8)

2χ+l

方法二：反解法：由y=-可得

x—3

y(x-3)=2x+lnyx-2x=3y+lnx(y-2)=3y+l,所以當(dāng)時(shí)，X=所

>-2

以原函數(shù)的值域?yàn)?-∞,2)U(2,+8)

l-r2

【例2】求函數(shù)y=L~?的值域

1+x

【答案】(-川

2

(詳解】方法一：分離常數(shù)法：y=匕三=一Y+W+因?yàn)?/p>

-?+x2X2+\%2+1

92

%2≥O=>%2+l≥l=>O<-——≤2=>-l<-l+———≤1.所以原函數(shù)的值域?yàn)?一15

X2+1X2+1

方法二：反解法：由y=?J~二，可得W+/)=1-/=>y+y∕=]_/,

1—y

所以y?+/=i-ynχ2(y+])=i-ynχ2=]_^,因?yàn)?≥o,所以.―^≥0

y+ι，解

y+ι

y+l≠0

得一1<y≤1,所以原函數(shù)的值域?yàn)?一1,1]

【例3】求函數(shù)y=--”0)的值域

-3'+1

【答案】(0,1)

【詳解】方法一：分離常數(shù)法：y=^^=3*+lT=ι一L,因?yàn)?/p>

3r+l3v+l3r+l

ΛΛ

3>0=>3+1>1=>0<-!—<l^>0<l———<1,所以原函數(shù)的值域?yàn)?0,1)

3v+l3Λ+1

方法二.：反解法：由y=-^—,可得y(3*+l)=3"=>3'(y-l)=-y=>3"=―

Λ3A+1?-l

所以，因?yàn)?'>0,所以消>°，解得0<y<l,所以原函數(shù)的值域?yàn)?0,1)

【題型專練】

1?求函數(shù)y=產(chǎn)的值域

4-x

【答案】(7,—1)5T的)

【詳解】由題意，函數(shù)可化為y=盧=T-三，可得定義域?yàn)閧χ∣χ*4},所以三wo,

可得y≠τ,所以值域?yàn)?ro,T)u(—1,+∞)?

2.(2022?全國(guó)?高三專題練習(xí))設(shè)XeR,函數(shù)INT(X)表示不超過(guò)X的最大整數(shù)，例如

1NT(-O.1)=-1,1NT(2.8)=2,若函數(shù)/食)=七二，則函數(shù)y=!NT(f(x))的值域是()

X+1

A.{2}B.{0,1,2}

C.{-l,0,1,2}D.{0,1}

【答案】C

3

【分析】/(x)=-l+√-∏IW-l<∕U)≤2,分-l<∕(x)<0?0≤∕(x)<Ll≤∕(x)<2?

X+1

F(X)=2根據(jù)定義可得答案.

【詳解】f(x)=?^-=3~V-+?=-1+?,因?yàn)閒+ι≥ι,所以0<上≤3,

%+1X+1X+1X+1

所以-l<∕(x)≤2,當(dāng)-l<∕(x)<0時(shí)，y=∕ΛT(∕(X))=T；

當(dāng)O≤f(x)<l時(shí)，y=∕NT(∕(X))=0；

當(dāng)l≤∕(x)<2時(shí)，y=ZΛT(∕(x))=l;

當(dāng)f(χ)=2時(shí)，y=∕NT(∕(x))=2,所以函數(shù)y=∕NT("x))的值域?yàn)閧—l,0,l,2},

故選：C.

ax^+bx+c

題型五：判別式法(適用于函數(shù)y)

dx^+ex+f

2x2+3尤+2

【例11函數(shù)〃X)=的值域?yàn)?

X2+x+l

7

【答案】1.-

【詳解】方法一：分離常數(shù)法：y="上3￡±2=2(x/X+1)+%=2+4-------當(dāng)

x~+X+1x~+X+1x~+X+1

V=2_________—?_1_________I

X=O時(shí)，y=2,當(dāng)χ≠0時(shí)，X2χι~1,當(dāng)x>0時(shí)，x+-≥2

++XH-----F1X

X

*-％+,+123=>0<—\—≤-=>2<2+—!—≤-,zIc

所以X1313，當(dāng)X<O時(shí)，工+一〈一2所

%+—+11X+—+1X

XX

..x+-+?≤-↑=>-l≤一：—<0=>l≤2+―--<27

,原函數(shù)的值域?yàn)長(zhǎng)-

XX+1+1x+i+l

XX

2χ2+3x+2

方法二：判別式法：設(shè)y="十DX十J可得

X+X+1

y(x2+X+1)=2x2+3x+2^>(j-2)%2+(^-3)x+?-2=0,因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)镽,

當(dāng)y-2=0時(shí)，即y=2時(shí)，得一X=O=X=0,滿足題意，當(dāng)當(dāng)y-2wθ時(shí),

77

△=(y—3)--4(y-2,y-2)≥0,解得l≤y≤^，所以原函數(shù)的值域?yàn)閎-

【例2】(2021?上海復(fù)旦附中高一期末)若函數(shù)/(X)=絲二詈1"的定義域?yàn)?一8,”)，

值域?yàn)閇1,9],求〃7,〃的值.

m=5

<

【答案】〔〃=5

mx2+8x+π

y~2~\

【詳解】判別式法：設(shè)*+1,得

y(x2+1)=IWC2+8x+〃=(y-/??*-Sx+y-n-0

因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)镽,所以△=(一8)j4(y-"∕)(y-")≥0,即

2

y-(m+n)y+(mn-l6)<0t由l≤y≤9知，關(guān)于V的-元二次方程

m-?-n=10

<

)，2-何+力+(%-1620的兩個(gè)根分別為1和9,由根與系數(shù)的關(guān)系得W/T6=9,

m=5

<

解得〔〃=5

【題型專練】

1.(2022?全國(guó)?高三專題練習(xí))函數(shù)〃X)=亡土?的最大值與最小值的和是()

X+X+1

【答案】B

【分析】令y=x「T，可得(y—l)d+(y+l)χ+y+l=O,可知關(guān)于X的方程

χ-+x+l

(y-l)d+(y+ι)χ+y+ι=o有解，分y=l、"1兩種情況討論，結(jié)合已知條件可求得y的

取值范圍，即可得解.

【詳解】設(shè)y="τT,則有(y-l"+(y+l)χ+y+I=O,

x-+x+l

當(dāng)y=i時(shí)，代入原式，解得X=T.

當(dāng)y#[時(shí)，?=(y+l)2-4(y-l)(y+l)=(y+l)(-3