第二章邏輯代數(shù)2011-yan

第2章數(shù)字技術(shù)基礎(chǔ)2.1數(shù)制與編碼

2.2邏輯代數(shù)

2.3邏輯函數(shù)的簡化２.１數(shù)制與編碼1.數(shù)制計數(shù)進(jìn)位制的簡稱十進(jìn)制０－９二進(jìn)制八進(jìn)制十六進(jìn)制特點：數(shù)碼為0～9，基數(shù)是10；運算規(guī)律：逢十進(jìn)一，即：9＋1＝10。(1)十進(jìn)制５５５５５×１０３＝５０００５×１０２＝５００５×１０１＝５０５×１００＝５＝５５５５103、102、101、100稱為十進(jìn)制的權(quán)。各數(shù)位的權(quán)是10的冪。同樣數(shù)碼在不同的數(shù)位上代表的數(shù)值不同。＋任意一個十進(jìn)制數(shù)都可以表示為各個數(shù)位上的數(shù)碼與其對應(yīng)的權(quán)的乘積之和，稱權(quán)展開式。即：(5555)10＝5×103

＋5×102＋5×101＋5×100又如：(209.04)10＝2×102

＋0×101＋9×100＋0×10－1＋4×10－2十進(jìn)制數(shù)的權(quán)展開式：２.１數(shù)制與編碼1.數(shù)制基本概念:

進(jìn)位制：采用若干位數(shù)碼進(jìn)行計數(shù)，并規(guī)定進(jìn)位規(guī)則的科學(xué)計數(shù)法為進(jìn)位計數(shù)制，簡稱進(jìn)位制。

基數(shù)：進(jìn)位制中可能用到的數(shù)碼個數(shù)。

位權(quán)（位的權(quán)數(shù)）：在某一進(jìn)位制的數(shù)中，每一位的數(shù)值大小都對應(yīng)著該位上的數(shù)碼乘上一個固定的數(shù)，這個固定的數(shù)就是這一位的權(quán)數(shù)。權(quán)數(shù)是一個冪。３３３.１２３＝？？？？1)基數(shù)R，逢R進(jìn)一，2)有R個數(shù)字符號和小數(shù)點，數(shù)碼Ki從0~(R-1)3)不同數(shù)位上的數(shù)具有不同的權(quán)值Ri。4)任意一個R進(jìn)制數(shù)，都可按其權(quán)位展成多項式的形式

(N)R=(Kn-1

K1K0.K-1

K-m)R=Kn-1Rn-1++K1R1+K0R0+K-1R-1+K-mR-m(２)R進(jìn)制數(shù)(３)二進(jìn)制二進(jìn)制數(shù)的權(quán)展開式：如：(101.01)2＝1×22

＋0×21＋1×20＋0×2－1＋1×2－2

＝(5.25)10加法規(guī)則：0+0=0，0+1=1，1+0=1，1+1=10乘法規(guī)則：0·0=0，0·1=0，1·0=0，1·1=1運算規(guī)則各數(shù)位的權(quán)是２的冪二進(jìn)制數(shù)只有0和1兩個數(shù)碼，可以用數(shù)字電路來實現(xiàn)，且運算規(guī)則簡單。數(shù)碼為：0、1；基數(shù)是2。運算規(guī)律：逢二進(jìn)一，即：1＋1＝10。數(shù)碼為：0～7；基數(shù)是8。運算規(guī)律：逢八進(jìn)一，即：7＋1＝10。(４)八進(jìn)制八進(jìn)制數(shù)的權(quán)展開式：如：(75.3)8＝7×81

＋5×80＋3×8－1＝(61.375)10各數(shù)位的權(quán)是8的冪數(shù)碼為：0～9、A～F；基數(shù)是16。運算規(guī)律：逢十六進(jìn)一，即：F＋1＝10。(５)十六進(jìn)制十六進(jìn)制數(shù)的權(quán)展開式：如：(D8.A)16＝13×161

＋8×160＋10×16－1＝(216.625)10各數(shù)位的權(quán)是16的冪二進(jìn)制（101）2，101B八進(jìn)制（101）8，101O/Q十進(jìn)制（101）10，101D十六進(jìn)制（101）16，101H表示R進(jìn)制轉(zhuǎn)換為十進(jìn)制十進(jìn)制轉(zhuǎn)換為R進(jìn)制二、八、十六進(jìn)制之間的相互轉(zhuǎn)換

2.1.2數(shù)制轉(zhuǎn)換(1)R進(jìn)制數(shù)-->十進(jìn)制數(shù)將R進(jìn)制數(shù)按位權(quán)展開的方法表示，再按十進(jìn)制運算規(guī)則進(jìn)行相加按權(quán)展開相加例1.3（12AF.B4）16=(?)10(1)R進(jìn)制數(shù)-->十進(jìn)制數(shù)例1.1（11001）2＝(?)10解：（11001）2＝1×24＋1×23＋0×22＋0×21＋1×20

＝16＋8＋0＋0＋1＝(25)10

例1.2

（0.0101）2＝(?)10＝0＋0.25＋0＋0.0625＝(0.3125)10按權(quán)展開相加

余數(shù)

235

1

2171

280

240

220

1 (2)十進(jìn)制

R最后余數(shù)為最高位(35)D=(100011)B

=(43)O(35)D=(?)B

(35)D=(?)

O35余數(shù)

43（整數(shù)部分：除R取余）注意：小數(shù)轉(zhuǎn)換可能得不到完全相等的有限小數(shù)，取有效長度(2)十進(jìn)制

R（小數(shù)：乘R取整）

解：0.75

×)2.50b-1=1______小數(shù)最高位

×)2.00b-2=1

______小數(shù)最低位11例

試將(0.75)10轉(zhuǎn)換為二進(jìn)制數(shù)(0.75)10=(0.11)2(35.75)10=(？)2整數(shù)部分和小數(shù)部分相加=(100011.11)2

整數(shù)部分

小數(shù)部分

2|26

余數(shù)

0.45

2|130

最低位

×)2

2|61

.90

b-1=0

最高位

2|30

×)2

2|11

.80

b-2=1

01

最高位

×)2

.60

b-3=1

×)2

.20

b-4=1

×)2

.40

b-5=0

最低位

01110例試將(26.45)10轉(zhuǎn)換為二進(jìn)制數(shù)，取小數(shù)五位。解：這是一個既有整數(shù)又有小數(shù)的十進(jìn)制數(shù)，可將其兩部分分別轉(zhuǎn)換，然后相加。則：(26.45)10=(11010.01110)2

(1011110.11)B=001011110.110=(136.6)O(23.42)O=010011.100010=(10011.10001)B(3)二進(jìn)制、八進(jìn)制、十六進(jìn)制轉(zhuǎn)換每3位二進(jìn)制變1位八進(jìn)制(1011110.11)B=01011110.1100=(5E.C)H(23.42)H

=00100011.01000010 =(100011.0100001)B每4位二進(jìn)制變1位十六進(jìn)制二進(jìn)制->八進(jìn)制二進(jìn)制->十六進(jìn)制2.1.3幾種常用的編碼用約定的0,1數(shù)碼組合來表示特定含義信息的代碼稱為編碼。用4位二進(jìn)制表示1位十進(jìn)制數(shù)0000 0 0101 5 0001 1 0110 600102 0111 700113 1000 80100 4 1001 9 無效碼1010

1011

1100

11011110

1111１、二-十進(jìn)制碼（BCD碼）有權(quán)BCD碼，各位的權(quán)值不同8421BCD5421BCD

2421BCD(1001)8421BCD=(1001)5421BCD=(1001)2421BCD=十進(jìn)制數(shù)8421碼十進(jìn)制數(shù)2421碼(A)十進(jìn)制數(shù)2421碼(B)十進(jìn)制數(shù)5421碼十進(jìn)制數(shù)余3碼十進(jìn)制數(shù)格雷碼00000000001000010000不出現(xiàn)00000000010001100012000120001000110001200102001030010300100010200113001130011400114001100011300104010040100不出現(xiàn)狀態(tài)0100不出現(xiàn)0100101004011050101501010101010120101501116011060110011001103011060101701117011101110111401117010081000不出現(xiàn)狀態(tài)10001000510005100091001100110016100161001不出現(xiàn)狀態(tài)101010101010710107101010111011510118101181011110011006110091100911001101110171101不出現(xiàn)1101不出現(xiàn)110111108111081110111011101111911119111111111111權(quán)8421242124215421無權(quán)無權(quán)

表1.1常見的幾種BCD編碼例：

(132.8)D=(100110010.1000)8421BCD

有權(quán)碼

842154214221242184-2-1無權(quán)碼 余3碼格雷碼（循環(huán)碼），奇偶校驗碼等循環(huán)碼又稱格雷碼，特點：任意兩個相鄰碼之間只有一位不同優(yōu)點：減少了數(shù)字電路狀態(tài)變換時出錯的可能性。奇偶校驗碼在原有信息位的基礎(chǔ)上增加若干位校驗位，通過這些校驗位來檢出錯誤，進(jìn)而糾正錯誤。具有校驗位的信息碼稱為校驗碼。分奇校驗和偶校驗奇校驗：在信息位前或后加一位校驗位，使信息位和校驗位中1的個數(shù)為奇數(shù)；偶校驗：1的個數(shù)為偶數(shù)個奇偶校驗只能檢出奇數(shù)個倍數(shù)出錯的情況，不能檢出偶數(shù)個出錯不能糾錯，只能檢錯2.2邏輯代數(shù)

按一定的邏輯關(guān)系進(jìn)行運算的代數(shù)，1.只有與，或，非三種基本運算2.處理的變量是0,12.2邏輯代數(shù)基本邏輯及其運算真值表與邏輯函數(shù)三個規(guī)則常用公式邏輯函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)形式1.與邏輯（邏輯乘）（AND）只有決定事件結(jié)果的全部條件同時具備時，結(jié)果才發(fā)生。ABY

ABY斷開斷開不亮斷開閉合不亮閉合斷開不亮閉合閉合燈亮與運算功能表2.2.1、基本邏輯及其運算1表示開關(guān)閉合，燈亮0表示開關(guān)斷開，燈不亮

ABY

000010100111與運算真值表與運算符，也有用“∧”、“∩”、“&”表示與運算表達(dá)式

Y=A·B=AB與邏輯功能口訣：有“0”出“0”；全“1”出“1”。

與門邏輯符號&AYBYABAYB1.與運算（邏輯乘）（AND）0·0=0

0·1=01·0=01·1=1與運算規(guī)則：1.與運算（邏輯乘）（AND）A·0=0A·1=AA·A=A

2.或運算（邏輯加）（OR）

決定事件結(jié)果的諸條件中只要有任何一個滿足，結(jié)果就會發(fā)生。BYA

ABY斷開斷開不亮斷開閉合燈亮閉合斷開燈亮閉合閉合燈亮或運算功能表1表示開關(guān)閉合，燈亮0表示開關(guān)斷開，燈不亮或運算符，也可用“∨”、“∪”表示或邏輯功能口訣：有“1”出“1”；全“0”出“0”。

ABY

000011101111或運算真值表或運算表達(dá)式

Y=A+B或門邏輯符號≥1

ABYYAB+

ABY2.或運算（邏輯加）（OR）0+0=0

0+1=11+0=11+1=1或運算規(guī)則：A+0=AA+1=1A+A=A

2.或運算（邏輯加）（OR）3.非運算（邏輯反）（NOT）

只要條件具備了，結(jié)果就不會發(fā)生；而條件不具備時，結(jié)果一定發(fā)生。AY

AY

斷開燈亮閉合不亮非運算功能表1表示開關(guān)閉合，燈亮0表示開關(guān)斷開，燈不亮“－”非邏輯運算符

AY

0110

非運算真值表非運算表達(dá)式

Y=A非門邏輯符號1AYYAAY3.非運算（邏輯反）（NOT）

非運算規(guī)則：

3.非運算（邏輯反）（NOT）（1）與非運算（NAND）

ABY

001011101110與非邏輯真值表與非邏輯表達(dá)式與非邏輯功能口訣：有“0”出“1”；全“1”出“0”。

&AYBYAB與非門邏輯符號AYB2.2.2.復(fù)合邏輯運算或非邏輯功能口訣：有“1”出“0”；全“0”出“1”。

ABY

001010100110或非邏輯真值表（2）或非運算（NOR）或非邏輯表達(dá)式或非門邏輯符號≥1

ABYYAB+

ABY2.2.2.復(fù)合邏輯運算與或非門邏輯符號（3）與或非運算（AND-OR-NOT）ABCDYYDCAB≥1&與或非邏輯表達(dá)式ABCDY

001010100110與或非邏輯真值表YDCAB+2.2.2.復(fù)合邏輯運算異或邏輯功能口訣：同為“0”；異為“1”。

（4）異或運算（XOR）

ABY

000011101110異或邏輯真值表異或邏輯表達(dá)式異或門邏輯符號YAB=1AYBAYB⊕2.2.2.復(fù)合邏輯運算

異或運算規(guī)則：

2.2.2.復(fù)合邏輯運算同或邏輯功能口訣：同為“1”；異為“0”。

（5）同或運算（XNOR）

ABY

001010100111同或邏輯真值表同或邏輯表達(dá)式⊙異或與同或互為反運算：⊙⊙2.2.2.復(fù)合邏輯運算同或門邏輯符號AYBA⊙YB=1AYB0⊙0=10⊙1=01⊙0=01⊙1=1

同或運算規(guī)則：

2.2.2.復(fù)合邏輯運算

異或與同或的關(guān)系：2.2.2.復(fù)合邏輯運算1.邏輯函數(shù)2.2.3邏輯函數(shù)F=ABC+ACG=AB+AC把邏輯問題的輸入、輸出關(guān)系寫成與、或、非等邏輯運算的組合式。

所得的表達(dá)式F=f（A、B、C、...）稱為邏輯函數(shù)。輸入變量輸出變量取值：邏輯0、邏輯1。邏輯0和邏輯1不代表數(shù)值大小，僅表示相互矛盾、相互對立的兩種邏輯狀態(tài)邏輯函數(shù)真值表表示以表格方式將輸入、輸出的所有可能狀態(tài)一一對應(yīng)地列出。注:n個輸入變量可以有2n個狀態(tài)。ABCF000001001011100110111011斷“0”合“1”亮“1”滅“0”C開，F(xiàn)滅0000110邏輯函數(shù)式

挑出函數(shù)值為1的項1101111101111

每個函數(shù)值為1的輸入變量取值組合寫成一個乘積項

這些乘積項作邏輯加輸入變量取值為1用原變量表示;反之，則用反變量表示ABC、ABC、ABCF=ABC+ABC+ABC２.由真值表寫出邏輯函數(shù)表達(dá)式與-或式

挑出函數(shù)值為1的項

每個函數(shù)值為1的輸入變量取值組合寫成一個乘積項

這些乘積項作邏輯加輸入變量取值為1用原變量表示;反之，則用反變量表示ABC、ABC、ABCF=ABC+ABC+ABC或-與式

挑出函數(shù)值為0的項

每個函數(shù)值為0的輸入變量取值組合寫成一個和項

這些和項作邏輯乘輸入變量取值為1用反變量表示;反之，則用原變量表示或-與式

挑出函數(shù)值為0的項

每個函數(shù)值為0的輸入變量取值組合寫成一個和項

這些和項作邏輯乘輸入變量取值為1用反變量表示;反之，則用原變量表示A+B+C、A+B+C、A+B+C、A+B+C、A+B+CF=(A+B+C)(A+B+C))(A+B+C))(A+B+C)(A+B+C)ABCF00000100101110011011101100001101101111101111邏輯圖F=ABC+ABC+ABC乘積項用與門實現(xiàn)，和項用或門實現(xiàn)3、邏輯函數(shù)的相等(1)邏輯函數(shù)“相等”的概念定義:若F(A1,A2,…,An)為變量A1,A2,…,An的邏輯函數(shù),G(A1,A2,…,An)為變量A1,A2,…,An的另一邏輯函數(shù),如果對應(yīng)于A1,A2,…,An的任意一組狀態(tài)組合,F和G的值都相同，則稱F和G是相等的。記作：F=G。舉例：若F=A(B+C）G=AB+ACF與G是否相等？若F=A(B+C）G=AB+ACF與G是否相等？ABCF=A(B+C)G=AB+AC0000000100010000110010000101111101111111真值表F=G交換律結(jié)合律分配律AB=BAA+B=B+A(AB)C=A(BC)(A+B)+C=A+(B+C)A

(B+C)=AB+ACA+BC=(A+B)(A+C)2.2.4.邏輯代數(shù)的基本定律、公式和規(guī)則反演律AB=A+BA+B=ABA⊙B=A⊕BA⊕

B=A⊙B１.邏輯代數(shù)的基本定律重疊律AA=AA+A=AA

⊕

A=0A

⊙A=1

代入規(guī)則：任何一個含有某變量的等式，如果等式中所有出現(xiàn)此變量的位置均代之以一個邏輯函數(shù)式，則此等式依然成立例：A

B=A+BBC替代B得由此反演律能推廣到n個變量：利用反演律（１）代入規(guī)則２、三個基本規(guī)則(2).反演規(guī)則返回反演規(guī)則的內(nèi)容：將函數(shù)式F中所有的?++?

常數(shù)取反

（求反運算）互補運算2.不是一個變量上的反號不動。注意:用處：實現(xiàn)互補運算（求反運算）。新表達(dá)式：F'顯然：(變換時，原函數(shù)運算的先后順序不變)1.運算順序：先括號再乘法后加法。變量取反例1：

與或式注意括號注意括號

例2：

與或式反號不動反號不動

(3).對偶規(guī)則

對偶式：對于任意一個邏輯函數(shù)，做如下處理：得到新函數(shù)式為原函數(shù)式F的對偶式F′，也稱對偶函數(shù)

對偶規(guī)則：如果兩個函數(shù)式相等，則它們對應(yīng)的對偶式也相等。即若F1=F2

則F1′=F2′。?++?

常數(shù)取反新表達(dá)式：F'例：,求F'其對偶式注:1.函數(shù)式中有“

”和“⊙”運算符，求反函數(shù)及對偶函數(shù)時，要將運算符“

”換成“⊙”，“⊙”換成“

”。2.求對偶式時運算順序不變，且它只變換運算符和常量，其變量是不變的。

3.四個常用公式A+AB=AA+AB=A+BAB+AC+BC=AB+AC（1）（2）AB+AB=A（3）（4）長中含短，留下短。長中含反，去掉反。正負(fù)相對，余全完。常用公式0-1律重疊律互補律還原律反演律自等律A0=0A+1=1A1=AA+0=AAA=0A+A=1AA=AA+A=AAB=A+BA+B=ABA=A吸收律消因律包含律合并律AB+AB=A(A+B)(A+B)=AA+AB=AA(A+B)=AA+AB=A+BAB+AC+BC=AB+AC(A+B)(

A+C)(B+C)=(A+B)(A+C)長中含短，留下短。長中含反，去掉反。正負(fù)相對，余全完。證明方法（1）利用真值表例：用真值表證明反演律ABABA+BABA+B000110111110111010001000

AB=A+BA+B=AB等式右邊由此可以看出：與或表達(dá)式中，兩個乘積項分別包含同一因子的原變量和反變量，而兩項的剩余因子包含在第三個乘積項中，則第三項是多余的公式可推廣：例：證明包含律成立（2）利用基本定律常用公式舉例1.原變量的吸收：A+AB=A（吸收律）證明：A+AB=A(1+B)=A?1=A利用運算規(guī)則可以對邏輯式進(jìn)行化簡。例如：被吸收吸收是指吸收多余（冗余）項，多余（冗余）因子被取消、去掉

被消化了。長中含短，留下短。2.反變量的吸收：證明：例如：被吸收長中含反，去掉反。消因律3.混合變量的吸收：證明：例如：1吸收正負(fù)相對，余全完。包含律函數(shù)表達(dá)式的常用形式邏輯函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)形式2.2.5邏輯函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)形式

五種常用表達(dá)式F(A、B、C)“與―或”式“或―與”式“與非―與非”式“或非―或非”式“與―或―非”式基本形式

表達(dá)式形式轉(zhuǎn)換利用還原律利用反演律函數(shù)表達(dá)式的常用形式1.最小項及邏輯函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)與-或式1）最小項定義

在一個具有n變量的邏輯函數(shù)中，如果一個與項包含了所有n個的變量，而且每個變量都是以原變量或是反變量的形式作為一個因子僅出現(xiàn)一次，那么這樣的與項就稱為該邏輯函數(shù)的一個最小項。對于n個變量的全部最小項共有2n個。

例如，在三變量的邏輯函數(shù)F（A、B、C）中，它們組成的八個乘積項即、、、、、、、、都符合最小項的定義。因此，我們把這八個與項稱為三變量邏輯函數(shù)F（A、B、C）的最小項。除此之外，還有、等與項，都不滿足最小項的定義，所以，都不是三變量邏輯函數(shù)F（A、B、C）的最小項。

3變量最小項真值表

ABCABC0001000000000101000000010001000000110001000000000001000101000001001100000001011100000001最小項編號m0m1m2m3m4m5m6m72）最小項的性質(zhì)

（1）對于任意一個最小項，有且僅有一組變量取值使其值為1，而其余各種變量取值均使它的值為0。（2）不同最小項，使其值為1的變量取值也不相同。（3）對于變量的任意一組取值，任意兩個不同最小項的乘積均為0。（4）對于變量的任意一組取值，全體最小項的和恒為1。

為了表達(dá)方便，人們通常用mi表示最小項，其下標(biāo)i為最小項的編號。編號的方法是：最小項中的原變量取1，反變量取0，則最小項取值為一組二進(jìn)制數(shù)，其對應(yīng)的十進(jìn)制數(shù)便為該最小項的編號。如三變量最小項對應(yīng)的變量取值為100，它對應(yīng)的十進(jìn)制數(shù)為4，因此，最小項的編號為m4。其余最小項的編號以此類推。3）最小項編號注意:

在規(guī)定n變量最小項的編號時，對變量的排列順序是重要的。例如，把記作m4。其中隱含了A是最高位，而C是最低位這一排列順序。4）標(biāo)準(zhǔn)與-或式（最小項之和）=m6+m4+m3又記為：這是一個三變量邏輯函數(shù)，其變量按（A，B，C）排列，函數(shù)本身由3個最小項構(gòu)成。上述表達(dá)式即為邏輯函數(shù)的最小項之和的標(biāo)準(zhǔn)形式。

由最小項的邏輯或的形式所構(gòu)成的邏輯函數(shù)表達(dá)式稱之為邏輯函數(shù)的最小項之和的標(biāo)準(zhǔn)形式。如：2.最大項及邏輯函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)或-與式

在一個具有n變量的邏輯函數(shù)中，如果一個或項包含了所有n個的變量，而且每個變量都是以原變量或是反變量的形式作為一個因子僅出現(xiàn)一次，那么這樣的或項就稱為該邏輯函數(shù)的一個最大項。對于n個變量的全部最大項共有2n個。1）最大項定義例如，在三變量的邏輯函數(shù)F（A、B、C）中，它們組成的八個和項即都符合最大項的定義。因此，我們把這八個或項稱為三變量邏輯函數(shù)F（A、B、C）的最大項。除此之外，還有、最大項。等或項，都不滿足最大項的定義，都不是三變量邏輯函數(shù)F（A、B、C）的所以，

（1）對于任意一個最大項，有且僅有一組變量取值使其值為0，而其余各種變量取值均使它的值為1。

（2）不同最大項，使其值為0的變量取值也不相同。

（3）對于變量的任意一組取值，任意兩個不同最大項的和均為1。

（4）對于變量的任意一組取值，全體最大項的積恒為0。

2）最大項的性質(zhì)

因此，最大項的編號為M3其余最大項的編號以此類推3）最大項編號

最大項編號用Mi表示最大項，其下標(biāo)i為最大項的編號。編號的方法是：最大項中的原變量取0，反變量取1，則最大項取值為一組二進(jìn)制數(shù)，其對應(yīng)的十進(jìn)制數(shù)便為該最大項的編號。

如三變量最大項對應(yīng)的變量取值為011，它對應(yīng)的十進(jìn)制數(shù)為3，

由最大項的邏輯與的形式所構(gòu)成的邏輯函數(shù)表達(dá)式稱之為邏輯函數(shù)的最大項之積的標(biāo)準(zhǔn)形式。如：=M1M3M4又記為：是一個三變量邏輯函數(shù)，其變量按（A，B，C）排列，函數(shù)本身由3個最大項構(gòu)成。4）標(biāo)準(zhǔn)或-與式（最大項之積）3.將邏輯函數(shù)展開為

兩種標(biāo)準(zhǔn)形式的方法

利用公式與將函數(shù)展開為兩種標(biāo)準(zhǔn)形式例將函數(shù)展開為兩種標(biāo)準(zhǔn)形式。A.配項法

解：（1）求最小項之和的標(biāo)準(zhǔn)形式…………將函數(shù)式變換為一般“與—或”表達(dá)式

…

運用公式變換為最小項之和的形式

=m1+m3+m6+m7=（2）求最大項之積的標(biāo)準(zhǔn)形式

=………將函數(shù)式變換為一般“或—與”表達(dá)式…運用=M0·M2·M4·M5公式變換為最大項之積的形式分配律

例將函數(shù)展開為兩種標(biāo)準(zhǔn)形式。解作函數(shù)的真值表，如表(下頁）所示。B.利用真值表展開為兩種標(biāo)準(zhǔn)形式函數(shù)F的真值表ABCFABCF00011001001010100100110101111110=m0+m3+m4+m6由表可知：

用真值表求函數(shù)標(biāo)準(zhǔn)形式的方法：（1）利用真值表求最小項之和標(biāo)準(zhǔn)形式的方法：觀察真值表，找出函數(shù)F為1的各項，作函數(shù)對應(yīng)這些項的最小項，對于輸入變量為1，則取輸入變量本身，若輸入變量為0，則取其反變量，再取這些最小項之和，即為所求函數(shù)的最小項之和標(biāo)準(zhǔn)形式。（2）利用真值表求最大項之積標(biāo)準(zhǔn)形式的方法：觀察真值表，找出函數(shù)F為0的各項，作函數(shù)對應(yīng)這些項的最大項，對于輸入變量為0，則取輸入變量本身，若輸入變量為1，則取其反變量，再取這些最大項之積，即為所求函數(shù)的最大項之積標(biāo)準(zhǔn)形式。最小項和最大項的關(guān)系因為，

即：n變量的同一編號的最小項與最大項之間是互補的。又因為：(由真值表中0項可得)=m1+m2+m5+m7所以=M1·M2·M5·M7很明顯，每個最大項對應(yīng)真值表為0的某項。

邏輯電路所用門的數(shù)量少

每個門的輸入端個數(shù)少

邏輯電路構(gòu)成級數(shù)少

邏輯電路保證能可靠地工作降低成本提高電路的工作速度和可靠性2.3邏輯函數(shù)的化簡函數(shù)的簡化的目的代數(shù)化簡法（公式法）圖解法

列表法

邏輯函數(shù)的化簡的方法邏輯函數(shù)的代數(shù)簡化法舉例1．消項法根據(jù)A+AB=A去掉多余的“與“項例1

化簡邏輯函數(shù)

F=解：F=2．消元法根據(jù)消去多余的變量例2

化簡邏輯函數(shù)F=解：F=例3

化簡邏輯函數(shù)F=解：F=4．配項法根據(jù)A=A（）或?qū)σ阎瘮?shù)加項，使之便于簡化。去掉多余的互補變量3．并項法根據(jù)BBAAB=+

例4

化簡邏輯函數(shù)F=解F===例5：反變量吸收提出AB=1提出A5．綜合幾種方法

例6：反演配項被吸收被吸收

用代數(shù)的方法化簡應(yīng)使得邏輯函數(shù)式包含的項數(shù)以及變量數(shù)最少為原則；對于化簡的結(jié)果，尤其較為復(fù)雜的結(jié)果，通常難于判斷是否最簡，因此我們還常常使用卡諾圖的方法來化簡邏輯函數(shù)。二、卡諾圖化簡法

卡諾圖

卡諾圖是把最小項按照一定規(guī)則排列而構(gòu)成的方框圖?？ㄖZ圖構(gòu)成原則如下：①N變量的卡諾圖有2N個小方塊（最小項）；

②最小項排列規(guī)則：幾何相鄰的必須邏輯相鄰。

邏輯相鄰：兩個最小項,只有一個變量的形式不同,其余的都相同。邏輯相鄰的最小項可以合并。

幾何相鄰的含義：在卡諾圖中的物理位置相鄰。最小項:輸入變量的每一種組合。1.卡諾圖的畫法：（二輸入變量）ABY001011101110AB01010111輸出變量Y的值輸入變量三變量卡諾圖的畫法

1.卡諾圖的畫法

三變量（A、B、C）函數(shù)卡諾圖的畫法。①3變量的卡諾圖有23個小方塊；②將變量分為兩組（A/BC或AB/C），兩變量的取值按00、01、11、10的順序（循環(huán)碼）排列。③將變量取值對應(yīng)的最小項填入對應(yīng)的小方格。相鄰相鄰四變量卡諾圖的畫法相鄰相鄰不相鄰對角線上不相鄰。①4變量的卡諾圖有24個小方塊；②將變量分為兩組（AB/CD），兩變量的取值按00、01、11、10的順序（循環(huán)碼）排列。③將變量取值對應(yīng)的最小項填入對應(yīng)的小方格。

（1）從真值表畫卡諾圖根據(jù)變量個數(shù)畫出卡諾圖，再按真值表填寫每一個小方塊的值（0或1）即可。需注意二者順序不同。例已知Y的真值表，要求畫Y的卡諾圖。

邏輯函數(shù)Y的真值表2.

用卡諾圖表示邏輯函數(shù)

ABCY00000011010101101001101011001111Y的卡諾圖

（2）從最小項表達(dá)式畫卡諾圖

把表達(dá)式中所有的最小項在對應(yīng)的小方塊中填入1，其余的小方塊中填入0。例畫出函數(shù)Y(A、B、C、D)=∑m(0,3,5,7,9,12,15)的卡諾圖?？ㄖZ圖

（3）從與－或表達(dá)式畫卡諾圖把每一個乘積項所包含的那些最小項（該乘積項就是這些最小項的的公因子）所對應(yīng)的小方塊都填上1，剩下的填0，就可以得到邏輯函數(shù)的卡諾圖。1111AB＝11例已知Y＝AB＋ACD＋ABCD，畫卡諾圖。最后將剩下的填01+1ACD=1011ABCD=0111

（4）從一般形式表達(dá)式畫卡諾圖

先將表達(dá)式變換為與或表達(dá)式，則可畫出卡諾圖。

（1）卡諾圖中最小項合并的規(guī)律合并相鄰最小項，可消去變量。合并兩個最小項，可消去一個變量；合并四個最小項，可消去兩個變量；合并八個最小項，可消去三個變量。合并2N個最小項，可消去N個變量。3.卡諾圖化簡法

由于卡諾圖兩個相鄰最小項中，只有一個變量取值不同，而其余的取值都相同。所以，合并相鄰最小項，利用公式A+A=1，AB＋AB＝A，可以消去一個或多個變量，從而使邏輯函數(shù)得到簡化。兩個最小項合并

m3m11BCD四個最小項合并

八個最小項合并

（2）利用卡諾圖化簡邏輯函數(shù)

A．基本步驟：

①畫出邏輯函數(shù)的卡諾圖；②合并相鄰最小項（圈組）；③從圈組寫出最簡與或表達(dá)式。

關(guān)鍵是能否正確圈組。

B．正確圈組的原則①必須按2、4、8、2N的規(guī)律來圈取值為1的相鄰最小項；②每個取值為1的最小項至少必須圈一次，但可以圈多次；③圈的個數(shù)要最少（與項就少），并要盡可能大（消去的變量就越多）。

C．從圈組寫最簡與或表達(dá)式的方法：

①將每個圈用一個與項表示

圈內(nèi)各最小項中互補的因子消去，相同的因子保留，相同取值為1用原變量，相同取值為0用反變量；

②將各與項相或，便得到最簡與或表達(dá)式。例用卡諾圖化簡邏輯函數(shù)

Y(A、B、C、D)=∑m(0,1,2,3,4,5,6,7,8,10,11)

解：相鄰A相鄰BDABCABD例化簡圖示邏輯函數(shù)。解：多余的圈11223344圈組技巧(防止多圈組的方法)：

①先圈孤立的1；

②再圈只有一種圈法的1；③最后圈大圈；④檢查：每個圈中至少有一個1未被其它圈圈過。例用圖解法化簡邏輯函數(shù)

F（A,B,C,D）=∑m（0,2,5,6,7,9,14,15）例用圖解法化簡邏輯函數(shù)

F（A,B,C,D）=∑m（0,2,5,6,7,8,9,11,14,15）5.具有無關(guān)項的邏輯函數(shù)及其化簡

①無關(guān)項的概念

對應(yīng)于輸入變量的某些取值下，輸出函數(shù)的值可以是任意的(隨意項、任意項)，或者這些輸入變量的取值根本不會（也不允許）出現(xiàn)(約束項)，通常把這些輸入變量取值所對應(yīng)的最小項稱為無關(guān)項或任意項，在卡諾圖中用符號“×”表示，在標(biāo)準(zhǔn)與或表達(dá)式中用∑d（）表示。例：當(dāng)8421BCD碼作為輸入變量時，禁止碼1010～1111這六種狀態(tài)所對應(yīng)的最小項就是無關(guān)項。

②具有無關(guān)項的邏輯函數(shù)及其化簡

因為無關(guān)項的值可以根據(jù)需要取0或取1，所以在用卡諾圖化簡邏輯函數(shù)時，充分利用無關(guān)項，可以使邏輯函數(shù)進(jìn)一步得到簡化。

例設(shè)ABCD是十進(jìn)制數(shù)X的二進(jìn)制編碼，當(dāng)X≥5時輸出Y為1，求Y的最簡與或表達(dá)式。XABCDY00

000010

001020

010030

011040

100050

101160

110170

111181

000191

0011/1010×/1011×/1100×/1101×/1110×/1111×解：列真值表。畫卡諾圖并化簡。

充分利用無關(guān)項化簡后得到的結(jié)果要簡單得多。注意：當(dāng)圈組后，圈內(nèi)的無關(guān)項已自動取值為1，而圈外無關(guān)項自動取值為0。利用無關(guān)項化簡結(jié)果為：Y＝A＋BD＋BC

例化簡邏輯函數(shù)Y(A、B、C、D)=∑m(1,2,5,6,9)+∑d(10,11,12,13,14,15)式中d表示無關(guān)項。解：畫函數(shù)的卡諾圖并化簡。結(jié)果為：Y＝CD＋CD

2.4邏輯門電路邏輯門電路的基本原理邏輯門電路應(yīng)用的基本概念特殊邏輯門電路的邏輯符號和應(yīng)用1.邏輯門電路的基本原理TTL型

以雙極性型晶體管為主要器件晶體管工作于開關(guān)狀態(tài)，使輸出為高電平或低電平二極管：導(dǎo)通、截止三極管：截止、飽和，放大態(tài)只是短暫的過渡狀態(tài)CMOS型以MOS管為主要器件（PMOS和NMOS互補）

MOS管有導(dǎo)通、截止兩種狀態(tài)，在電路中作為開關(guān)元件，使輸出為高電平或低電平。二極管的開關(guān)特性

正向?qū)〞rUD(ON)≈0.7V（硅）

0.3V（鍺）RD≈幾Ω～幾十Ω相當(dāng)于開關(guān)閉合

二極管的伏安特性曲線反向截止時反向飽和電流極小反向電阻很大（約幾百kΩ）相當(dāng)于開關(guān)斷開

二極管的伏安特性曲線二極管與門2.工作原理DaDbUYUaUb0003v3v03v3v3.真值表（狀態(tài)表）4.輸出函數(shù)式Y(jié)=A?B5.邏輯符號&YAB0O011011Y0001導(dǎo)通導(dǎo)通導(dǎo)通導(dǎo)通導(dǎo)通導(dǎo)通截止截止0.7V0.7V0.7V3.7vAB1.電路組成（以二輸入為例）+VCCRABYDaDb設(shè)：VCC=5V，UIH=3v,UIL=0v二極管正向壓降0.7V。1.電路組成(以二輸入為例)

2.工作原理UaUb0003v3v03v3v3.真值表AB00011011Y01114.輸出函數(shù)式Y(jié)=A+B5.邏輯符號截止截止截止截止導(dǎo)通導(dǎo)通導(dǎo)通導(dǎo)通DaDbUY2.3v2.3v2.3vYAB≥10二極管或門截止?fàn)顟B(tài)開關(guān)等效電路(1)截止?fàn)顟B(tài)VB<VE,VB<VCiB≈0,iC≈0,VO≈

VCC(2)放大狀態(tài)VB>VE,VB<VCiC=?iBVI↑VO↓三極管的開關(guān)特性

(3)飽和狀態(tài)VB>VE,VB>VC,iB>iBS特點：UBES=0.7V，UCES=0.3V/硅-VEEVcc3.

真值表A01Y104.輸出函數(shù)式

Y=A

5.邏輯符號1AY2.工作原理注：為了保證在輸入低電平時三極管可靠截止，常將電路接成上圖形式。由于接入了負(fù)電源VEE，即使輸入低電平信號稍大于零，也能使三極管的基極為負(fù)電位，使三極管可靠截止，輸出為高電平。1.電路原理圖Ua03vT截止飽和UY0三極管非門（1）門電路的“封鎖”和“打開”問題&ABCY當(dāng)C=1時，Y=AB.1=AB與門打開，與功能成立。當(dāng)C=0時，Y=AB.0=0與門封鎖，與門不能工作?！軦BCY當(dāng)C=1時，Y=A+B+1=1或門封