高中人教A版數(shù)學(xué)課時(shí)素養(yǎng)檢測(cè)6-4-3-2正弦定理

課時(shí)素養(yǎng)檢測(cè)十二正弦定理(30分鐘60分)一、選擇題(每小題4分,共24分,多選題全部選對(duì)得4分,選對(duì)但不全對(duì)的得2分,有選錯(cuò)的得0分)1.(2020·珠海高一檢測(cè))銳角△ABC中,下列不等關(guān)系總成立的是()A.sinA<cosB B.sinB<cosAC.sinA>sinB D.sinB>cosA【解析】選D.因?yàn)殇J角△ABC中,0<C<QUOTE<A+B<π,所以QUOTE>A>QUOTEB>0,因?yàn)閟inA>sinQUOTE=cosB,故選A選項(xiàng)不正確;因?yàn)閟inA與sinB大小不定,所以C選項(xiàng)不正確;所以cosA<cosQUOTE=sinB,所以B不正確,D選項(xiàng)正確.2.在△ABC中,角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,已知c=1,b=QUOTE,∠B=60°,則∠C=()A.30° B.45°C.150° D.30°或150°【解題指南】利用正弦定理解三角形,根據(jù)大邊對(duì)大角,即可得解.【解析】選A.在△ABC中,角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,已知c=1,b=QUOTE,∠B=60°,則由正弦定理可得QUOTE=QUOTE,所以sinC=QUOTE=QUOTE,因?yàn)閏<b,所以C=30°.3.在△ABC中,若a=18,b=24,A=45°,則得此三角形()A.無(wú)解 B.有兩解C.有一解 D.解的個(gè)數(shù)不確定【解析】選B.如圖,因?yàn)閎sinA<a<b,所以B有兩解.4.在△ABC中,已知(b+c)∶(c+a)∶(a+b)=4∶5∶6,則sinA∶sinB∶sinC等于()A.6∶5∶4 B.7∶5∶3C.3∶5∶7 D.4∶5∶6【解題指南】sinA∶sinB∶sinC=a∶b∶c.【解析】選B.因?yàn)?b+c)∶(c+a)∶(a+b)=4∶5∶6,所以QUOTE=QUOTE=QUOTE.令QUOTE=QUOTE=QUOTE=k(k>0),則QUOTE解得QUOTE所以sinA∶sinB∶sinC=a∶b∶c=7∶5∶3.【補(bǔ)償訓(xùn)練】在△ABC中,若A∶B∶C=1∶2∶3,則a∶b∶c等于()A.1∶2∶3 B.3∶2∶1C.1∶QUOTE∶2 D.2∶QUOTE∶1【解析】選C.因?yàn)锳∶B∶C=1∶2∶3,A+B+C=π,所以A=QUOTE,B=QUOTE,C=QUOTE,由正弦定理,得a∶b∶c=sinA∶sinB∶sinC=1∶QUOTE∶2.5.在△ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,若acosB+bcosA=4sinC,則△ABC的外接圓面積為()A.16π B.8πC.4π D.2π【解題指南】設(shè)△ABC的外接圓半徑為R,由acosB+bcosA=4sinC,利用余弦定理化簡(jiǎn)可得c=4sinC,利用正弦定理可求2R=QUOTE=4,解得R=2,從而可得結(jié)果.【解析】選C.設(shè)△ABC的外接圓半徑為R,因?yàn)閍cosB+bcosA=4sinC,所以由余弦定理可得a×QUOTE+b×QUOTE=QUOTE=c=4sinC,所以2R=QUOTE=4,解得R=2,所以△ABC的外接圓面積為S=πR2=4π.【補(bǔ)償訓(xùn)練】在△ABC中,若sinA=QUOTE,a=10,則邊長(zhǎng)c的取值范圍是()A.(0,10)B.(10,+∞)C.QUOTE D.QUOTE【解析】選D.由正弦定理,得QUOTE=QUOTE,得c=QUOTE=QUOTEsinC,又sinC∈(0,1],所以c∈(0,QUOTE].6.(多選題)在△ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,若滿足sinBQUOTE=2sinAcosC+cosAsinC,則下列結(jié)論可能正確的是()A.a=2b B.b=2cC.B=QUOTE D.C=QUOTE【解析】選AD.由題意,得sinB+2sinBcosC=2sinAcosC+cosAsinC,所以sinB+2sinBcosC=sinAcosC+sin(A+C),cosC(2sinBsinA)=0,所以cosC=0或2sinB=sinA,得C=QUOTE或2b=a.二、填空題(每小題4分,共8分)7.在△ABC中,內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,已知A=105°,C=45°,c=QUOTE,則b=________.

【解析】因?yàn)樵凇鰽BC中,A=105°,C=45°,所以B=180°AB=180°105°45°=30°.再由正弦定理QUOTE=QUOTE,即QUOTE=QUOTE,解得b=1.答案:18.在△ABC中,若AB=QUOTE,AC=1,B=30°,則△ABC的面積為_(kāi)_______.

【解析】如圖所示,由正弦定理,得sinC=QUOTE=QUOTE.而c>b,所以C=60°或C=120°.所以A=90°或A=30°.所以S△ABC=QUOTEbcsinA=QUOTE或QUOTE.答案:QUOTE或QUOTE三、解答題(每小題14分,共28分)9.已知△ABC中,a=QUOTE,b=QUOTE,B=45°,求A,C和邊c.【解析】由正弦定理QUOTE=QUOTE,得sinA=QUOTE.因?yàn)閍>b,所以A=60°或A=120°.當(dāng)A=60°時(shí),C=180°45°60°=75°,c=QUOTE=QUOTE,當(dāng)A=120°時(shí),C=180°45°120°=15°,c=QUOTE=QUOTE.10.設(shè)△ABC的內(nèi)角A,B,C所對(duì)邊的長(zhǎng)分別是a,b,c,且b=3,c=1,A=2B.(1)求a的值;(2)求sinQUOTE的值.【解析】(1)因?yàn)锳=2B,所以sinA=sin2B=2sinBcosB.由正弦定理、余弦定理得a=2b·QUOTE.因?yàn)閎=3,c=1,所以a2=12,a=2QUOTE.(2)由余弦定理得cosA=QUOTE=QUOTE=QUOTE.由于0<A<π,所以sinA=QUOTE=QUOTE=QUOTE.故sinQUOTE=sinAcosQUOTE+cosAsinQUOTE=QUOTE×QUOTE+QUOTE×QUOTE=QUOTE.(35分鐘70分)一、選擇題(每小題4分,共16分,多選題全部選對(duì)得4分,選對(duì)但不全對(duì)的得2分,有選錯(cuò)的得0分)1.已知在△ABC中,a=1,b=QUOTE,B=45°,則A等于()A.150° B.90° C.60° D.30°【解析】選D.由正弦定理,得QUOTE=QUOTE,得sinA=QUOTE.又a<b,所以A<B=45°,所以A=30°.2.在△ABC中,若∠A>∠B,則下列結(jié)論一定正確的是()A.sinA>sinB B.sinA<sinBC.sinA>cosB D.cosA>cosB【解題指南】先由三角形大角對(duì)大邊,再由正弦定理變形公式判斷.【解析】選A.設(shè)∠A,∠B對(duì)應(yīng)的邊分別為a,b,因?yàn)椤螦>∠B,所以a>b,由正弦定理得,2RsinA>2RsinB,即sinA>sinB.【補(bǔ)償訓(xùn)練】在△ABC中,若sinA>sinB,則A與B的大小關(guān)系為()A.A>BB.A<BC.A≥B D.A,B的大小不能確定【解題指南】先由正弦定理說(shuō)明a>b,然后再根據(jù)△ABC中大角對(duì)大邊的原理去判斷.【解析】選A.由正弦定理知a=2RsinA,b=2RsinB.因?yàn)閟inA>sinB.所以a>b,所以A>B.3.(多選題)在△ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知cos2A+cos2B=2cos2C,則下列結(jié)論正確的是()A.C≤60° B.C>60°C.a2+b2=c2 D.a2+b2=2c2【解題指南】利用二倍角公式化簡(jiǎn)條件等式,利用正弦定理建立三角形的邊長(zhǎng)的關(guān)系式,利用余弦定理的變形公式確定角的取值范圍.【解析】選AD.由cos2A+cos2B=2cos2C,得12sin2A+12sin2B=2(12sin2即sin2A+sin2B=2sin2由正弦定理可得a2+b2=2c2.由余弦定理可得c2+2abcosC=2c2,所以cosC=QUOTE=QUOTE≥QUOTE=QUOTE,所以cosC的最小值為QUOTE,由于函數(shù)y=cosx,x∈(0,π)為減函數(shù),所以0<C≤QUOTE,即C≤60°.4.在△ABC中,三個(gè)內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c.已知2acosB=c,且滿足sinAsinB(2cosC)=sin2QUOTE+QUOTE,則△ABC為()A.銳角非等邊三角形B.等邊三角形C.等腰直角三角形D.鈍角三角形【解析】選C.根據(jù)等式2acosB=c,利用正弦定理化簡(jiǎn)得2sinAcosB=sinC,因?yàn)閟inC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB,所以2sinAcosB=sinAcosB+cosAsinB,即sinAcosBcosAsinB=sin(AB)=0,因?yàn)锳與B都為△ABC的內(nèi)角,所以AB=0,即A=B.方法一:由sinAsinB(2cosC)=sin2QUOTE+QUOTE變形得sin2A[2cos(π-2A)]=QUOTE(1cosC)+QUOTE=1QUOTEcosC=1QUOTEcos(π-2A),即sin2A(2+cos2A)=1+QUOTEcos2A,sin2A(1+2cos2A)=QUOTE+cos2A,(1cos2A)(1+2cos2A)=QUOTE+cos2A,得cos4A=QUOTE,cos2A=QUOTE,得cosA=±QUOTE,由于0°<A<90°,所以A=B=45°,C=90°,則△ABC為等腰直角三角形.方法二:由sinAsinB(2cosC)=sin2QUOTE+QUOTE變形得sinAsinB(2cosC)=QUOTE(1cosC)+QUOTE=1QUOTEcosC,QUOTE[cos(A+B)cos(AB)](2cosC)=1QUOTEcosC,所以QUOTE(cosC1)(2cosC)=1QUOTEcosC,即(cosC+1)(2cosC)=2cosC,因?yàn)?cosC≠0,所以cosC+1=1.所以cosC=0,所以C=90°,則△ABC為等腰直角三角形.二、填空題(每小題4分,共16分)5.在△ABC中,角A,B,C所對(duì)的邊分別是a,b,c,且a=QUOTEbsinA,則sinB=________.

【解析】由正弦定理得a=2RsinA,b=2RsinB,所以sinA=QUOTEsinB·sinA,故sinB=QUOTE.答案:QUOTE6.在△ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知bcosC+ccosB=2b,則QUOTE=________.

【解析】方法一:由正弦定理bcosC+ccosB=2b,即sinBcosC+sinCcosB=2sinB,即sin(B+C)=2sinB,sin(πA)=2sinB,有sinA=2sinB,再由正弦定理得a=2b,QUOTE=2.方法二:如圖,作AD⊥BC于點(diǎn)D,則a=BC=BD+DC=ccosB+bcosC=2b,即QUOTE=2.答案:27.在△ABC中,角A,B,C的對(duì)邊a,b,c滿足2b=a+c,且AC=90°,則cosB=________.

【解析】因?yàn)?b=a+c.所以由正弦定理,得2sinB=sinA+sinC.因?yàn)锳C=90°,所以2sinB=sin(90°+C)+sinC,所以2sinB=cosC+sinC.所以2sinB=QUOTEsin(C+45°).①因?yàn)锳+B+C=180°且AC=90°,所以C=45°QUOTE,代入①式中,2sinB=QUOTEsinQUOTE.所以2sinB=QUOTEcosQUOTE.所以4sinQUOTEcosQUOTE=QUOTEcosQUOTE.所以sinQUOTE=QUOTE.所以cosB=12sin2QUOTE=1QUOTE=QUOTE.答案:QUOTE8.在銳角△ABC中,BC=1,B=2A,則QUOTE的值等于________,AC的取值范圍為_(kāi)_______.

【解題指南】由正弦定理和二倍角公式求比值,利用余弦函數(shù)的值域求取值范圍.【解析】設(shè)A=θ,則B=2θ.由正弦定理得QUOTE=QUOTE,即QUOTE=QUOTE,所以QUOTE=1?QUOTE=2.由銳角△ABC得0°<θ<45°,又0°<180°3θ<90°?30°<θ<60°,故30°<θ<45°?QUOTE<cosθ<QUOTE,所以AC=2cosθ∈(QUOTE,QUOTE).答案:2(QUOTE,QUOTE)三、解答題(共38分)9.(12分)已知在△ABC中,D為BC的中點(diǎn),cos∠BAD=QUOTE,cos∠CAD=QUOTE,(1)求∠BAC的值;(2)求QUOTE的值.【解析】(1)因?yàn)閏os∠BAD=QUOTE,cos∠CAD=QUOTE,所以在△ABC中,∠BAD,∠CAD為銳角,所以sin∠BAD=QUOTE,sin∠CAD=QUOTE,cos∠BAC=cos(∠BAD+∠CAD)=QUOTE×QUOTEQUOTE×QUOTE=QUOTE,因?yàn)?<∠BAC<π,所以∠BAC=QUOTE.(2)在△ABC中,QUOTE=QUOTE,在△ABD中,QUOTE=QUOTE,QUOTE=QUOTE,又因?yàn)锽C=2BD,所以QUOTE=QUOTE.10.(12分)在△ABC中,a,b,c分別是角A,B,C的對(duì)邊,且b=6,a=2QUOTE,A=30°,試求ac的值.【解析】由正弦定理QUOTE=QUOTE得sinB=QUOTE=QUOTE.由條件b=6,a=2QUOTE,b>a知B>A.所以B=60°或120°.(1)當(dāng)B=60°時(shí),C=180°AB=180°30°60°=90°.在Rt△ABC中,C=90°,a=2QUOTE,b=6,c=4QUOTE,所以ac=2QUOTE×4QUOTE=24.(2)當(dāng)B=120°時(shí),C=180°AB=180°30°120°=30°,所以A=C,則有a=c=2QUOTE.所以ac=2QUOTE×2QUOTE=12.11.(14分)已知△ABC的內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,△ABC的面積為acsin2B.(1)求si