用樣本估計總體學案-高三數(shù)學一輪復習

用樣本估計總體學習目標：1.能從樣本數(shù)據(jù)中提取基本的數(shù)字特征(如平均數(shù)、標準差)，并作出合理的解釋；2.會用樣本的頻率分布估計總體的頻率分布，會用樣本的基本數(shù)字特征估計總體的基本數(shù)字特征，理解用樣本估計總體的思想；要點梳理：1.頻率分布直方圖(1)頻率分布表的畫法：第一步：求極差，決定組數(shù)和組距，組距＝eq\f(極差,組數(shù))；第二步：分組，通常對組內(nèi)數(shù)值所在區(qū)間取左閉右開區(qū)間，最后一組取閉區(qū)間；第三步：登記頻數(shù)，計算頻率，列出頻率分布表.(2)頻率分布直方圖：反映樣本頻率分布的直方圖(如圖)橫軸表示樣本數(shù)據(jù)，縱軸表示eq\f(頻率,組距)，每個小矩形的面積表示樣本落在該組內(nèi)的頻率.2.頻率分布折線圖和總體密度曲線(1)頻率分布折線圖：連接頻率分布直方圖中各小長方形上端的中點，就得到頻率分布折線圖.(2)總體密度曲線：隨著樣本容量的增加，作圖時所分的組數(shù)增加，組距減小，相應(yīng)的頻率分布折線圖就會越來越接近于一條光滑曲線，統(tǒng)計中稱這條光滑曲線為總體密度曲線.4.樣本的數(shù)字特征(1)眾數(shù)：一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的那個數(shù)據(jù)，叫做這組數(shù)據(jù)的眾數(shù).(2)中位數(shù)：把n個數(shù)據(jù)按大小順序排列，處于最中間位置的一個數(shù)據(jù)(或最中間兩個數(shù)據(jù)的平均數(shù))叫做這組數(shù)據(jù)的中位數(shù).(3)平均數(shù)：把eq\f(a1＋a2＋…＋an,n)稱為a1，a2，…，an這n個數(shù)的平均數(shù).(4)極差：一組數(shù)據(jù)中最大值與最小值的差值(5)標準差與方差：設(shè)一組數(shù)據(jù)x1，x2，x3，…，xn的平均數(shù)為，則這組數(shù)據(jù)的標準差和方差分別是[常用結(jié)論與微點提醒]1.頻率分布直方圖與眾數(shù)、中位數(shù)與平均數(shù)的關(guān)系(1)最高的小長方形底邊中點的橫坐標即是眾數(shù).(2)中位數(shù)左邊和右邊的小長方形的面積和是相等的.(3)平均數(shù)是頻率分布直方圖的“重心”，等于頻率分布直方圖中每個小長方形的面積乘以小長方形底邊中點的橫坐標之和.2.平均數(shù)、方差的公式推廣(1)若數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn的平均數(shù)為，那么mx1＋a，mx2＋a，mx3＋a，…，mxn＋a的平均數(shù)是.(2)數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn的方差為s2.①數(shù)據(jù)x1＋a，x2＋a，…，xn＋a的方差也為s2；②數(shù)據(jù)ax1，ax2，…，axn的方差為a2s2.5.總體百分位數(shù)的估計（1）概念：一般地，一組數(shù)據(jù)的第p百分位數(shù)是這樣一個值，它使得這組數(shù)據(jù)中至少有%的數(shù)據(jù)小于或等于這個值,且至少有的數(shù)據(jù)大于或等于這個值.（2）求解步驟可以通過下面的步驟計算一組n個數(shù)據(jù)的第百分位數(shù):第1步,按從小到大排列原始數(shù)據(jù)第2步,計算.第3步,若不是整數(shù),而大于的比鄰整數(shù)為,則第百分位數(shù)為第項數(shù)據(jù);若是整數(shù),則第百分位數(shù)為第項與第項數(shù)據(jù)的平均數(shù)（3）知識剖析：幾個重要的百分位數(shù)1)我們在初中學過的中位數(shù),相當于是第50百分位數(shù).2)在實際應(yīng)用中,除了中位數(shù)外,常用的分位數(shù)還有第25百分位數(shù).第75百分位數(shù).以上三個分位數(shù)把一組由小到大排列后的數(shù)據(jù)分成四等份,因此稱為四分位數(shù).其中第25百分位數(shù)也稱為第一四分位數(shù)或下四分位數(shù)等，第75百分位數(shù)也稱為第三四分位數(shù)或上四分位數(shù)等.題型一求總體或樣本容量1.某機構(gòu)對青年觀眾是否喜歡跨年晚會進行了調(diào)查，人數(shù)如表所示：現(xiàn)要在所有參與調(diào)查的人中用分層抽樣的方法抽取n人做進一步的調(diào)研，若在“不喜歡”的男性青年觀眾中抽取了6人，則n＝()A.12 B.16 C.24 D.32題型二統(tǒng)計圖表及應(yīng)用多維探究角度1扇形圖2.某高中2022年的高考考生人數(shù)是2021年高考考生人數(shù)的倍.為了更好地對比該?？忌纳龑W情況，統(tǒng)計了該校2021年和2022年高考分數(shù)達線情況，得到如圖所示扇形統(tǒng)計圖：下列結(jié)論正確的是（

）A．該校2022年與2021年的本科達線人數(shù)比為6：5B．該校2022年與2021年的?？七_線人數(shù)比為6：7C．2022年該校本科達線人數(shù)增加了80%D．2022年該校不上線的人數(shù)有所減少角度2折線圖3.(多選題)(2020·聊城調(diào)研)某城市為了解游客人數(shù)的變化規(guī)律，提高旅游服務(wù)質(zhì)量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期間月接待游客量(單位：萬人)的數(shù)據(jù)，繪制了下面的折線圖.根據(jù)該折線圖，下列結(jié)論正確的是()A.月接待游客量逐月增加B.年接待游客量逐年增加C.各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月D.各年1月至6月的月接待游客量相對于7月至12月，波動性更小，變化比較平穩(wěn)角度3頻率分布直方圖4.某大學藝術(shù)專業(yè)400名學生參加某次測評，根據(jù)男女學生人數(shù)比例，使用分層抽樣的方法從中隨機抽取了100名學生，記錄他們的分數(shù)，將數(shù)據(jù)分成7組：[20，30)，[30，40)，…，[80，90].并整理得到如下頻率分布直方圖：(1)從總體的400名學生中隨機抽取一人，估計其分數(shù)小于70的概率；(2)已知樣本中分數(shù)小于40的學生有5人，試估計總體中分數(shù)在區(qū)間[40，50)內(nèi)的人數(shù)；(3)已知樣本中有一半男生的分數(shù)不小于70，且樣本中分數(shù)不小于70的男女生人數(shù)相等.試估計總體中男生和女生人數(shù)的比例.題型三樣本的數(shù)字特征5.已知一組數(shù)據(jù)：1，2，3，5，m，則下列說法錯誤的是（

）A．若平均數(shù)為4，則B．中位數(shù)可以是5C．眾數(shù)可以是1D．總體方差最小時，6.某組樣本數(shù)據(jù)的平方和，平均數(shù)，則該組數(shù)據(jù)的方差（

）A．1B．C．2D．題型四總體百分位數(shù)的估計7.一個容量為20的樣本,其數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列為:1,2,2,3,5,6,6,7,8,8,9,10,13,13,14,15,17,17,18,18.則該組數(shù)據(jù)的第75百分位數(shù)為__________，第86百分位數(shù)為________8.軍事飛行人員是國家的特殊人才和寶貴資源，招收和培養(yǎng)飛行員歷來受到國家的高度重視，某地區(qū)招收海軍飛行員，從符合條件的高三學生中隨機抽取8人，他們的身高（單位：cm）分別為168，175，171，180，175，172，173，179則這8名高三學生身高的第75百分位數(shù)為__________．題型五統(tǒng)計圖表與數(shù)字特征的綜合應(yīng)用9.下圖為2022年8月5日通報的14天內(nèi)31省區(qū)市疫情趨勢，則下列說法正確的是（

）無癥狀感染者的極差大于 B．確診病例的方差大于無癥狀感染者的方差C．實際新增感染者的平均數(shù)小于 D．實際新增感染者的第80百分位數(shù)為64110.心絞痛是冠狀動脈供血不足，心肌急劇地暫時缺血與缺氧所引起的以發(fā)作性胸痛或胸部不適為主要表現(xiàn)的臨床綜合征.在某地隨機調(diào)查10位心絞痛患者第一次出現(xiàn)癥狀的年齡，得到如圖所示的樣本數(shù)據(jù)頻率分布直方圖.(1)求直方圖中a的值；(2)估計這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)；（同一組中的數(shù)據(jù)以該組區(qū)間的中點值為代表）(3)估計這組數(shù)據(jù)的第55百分位數(shù).隨堂練習1．下列四個圖中，用來表示不同品種的奶牛的平均產(chǎn)奶量最為合適的是()2．（多選）關(guān)于一組樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)?中位數(shù)?頻率分布直方圖和方差，下列說法正確的是（

）A．改變其中一個數(shù)據(jù)，平均數(shù)和中位數(shù)都會發(fā)生改變B．頻率分布直方圖中，中位數(shù)左邊和右邊的直方圖的面積相等C．若數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖為單峰不對稱，且在右邊“拖尾”，則平均數(shù)大于中位數(shù)D．樣本數(shù)據(jù)的方差越小，說明樣本數(shù)據(jù)的離散程度越小據(jù)報道，去年某咨詢公司對1500個家庭進行了關(guān)于奶粉市場的調(diào)查，下圖是關(guān)于每月購買奶粉袋數(shù)的有關(guān)數(shù)據(jù)，則每月購買1袋奶粉的比率同每月購買2袋奶粉的比率合計為()A．79.9% B．70.9%C．38.8% D．32.1%4．若數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn的平均數(shù)為，方差為s2，則2x1＋3,2x2＋3，…，2xn＋3的平均數(shù)和方差分別為()A.和s2 B．2＋3和4s2C．2＋3和s2 D．2＋3和4s2＋12s＋95.（多選）已知甲、乙兩個水果店在“十一黃金周”七天的水果銷售量統(tǒng)計如圖所示．則下列說法正確的是（）A．甲組數(shù)據(jù)的極差大于乙組數(shù)據(jù)的極差B．甲組數(shù)據(jù)的平均數(shù)大于乙組數(shù)據(jù)的平均數(shù)C．甲組數(shù)據(jù)的方差大于乙組數(shù)據(jù)的方差D．甲組數(shù)據(jù)的中位數(shù)大于乙組數(shù)據(jù)的中位數(shù)6.用樣本估計總體1.由分層抽樣的性質(zhì)得eq\f(6,30)＝eq\f(n,30＋30＋10＋50)，解得n＝24.故選C.題型4統(tǒng)計圖表及應(yīng)用多維探究角度1扇形圖2.【答案】C【詳解】不妨設(shè)2021年的高考人數(shù)為100，則2022年的高考人數(shù)為年本科達線人數(shù)為50，2022年本科達線人數(shù)為90，得2022年與2021年的本科達線人數(shù)比為，本科達線人數(shù)增加了，故選項不正確，選項C正確；2021年專科達線人數(shù)為35，2022年?？七_線人數(shù)為45，所以2022年與2021年的?？七_線人數(shù)比為，選項B錯誤；2021年不上線人數(shù)為15，2022年不上線人數(shù)也是15，不上線的人數(shù)無變化，選項錯誤.故選：C角度2折線圖3.解析對于選項A，由圖易知，月接待游客量每年7，8月份明顯高于12月份，故A錯；對于選項B，觀察折線圖的變化趨勢可知，年接待游客量逐年增加，故B正確；對于選項C，D，由圖可知顯然正確.答案BCD規(guī)律方法折線圖可以顯示隨時間(根據(jù)常用比例放置)而變化的連續(xù)數(shù)據(jù)，因此非常適用于顯示在相等時間間隔下數(shù)據(jù)的趨勢.角度3頻率分布直方圖4.解(1)根據(jù)頻率分布直方圖可知，樣本中分數(shù)不小于70的頻率為(0.02＋0.04)×10＝0.6，所以樣本中分數(shù)小于70的頻率為1－0.6＝0.4.所以從總體的400名學生中隨機抽取一人，其分數(shù)小于70的概率估計值為0.4.(2)根據(jù)題意，樣本中分數(shù)不小于50的頻率為(0.01＋0.02＋0.04＋0.02)×10＝0.9，故樣本中分數(shù)小于50的頻率為0.1，故分數(shù)在區(qū)間[40，50)內(nèi)的人數(shù)為100×0.1－5＝5.所以總體中分數(shù)在區(qū)間[40，50)內(nèi)的人數(shù)估計為400×eq\f(5,100)＝20.(3)由題意可知，樣本中分數(shù)不小于70的學生人數(shù)為(0.02＋0.04)×10×100＝60.所以樣本中分數(shù)不小于70的男生人數(shù)為60×eq\f(1,2)＝30.所以樣本中的男生人數(shù)為30×2＝60，女生人數(shù)為100－60＝40，男生和女生人數(shù)的比例為60∶40＝3∶2.所以根據(jù)分層抽樣原理，總體中男生和女生人數(shù)的比例估計為3∶2.5.【答案】B【詳解】對于A，平均數(shù)為4時，，解得，A正確；對于B，當時，易得中位數(shù)為3；當時，5是數(shù)據(jù)中的最大的數(shù)，不可能是中位數(shù)，故B錯誤；對于C，當時，眾數(shù)可以是1，故C正確；對于D，設(shè)平均數(shù)為a，則方差，故當且僅當時，方差取得最小值，D正確.故選：B.6.【答案】D【分析】根據(jù)方差的公式結(jié)合已知條件求解即可.【詳解】，故選：D7.8.【詳解】因為，所以第75百分位數(shù)是從低到高第6個和第7個數(shù)據(jù)的平均數(shù)，即故答案為：1779.【答案】AD【分析】觀察圖表，逐一運算驗證即可.【詳解】由圖表知無癥狀感染者的極差大于，故A正確；由圖表知無癥狀感染者的波動幅度明顯大于確診病例的波動幅度，故B錯誤；由圖表數(shù)據(jù)計算實際新增感染者的平均數(shù)為471.2，故C錯誤；，故實際新增感染者的第80百分位數(shù)為641，故D正確.故選：AD.10.【答案】(1)(2)53.5(3)55（1）解：根據(jù)直方圖，，解得；（2）估計這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)約為（3）解：前三組的頻率之和為，前四組的頻率之和為，所以第百分位數(shù)位于區(qū)間內(nèi)，估計這組數(shù)據(jù)的第百分位數(shù)約為.隨堂練習1.答案D2【答案】BCD【分析】根據(jù)平均數(shù)、中位數(shù)、頻率分布直方圖和方差的性質(zhì)，逐一分析選項，即可得答案.【詳解】對于A：例如數(shù)據(jù)1，3，5，將數(shù)據(jù)改成2，3，5，數(shù)據(jù)的中位數(shù)未改變，仍為3，故A錯誤；對于B：根據(jù)頻率分布直方圖中中位數(shù)的求法，可得B正確；對于C：根據(jù)頻率直方圖可得，單峰不對稱且在右邊“拖尾”，則平均數(shù)變大，中位數(shù)變小，所以平均數(shù)大于中位數(shù)，故C正確；對于D：樣本數(shù)據(jù)方差越小，數(shù)據(jù)越穩(wěn)定，離散程度越小，故D正確.故選：BCD答案 BB解析方法一平均數(shù)為eq\f(1,n)(2x1＋3＋2x2＋3＋…＋2xn＋3)＝eq\f(1,n)[2(x1＋x2＋…＋xn)＋3n]＝2eq\x\to(x)＋3；方差為eq\f(1,n){[(2x1＋3)－(2eq\x\to(x)＋3)]2＋[(2x2＋3)－(2eq\x\to(x)＋3)]2＋…＋[(2xn＋3)－(2eq\x\to(x)＋3)]2}＝eq\f(1,n)[4(x1－eq\x\to(x))2＋4(x2－eq\x\to(x))2＋…＋4(xn－eq\x\to(x))2]＝4s2.方法二原數(shù)據(jù)乘以2加上3