數(shù)學(xué)高二(上)滬教版(向量的坐標(biāo)表示及其運算)教師版

年級：高二輔導(dǎo)科目：數(shù)學(xué)課時數(shù)：3課題向量的坐標(biāo)表示及其運算教學(xué)目的理解平面向量的有關(guān)概念，掌握向量的坐標(biāo)表示及運算法那么掌握向量加減法的平行四邊形法那么和三角形法那么教學(xué)內(nèi)容【知識梳理】知識點1向量及其表示1.向量：既有大小又有方向的量叫做向量〔向量可以用一個小寫英文字母上面加箭頭來表示。如讀作向量，向量也可以用兩個大寫英文字母上面加箭頭來表示，如表示由A到B的向量。A為向量的起點，B為向量的終點〕。向量〔或〕的大小叫做向量的模，記作〔或〕?！咀⒁狻考扔蟹较蛴钟写笮〉牧拷凶鱿蛄?，只有大小沒有方向的量叫做標(biāo)量。向量與標(biāo)量是兩種不同類型的量，要注意加以區(qū)分。2.向量坐標(biāo)的有關(guān)概念〔1〕根本單位向量：在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，方向分別與軸和軸正方向相同的兩個單位向量叫做根本單位，記〔2〕將向量的起點置于坐標(biāo)原點O，作=，那么OA叫做位置向量，如果點A的坐標(biāo)，它在軸和軸上的投影分別為M,N，那么,?！?〕向量的正交分解：在〔2〕中，向量能表示成兩個垂直的向量分別乘以實數(shù)后組成的和式，該和式稱為的線線組合。這種向量的表示方法叫做向量的正交分解。把有序?qū)崝?shù)對叫做向量的坐標(biāo)，記作3.向量的坐標(biāo)運算：設(shè)那么；；4.向量的模：設(shè)，由兩點間距離公式，可求的向量的模【注意】〔1〕向量的大小可以用向量的模來表示，即用向量的起點與終點間的距離來表示?！?〕向量的模是一個標(biāo)量，并且是一個非負(fù)的實數(shù)。知識點2向量平行的充要條件與為非零向量，假設(shè)那么∥的充要條件是，所以，向量平行的充要條件可表示為：∥〔其中為非零實數(shù)〕。知識點3定比分點公式1.定比分點公式和中點公式是直線上的任一點，且，是直線上的一點，令，那么，這個公式叫做線段的定比分點公式，特別的時，為線段的中點，此時，叫做線段的中點公式。2.三角形重心坐標(biāo)公式設(shè)△的三個頂點坐標(biāo)分別為，G為△的重心，那么【典型例題分析】【例1】點A的坐標(biāo)為，點B的坐標(biāo)，且,求點P的坐標(biāo)?！窘狻吭O(shè)點P的坐標(biāo)解得所以所以點P的坐標(biāo)為變式練習(xí)：點A〔4、0〕，B〔4、4〕，C〔2、6〕，O為坐標(biāo)原點，求AC和OB交點P的坐標(biāo)。解析：設(shè)=n=〔4n、4n〕，=〔4n－4、4n－0〕=〔4n－4、4n〕，=〔2－4、6－0〕=〔－2、6〕由∥及向量共線的充要條件可得〔4n－４〕×6－4n×〔－2〕=0解得n=所以，=〔4n，4n〕=〔3、3〕，P點的坐標(biāo)為〔3、3〕?！纠?】，求的坐標(biāo)?！窘馕觥款愃朴诮舛淮畏匠探M，可求得的坐標(biāo)?！敬鸢浮孔兪骄毩?xí)：假設(shè)向量＝〔１、１〕，＝〔１、－１〕，=〔－1、2〕，那么=〔〕A〕－+B〕－C〕－D〕－+解：設(shè)=λ1+λ2，那么〔－1、2〕=λ1〔1、1〕+λ2〔1、－1〕=〔λ1+λ2，λ1－λ2〕∴∴=－，選B?！纠?】設(shè)向量，化簡：〔1〕〔2〕【答案】〔1〕原式〔2〕原式【點撥】向量的化簡，依據(jù)其運算律進行，其方法類比代數(shù)式的化簡?！纠?】向量，點A，假設(shè)向量與平行，且，求向量的坐標(biāo)?！窘馕觥看祟}中放入兩個條件，要求兩個變量，只需列出方程組，求解即可?！敬鸢浮孔兪骄毩?xí)：1、－2、1〕，Ｂ〔—1、3〕，Ｃ〔3、4〕，D〔2、2〕，那么〔B〕A〕∥B〕=C〕∥D〕=〔―５，―3〕2假設(shè)向量=〔2、m〕與=〔m、8〕的方向相反，那么m=-4【例5】在直角坐標(biāo)系內(nèi)，點在直線上，且,求出的坐標(biāo)?！敬鸢浮孔兪骄毩?xí)：=，B〔1、0〕，=〔－3、4〕，＝〔－１、１〕，且=3－２，求Ａ點的坐標(biāo)。答案：A(8-10)【例6】，假設(shè)∥，求，的坐標(biāo)?！窘馕觥坑伞蔚?，，解得，即可求，的坐標(biāo)【答案】當(dāng)時，當(dāng)時，變式練習(xí)：1、=〔1，2〕，=〔x，1〕，且+2與2－平行，那么x=〔〕A〕2B〕1C〕D〕2、以下命題：①∥存在唯一的實數(shù)，使得＝；②∥存在不全為零的實數(shù)1和2，使得1＋2＝0；③、不平行假設(shè)1＋2＝0，那么1＝2＝0；④、不平行不存在實數(shù)1和2，使得1＋2＝0。其中正確的命題是〔〕A)①④B)②③C)①③D)②④3、假設(shè)三點P〔1、1〕，A〔2、－4〕，B〔x、－9〕共線，那么〔〕A〕x=－１B〕x=3C〕x=D〕x=51答案：1D;2B;3B【例7】如圖，的三個頂點坐標(biāo)分別為，直線∥于，且直線平分的面積，求點的坐標(biāo)?！窘狻吭O(shè)直線交于,依題可得即設(shè)，由定比分點公式可求的變式練習(xí)：假設(shè)D、E、F分別是△ABC的三邊AB、BC、CA上的動點，且它們在初始時刻分別從A、B、C出發(fā)，各以一定速度沿各邊向B、C、A移動，當(dāng)t=1時，分別到達B、C、A。求證：在0≤t≤1的任何一時刻t1，△DEF的重心不變。yFEADBx證明：建立如下圖直角坐標(biāo)系，設(shè)A、B、C坐標(biāo)分別為〔0、0〕、〔a、0〕、〔m、n〕，在任一時刻t1∈[0、1]，依速度一定，其距離之比等于時間之比，有====λyC由定比分點坐標(biāo)公式可求得D、E、F的坐標(biāo)分別為〔at1，0〕、〔a+〔m－a〕t1，nt1〕、FE〔ｍ－mt1、n－nt1〕，由重心坐標(biāo)公式可得△DEF的重心坐標(biāo)為〔、〕。ADBx當(dāng)t=0或1時，△ABC的重心也是〔、〕，故對任一t1∈[0、1]，△DEF的重心不變?！纠?】如圖，點的坐標(biāo)分別為，點的坐標(biāo)為求證：.【證明】又所以因為，所以四邊形為平行四邊形。于是平行所以變式練習(xí)：點O〔0、0〕，A〔1、2〕，B〔4、5〕及=+t，試問：t為何值時，P在x軸上？在y軸上？P在第二象限？四邊形OABP能否成為平行四邊形？假設(shè)能，求出相應(yīng)的t值；假設(shè)不能，請說明理由。解析：1〕=〔3、3〕，=+t=〔1+3t、2+3t〕。假設(shè)P在x軸上，那么2+3t=0，解得t=－；假設(shè)Ｐ在ｙ軸上，那么1+3t=0，解得t=－；假設(shè)Ｐ在第二象限，那么，解得－<t<－2)∵=〔1、2〕，=+=〔3－3t、3－3t〕，假設(shè)四邊形OABP為平行四邊形，那么=，而方程組無解，∴四邊形OABP不能成為平行四邊形?！纠?】〔1〕假設(shè)點的坐標(biāo)，求最小值?！?〕假設(shè)，且∥，求的值?！窘馕觥俊?〕把表示成的函數(shù)，然后利用一元二次方程知識求最值〔2〕利用向量平行的充要條件求解?！敬鸢浮俊?〕〔2〕變式練習(xí)：1、=〔2、3〕，=〔－5、6〕，那么|+|=，|－｜＝答案：;2、||=3，||=4，||=5，那么|－－|的最大值為12；最小值為0?！菊n堂小練】1、設(shè)A、B、C、D四點坐標(biāo)依次是〔－１、０〕，〔０、２〕，〔４、３〕，〔３、１〕，那么四邊形ABCD為〔〕A〕正方形B〕矩形C〕菱形D〕平行四邊形2、設(shè)=〔、sinα〕，=〔cosα、〕，且∥，那么銳角α為〔〕A〕300B〕600C〕453、假設(shè)A、B、C、D四點共線，且依次排開，C是BD的中點，=m，=n，那么=〔〕A〕2m－nB〕2n－mC〕n－mD〕m+n4、在三角形ABC中，=，=，O是△ABC的重心，那么+=5、假設(shè)=〔2、－3〕，＝〔１、２〕，＝〔９、４〕，且=m+n，那么m=；n=；6、在平行四邊形ABCD中，E、F分別是BC、DC的中點，假設(shè)=，=，試以、為基底表示和。答案：D;2、C;3、B;4、(-);5、m=2,n=56、=-=-【課后練習(xí)】一、根底穩(wěn)固1.,點,,那么點的坐標(biāo)為〔〕ABCD2.假設(shè)非零向量那么∥是的〔〕A充分非必要條件B必要非充分條件C充分必要條件D既非充分又非必要條件3.，而，且，那么實數(shù)的值為〔〕A1或B或2CD4.，假設(shè)與反向，那么等于〔〕ABCD5.如圖，點O是正六邊形ABCDEF的中心，與向量AB平行且模也相等的向量有〔〕ABCD6.中，假設(shè),G是的重心，那么的坐標(biāo)是〔〕ABCD7.：,那么__________二、能力提升8.連接的線段，點P在線段AB上，且,那么點P的坐標(biāo)_________9.,點P是的定比分點，,求點P的坐標(biāo)。10.是的重心，是的中點，假設(shè)A,B,C,D的坐標(biāo)分別是，求點的坐標(biāo)。三、創(chuàng)新探究11.O,A,B的坐標(biāo)分別為，且〔1〕當(dāng)為何值時，點P在x軸上？在y軸上？在第二象限？〔2〕四邊形OABP能否為平行四邊形？假設(shè)能，求出相應(yīng)的值；假設(shè)不能，說明理由。四、高考體驗12.設(shè)P是所在平面內(nèi)一點，,