考研數(shù)學(xué)北京航天航空大學(xué)線性代數(shù)-5-(1-2)

第五章矩陣的相似標(biāo)準(zhǔn)形引言對(duì)n階方陣A及可逆矩陣P,由于矩陣乘法不滿足交換律,一般情形下P

1AP不一定等于A.但對(duì)P

1AP與A而言,在許多地方性質(zhì)相同.行列式相等:|P

1AP|=|P

1||A||P|=|A|.因此P

1AP與A或者都可逆,或都不可逆.稱P

1AP與A相似,當(dāng)然會(huì)有很多矩陣與A相似,最簡(jiǎn)單的是什么矩陣？(相似標(biāo)準(zhǔn)形問(wèn)題)§5.1相似矩陣定義設(shè)A、B為兩個(gè)n階矩陣，如果存在一個(gè)滿秩陣P，使得那么稱A與B相似，記為A∽B.相似變換：對(duì)A作運(yùn)算P

1AP(P滿秩)相似關(guān)系的等價(jià)性矩陣之間的相似關(guān)系是一種等價(jià)關(guān)系.(1)自反性A∽A;E

1AE=A.(2)對(duì)稱性A∽B

B∽A;P

1AP=B

A=PBP

1.(3)傳遞性A∽B且B∽C

A∽C.P

1AP=B且Q

1BQ=C(PQ)

1A(PQ)=C.相似矩陣具有相同的秩(矩陣乘以可逆陣后秩不變)；相似矩陣具有相同的行列式；相似矩陣可逆時(shí),其逆矩陣也相似.假設(shè)P1AP=B,那么B1=P1A1P.其他性質(zhì)例假設(shè)A∽B，證明(1)kA∽kB,其中k為任意常數(shù).(2)Am∽Bm,其中m為正整數(shù).(3)g(A)∽g(B),其中g(shù)(x)為任意一個(gè)多項(xiàng)式.證明由定義,假設(shè)A∽B，那么存在可逆矩陣P,使P

1AP=B.(1)P

1kAP=kP

1AP=kB.(2)P

1APP

1AP…P

1AP=Bm

P

1AmP=Bm.g(x)=amxm+am

1xm

1+…+a1x+a0.(3)g(A)=amAm+am

1Am

1+…+a1A+a0E.由(2),Am∽Bm且P

1AmP=Bm，于是P

1g(A)P=amBm+am

1Bm

1+…+a1B+a0E=g(B).所以g(A)∽g(B).問(wèn)題：與矩陣A相似的矩陣中最簡(jiǎn)單的矩陣是什么？對(duì)單位矩陣E與任何可逆矩陣P,都有P

1EP=E,P

1kEP=kE.單位矩陣只能同單位矩陣相似,數(shù)量矩陣也只相似于數(shù)量矩陣.比這兩類矩陣簡(jiǎn)單的矩陣是對(duì)角矩陣,A能否相似于一個(gè)對(duì)角矩陣呢？假設(shè)n階方陣A相似于對(duì)角矩陣,那么存在滿秩矩陣P,使得假設(shè)上式成立,λi滿足什么條件呢？假設(shè)記P=(P1,P2,…,Pn)(列向量),代入得即假設(shè)能用相似變換將A化為對(duì)角矩陣,那么滿秩矩陣P的每個(gè)列向量必滿足且p1,p2,…,pn線性無(wú)關(guān).§5.2特征值與特征向量定義設(shè)A是n階方陣,假設(shè)有數(shù)和n維非零列向量x,使Ax=x成立.那么稱為矩陣A的特征值.非零列向量x稱為A的屬于(或?qū)?yīng)于)特征值的特征向量.問(wèn)題：對(duì)任何方陣A,是否有特征值呢?A有特征值時(shí)，如何求出它的全部特征值和全部特征向量呢?一矩陣A=(aij)n

n的特征值和特征向量假設(shè)Ax=λx,那么

x

Ax=(

E

A)x=0.(1)由x是非零向量,說(shuō)明齊次線性方程組(

E

A)x=0有非零解,(1)有非零解

即特征值滿足|λE

A|=0.定義設(shè)A為n階矩陣,

E

A稱為A的特征矩陣，|

E

A|稱為A的特征多項(xiàng)式,|

E

A|=0稱為A的特征方程,|

E

A|=0的根即為A的特征值(特征根).特征多項(xiàng)式的特征沒(méi)有寫出的各項(xiàng)的最高次數(shù)為

n-2:假設(shè)某項(xiàng)含有aij,那么不會(huì)含有(aii)與(ajj).因此可得當(dāng)

=0時(shí)定義

tr(A)=a11+a22+…+ann稱為A的跡.計(jì)算n階矩陣A的特征值與特征向量的步驟:1.解特征方程|

E

A|=0,求出n個(gè)特征值(r重根算r個(gè));2.對(duì)每一

i,求(

iE

A)x=0的非零解xi是屬于

i的特征向量.例1求三階方陣的特征值和特征向量.解：特征方程所以A的特征值為

1=2,

2=

3=1.對(duì)

1=2,解齊次方程組(2E

A)x=0,即一般解為取根底解系得A的屬于λ1=2的全部特征向量為k(0,0,1)

(k

0).對(duì)

2=

3=1,解齊次線性方程組(E

A)x=0,即由得一般解為取根底解系因此A的屬于

2=

3=1的全部特征向量是k(1,2,

1)

,(k

0).例2求矩陣的特征值和特征向量.解：特征方程

B的特征值為

1=

2=

1,

3=5.對(duì)二重特征值

=

1，解方程組(

E

B)x=0,即即一般解為根底解系為因此屬于

=

1的全部特征向量為k1,k2不同時(shí)為零.對(duì)

3=5,解方程組(5E

B)x=0,即由得一般解取根底解系為因此B的屬于

=5的全部特征向量為k

0為常數(shù).上面兩個(gè)例子中,特征方程的單根的線性無(wú)關(guān)的特征向量為1個(gè),二重根可以是一個(gè)也可以是兩個(gè).都不超過(guò)特征根的重?cái)?shù).例3假設(shè)A2=A,稱A為冪等矩陣,證明冪等矩陣的特征值只可能是0和1.證明設(shè)0是A的特征值,x是A的屬于0的特征向量,那么由于即而x

0,得注意：0和1不一定同時(shí)是冪等矩陣的特征值,比方E是冪等矩陣,但其特征值只有1.二有關(guān)特征值的幾個(gè)定理定理2.1相似的矩陣具有相同的特征多項(xiàng)式,也有相同的特征值.證明:設(shè)A∽B,那么存在可逆矩陣P,使得B=P-1AP.因此注意其逆命題不一定成立(有相同特征多項(xiàng)式的矩陣不一定相似)例如任一矩陣與其轉(zhuǎn)置矩陣有相同的特征多項(xiàng)式,因此也有相同的特征值.(

E

A)

=

E

A

|

E

A|=|(

E

A)

|=|

E

A

|.定理2.2假設(shè)A是分塊矩陣,即其中Ai(i=1,2,…,s)是方陣,那么A的特征多項(xiàng)式是A1,A2,…,As的特征多項(xiàng)式的乘積.因此A1,A2,…,As的所有特征值就是A的全部特征值.證明將E分塊為其中Ei與Ai同階.(i=1,2,…,s).那么兩端取行列式,由Laplace定理有定理2.3設(shè)n階矩陣A的特征值為1,2,…,n(k重根算k個(gè)),那么證明令

=0,得而從定理可以看出,假設(shè)A的特征值有一個(gè)為零,那么|A|=0.反之亦成立.推論矩陣A可逆

A的特征值全不為零.定理2.4假設(shè)n階可逆方陣A的特征值為1,2,…,n，那么A1的特征值為證明:由定理2.3,有意義.設(shè)xi是A的屬于i的特征向量,那么左乘A

1,有即由定義說(shuō)明,是A

1的特征值,而有n個(gè)(k重算k個(gè)),這樣是A

1的全部特征值.例4證明假設(shè)