2024年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)：等腰三角形中的解題模型與方法及練習(xí)題匯編（含答案解析）

2024年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)：等腰三角形中的解題模型與方法及練習(xí)題匯編

【解題模型與方法】

等腰三角形是考試中的中高難度題型，并且出現(xiàn)頻率最高的特殊三角形，所涉及考查的內(nèi)

容集中在等腰三角形的“三線合一”及“分類討論”，特別是等腰三角形的分類討論，是初二

各考試中幾何壓軸題的?？?

看到“等腰三角形”，首先考慮分類討論：

一.對角的分類討論。

題目等腰三角形沒有明確角的種類，要分類討論；從銳角等腰三角形和鈍角等腰三角形的角

度入手分頂角與底角兩種情況進(jìn)行分類討論。

二.對高的分類討論

題目等腰三角形沒有明確高的位置，要分類討論；從銳角等腰三角形和鈍角等腰三角形的

角度入手分腰上高與底邊高、界內(nèi)高與界外高兩種情況進(jìn)行分類討論。

三.對邊的分類討論（重點(diǎn)考試方向：坐標(biāo)系中的等腰三角形的分類討論）

（一）普通題蟄

題目等腰三角形沒有明確邊的種類，要分類討論；結(jié)合三角形三邊關(guān)系分腰與底邊兩種情況

進(jìn)行分類討論。

（二）等腰三角形的兩種分類討論方法

1.“兩圓一線”；

①以已知線段為底;作它的垂直平分線；②以已知線段為腰：用線段的兩個端點(diǎn)為圓心，線段長

為半徑，分別作圓。一般有8個點(diǎn)，具體題目要通過計算這些點(diǎn)的坐標(biāo)來考慮是否出現(xiàn)重疊現(xiàn)

象。

兩圓一線”一般符合“兩個定點(diǎn)一個動點(diǎn)”的等腰三角形中，若是“兩個動點(diǎn)一個定點(diǎn)”，

多采用第二種方法分類討論。但就算是用第二種方法分類討論，也可以先用“兩圓一線”確定

符合等腰三角形的點(diǎn)可能有幾個及這些點(diǎn)的大致位置.

2.“三邊兩兩相等分三種情況”討論，先列出三種情況，再首先選最簡單的那種情況先解答。

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?？冀?jīng)典考試題同步檢測

考試范圍：三角形；考試時間：100分鐘

一.選擇題（共10小題）

1.等腰三角形的一個角為50°,則頂角是（）度.

A.65°或50°B.80°C.50°D.50°或80°

2.等腰三角形的底邊長與其腰長的比值稱為這個等腰三角形的“優(yōu)美比”.若等腰△46C的周長為

20,其中一邊長為8,則它的“優(yōu)美比”為（）

A.AB.AC.4或2D.4或工

23332

3.一個等腰三角形的兩條邊分別是2融和5M，則第三條邊的邊長是（）

A.2cmB.5cmC.2cm或5cmD.不能確定

4.等腰三角形的一邊長是6CR,另一邊長是3c勿，則周長為（）

A.9cmB.12cmC.15c/nD.12c/z?或15cm

5.若實(shí)數(shù)底〃滿足等式，1n2-41n+4+|〃-41=0.且〃、〃恰好是等腰△/L%的兩條邊的邊長，則4

4%的周長是（）

A.8B.10C.8或10D.12

6.等腰阿的一邊長為4,另外兩邊的長是關(guān)于x的方程10廣〃=0的兩個實(shí)數(shù)根，則見的值

是（）

A.24B.25C.26D.24或25

7.若△/況■中剛好有N5=2NC,則稱此三角形為“可愛三角形”，并且N4稱作“可愛角”.現(xiàn)有

一個“可愛且等腰的三角形”，那么聰明的同學(xué)們知道這個三角形的“可愛角”應(yīng)該是（）

A.45°或36°B.72°或36°

C.45°或72°D.45°或36°或72°

8.如圖，在中，/1==90°,/。8=36°,以C為原點(diǎn)，/C所在直線為y軸，及7所在

直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，在坐標(biāo)軸上取一點(diǎn)也使△也6為等腰三角形，符合條件的“點(diǎn)

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A.5個B.6個C.7個D.8個

9.如圖，在4X4的正方形網(wǎng)格中有兩個格點(diǎn)4、B,連接48,在網(wǎng)格中再找一個格點(diǎn)C,使得△/笈

是等腰三角形，滿足條件的格點(diǎn)。的個數(shù)是（）

C.8D.9

10.2）,若點(diǎn)P在x軸上，且心是等腰三角形，則點(diǎn)。的坐標(biāo)不可

C.(1,0)D.(-V8.0)

11.如圖，直角中，/4=20°,/6。=90°,點(diǎn)P在49上，過點(diǎn)？作掰J_47,垂足為

當(dāng)△町為等腰三角形時，NOW的度數(shù)為

12.如圖，NAOB=80°,0C平分NAOB,點(diǎn)帆E,N分別是射線勿，0C,加上的動點(diǎn)（ME,/V不

與點(diǎn)。重合），且,見物，垂足為點(diǎn)材，連接也V交射線宓于點(diǎn)尸.若△，磔'中有兩個相等的角，

則NQMV的度數(shù)為.

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13.如圖，在由邊長為1的小正方形組成的5X5的網(wǎng)格中，點(diǎn)46在小方格的頂點(diǎn)上，要在小方

格的頂點(diǎn)確定一點(diǎn)G連接/C和8G使是等腰三角形.則方格圖中滿足條件的點(diǎn)C的個數(shù)

有個.

14.如圖，在勿中，N劭0=90°,AB=2,/，=2我，將18繞點(diǎn)4逆時針旋轉(zhuǎn)a度（0<a<

90）,得到4只當(dāng)△力〃是等腰三角形時，點(diǎn)？到4。的距離為.

15.如圖，△力6c中，AB^AC,/4=30°,射線0P從射線0開始繞點(diǎn)C逆時針旋轉(zhuǎn)a角（0。<

a<75°）,與射線四相交于點(diǎn)〃將△/5沿射線少翻折至△4①處，射線與射線48

相交于點(diǎn)￡若如是等腰三角形，則Na的度數(shù)為.

16.如圖，中，N4=90°,4?=5,46=12,將△49C繞點(diǎn)，逆時針旋轉(zhuǎn)a°（0°<a°

<90°）,得到△比色點(diǎn)兒8的對應(yīng)點(diǎn)分別為〃，E,射線面分別交8GAB于點(diǎn)、F,他當(dāng)4

朗咽為等腰三角形時，4"的長為.

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三.解答題(共6小題)

17.綜合與實(shí)踐課上，老師讓同學(xué)們以“三角形的折疊”為主題開展數(shù)學(xué)活動.在勿中，/BAC

=90°,點(diǎn)〃在8c邊上，將△/1比1沿4〃翻折后得到△力?,邊/￡和邊4c重合時結(jié)束，邊AE交

邊優(yōu)于點(diǎn)F.

(1)如圖1,當(dāng)/￡上加時，求證：DE//AC.

A

(2)若/C=2N8,則NC=°,/B=°.(此結(jié)論在下面計算過程中可直

接用.)

①如圖2,當(dāng)如弦時，求/為。的度數(shù).

②若折疊過程中，△必尸中有兩個角相等，請直接寫出此時/胡。的度數(shù).

18.閱讀下列一段文字，然后回答下列問題.已知在平面內(nèi)兩點(diǎn)P\(小，力)，月(即，乃)，其兩

點(diǎn)間的距離尸e=J(x「x2)2+(y「y2)2,同時，當(dāng)兩點(diǎn)所在的直線在坐標(biāo)軸或平行于坐標(biāo)

軸或垂直于坐標(biāo)軸時，兩點(diǎn)間距離公式可簡化為I必-為I或皿-力1.

(1)已知1(-2,3),B(4,-5),試求4、8兩點(diǎn)間的距離；

(2)已知一個三角形各頂點(diǎn)坐標(biāo)為1(-1,3)、B(0,1),C(2,2),請判定此三角形的形

狀，并說明理由.

(3)已知4(2,1),在x軸上是否存在一點(diǎn)尺使一為等腰三角形，若存在請直接寫出點(diǎn)

。的坐標(biāo)；若不存在請說明理由.

19.已知在△45C中，AB^AC,點(diǎn)。是邊49上一點(diǎn)，NBCANA.

(1)如圖1,試說明朗="的理由;

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(2)如圖2,過點(diǎn)6作坊工亦，垂足為點(diǎn)反段'與勿相交于點(diǎn)色

①試說明/應(yīng)力=2/&%的理由；

②如果△應(yīng)產(chǎn)是等腰三角形，求N4的度數(shù).

20.在等腰直角三角形/比■中，//。=90°,/IC=8G點(diǎn)P為直線上一個動點(diǎn)，繞點(diǎn)C將射線

"逆時針旋轉(zhuǎn)45°,交直線46于點(diǎn)0.

圖1圖2備用圖

在圖1中，將繞點(diǎn)。逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到48垢連接他，

■:NACRNBCg45°,ZACP^ABCM,

/?g45°=/PCQ,

又,：CP=CM,CQ=CQ,

:ZCgXMCQ.

請閱讀上述過程，并完成以下問題：

(1)得出的依據(jù)是(填序號).

①SS5

②倒S

③/MS

@HL

(2)在以上條件下，如圖2,當(dāng)點(diǎn)尸在線段用的延長線上時，求證：P0=AF+BG.

(3)在等邊三角形/8C中，8C=2,點(diǎn)尸為射線為上一個動點(diǎn)，將射線CP繞點(diǎn)、C逆時針旋轉(zhuǎn)30°

交直線胡于點(diǎn)。，將△加E繞點(diǎn)C逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到△倒心連接M0,當(dāng)48%為直角三角形

時，請直接寫出4P的長.

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21.已知△力%是等邊三角形.

(1)如圖1,點(diǎn)〃是邊的中點(diǎn)，點(diǎn)尸為射線/C上一動點(diǎn)，當(dāng)是軸對稱圖形時，AAPD

的度數(shù)為:

(2)如圖2,四〃84點(diǎn)。在46邊上，點(diǎn)廠在射線AF上，且加=眥作用口〃1于C,當(dāng)點(diǎn)。

在48邊上移動時，請同學(xué)們探究線段AP,AC,4;'之間有什么數(shù)量關(guān)系，并對結(jié)論加以證明；

(3)如圖3,點(diǎn)尸在8c延長線上，連接小，〃為"上一點(diǎn)，AD=BC,連接仍交〃'于其若AE

=2〃，DF=n,直接寫出線段臾的比值為

AF

22.綜合與實(shí)踐

問題情境：活動課上，同學(xué)們以等腰三角形為背景展開有關(guān)圖形旋轉(zhuǎn)的探究活動，如圖1,已知

中，AB=AC,N8=40°.將△力力從圖1的位置開始繞點(diǎn)力逆時針旋轉(zhuǎn)，得到△力〃(點(diǎn)〃，

￡分別是點(diǎn)8,<7的對應(yīng)點(diǎn))，旋轉(zhuǎn)角為a(00<a<100°),設(shè)線段］〃與回相交于點(diǎn)弘線

段應(yīng)1分別交6C,于點(diǎn)0,N.

特例分析：(1)如圖2,當(dāng)旋轉(zhuǎn)到旗時，旋轉(zhuǎn)角a的度數(shù)為；

探究規(guī)律：(2)如圖3,在△45C繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)過程中，“求真”小組的同學(xué)發(fā)現(xiàn)線段AM

始終等于線段/V,請你證明這一結(jié)論.

拓展延伸：(3)①直接寫出當(dāng)△仇力是等腰三角形時旋轉(zhuǎn)角a的度數(shù).

②在圖3中，作直線加，"交于點(diǎn)A直接寫出當(dāng)△儂是直角三角形時旋轉(zhuǎn)角a的度數(shù).

(4)連接加，在旋轉(zhuǎn)過程中是否存在角a,使四邊形4皮那是平行四邊形？若存在，直接寫出a

的度數(shù)；如果不存在，請說明理由.

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等腰三角形中的解題模型與方法

參考答案與試題解析

一.選擇題（共10小題）

1.等腰三角形的一個角為50°,則頂角是（）度.

A.65°或50°B.80°C.50°D.50°或80°

【答案】D

【解答】解：分兩種情況：

當(dāng)?shù)妊切蔚捻斀菫?0°時，則它的底角=18°°-50°=65°；

2

當(dāng)?shù)妊切蔚囊粋€底角為50°時，則它的頂角=180°-2X50°=80°；

綜上所述：它的頂角是50°或80°,

故選：D.

2.等腰三角形的底邊長與其腰長的比值稱為這個等腰三角形的“優(yōu)美比”.若等腰的周長為

20,其中一邊長為8,則它的“優(yōu)美比”為（）

A.AB.AC.或2D.2或工

23332

【答案】D

【解答】解：分兩種情況：

當(dāng)?shù)妊切蔚难L為8時，

?.?等腰的周長為20,

它的底邊長=20-8-8=4,

它的“優(yōu)美比”=匡=」；

82

當(dāng)?shù)妊切蔚牡走呴L為8時，

?.?等腰△48C的周長為20,

.?.它的腰長=2X（20-8）=6,

2

它的“優(yōu)美比”=&=生

63

綜上所述：它的“優(yōu)美比”為芻或工，

32

故選：D.

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3.一個等腰三角形的兩條邊分別是2金和5金，則第三條邊的邊長是（）

A.2cmB.5cmC.2c勿或5czsD.不能確定

【答案】B

【解答】解：分兩種情況：

當(dāng)?shù)妊切蔚难L為2cm,底邊長為5c燈時，

：2+2=4V5,

不能組成三角形；

當(dāng)?shù)妊切蔚难L為5.，底邊長為2狽時，

.?.等腰三角形的三邊長分別為5c加，5cm,2cm,

綜上所述：等腰三角形的第三條邊的邊長是5項，

故選：B.

4.等腰三角形的一邊長是6頌，另一邊長是3M，則周長為（）

A.9cmB.12cmC.15cmD.12c勿或15cm

【答案】C

【解答】解：分兩種情況：

當(dāng)?shù)妊切蔚难L為6。0，底邊長為3c勿時，則它的周長=6+6+3=15（cm）；

當(dāng)?shù)妊切蔚难L為39，底邊長為6c卬時，

：3+3=6,

不能組成三角形；

綜上所述：它的周長為15加，

故選：C.

5.若實(shí)數(shù)0、〃滿足等式｛1n2-41n+4+1〃-41=0.且如、〃恰好是等腰△46。的兩條邊的邊長，則4

49C的周長是（）

A.8B.10C.8或10D.12

【答案】B

【解答】解：?.,4>2_4111+4+|〃-41=0,

?W（m-2）2+5-4|=0,

:.m-2=0,n-4=0,

???加=2,〃=4,

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分兩種情況：

當(dāng)?shù)妊切蔚难L為2,底邊長為4時，

72+2=4,

不能組成三角形；

當(dāng)?shù)妊切蔚难L為4,底邊長為2時，

.?.4+4+2=10；

綜上所述：△力比■的周長是10,

故選：B.

6.等腰的一邊長為4,另外兩邊的長是關(guān)于x的方程10廣卬=0的兩個實(shí)數(shù)根，則）的值

是（）

A.24B.25C.26D.24或25

【答案】D

【解答】解：方程10廿〃=0的有兩個實(shí)數(shù)根，則A=100-4〃20,得卬＜25,

當(dāng)?shù)走呴L為4時，另兩邊相等時，xi+x2=10，；?另兩邊的長都是為5,則仍=XI*2=25；

當(dāng)腰長為4時，另兩邊中至少有一個是4,則4一定是方程『-10戶加=0的根，代入得：16-40+卬

=0

解得面=24.

的值為24或25.

故選：D.

7.若△/比■中剛好有N5=2NC,則稱此三角形為“可愛三角形”，并且N4稱作“可愛角”.現(xiàn)有

一個“可愛且等腰的三角形”，那么聰明的同學(xué)們知道這個三角形的“可愛角”應(yīng)該是（）

A.45°或36°B.72°或36°

C.45°或72°D.45°或36°或72°

【答案】C

【解答】解：①設(shè)三角形底角為a,頂角為2a,

則a+a+2a=180°,

解得：a=45°,

②設(shè)三角形的底角為2a,頂角為a,

則2a+2a+a=180°,

解得：a=36°,

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A2a=72°,

...三角形的“可愛角”應(yīng)該是45°或72°,

故選：C.

8.如圖，在口△/6C中，ZACB=90°,/。8=36°,以C為原點(diǎn)，47所在直線為y軸，3c所在

直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，在坐標(biāo)軸上取一點(diǎn)〃使△物6為等腰三角形，符合條件的，"點(diǎn)

【答案】D

【解答】解：（1）當(dāng)46是底邊時，作4?的垂直平分線分別與x軸負(fù)半軸相交，共兩個交

點(diǎn)，都符合條件；

（2）當(dāng)力8是腰時，①以點(diǎn)力為圓心4?長為半徑畫圓分別與y軸正半軸，負(fù)半軸，x軸負(fù)半軸相

交，共三個交點(diǎn)，都符合條件；

②以點(diǎn)6為圓心4?長為半徑畫圓分別與x軸正半軸，負(fù)半軸，y軸負(fù)半軸相交，共三個交點(diǎn)，都

符合條件，

因此共有8個符合條件的點(diǎn).

故選：D.

9.如圖，在4X4的正方形網(wǎng)格中有兩個格點(diǎn)從B,連接46,在網(wǎng)格中再找一個格點(diǎn)C,使得a'

是等腰三角形，滿足條件的格點(diǎn)，的個數(shù)是（）

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【解答】解：如圖:

當(dāng)物=%時,以點(diǎn)8為圓心，砌長為半徑作圓，點(diǎn)G,Q,G即為所求;

當(dāng)46=然時,以點(diǎn)力為圓心，4?長為半徑作圓，點(diǎn)4,Q,Q,G，娛即為所求;

當(dāng)時,作4?的垂直平分線，與正方形網(wǎng)格的交點(diǎn)不在格點(diǎn)上,

綜上所述：滿足條件的格點(diǎn)。的個數(shù)是8,

故選：C.

10.如圖,點(diǎn)力的坐標(biāo)是（2,2）,若點(diǎn)尸在x軸上，且△4P0是等腰三角形，則點(diǎn)尸的坐標(biāo)不可

C.(1,0)D.(-V8,0)

【解答】解：過點(diǎn)4作軸，垂足為8,

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?'?^=VAB2-K）B2=V22+22=2^2>

分三種情況：

當(dāng)4什］々2加時，以點(diǎn)力為圓心，力。長半徑作圓，交x軸于點(diǎn)外，

'：AO=APi,軸，

：.OP\=2OB=4,

二4的坐標(biāo)為（4,0）；

當(dāng)勿=8=2。5時，以點(diǎn)。為圓心，的長半徑作圓，交x軸于點(diǎn)月，月，

???2的坐標(biāo)為（2加,0）,月的坐標(biāo)為（-2&,0）；

當(dāng)m=處時，作》的垂直平分線交x軸于點(diǎn)打，

月的坐標(biāo)為（2,0）；

綜上所述：點(diǎn)戶的坐標(biāo)可能是（4,0）或（2&,0）或（-2A/5，0）或（2,0）,

.?.點(diǎn)。的坐標(biāo)不可能是（1,0）

故選：C.

填空題（共6小題）

11.如圖，直角△/優(yōu)中，ZJ=20°,/8。=90°,點(diǎn)尸在上，過點(diǎn)？作門歸垂足為M

當(dāng)△6CP為等腰三角形時，的度數(shù)為55°或40°或70°.

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B

CM

【答案】55°或40°或70°?

【解答】解：：//=20°,ZBCA=90°,

.../6=90°-/4=70°,

'：PMLAC,

：.Z^=90°,

ZBM=ZBCA=90°,

：.BC//PM,

"CPQNBCP,

分三種情況：

當(dāng)8C=BP時,

48gNBPC=I：8。YB=55。,

2

"CRQNBC-55°；

當(dāng)"=。＞時，

：.NB=/CPB=1Q°,

：.ZJ?CP=180°-ZB-ZCPB=40°,

：.4CPQNBCP40°；

當(dāng)P8=PC時,

:.ZB=NBCP=1Q°,

：.ZCPM=ABCP=1Q°；

綜上所述：當(dāng)為等腰三角形時，/（7W的度數(shù)為55°或40°或70°，

故答案為：55°或40°或70°.

12.如圖，ZJ6?=80°,OC平分N40B,點(diǎn)M,E,N分別是射線以，OC,加上的動點(diǎn)（材，￡,N不

與點(diǎn)。重合），且必5工如，垂足為點(diǎn)瓶連接也V交射線宛于點(diǎn)凡若△，磔■中有兩個相等的角，

則/Q臟的度數(shù)為10°或25°或40°.

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【解答】解：仍=80°,0c平分//必，

.../40￡?=工/4施=40°,

2

,：MEVOA,

二/如490°-//您=50°,

①當(dāng)NEMF=NMEF=50°時，

則NQMk90°-NEMF=9Q°-50°=40°；

②當(dāng)/包肥=乙物叨時，

則/“如=工(180°-NOEM)=Ax(180°-50°)=65°,

22

那么N。粉-90°-NEMF=9Q°-65°=25°；

③當(dāng)乙圾?=乙監(jiān)尸=50°時，

則/6gl80°-ZMEF-ZJ/R5'=180°-50°-50°=80°

那么NQ腸490°-ZW=90°-80°=10°：

綜上，邠的度數(shù)為10°或25°或40°,

故答案為：10°或25°或40°?

13.如圖，在由邊長為1的小正方形組成的5X5的網(wǎng)格中，點(diǎn)46在小方格的頂點(diǎn)上，要在小方

格的頂點(diǎn)確定一點(diǎn)C，連接和6G使是等腰三角形.則方格圖中滿足條件的點(diǎn)C的個數(shù)

【解答】解：如圖所示:

第15頁共37頁

分兩種種情況:

當(dāng)C在G，&,G，&位置上時，AC=BC；

當(dāng)，在G，G位置上時，AB=BC；

即滿足點(diǎn)「的個數(shù)是6,

故答案為:6.

14.如圖，在初中，/胡片90°,AB=2,/片2日，將48繞點(diǎn)4逆時針旋轉(zhuǎn)a度(0<a<

90),得到"只當(dāng)△力分是等腰三角形時，點(diǎn)P到力〃的距離為返■或1.

一3

【答案】運(yùn)或1.

3

【解答】解：?:/BAD=9Q：AB=2,4〃=2禽,

?,*?=VAB2+AD2=V22+(2V3)2=4,

由旋轉(zhuǎn)得：AB=AP=2,

分兩種情況：

過點(diǎn)〃作加工/凡垂足為過點(diǎn)P作總/〃，垂足為反

：.AF^FP^^AP^\,

2

第16頁共37頁

22

DF=VAD-AF=V（2V3）2-12=vn,

ZUZW的面積=24＞加=工4戶母；

22

；.2MPE=2X4X1,

解得：必?='運(yùn)，

3_

.,.點(diǎn)尸到4?的距離為亞1_；

3

當(dāng)為=如時，如圖：

當(dāng)點(diǎn)一落在物的中點(diǎn)時，則8A蚪工劭=2,

2

,:PA=PA2,PG1AD,

:.AG=DG,

是△1龍的中位線，

：.PG=^AB=1,

2

...點(diǎn)尸到/〃的距離為1；

綜上所述：點(diǎn)一到/〃的距離為運(yùn)?或1,

3

故答案為：運(yùn)或1.

3

15.如圖，△力比中，AB=AC,//=30°,射線（T從射線。開始繞點(diǎn)C逆時針旋轉(zhuǎn)a角（0。＜

a＜75°）,與射線48相交于點(diǎn)〃，將△/口沿射線翻折至CD處,射線與射線AB

相交于點(diǎn)反若△?如是等腰三角形，則Na的度數(shù)為22.5°或67.5°或45°

【解答】解：由折疊得：AACD=AA'CD=a=XzACA',ZA=ZDA'C=30°,

第17頁共37頁

分三種情況：

當(dāng)HD=A'￡時，如圖:

2

即是龍的一個外角，

C.^ACE^ZA'￡9-乙4=45°,

：.ZACD=ZA'CD=a=lzAC,f=22.5°；

2

當(dāng)/D=A'f時，當(dāng)和△/比1位于射線48的同側(cè)時，如圖:

DE=AA'ED=1ZCA'〃=15°，

2

AZACA'=1800-N4-N/'朋=135°,

J.AACD^AA'CD^a^XzACA'=67.5°；

2

當(dāng)DA'=應(yīng)'時，

AZA'=NDEA'=30°,

VADEA'是△4四的一個外角，

AADEA'>30°,

此種情況不成立；

當(dāng)初=必'時，如圖：

第18頁共37頁

:.NDEA'=180°-￡EDA'-Z.A'=120°,

VZA'功是△［四的一個外角，

：.ZACE=ZA'ED-NA=90°,

；.N4cgN4'但a=l_/{g45°；

2

綜上所述：若△"龐,是等腰三角形，則/a的度數(shù)為22.5°或67.5°或45°,

故答案為：22.5°或67.5°或45°.

16.如圖，中，ZJ=90°,AC=5,48=12,將△/比■繞點(diǎn)C逆時針旋轉(zhuǎn)a°(0°<a°

<90°),得到△%G點(diǎn)、A,8的對應(yīng)點(diǎn)分別為〃，E,射線切分別交8C,AB于點(diǎn)、F,M,當(dāng)4

物方為等腰三角形時，4"的長為，壇-1或1.

【答案】J詬-1或L

【解答】解：分兩種情況:

①當(dāng)出'=5獷時，如圖：

,:BF=RM,

第19頁共37頁

:.ABFM=/BWIF,

?:4B=/E,4BFM=4CFE,

：.4BMF=/ECF,

:./ECF=CFE,

:.FE=CE,

在RtZUAC中，ZJ=90°,AC=5,49=13,

:?BC=13,

:?FE=CE=BC=\3,

：.FD=FE-%'=13-12=1,

■:4CDE=9。。,

AC77=VCD2+FD2=V26'

:.BM=BF=BC-6^=13-726，

：.AM=AB-Btlf=12-(13-A/26)=726~1-

②當(dāng)尸8=EM時,過點(diǎn)尸作/W_L6V于點(diǎn)M如圖:

1/D：-

AMN

,:FB=FM,

：.NFBM=ZFMB,

VZB=AE,NBFM=/CFE,

：./妍=AECF,

:./ECF=CFE,

：.FE=CE,

設(shè)FE=FC=x,則￥=5二(12-x)?，

解得了=3，

24

/.g兇2,BF=BC-CF=13-兇

242424

'：FN//AC,

第20頁共37頁

143

?BFBNW~2TBN

BCAB1312

:.BN=143,

26

,:FB=FM,FN1BM,

.?.廓’=楸'=連＞,

26

：.BM=BN^MN^143,

13

J.AM^AB-BQ12-堂隆1,

13

綜上所述，滿足條件的4"的值為倔-1或1.

故答案為：726-1或1.

三.解答題（共6小題）

17.綜合與實(shí)踐課上，老師讓同學(xué)們以“三角形的折疊”為主題開展數(shù)學(xué)活動.在△/比■中，ABAC

=90°,點(diǎn)〃在灰邊上，將△/勿沿/〃翻折后得到△/被邊熊和邊4c重合時結(jié)束，邊AE交

邊6c于點(diǎn)F.

(1)如圖1,當(dāng)絲上8。時，求證：DE//AC.

A

(2)若NC=2N8,則NC=60。,NB=30°.(此結(jié)論在下面計算過程中可直接用.)

①如圖2,當(dāng)〃，和時，求N為。的度數(shù).

②若折疊過程中，△外尸中有兩個角相等，請直接寫出此時N陰。的度數(shù).

【答案】(1)證明見解答；

(2)60,30；

①/協(xié)Q15°；

②/胡。的度數(shù)為22.5°或45°.

【解答】(1)證明：以C=90°,AELBC,

第21頁共37頁

：.ZB+ZC=90°,ZG4MZC=90°,

：./B=/CAF,

由翻折可得：NB=/E,

:./CAF=/E,

:.AC"DE.

(2)解：???/以。=90°,

???NeN〃=90°,

VZC=2ZA

；?3N8=90°,

???/6=30°,

：.ZC=G0°,

故答案為：60,30.

①'：DEIBC,/E=/B=30°,

：./DFE=60°,

?：/DFE=/BAF,

：.ZBAF=ZDFE-ZB=&0°-30°=30°,

由翻折可得：NBAgL/BAF=15；

2

②/DFE=/B+NBAFWNE；

當(dāng)/&火=N&叨時，

?.?/?=30°,

.\ZW=A(180°-/￡)=75°,

2

?：ZEFD=N映4BAF,

：./BAF=NEFD-4B=75°-30°=45°,

:.NBAgL/BAF=22.5。；

2

當(dāng)NFDE=NE=3Q°時，

:.NDFE=18G°-ZFDE-Z￡=120°,

：.ZAFB=180°-NDFE=60°,

:.點(diǎn)、F、C重合,

第22頁共37頁

，N班片工/物C=45°；

2

；./胡。的度數(shù)為22.5°或45°.

18.閱讀下列一段文字，然后回答下列問題.已知在平面內(nèi)兩點(diǎn)P、(小，力)，P2(即，%),其兩

點(diǎn)間的距離八2=｛頻1_*2)2+6172產(chǎn).同時，當(dāng)兩點(diǎn)所在的直線在坐標(biāo)軸或平行于坐標(biāo)

軸或垂直于坐標(biāo)軸時，兩點(diǎn)間距離公式可簡化為I次-川或I汝-力I.

(1)已知/(-2,3),8(4,-5),試求從8兩點(diǎn)間的距離；

(2)已知一個三角形各頂點(diǎn)坐標(biāo)為1(-1,3)、B(0,1),。(2,2),請判定此三角形的形

狀，并說明理由.

(3)已知4(2,1),在x軸上是否存在一點(diǎn)只使△力。為等腰三角形，若存在請直接寫出點(diǎn)

戶的坐標(biāo)；若不存在請說明理由.

【答案】(1)10;(2)直角三角形，理由見解析；(3)尸(代，0)或(-依，0)或(4,

0)或(絲，0).

4

【解答】解：(1)???/(-2,3),8(4,-5),

???"=4(-2-4/+(3+5)2=10；

(2)直角三角形，理由如下：

?：A(-1,3)、8(0,1)、C(2,2),

/W=V(-1-0)2+(3-1)2=A/5>

AC=yl(-^2)2+(3-2)2=^/10，

BC=V(0-2)2+(l-2)2=遙1

:.A)+BE=Ad,

...△4回是直角三角形；

(3)存在，

,：A(2,1),

第23頁共37頁

fl4=V（0-2）2+（0-1）2=Vs，

當(dāng)陣遙時，P（遙，0）或（-依，o）,

當(dāng)4=4尸時，過點(diǎn)4作4U_x軸于。，

當(dāng)用=尸0時，

設(shè)PA=PO=x,則PD=2-x,

■:A^=AlhP譏

4

，戶也，0），

4

綜上，P（Vs,0）或（-匹,0）或（4,0）或（立，0）.

4

19.己知在△4?。中，AB=AC,點(diǎn)。是邊46上一點(diǎn)，ZBCD=NA.

（1）如圖1,試說明必="的理由；

（2）如圖2,過點(diǎn)6作坊L4G垂足為點(diǎn)反段'與切相交于點(diǎn)長

①試說明/及力=2/鹿的理由；

②如果△質(zhì)是等腰三角形，求N4的度數(shù).

圖1圖2備用圖

第24頁共37頁

【答案】(1)說明過程見解答；

(2)①說明過程見解答；

②如果△叱是等腰三角形，/力的度數(shù)為45°或36°?

【解答】解：(1)-：AB=ACf

：.ZABC=/ACB,

V是的一個外角，

:?/BDC=4A+/ACD,

/ACB=/BC>/ACD,4BCD=/A,

：2BDC=2ACB,

：.ZABC=ZBDC.

：.CD=CB：

(2)①?"_L47,

:./BEC=9G0,

:?/CBE%ACB=90°,

設(shè)/鹿=a,則乙4徵=90°-a,

AZACB=ZABC=ZBDC=9Q°-a,

：.ZBCD=1800-ZBDC-ZABC=180°-(90°-a)-(900-a)=2a,

：.ZBCD=2ZCBE；

②TN藥。是△吸的一個外角，

：.ABFD=ACBE^ABCD=a+2a=3a,

分三種情況：

當(dāng)BD=BF時,

"BDC=4BFD=3a,

VZACB=ZABC=ZBDC=90°-a,

A90°-a=3a,

:.a=22.5°,

:?/A=/BCD=2a=45。；

當(dāng)龐=加'時，

:?/DBE=/BFD=3a,

■:/DBE=/ABC-/CBE=900-a-a=90°-2a,

第25頁共37頁

.".900-2a=3a,

a=18°,

：.ZA=ZBCD=2a=36°；

當(dāng)FB=FD時,

：.4DBE=/BDF,

"：NBDF=ZABO/DBF,

，不存在FB=FD,

綜上所述：如果△叱是等腰三角形，//的度數(shù)為45°或36°.

20.在等腰直角三角形力歐中，/ACB=90°,4C=6G點(diǎn)0為直線力6上一個動點(diǎn)，繞點(diǎn)C將射線

"逆時針旋轉(zhuǎn)45°,交直線45于點(diǎn)0.

圖1圖2備用圖

在圖1中，將繞點(diǎn)C逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到4區(qū)垢連接第，

■：NACRNBCg45°,NAC4NBCM,

，乙必g45°=ZPCQ,

又,：CP=CM,CQ=CQ,

:,△PCgXMCQ.

請閱讀上述過程，并完成以下問題：

(1)得出四△，械%的依據(jù)是②(填序號).

①SSS

②必S

③A4s

?HL

⑵在以上條件下，如圖2,當(dāng)點(diǎn)〃在線段窗的延長線上時，求證：PG=AF+B@.

(3)在等邊三角形/6C中，6C=2,點(diǎn)戶為射線物上一個動點(diǎn)，將射線CP繞點(diǎn)、C逆時針旋轉(zhuǎn)30°

交直線為于點(diǎn)0,將△如&繞點(diǎn)。逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到△8必，連接，圖，當(dāng)附為直角三角形

時，請直接寫出力戶的長.

第26頁共37頁

【答案】(1)②；

(2)證明過程見解答；

(3)愿-1或蓊+2

【解答】(1)解：???推理過程中判定的條件是兩邊和夾角對應(yīng)相等,

得出△△(%總的依據(jù)是SAS,

故答案為：②；

(2)證明：如圖1,將△加T繞點(diǎn)C逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到△身心連接,第

N/&=45°-ZPCA,

:.ZBCg9Q°-(45°-ZPCA)=45°+ZPCA,

,：/PCA=ABCM,

:.乙MCQ=4BCQ-4BC44BCQ_/AO=45°+Z.PCA-NA竊=45°,

Z.MCQ=Z.PCQ,

又,：CP=CM,CQ=CQ,

：./\PCQ^/\MCQ{SAS},

：.QM=QP,

,：ZACB=90°,AC=BC,

：.ZCAB=ZCBA=A5°,

處仁乙班C=135°,

...NQ5Q90°,

:.MG=B而+B4,

又,：AP=現(xiàn),QM=QP,

:.Pd=A^+Bd；

(3)分兩種情況：①如圖2,當(dāng)/瀏@=90°時，

第27頁共37頁

c

又???N煙=60°,

:./QBM=1200-60°=60°,

:.BM=LBQ,QM=MBM,

2

設(shè)用=BM=a,則BQ=2a,PQ=QM=^3a,

:?AQ=PQ-PA=Ma-a=Ma-a,

?:AB=A/BQ,AB=2,

；?-a+2a=2,

?，.-1，

即心的長為我-1；

②如圖3,當(dāng)NMQB=900時，

又TN煙=60°,

???/例三120°-60°=60°,

第28頁共37頁

：.BM=2BQ,QQMBQ,

設(shè)則園=」a,Qi/="?=退_a,

22

AQ—x-2/l-x,

2

,:BA=BQ-AQ,

“1/V3so

.?x—x-(x-^~x)=2'

.,?^=2V3+2；

綜上所述，心的長為百-1或K6+2.

21.已知是等邊三角形.

(1)如圖1,點(diǎn)，是邊的中點(diǎn)，點(diǎn)尸為射線/C上一動點(diǎn)，當(dāng)△口)「是軸對稱圖形時，AAPD

的度數(shù)為15°或60°或105°；

(2)如圖2,〃比1，點(diǎn)〃在49邊上，點(diǎn)尸在射線"上，豆DC=DF,作用口〃1于G,當(dāng)點(diǎn)，

在A?邊上移動時，請同學(xué)們探究線段4。，AC,4尸之間有什么數(shù)量關(guān)系，并對結(jié)論加以證明；

(3)如圖3,點(diǎn)尸在比延長線上，連接"；〃為"上一點(diǎn)，AD=BC,連接協(xié)交/C于￡,若然

=2〃，DF=n,直接寫出線段雙的比值為1.

AF~7~

【答案】(1)15°或60或105°:

(2)AC^AIAAF.證明過程見解答；

(3)A.

7

【解答】(1)解：當(dāng)△口人是軸對稱圖形時，其一定是等腰三角形，

???△/8C是等邊三角形，

；.N4g60°,

?.?〃是四邊的中點(diǎn)，

:.CD平-分乙ACB,

：.AACD=ABCD=^,

第29頁共37頁

當(dāng)