2023版高考數學一輪總復習檢測4-4解三角形

4.4解三角形

一、選擇題

1.(2022屆河北神州智達省級聯測,3)在aABC中，ZA,ZB,ZC的對邊分別為

a,b,c,∕B=135°,b=√T^,C=8,則a=()

A.2B.√6C.3D.2√6

答案B由余弦定理得b2=a2+c2+√2ac,即15=^+7^+3,解得a=√^(舍負).故選B.

2.(2021江西九江重點中學調研,4)在AABC中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若

A=60°,a=2√6,b=4,則B=()

A.45°或135°B.135°

C.45oD.以上都不對

答案C依題意,得及」所以SinB一愣哮又因為0。<B<180°,所以B=45°或

sιn60Sln夕2√62

135°,又因為a>b,所以A>B,即B<60°,所以B=45°,故選C.

3.(2022屆北京一零一中學統(tǒng)練一,3)ΔABC中，若c≈2acosB,則4ABC的形狀為()

A.直角三角形B.等腰三角形

C.等邊三角形D.銳角三角形

答案B由題意得sinC=2sinAcosB,

所以Sin(A+B)=2sinAcosB,

所以sinAcosB-sInBcosA=O,即Sin(A-B)=0,

因為?,B,C是三角形內角，所以A=B.

所以aABC為等腰三角形.

4.(2022屆豫南九校聯考(二)，7)在AABC中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若

asinB+3bcosA=0,則tanA=()

A.3B」C.-?D.-3

33

答案D由asinB+3bcosAzz0,結合正弦定理得SinASinB+3SinBCOSA=0,即

SinB(SinA+3CoSA)=0,因為0<B<π,所以sinB≠0,所以sinA+3cosA=0,所以tanA=-3.故選D.

5.(2022屆四川南充調研,5)在aABC中，已知b=40,c=20,C=60o,則此三角形的解的情況是

()

?.有一解

B.有兩解

C.無解

D.有解但解的個數不確定

答案C在AABC中，b=40,c=20,C=60o.由正弦定理得-?"?ΛsinB^?^^√3>l,

Sinnsinec20

與sinB≤l相矛盾，；.ZB不存在，即滿足條件的三角形不存在,故選C.

6.(2022屆河北邢臺“五岳聯盟”10月聯考,4)4皿(：的內角48,(：的對邊分別為迫,1),3已

知(a+b)(sinA-sinB)=csinC+b(l+cosA)?sinC,貝(]CoSA=()

A—B.--C.-i-I).-

3333

答案A由題意及正弦定理可得(a+b)(a-b)=c2+bc(l+cosA),整理得a2=b4c2+bc(l+cosA),

因為a2=b2+c2-2bccosA,所以-2CoSA=I+cosA,解得CoSA=

7.(2022屆陜西名校聯盟10月聯考,9)在AABC中，a,b,c分別為角A,B,C的對

邊,???,b+c=2a,ΔΛBC的面積為2窩,則aABC的周長為()

Λ.6B.8C.6√2D.6√3

答案C因為人千段￡2禽,所以gbcsing=2√5,即bc=8.

由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosA=b2+c~8,又知b+c=2a,.?.a2=(b+c)2-2bc-8=4aJ24,解得a=2√^,

所以b+c=4√2.故三角形的周長l=a+b+c=6√∑故選C.

8.(2022屆江蘇徐州期中，9)已知4ABC的三個內角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,滿足

cos2Λ-cos^B+cos^C=l+sinΛsinC,且sinΛ+sinC=l,貝IJ<?ABC的形狀為()

A.等邊三角形

B.等腰直角三角形

C頂角為120。的非等腰三角形

D.頂角為120°的等腰三角形

答案D因為CoS%-cos2B+cos2C=l+sinAsinC,所以sin2A+sin^C-sin?=-sinAsinC,由正弦

定理可得/ejj-ae,所以牛也所以c。SB=T,因為0°<B<180°,所以B=120°,所以

Iac22

A+C=60o,

2

由5]仙+5]。01得51.仙+5門(60°-A)=l,t?sinA+sin60ocosA-cos60°SinA=I,即

TSinA+苧CoSA=I,所以Sin(A+60°)=1,因為A為三角形的內角,所以A=30°,則C=30°,所以

ΔABC是頂角為120°的等腰三角形.故選D.

9.(2022屆百師聯盟9月一輪復習聯考(一)，10)如圖，設aABC的內角∕BAC,ZB,/ACB所對

的邊分別為a,b,c,若b2=ac,ZB=^-,D是aABC外一點,AD=3,CD=2,則四邊形ABCD面積的最大

值是()

A.竿+6B.竿+6

C亭4D.?4

62

答案B因為COSNB二什-b?c,所以a2+c2-ac=ac,則(a—c)'O,a=c,又NBW,所以

Zac23

AABC是等邊三角形.在AADC中，由余弦定理可得AC2≈AD2+CD2-2AI)?CDcosD,由于AD=3,CD=2,

所以bJ13T2cosD,所以S四研

2

ABCD=SAABC+SAAC[)^bsi∏γ+∣?6sinD斗l√+3sinD4(13-12CoSD)+3SinD=6sin(沙彳)+厚,所以四

邊形ABCD面積的最大值為畢+6,故選B.

10.(2022屆廣東深圳福田外國語高級中學調研,7)在古希臘數學家海倫的著作《測地術》中

記載了著名的海倫公式,利用三角形的三邊長求三角形的面積.若三角形的三邊長分別為

a,b,c,則其面積S=√p(p-a)(p-?)(p-c),其中p=^(a+b+c).現有一個三角形的邊長a,b,C滿

足a+b=7,c=5,則此三角形面積的最大值為()

A.17√21B.y√21

C.5√6D.”

答案D

Va+b=7,c=5,.*.p-"11'-6,ΛS2=6×(6-5)×(6-b)(6-a)=6[ba-6(b+a)+36]=6(ba-6)≤6X

26

[(T)^]=V)當且僅當b=a時取等號，.?.S≤孚即三角形面積的最大值為孚

3

二、填空題

11.（2022屆昆明質檢（一），15）已知a,b,c分別為aABC的內角A,B,C的對邊,若

bsin2A-asinB=0,2b=c,則當的值為

答案y

解析由bsin2A-asinB=2bsinAcosA-asinB=0及正弦定理，得CoSAJ■,即'二一［又2b=c,

22be2

則a?2,即a邛c,所以當當.

42SinC2

12.（2022屆黑龍江六校聯考，15）在AABC中，a,b,C分別是內角A,B,C所對的

邊,3c=4b,a=√13,A=60°,則AABC的面積為.

答案3√5

解析由CoSA岑士及已知得盧罟得b2+c2-bc=13,又3c=4b,??b=3,c=4,MABC的面

2be22be

積S=^bcsinΛ=i×12×v=3√3.

13.（2022屆山東煙臺萊州一中開學考，14）在AABC中，已知C=120o,sinB=2sinA,且ZkABC

的面積為2時,則AB的長為.

答案2√7

解析設角A,B,C的對邊分別為a,b,c.由sinB=2sinΛ及正弦定理可得

b=2a,SAiωdabsinC=∣aX2aXg=2V5,.?a=2,b=4,由余弦定理用導

cM+16-2×2×4×（-1）=28,Λc?√7.

三、解答題

14.（2022屆北京牛欄山一中10月月考,17）在AABC中,角A,B,C所對的邊分別是a,b,c,且

a=l,b=2.

（1）若c=√2,求Z?ABC的面積S;

（2）在下列三個條件中選擇一個作為已知,使AABC存在且唯一確定,并求SinA的值.

條件①:B=2A;

條件②:A+B=∣;

條件③:C=2B.

22

?j）?f-∕1\da+e-?^1+2-41√2

解析⑴COSB_2ac7x=kT

4

因為B∈(O,π),所以sinB=VT-cos?=^φ?,

所以aABC的面積SWaCSinBWX1×√2×4^?

2244

(2)選擇條件①.

a]_2_2

由品和B=2A,得,因為A∈(0,π),所以sinA≠0,所以cosA=l,因為

sinzfSin力sin2√42sin∕fcosJ

A∈（0,頁），所以COSA∈（7,1）,所以AABC不存在.

選擇條件②.

由和A+BA

Sin力SinB3

W-?=~~~―,——,整理得5sinA=√3cosA,又sin2A+cos2A=l,且sinA>0,cosA>0,

S】n/fSin(y-A)^c0s∕f-∣sinJ

所以sin???,

因為bsinA=?y<a<b,所以AABC有兩解，

又A+B4,所以B為銳角，所以AABC唯一.SinA岑.

314

選擇條件③.

由7?1和C=2B,得U丁—二。/因為Be（°，“），所以sinB?O?所以c=4cosB,

由b2=a2+c2-2accosB,W4=l÷16cos2B-2×1×4cos2B,用軍得cosB=±-,

4

因為C=2B,所以B為銳角，故COSB邛,SinB邛，

所以sinC=2sinBcosB=^,cosC=2cos2B-l?-?,

44

所以SinA=Sin(B+C)=SinBCoSC+cosBSinC=羋X(-9+4XF

4\4/44-等8.

15.(2022屆合肥8月聯考，18)已知aABC中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c,且

6sin。CSin8.

-------------=4a.

sin8sinC

(1)若a=2,求AABC外接圓的面積；

(2)若(b+a)(b-a)+c，6=0,求AABC的面積.

解析⑴由正弦定理及已知得'iSinJSinA,故SinAq又a=2,

。Sinjfeinc2

則4=2R,即R=2（R為AABC外接圓的半徑）.

故aABC外接圓的面積S=πR2=4π.

5

(2)(b+a)(b-a)+c2+6=b2+c2-a"+6=0,i?b2+c2-a2=-6,貝!jcosA<0.由(])知sinA=∣,所以COSA二一弓.

因為Cc)SA勺士所以4?得bc=2√3,所以S&BCjbCSinAq義2禽

ZbcZZbcZ2ZZ

16.(2022屆北京一零一中學統(tǒng)練一,18)在AABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若

V3a=b(sinC+V3cosC).

(1)求角B的大??；

(2)若A《,D為aABC外一點,DB=2,CD=I,求四邊形ABDC面積的最大值.

解析(1),.*V3a=b(sinC+√3cosC),

.".V3sinΛ=sinB(sinC+√3cosC),

在ZXABC中,sinA=sin(B+C),

則V5sin(B+C)=sinBsinC+√3sinBcosC,

即禽CoSBSinC=SinBSinC,

VC∈(0,n),ΛsinC≠0,

ΛV3cosB=sinB,即tanB=d5,

VB∈(O,π),ΛB=^-.

⑵由題意可知,點A和點D在直線BC的兩側.在ABCD

中，BD=2,CD=1,.?.BC2=1,22-2X1X2XCOSD=5-4COSD,：Bq,A=^,.?.aABC為等邊三角形，

?*?S△械WBC2Xsin-^=^-√3cosD,

,

又SABDCZ4BD?DC?sinD=sinD,

?,?SInlji彩麗=竽+SinD-√^cosD=^+2sin(θg),

當D-f,即D亭時，四邊形ABDC的面積取得最大值,最大值為乎+2.

17.(2022屆豫東豫北十校聯考(二)，20)在銳角AABC中，角A,B,C所對的邊分另為

a,b,c,V3cosC+sinC=V3b且a=l.

(1)求AABC的外接圓的半徑；

(2)求2b-c的取值范圍.

解析(1)由V5cosC+sinC=√5b且a=l可得a(√3cosC+sinC)=V3b,根據正弦定理可得

V3sinB=V3sinΛcosC+s