人教版八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)基礎(chǔ)知識(shí)專(zhuān)項(xiàng)講練 專(zhuān)題17.23 勾股定理解決含30度和45度的直角三角形（基礎(chǔ)篇）（專(zhuān)項(xiàng)練習(xí)）

專(zhuān)題17.23勾股定理解決含30度和45度的直角三角形（基礎(chǔ)篇）（專(zhuān)項(xiàng)練習(xí)）;學(xué)生熟悉掌握含30度和45度的直角三角形三邊之比求邊和角，給我們解題帶來(lái)很多方便，本專(zhuān)題匯集了部分30度和45度的三角形的題型，供師生選擇使用。一、單選題1．中，，，則的值為（

）A． B． C． D．2．在中，，，，則的長(zhǎng)是（

）A． B． C． D．3．如圖，中，，是高，，，則的值為（

）A．1 B．1.5 C．2 D．4.54．如圖，在中，，，是的中線，是的平分線，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，則的長(zhǎng)為（

）.A．5.5 B．6.5 C．7.5 D．65．如圖，在中，，，，垂足為，的平分線交于點(diǎn)，若，則的長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．6．如圖，平分，于點(diǎn)D．，則的長(zhǎng)度是（）A．2.5 B．4 C．6 D．57．如圖，在于D，是的平分線，且交于P，如果，則的長(zhǎng)為（

）A．9 B．8 C．7 D．68．如圖，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1，若A、B、C是小正方形的頂點(diǎn)，則度數(shù)為（

）A． B． C． D．9．如圖，在中，，，，點(diǎn)是斜邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，把沿直線翻折，使點(diǎn)A落在點(diǎn)處，當(dāng)平行于的一條直角邊時(shí)，的長(zhǎng)為（

）．A．或2 B．或3 C．或2 D．或310．如圖，在中，點(diǎn)在邊上且，于點(diǎn)，，，，則的長(zhǎng)等于（

）A． B． C． D．11．如圖，在中，，，交于D，，則的長(zhǎng)為（

）A．6 B．8 C．9 D．1012．如圖，在中，，于點(diǎn)D，平分，且于點(diǎn)E，與交于點(diǎn)F，H是的中點(diǎn)，連接，與交于點(diǎn)G．有下列結(jié)論：①是等腰三角形；②；③；④，其中，正確的有（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)二、填空題13．如圖，把含，角的兩塊直角三角形放置在同一平面內(nèi)，若，則_____．14．如果，AD是△ABC的中線．∠ADC＝45°，BC＝4cm，把△ACD沿AD翻折，使點(diǎn)C落在E的位置．則BE為_(kāi)_____．15．如圖，在中，分別以B，C為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑，在BC兩側(cè)畫(huà)弧，分別交于E、F兩點(diǎn)，連接EF，并延長(zhǎng)EF，交AB于點(diǎn)D．若，，且，則AC的長(zhǎng)為_(kāi)_____16．如圖，在△ABC中，AD⊥BC于點(diǎn)D，∠BAD＝30°，∠C＝45°，BD＝2，則AC＝_____．17．如圖所示，在中，，是斜邊的中線，于點(diǎn)E，若，，則的面積為_(kāi)_______．18．如圖，在中，，，，點(diǎn)D在邊上，將沿直線翻折后，點(diǎn)A落在點(diǎn)E處．如果，那么線段的長(zhǎng)為_(kāi)_．19．如圖，在中，，，，點(diǎn)P是線段上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)M在線段上，當(dāng)時(shí)，的最小值為_(kāi)_____．20．在中，，則_________．三、解答題21．如圖，在中，已知，，，求的長(zhǎng)．22．如圖，以一邊為直角邊構(gòu)造，且，，，．(1)求證：為直角三角形．(2)若點(diǎn)P為上一動(dòng)點(diǎn)，連接，，求最小值．23．如圖，是的高，，，，求的長(zhǎng)．24．如圖，是的中線，，把沿著直線翻折，點(diǎn)C落在點(diǎn)E的位置，如果，那么線段的長(zhǎng)度為_(kāi)____．25．如圖，在△ABC中，∠B＝60°，點(diǎn)D，E分別在邊BC，AC上，，EF⊥DE交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．(1)求∠F的度數(shù)．(2)若∠CEF＝30°，CE＝1，求△CEF的周長(zhǎng)．26．如圖，某海岸線的方向?yàn)楸逼珫|，從港口A處測(cè)得海島C在北偏東方向，從港口B處測(cè)得海島C在北偏東方向，已知港口A與海島C的距離為36海里，求港口B與海島C的距離．參考答案1．C【分析】根據(jù)已知條件可知為等腰直角三角形，得到，再利用勾股定理求出長(zhǎng)即可得到答案．解：如圖：，，，設(shè)，由勾股定理得：，，故選C．【點(diǎn)撥】本題考查了等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，熟練運(yùn)用勾股定理是解題關(guān)鍵．2．D【分析】先利用直角三角形的性質(zhì)證明，再利用勾股定理即可解答．解：如圖，∵，，，∴，，∴，∴，，故選D．【點(diǎn)撥】本題考查的是含的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，化為最簡(jiǎn)二次根式，熟練的利用勾股定理解題是關(guān)鍵．3．D【分析】先根據(jù)含30度的直角三角形的性質(zhì)求得，再根據(jù)余角的性質(zhì)求得，則可由含30度的直角三角形的性質(zhì)求得，即可由求解．解：∵，，∴，∵，∴，∵是的高，∴，∴，∴，∴，∴．故選：D．【點(diǎn)撥】本題考查直角三角形性質(zhì)，余角性質(zhì)，熟練掌握含30度所對(duì)的直角邊等于余邊的一半是解題的關(guān)鍵．4．B【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得，從而可得到，再根據(jù)角平分線的性質(zhì)即可得到，從而可推出，根據(jù)含30°角的直角三角形性質(zhì)即可求得AD的長(zhǎng)，即可求得的長(zhǎng)．解：∵中，，是的中線，∴，∵，∴，∴，∵是的平分線，∴，∵，∴，∴，∴．∵，∴，故選B．【點(diǎn)撥】本題考查了含30°角的直角三角形性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，平行線的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，能求出是解此題的關(guān)鍵．5．C【分析】根據(jù)已知條件得出，根據(jù)含度角的直角三角形的性質(zhì)得出，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)，勾股定理即可求解．解：∵，，∴，∵是的平分線，∴，∴，，∴∴∴,∵，∴是等腰直角三角形，∴，∴，故選：C．【點(diǎn)撥】本題考查了直角三角形的兩個(gè)銳角互余，等角對(duì)等邊，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，求得是解題的關(guān)鍵．6．D【分析】過(guò)點(diǎn)P作于E，根據(jù)角平分線的定義、平行線的性質(zhì)可得，再根據(jù)直角三角形角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半可得的長(zhǎng)，最后根據(jù)角平分線的性質(zhì)即可求解．解：如圖，過(guò)點(diǎn)P作于E，∵平分，∴，∵，∴，∴，∵平分，，，∴．故選：D．【點(diǎn)撥】本題考查了角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等的性質(zhì)，直角三角形角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，熟記性質(zhì)并作輔助線構(gòu)造出直角三角形以及與相等的線段是解題的關(guān)鍵．7．A【分析】先利用三角形內(nèi)角和和角平分線定義計(jì)算出，則，再利用含30度的直角三角形三邊的關(guān)系得到，然后計(jì)算即可．解：∵，∴，∵，∴，∵是的平分線，∴，∴，在Rt△PBD中，，∴．故選：A【點(diǎn)撥】本題考查直角三角形的性質(zhì)和角平分線的性質(zhì)，掌握角直角三角形斜邊和直角邊的關(guān)系為解題關(guān)鍵．8．B【分析】在格點(diǎn)三角形中，根據(jù)勾股定理即可得到，，的長(zhǎng)度，繼而可得出的度數(shù)．解：根據(jù)勾股定理可得：，，，即，是等腰直角三角形．．故選：B．【點(diǎn)撥】本題考查了勾股定理及其逆定理，判斷是等腰直角三角形是解決本題的關(guān)鍵，注意在格點(diǎn)三角形中利用勾股定理．9．A【分析】分兩種情況：；；利用折疊的性質(zhì)及直角三角形的性質(zhì)即可完成完成．解：當(dāng)時(shí)，如圖，則，由折疊的性質(zhì)得：，，，，，，，，，，，，，，，；當(dāng)時(shí)，如圖，則，，，，，，，；綜上，的長(zhǎng)為或2．故選：A．【點(diǎn)撥】本題考查了折疊的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，掌握折疊的性質(zhì)，利用分類(lèi)討論思想解題是關(guān)鍵．10．D【分析】根據(jù)于點(diǎn)，，，，可求出，如圖所示（見(jiàn)詳解），過(guò)點(diǎn)作于，與交于點(diǎn)，在中，在中，分別求出的值，根據(jù)特殊角直角三角形邊的關(guān)系即可求解．解：∵于點(diǎn)，，，，∴在中，，，在中，，∵，∴，是等腰三角形，如圖所示，過(guò)點(diǎn)作于，與交于點(diǎn)，設(shè)，則，∴，在中，，在中，，，∴，∵，，，∴，∴，即，解方程得，，∴，故選：．【點(diǎn)撥】本題主要考查含特殊角的直角三角形的綜合知識(shí)，掌握特殊角的直角三角形各邊的關(guān)系，相似三角形對(duì)應(yīng)角相等的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．11．A【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，等腰三角形的性質(zhì)得到，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求出，計(jì)算即可．解：∵，，∴，∵，∴，又∵，∴，∵，，∴，∴，∴，∴，故選：A．【點(diǎn)撥】本題主要考查的是等腰三角形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，掌握直角三角形中，角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半是解題的關(guān)鍵．12．B【分析】①根據(jù)角平分線的定義可得，然后證明出，可得，從而得證；②根據(jù)題意證明出，進(jìn)而求解即可；③根據(jù)等腰直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半進(jìn)行解答；④過(guò)點(diǎn)G作于M，只要證明即可判斷④錯(cuò)誤．解：∵平分，∴，∵，∴，在和中，，∴，∴，∴是等腰三角形，故①正確；∵，，∴，∴，∵，∴，在和中，，∴，∴，故②正確；∵，H為上的中點(diǎn)，∴，，設(shè)，則，，∴，故③錯(cuò)誤；過(guò)點(diǎn)G作于M，∵平分，，，∴，∵，∴，∴，∵，∴，故④錯(cuò)誤，∴正確的有①②，共2個(gè)．故選：B．【點(diǎn)撥】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，三線合一，勾股定理，平行線的性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握三角形全等的判定方法并作輔助線構(gòu)造出全等三角形是解題的關(guān)鍵．13．4【分析】由題意是等腰直角三角形，求得，再利用含的直角三角形的性質(zhì)即可求解．解：∵是含的直角三角形，且，∴，∴，∵是含的直角三角形，且，，∴，故答案為：4．【點(diǎn)撥】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，含的直角三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題．14．##厘米【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)可得∠CDE=90°，DE=CD=2cm，從而得到∠BDE=90°，再由勾股定理，即可求解．解：∵AD是△ABC的中線，BC＝4cm，∴BD=CD=2cm，∵把△ACD沿AD翻折，使點(diǎn)C落在E的位置，∴∠ADE=∠ADC=45°，DE=CD=2cm，∴∠CDE=90°，∴∠BDE=90°，∴．故答案為：【點(diǎn)撥】本題主要考查了圖形的折疊，勾股定理，熟練掌握?qǐng)D形的折疊的性質(zhì)，勾股定理是解題的關(guān)鍵．15．5【分析】連接CD，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到DC=BD=4，根據(jù)三角形的外角性質(zhì)求出∠ADC=90°，再根據(jù)勾股定理計(jì)算，得到答案．解：連接CD，由尺規(guī)作圖可知，EF是線段BC的垂直平分線，∴DC=BD=4，∴∠DCB=∠B=45°，∴∠ADC=∠DCB+∠B=90°，∴AC==5，故答案為：5．【點(diǎn)撥】本題考查的是線段的垂直平分線的性質(zhì)，掌握線段的垂直平分線上的點(diǎn)到線段的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等是解題的關(guān)鍵．16．【分析】根據(jù)含30度角的直角三角形的性質(zhì)得出AD，再由∠C=45°，利用勾股定理得出AC即可．解：在△ABC中，AD⊥BC于D，∠BAD＝30°，BD＝2，∴AB＝2BD＝4，∴AD＝＝＝2．∵∠C＝45°，∴△ADC是等腰直角三角形，∴AD＝CD＝2，∴AC＝2．故答案為：2．【點(diǎn)撥】本題考查了含30度角的直角三角形的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，利用含30度角的直角三角形的性質(zhì)得出AD的長(zhǎng)是解題的關(guān)鍵．17．【分析】由,，，求出，再求出，利用勾股定理解三角形，求出各邊即可求解．解：,，，,是斜邊的中線，,在中，,，,,,,故答案為：.【點(diǎn)撥】本題考查了含的直角三角形的特點(diǎn)、勾股定理和三角形面積公式；靈活運(yùn)用“角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半”是解題的關(guān)鍵.18．【分析】連接，根據(jù)翻折的性質(zhì)可得，，，由可得是等腰直角三角形，可求出，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可求出，即可求出，由直角三角形兩銳角互余可得，即可求出，可證明是等腰直角三角形，可得，根據(jù)含角的直角三角形的性質(zhì)可得，利用勾股定理可求出的長(zhǎng)，根據(jù)可求出的長(zhǎng)，即可得的長(zhǎng)．解：連接，如圖∵沿直線翻折后點(diǎn)A落在點(diǎn)E處，∴，，，∵，∴是等腰直角三角形，∴，∵，∴，在中，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴是等腰直角三角形，∴，∵，，，∴，∴，∴，∴．【點(diǎn)撥】本題考查了翻折的性質(zhì)，含角的直角三角形的性質(zhì)及勾股定理，翻折前后的兩個(gè)圖形全等，對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等；角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半，正確得出翻折后的對(duì)應(yīng)邊及對(duì)應(yīng)角并熟練掌握直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．19．【分析】作點(diǎn)B關(guān)于的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，連接交于點(diǎn)P，則，可得的最小值為的長(zhǎng)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)H，根據(jù)，，可得，從而得到，由勾股定理可得，再由，可得，再由勾股定理，即可求解．解：如圖，作點(diǎn)B關(guān)于的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，連接交于點(diǎn)P，則，∴，∴的最小值為的長(zhǎng)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)H，∵，，，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，即的最小值為．故答案為：【點(diǎn)撥】本題考查了勾股定理的使用，涉及了軸對(duì)稱(chēng)圖形的性質(zhì)，掌握并熟練使用相關(guān)知識(shí)，同時(shí)注意解題中需注意的事項(xiàng)是本題的解題關(guān)鍵．20．或【分析】根據(jù)題意分三種情況分析：當(dāng)為銳角三角形時(shí)；當(dāng)為直角三角形時(shí)；當(dāng)為鈍角三角形時(shí)；然后作出輔助線，利用勾股定理求解即可．解：如圖所示，當(dāng)為銳角三角形時(shí)：過(guò)點(diǎn)A作，∵，∴，，∴，∴；當(dāng)為直角三角形時(shí)，當(dāng)為斜邊時(shí)，不符合題意舍去；當(dāng)為直角邊時(shí)，∵，∴；此時(shí)不滿足勾股定理，應(yīng)舍去當(dāng)為鈍角三角形時(shí)：過(guò)點(diǎn)C作的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，∵，∴設(shè)，則，∴，，∴，即，解得：，或；∴綜上可得：或；故答案為：或．【點(diǎn)撥】題目主要考查含30度角的直角三角形的性質(zhì)及勾股定理解三角形，理解題意作出相應(yīng)輔助線進(jìn)行分類(lèi)討論是解題關(guān)鍵．21．【分析】如圖所示，過(guò)點(diǎn)C作于D，則，利用含30度的直角三角形的性質(zhì)和勾股定理求出的長(zhǎng)即可得到答案．解：如圖所示，過(guò)點(diǎn)C作于D，則，∵，，∴，∴，∴，∴．【點(diǎn)撥】本題主要考查了含30度角的直角三角形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，正確作出輔助線構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．22．(1)見(jiàn)分析 (2)最小值為【分析】（1）根據(jù)題意得，，，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得，即可得，則，根據(jù)勾股定理的逆定理即可得，即可得；（2）延長(zhǎng)至M，使得，連接，，過(guò)點(diǎn)B作于點(diǎn)N，則，，根據(jù)矩形的性質(zhì)和勾股定理得，根據(jù)，得當(dāng)B、P、M三點(diǎn)共線時(shí)，取最小值為，即可得．解：（1）證明：根據(jù)題意得，，，∴，∵，∴，∵，，∴，，∴，∴△ABC為直角三角形；（2）解：如圖所示，延長(zhǎng)至M，使得，連接，，過(guò)點(diǎn)B作于點(diǎn)N，則，，∵，∴四邊形是矩形，∴，，，∴，∵，當(dāng)B、P、M三點(diǎn)共線時(shí)，取最小值為，∴最小值為．【點(diǎn)撥】本題考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，兩點(diǎn)之間線段最短性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握這些知識(shí)點(diǎn)，確定的最小是．23．【分析】先利用含30度角的直角三角形的性質(zhì)和勾股定理求出的長(zhǎng)，再證明，即可利用勾股定理求出的長(zhǎng)．解：∵是的高，∴，∵，，∴，∴，∵，∴，∴，∴．【點(diǎn)撥】本題主要考查了勾股定理，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，二次根式的計(jì)算，正確求出的長(zhǎng)是解題的關(guān)鍵．24．【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)判定是等邊三角形，然后再利用求．解：連接，是的中線，且沿著直線翻折，，是等腰三角形，，，為等邊三角形，，在中，，．【點(diǎn)撥】本題考查了翻折變換，還考查的知識(shí)點(diǎn)有兩個(gè)：1、折疊的性質(zhì)：折疊是一種對(duì)稱(chēng)變換，它屬于軸對(duì)稱(chēng)，根據(jù)軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對(duì)