河南省鄭州市2023屆高三第一次質(zhì)量預(yù)測理科數(shù)學(xué)試題（解析版）

鄭州市2023年高中畢業(yè)年級第一次質(zhì)量預(yù)測

理科數(shù)學(xué)試題卷

一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一

項(xiàng)是符合題目要求的.

1.設(shè)集合A川"J+4—”=伸唱（1）叫則4吟）

A.{x∣l≤x<3}B.{x∣3<x≤4}C.{x∣l<x≤3}D.{x∣3<x<4}

K答案XC

K解析》

K祥解D根據(jù)根式的定義域列出方程,解出集合A,根據(jù)對數(shù)函數(shù)性質(zhì)解出對數(shù)不等式,即集合8,再求出

AryB即可.

K詳析H由題知4=卜y=J-χ2+4x-31=卜卜4+4χ—3≥θ},

解得:A={x∣l≤x43},

B={Mog3（x-l）<l}={x∣O<x-l<3}={x∣l<x<4},

所以ACB={x∣l<x<3}.

故選：C.

2.已知i是虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)Z的實(shí)部為I,zi=4，則復(fù)數(shù)Z的虛部為（）

A.—百或GB.一厲或√i?C.T或1D.一炳或炳

K答案2A

K解析』

K祥解』設(shè)z=l+加，則3=1-從，由zS=4,列出方程求解即可.

K詳析》由題意，設(shè)z=l+M,則1=1-歷，

所以z?z=（1+歷）（1一歷）=4,

即1+∕J2=4,所以b=—￡或K，

即Z=I-6i或z=l+Gi,

所以復(fù)數(shù)Z的虛部為-6或6?

故選：A.

X27

3.已知雙曲線三y1(π>0,?>0)的離心率為2,則該雙曲線的漸近線方程為

a

A.x±y=OB.χ±√3y=0C.√3x±j=0D.2x±y=0

K答案2C

K解析』

K詳析22=杵==二i=g，漸近線方程是y=±6χo√iχ±y=0,故選C,

4.歐拉函數(shù)。(")("∈N")的函數(shù)值等于所有不超過正整數(shù)〃，且與〃互素(也稱互質(zhì))的正整數(shù)的個數(shù),

例如θ(l)=l,夕(4)=2,夕(9)=6.則()

A.數(shù)列｛°(叫單調(diào)B.°(5)<夕⑹

C.數(shù)列｛0(2")｝是等比數(shù)列D,o(6)=°(2)+。⑶

K答案Rc

K解析H

K祥解11再求出。(3),夕(5),9(6)后判斷ABD,同樣求得破2")后根據(jù)等比數(shù)列定義判斷C.

K詳析H奴3)=2,夕(4)=2,夕(〃)不單調(diào)，A錯;

0(5)=4,夕(6)=2。夕(2)+0(3)=3,B錯誤；D錯誤；

易知所有偶數(shù)與2"不互素，所有奇數(shù)與2"互素，e(2")=2"τ,φ(2"+')=2n,

所以四J=2,即數(shù)列■(夕(2")|是等比數(shù)列，C正確.

夕(2")I'〃

故選：C.

x-2y+?≤0

5?若實(shí)數(shù)XQ滿足約束條件《?U八，則z=x+y的()

%+y-5>0

A.最大值4B,最小值為4C.最大值為5D.最小值為5

K答案》D

K解析2

K祥解』畫出可行域,由z=χ+y河知Z可看作直線y=-x+z在y軸上的截距,平移直線即可得出結(jié)果.

x-2y+l≤0

K詳析》解:由題知約束條件［

x+y-5≥0

畫出約束條件如下:

x-2y+l=OX=3

聯(lián)立《x+y-5=?？傻茫?/p>

y=2'

z=x+y可寫為:y=—x+z,

Z可看作直線y=-X+Z在y軸上的截距,由可行域可知,

當(dāng)y=-x+Z與y=-X+5重合時,Z有最小值,最小值為5.

故選:D

6.設(shè)等差數(shù)列｛4｝的前"項(xiàng)和為S"，q=2,S8≥S7≥S9,則公差d的取值范圍是（）

2_4__241

,B.,C.D.0

7~15^7^415,4-？

K答案DA

K解析X

K祥解D方法1：等差數(shù)列通項(xiàng)公式的基本量代入不等式組求解即可.

方法2：等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的基本量代入不等式組求解即可.

K詳析H方法1：V｛%｝為等差數(shù)列,q=2,

/.=q+(〃一l)d=2+(〃-l)d,

d≥--

STS7=Sii—S1≥O%≥On2+7<∕≥0724

S-S≤0=2+7d+2+8d≤0=n—≤d<--

S>S970+0≤O,4715

7989d<—

15

方法2：???｛%｝為等差數(shù)列,q=2,

≤?=2”+≤?/

.*.S=na+

nλ22

,8×7,7x6,「，2

Z-16+-----d1≥14+------dd≥—

/≥?222+7d≥07_274

.?.<=>=><=><>——≤d<-----

SNSO…7×6IC9×8.4+15d≤0,4一715

17914+-----df≥18+------dd≤-----

[2215

故選：A.

7.記函數(shù)/(x)=Sin(S+胃(。〉0)的最小正周期為τ.若兀<丁<2兀，且y=∕(x)的圖象的一條對

TT

稱軸為X=W，關(guān)于該函數(shù)有下列四個說法：

6

Φ2<tυ<3；

②佃=。；

ITJT

③/(X)在-U上單調(diào)遞增；

L66_

④為了得到g(x)=sin的的圖象，只需將/(x)的圖象向右平移十個單位長度.

以上四個說法中，正確的個數(shù)為()

A.1B.2C.3D.4

K答案UB

R解析』

'?lJlTVJi

K祥解D利用周期公式求出0的范圍可判斷①；由x=2為一條對稱軸得烏3+2='+桁伏eZ),結(jié)合

6642

。的范圍可求得①，從而得出/'O)的K解析》式，求值/(搟)可判斷②；利用正弦函數(shù)的單調(diào)性可判斷

③；利用三角函數(shù)圖象平移的規(guī)律可判斷④.

2TT

K詳析』由T=—且π<T<2兀，故1VGV2,故①錯誤；

ω

TrTiTiTifIi3

因?yàn)閄=-為一條對稱軸，故一<υ+—=一+kι(kwZ),ω=6?k+~?.由于1<°<2,故<υ=二，則

6642I4J2

/(x)=sinf∣x+??所以/(5)=sin(gx]+()=sin7r=O,故②正確；

ππ??rITJP

當(dāng)x∈時,-x÷√eθ,~，則/(x)在一上單調(diào)遞增，故③正確;

6,624266

將/(x)的圖象向右平移?個單位長度得y=Sin的圖象，而

3

(x)=Sin-X,故④錯誤.

所以，正確的有②③，共2個.

故選：B.

8.河南博物院主展館的主體建筑以元代登封古觀星臺為原型，經(jīng)藝術(shù)夸張演繹成“戴冠的金字塔”造型，冠

部為“方斗”形，上揚(yáng)下覆，取上承“甘露”、下納“地氣”之意.冠部以及冠部下方均可視為正四棱臺.已知一

個“方斗，，的上底面與下底面的面積之比為1：4,高為2,體積為學(xué)，則該“方斗”的側(cè)面積為()

3

1一

A.24B.12C.24√5D.12√5

K答案2D

K解析H

K祥解》根據(jù)題意得正四棱臺的側(cè)面為四個等腰梯形，先計(jì)算側(cè)面的高，然后利用梯形的面積公式代入計(jì)

算即可.

K詳析H由題意可知，記正四棱臺為A8CD—A4GA，其底面為正方形,

側(cè)面為四個等腰梯形，把該四棱臺補(bǔ)成正四棱錐如圖，

設(shè)M是底面ABCD±.AC與3。的交點(diǎn)，N是底面A1ɑi上4G與MA的交點(diǎn)

則PM是正四棱錐P—ABCD的高，MN為正四棱臺ABcD-AAGA的高,

設(shè)4d=α,AB=b,則上、下底面的面積分別為/、

由題意〃：尸=1：4,所以〃=2α,

在,.RS中，空=4"所以Al為Rl的中點(diǎn)，

PAAB2

PAPN1I

在，RU/中，」=——=—,所以MN=-PM=2,所以？M=4,

PAPM22

又%BCD-ABC場=gx(∕+αx人+b*)x2=^^=三，解得α=2,b=4,

所以∕?=yjPM2+AM2=742+(2√2)2=2√6，

所以側(cè)棱長AA是遙，由勾股定理可得側(cè)面的高為h=√(√6)2-l2=√5，

所以側(cè)面積為S=4xgx(2+4)x6=126.

故選：D

9,記一ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為。，。，c,已知角C=W,。Sin[：+A)—asin[：+B

則角B=()

πCJt-5兀C無

A.-B.-C.—D.一

8683

K答案Xc

K解析H

K祥解》先由正弦定理把邊轉(zhuǎn)化為角，再展開化簡求得8與A的關(guān)系，進(jìn)一步計(jì)算得出結(jié)果.

K詳析H已知角C=囚，∕?SinIm?+A]-QSinIE+B]=C,

4U)U

由正弦定理可得SinBSinI+Λj-sinAsinf?Tl+Bj=sinC,

4

√7號,即Sin(B—A)=1,

整理得-^-(SinBcosA-sinAcosB)=

因?yàn)锳,B∈[θ,ιJ,所以B-AG[-ZJ,7J,所以B-A=方.

371

又8+4=7'所以8

故選：C.

10.在如圖所示的實(shí)驗(yàn)裝置中，兩個正方形框架ABCD,的邊長都為1,且它們所在的平面互相垂

直.活動彈子M,N分別在正方形對角線AC和所上移動，且CM和BN的長度保持相等，記

CM=BN={0<”血）.則下列結(jié)論埼送的是（）

B.當(dāng)α=L時，MN的長度最小

A.該模型外接球的半徑為

22

C.異面直線AC與防所成的角為60。D.MN//平面BCE

K答案』B

K解析』

K祥解》把圖形補(bǔ)形成一個正方體，根據(jù)正方體性質(zhì)求解判斷各選項(xiàng)：正方體的對角線是其外接球直徑,

從而易得外接球半徑，判斷A；過M作MP//AB交BC于P,過N作NQ//AB交BE于Q,證明MPQN是

平行四邊形，用。表示出MN的長，求得最小值，判斷B；求出異面直線所成的角判斷C；由線面平行的判

定定理證明線面平行判斷D.

K詳析Il如圖，把該模型補(bǔ)成一個以ABC。和AfiEF為相鄰面的正方體，

正方體的對角線是其外接球直徑，而正方體對角線長為√L因此球半徑為且，A正確；

2

過M作MP//AB交BC于P,過N作NQ//AB交5E于。，連接尸Q,則MP//NQ,

NOBNCMMP

又以=吧L=JLAB=EF，所以MP=NQ,則MPQN是平行四邊形，MN=PQ,

EFBFCAAB

MN//PQ,

另一方面S="=網(wǎng)=些抬CP=BQ√26z√2

—,BP=?-CP^?--a

CBCABFBE22

?^)2=∣a2-∕2a+=2

22-^-+(1-???J(α-~~)+?>

PQ=y∣BP+BQ=

所以α=交時，PQ取得最小值，B錯誤;

2

正方體中易得3f7∕C7∕,NAC”或其補(bǔ)角是異面直線AC與M所成的角，=ACH是等邊三角形,

ZACH=60°,因此異面直線AC與所所成的角是60。，C正確;

由MN/∕PQ,MNN平面BCE,PQU平面BCE,.;MV//平面BCE,D正確.

故選：B.

11.已知直線/與拋物線丁=2川(〃>0)交于A,B兩點(diǎn),。為坐標(biāo)原點(diǎn)，OALOB,0"，AB交AB于

點(diǎn)H，點(diǎn)H的坐標(biāo)為(2,2),則/7的值為()

35

A.-B.2C.-D.3

22

K答案』B

K解析》

K祥解』寫出直線”8的方程，聯(lián)立直線/8的方程與拋物線方程可得不W與Xy2,代入。A?OB=0可得

P的值.

K詳析D???H(2,2),OHlAB,

^OH=^Σ—?=?,^ABXk°H=-1，

2-U

?e?ZAB二-1

.?.直線18的方程為：y-2=-(x-2),即：y=-χ+4,

設(shè)4(X]j),B(x2,y2),

y=-x+41?

H=2px=五曠+>”。,

?=l÷τ-=?-1—>θ,y↑y二一8〃,

2pP2

?*?x?x2???i2,-^3Z22=7?7《乂%)2=τ^τ,(~8P)2=16,

2〃2p4〃4〃

又???Q4J_g

???0408=0，

x1x2+y]y2=16-8p=0,

.?p=2.

故選：B.

12.己知函數(shù)〃X)定義域?yàn)镽,/(x+l)為偶函數(shù)，/(x+2)為奇函數(shù)，且滿足了⑴+"2)=2,則

2￡023/(A)=()

k=?

A.-2023B.0C.2D.2023

K答案》B

K解析H

K祥解H由已知條件結(jié)合函數(shù)奇偶性的定義可求得函數(shù)/(x)的周期為4,利用賦值法可得

/(1),/(2),/(3),/(4),再結(jié)合周期可求得結(jié)果.

K詳析H因?yàn)?(x+D為偶函數(shù)，所以∕(-x+l)=∕(x+I),所以f(-x+為=f(x),

因?yàn)?(x+2)為奇函數(shù)，所以/(-%+2)=-f(X+2),

所以/(x+2)=-/(X),所以/(X+4)=-f{x+2)=f(x),

所以/(x)是以4為周期的周期函數(shù)，

由/(τ+2)=-Λx+2),令χ=0,得/⑵=一>⑵，則/⑵=0,

又/(l)+∕(2)=2,得/(1)=2,

由/(τ+2)=-y?(x+2),令χ=l,得/。)=-/(3),則/⑶=一2,

由Ir(X+2)=-F(X),令χ=2,得/(4)=-/(2)=0,

則/Q)+/⑵+/(3)+/(4)=0,

2023

所以￡/伏)=[/(1)+/(2)+/(3)+/(4)]X505+/(1)+/(2)+/(3)=0X505+2+(-2)=0.

Jl=I

故選：B.

二、填空題(每題5分，滿分20分.)

13.fX2--I的展開式中的X項(xiàng)系數(shù)為___________;

IX)

K答案D-80

K解析H

K祥解》在二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式中，令X的幕指數(shù)等于1,求出，?的值，即可求得展開式中X的系數(shù).

K詳析]解：J=G(X2廣[一=(—2)'CXgf

令10—2〃一〃=0,則尸=3,

所以(一2)3XG=—80.

故R答案』為：—80.

14.已知四邊形ABCO是邊長為2的正方形，若BC=3DE,且口為BC的中點(diǎn)，則E4?EF=

K答案』—

9

K解析H

K祥解』以｛ABA。｝為基底表示E4,ER,進(jìn)而求得E4?M?

K詳析》依題意，在正方形ABCD中，8C=3OE且尸為BC的中點(diǎn)，

所以E4=-AE=-(Ao+OE)=-(AO+(6C)=—(AO+gA0)=-gAO,

145

EF=AF-AE=AB+BF+EA=AB+-AD——AD=AB——AD,

236

所以￡4.防=—@4￡>//18—340]=-±4￡)48+340：;=3*22=竺.

3I6J3999

40

故K答案X為：—

9

15?經(jīng)過點(diǎn)P(l,l)以及圓Y+y2-4=0與無2+y2—4尤+4y-12=()交點(diǎn)的圓的方程為

K答案HX2+y2+x-y-2^0

K解析，

R祥解》求出兩圓的交點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)出所求圓的一般方程，將三點(diǎn)坐標(biāo)代入，解出參數(shù)，可得K答案〉

%2+j2-4=O

K詳析』聯(lián)立《整理得y=χ+2,

X2+y2-4x+4>,-12=0

代入尤2+9_4=0,得/+2%=0,解得尤=0或X=-2,

貝IJ圓χ2+丁—4=0與爐+9—4χ+4),-12=0交點(diǎn)坐標(biāo)為(0,2),(-2,0),

22

設(shè)經(jīng)過點(diǎn)P(l,1)以及(0,2),(—2,0)的圓的方程為x+y+Dx+Ey+F=Gy

'2+D+E+F^0[0=1

則<4+2E+∕7=0,解得<E1=-I,

4-2Z)+F=0[F=-2

故經(jīng)過點(diǎn)P(U)以及圓χ2+V-4=0與爐+>2-4%+4)，-12=0交點(diǎn)的圓的方程為

%2+V+χ-y-2=0,

故K答案11為：√+∕+x-y-2=0

16.已知函數(shù)/(x)=e2*—e-2*—公，若/(x)有兩個不同的極值點(diǎn)％,x2,且0<無?一看<皿2,則a的

取值范圍為.

K答案H(4,5)

K解析』

K祥解力先求得函數(shù)/(x)的導(dǎo)函數(shù)/'(X),則方程2e2'+2e3-α=0有兩個異號零點(diǎn)玉，々，且

0<x2-x,<ln2,構(gòu)造新函數(shù)MX)=2e2'+2e-2χ,利用導(dǎo)數(shù)求得其單調(diào)性，進(jìn)而求得。的取值范圍.

K詳析》f(x)^e2x-e2x-ax,貝IJr(X)=2e2*+2e3-α

令h(x)=2e2r+2e-2x,由h(-x)=2e-2x+2e2x=h(x),可得h(x)為偶函數(shù)，

4.一1)

貝IJh,(x)=4(e2jt-e2x)=1？，)

則當(dāng)X>0時，h'(x)>0,A(X)單調(diào)遞增;

當(dāng)x<0時，//U)<0,∕z(x)單調(diào)遞減,

又A(O)=4,h(一一In2)=Λ(-In2)=2eln2+2e^ln2=4+1=5

22

由題意得方程2e2'+2eH-α=0有兩個互為相反數(shù)的零點(diǎn)不々，且0＜馬一玉＜山2

則。的取值范圍為(4,5)

故K答案》為：(4,5)

三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.第17?21題為必考題,

每個試題考生都必須作答.第22,23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.

(一)必考題：每題12分，共60分.

17.已知數(shù)列｛a,,｝("∈N)滿足￡+墨+

+A”-2+擊.

(1)求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式;

(2)若"=atl?cosfiπ,求數(shù)列也｝前2〃項(xiàng)和成.

n

K答案，(1)an=2-2

2?4),-2

(2)

K解析H

K祥解Il(I)用數(shù)列中前〃項(xiàng)和S“與項(xiàng)％的關(guān)系求解：

(2)先寫出奇數(shù)項(xiàng)、偶數(shù)項(xiàng)的通項(xiàng)公式，再按奇數(shù)項(xiàng)、偶數(shù)項(xiàng)分組求和.

K小問1詳析U

由題意色+??+-+—=n-2+-^-i-.

2222n2"~'

當(dāng)〃=1時,，β∣=0;

當(dāng)〃≥2時，y+-^f-++^?="-3+止，

兩式相減得墨=〃-2+*一(〃-3+/T)=I一擊，

所以”,,=2"-2,當(dāng)〃=1時也成立.

所以數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式=2"-2.

K小問2詳析』

2-2"〃為奇數(shù)

根據(jù)題意，得a=α,,.cos〃兀=(2"-2)cos〃兀=〈'?,,

〔2"-2,”為偶數(shù)

所以入“=4+瓦+4+…+b2n.l+b2n

=(-2,+22-23+...-22"-'+22n)+(2-2+2-...-2+2)

=-2l+22-23+...-22n^l+22n

-2∏-(-2)2W]_2-4"-2

1-(-2)~~

24-2

所以耳

3

18.如圖，正四棱錐P-ABCD的底面邊長和高均為2,E，尸分別為PZ)，PB的中點(diǎn).

P

若點(diǎn)M是線段PC上的點(diǎn)，且PM=LPC,判斷點(diǎn)”是否在平面AE尸內(nèi)，并證明你的結(jié)論；

(1)

3

(2)求直線PB與平面AEf'所成角的正弦值.

K答案H(1)點(diǎn)M在平面AE尸內(nèi)，證明見K解析》

2

(2)

3

1解析H

K祥解Il(I)連接AC、BD交于O，連接。P，以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，OA,OB、OP為x、y、Z軸建立

,22

空間直角坐標(biāo)系，求出AE、AF`AM＞即可得到AAf=§4￡+§力/，從而得到A、M、E、尸四

點(diǎn)共面，即可得證；

(2)利用空間向量法計(jì)算可得

K小問1詳析)

解：連接AC、BD交于O，連接OP,由正四棱錐性質(zhì)可得PO1平面ABCD,底面ABC。為正方形,

則ACJ.8。，

所以以0為坐標(biāo)原點(diǎn)，0A,OB、OP為x、y、Z軸建立空間直角坐標(biāo)系，

ZM

則4(力,0,0),仇0,0,0),/)(0,0,2),。(一夜,0,0),。(0,—g,0),E(0,--,0)，F(xiàn)(0,-,1)，

22

所以AE=(—a,—亞,1),AF=(-√2,-,1),

22

1一----1A-4____L

又PM=—PC,得Av=AP+-PC=(——√r2,0,-),AE+AF=(-2√Σ,0,2),

3333

22

所以AM=—AE+—AF,

33

所以A、M,E、F四點(diǎn)共面，即點(diǎn)M在平面AEE內(nèi).

K小問2詳析』

解：由(1)可得PB=(O,√Σ,-2),

-V∑x——-γy+z=0

H?AE=0

設(shè)平面A的法向量"=(χ,y,z)由,得

“AF=O

-?∣2x+y+z=0

令x=l,則z=√∑,y=o,所以〃=(1,(),0),

PBn-2√22

∣∕,β∣?∣∕2∣^√6?√33,

2

所以直線PB與平面AEE所成角的正弦值為

19.世界杯足球賽淘汰賽階段的比賽規(guī)則為：90分鐘內(nèi)進(jìn)球多的球隊(duì)取勝，如果參賽雙方在90分鐘內(nèi)無法

決出勝負(fù)(踢成平局)，將進(jìn)行30分鐘的加時賽，若加時賽階段兩隊(duì)仍未分出勝負(fù)，則進(jìn)入“點(diǎn)球大戰(zhàn)'’.點(diǎn)

球大戰(zhàn)的規(guī)則如下：①兩隊(duì)各派5名隊(duì)員，雙方輪流踢點(diǎn)球，累計(jì)進(jìn)球個數(shù)多者勝；②如果在踢滿5球前,

一隊(duì)進(jìn)球數(shù)已多于另一隊(duì)踢5球可能踢中的球數(shù)，則該隊(duì)勝出，譬如：第4輪結(jié)束時，雙方進(jìn)球數(shù)比2:(),

則不需踢第5輪了；③若前5輪點(diǎn)球大戰(zhàn)中雙方進(jìn)球數(shù)持平，則采用“突然死亡法”決出勝負(fù)，即從第6輪起，

雙方每輪各派1人踢點(diǎn)球，若均進(jìn)球或均不進(jìn)球，則繼續(xù)下一輪.直到出現(xiàn)一方進(jìn)球另一方不進(jìn)球的情況，

進(jìn)球方勝.現(xiàn)有甲乙兩隊(duì)在淘汰賽中相遇，雙方勢均力敵，120分鐘(含加時賽)仍未分出勝負(fù)，須采用“點(diǎn)

球大戰(zhàn)”決定勝負(fù).設(shè)甲隊(duì)每名球員射進(jìn)的概率為J,乙隊(duì)每名球員射進(jìn)的概率為.每輪點(diǎn)球結(jié)果互不影

響.

(1)設(shè)甲隊(duì)踢了5球，X為射進(jìn)點(diǎn)球的個數(shù)，求X的分布列與期望；

(2)若每輪點(diǎn)球都由甲隊(duì)先踢，求在第四輪點(diǎn)球結(jié)束時，乙隊(duì)進(jìn)了4個球并剛好勝出的概率.

K答案？(1)分布列見K解析』，E(X)=-

2

⑵-

9

K解析』

K祥解Il(I)由題意知X8(5,L),由二項(xiàng)分布求出X的分布列與期望；

2

(2)由題意知甲乙兩隊(duì)比分為1：4或2：4,求出相應(yīng)的概率再相加即可：

K小問1詳析』

由題意知，XB(54)，X可能的取值為0，1，2,3,4,5.

2

P(X=O)=Gy=LP(X=I)=C心5=三，

232232

P(X=2)=CU-)5=-=-,P(X=3)=Ch-)5=—=—,P(X=A)=CU-)5=—

5232165232165232

P(X=5)=(g)51

32

所以X的分布列為

X012345

155551

P

323216163232

E(X)=5x那

K小問2詳析］

設(shè)“第四輪點(diǎn)球結(jié)束時，乙隊(duì)進(jìn)了4個球并勝出“為事件4

由題意知，甲乙兩隊(duì)比分為1：4或2：4,設(shè)“甲乙兩隊(duì)比分為1：4”為事件％,“甲乙兩隊(duì)比分為2：4”為

事件4,

若甲乙兩隊(duì)比分為1：4,則乙射進(jìn)4次,

若甲乙兩隊(duì)比分為2：4,則乙射進(jìn)4次,

所以P(A)=P(4)+P(A,)=」+/=上

27279

即在第四輪點(diǎn)球結(jié)束時，乙隊(duì)進(jìn)了4個球并勝出的概率為

9

20.已知橢圓C：?+5=l(0>b>0)的離心率為也，且過點(diǎn)P(2,l).

a~b"2

(1)求橢圓C的方程;

(2)設(shè)不過點(diǎn)P的直線/與橢圓。交于A,B兩點(diǎn)，A關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)為。，記直線/,PB,P。的斜

率分別為k,K,k2,若勺?％2=g,證明直線/的斜率后為定值.

r22

K答案D(1)4+匕v=1

(2)證明見K解析』

K解析H

K祥解D(1)根據(jù)離心率和過點(diǎn)p(2,l),求出橢圓C方程；

(2)根據(jù)題意求出女小??,=—g,進(jìn)而右1+3a=0,韋達(dá)定理帶入求出&=1.

K小問1詳析》

由題設(shè)得,+5=1,e=￡="Z，

a~b-a2

解得/=66=3.

所以C的方程為三+21=1.

63

K小問2詳析』

22

設(shè)直線/的方程為y=履+機(jī)，代入[?+?=l得(1+2攵2)f+4kmx+2m2-6=0.

Δ=16Λ2m2-4(1+2k2)(2m2-6)=402公-2m2+6)>0,

設(shè)A(X],χ),以孫必)，則。(一斗，一乂)，于是西+工2=--4?：;中2=2"；?.

1十乙K1I乙K

χ2

kk_y_])i+]_3(16)1_1,又k?k,=g,所以MA=-%∣.

KPAKPD-?一二~~~7-2―：—一彳2

x∣—2x∣+2玉-4Xj—42

y1-1V9-1?

即原八+即B=O.T+T=0-即(％—1)(々-2)+(%—1)(玉一2)=0,

X∣一Z%2一2

(Ax1+m-l)(x2.2)+(kx2+m-l)(x1-2)=0,

+(加一機(jī)

2?X1X21-2k)(xl÷x2)-4(-1)=0,

4km2m2—6

將玉+X=一--------7,XlM

2l+2?2,-l+2?2

代入整理得2&2—3Λ÷1÷mk-m=0，即-1)(2?—1÷m)=0,

當(dāng)24一1+加=0,加=1一2左，直線)="+加過點(diǎn)P(2,l),舍去，

所以Z=L

Kr點(diǎn)石成金普方法『點(diǎn)石成金』：解決直線與橢圓的綜合問題時，要注意：

(1)注意觀察應(yīng)用題設(shè)中的每一個條件，明確確定直線、橢圓的條件；

(2)強(qiáng)化有關(guān)直線與橢圓聯(lián)立得出一元二次方程后的運(yùn)算能力，重視根與系數(shù)之間的關(guān)系.

21.已知函數(shù)/(%)=XSinX+cosx,x∈[-π,π].

(1)求/(x)的單調(diào)區(qū)間與最值；

(2)若存在Λo∈[0,π∣,使得不等式“∕)≥α(片+1)成立，求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

TrTrTrTr

K答案II(I)單調(diào)遞增區(qū)間為(—兀,—2),(0苫)，單調(diào)遞減區(qū)間為(-2，O),(-,π),

2222

"x)maχ=∕∕(x)min=T

(2)(-∞,1]

K解析X

K祥解D(1)對/(χ)求導(dǎo)后研究了'(X)的正負(fù)，確定/(χ)的單調(diào)性與最值；

(2)設(shè)F(X)=XSinX+cosX-α(χ2+l),x∈[O,π],由題意知F(x)≥O有解,分類討論F(x)的單調(diào)性并求

E(X)最大值即可.

K小問1詳析F

/'(X)=sinx+xcosx-sin元=XCOSX,

7Γ7Γ

所以在（一兀,一一），（0,-）±,∕,（X）＞O,/（X）單調(diào)遞增,

22

在（一四，。），（四，兀）上，r（χ）＜o(jì),/（X）單調(diào)遞減,

22

所以/（χ）單調(diào)遞增區(qū)間為（一兀一色），（0,-）.單調(diào)遞減區(qū)間為（一三,O），（?π）.

2222

一]]=1，/（_兀）=/（兀）=_1'"°）=i'

.?.∕(x)Jj(X).=-1.

K小問2詳析H

設(shè)F(x)=XSinX+cosx-Q(X2+l),x∈［O,πJ,

Fr(x)=xcosX-2cιx=X(CoSx-2a),

當(dāng)2a≤T,即。<一，時，尸'(x)2θ,尸(X)在［0,π］上單調(diào)遞增，

2

,11

F(x)=F(π)=-1-iz(π^+1)>O,a≤一一-——，所以α≤—一成立；

π2+l2

當(dāng)az≥l,即α≥;時，F(xiàn)'(%)≤0,F(X)在［0,兀］上單調(diào)遞減，Enax(x)=F(O)=l-α≥O,即α≤l,

所以'≤α<l;

2

當(dāng)一;<αvg時，3x0∈(0,π),cosx0=Ia,

f

當(dāng)X∈(O,x0),cosX>2a,F(x)>O,F(x)單調(diào)遞增,

當(dāng)尤∈(x0,?),cosx<2a,尸(X)V0,JF(X)單調(diào)遞減，

所以EnaX(X)=尸(/)=?SinX0+CoSx0-a(x^+1)

12

cos

?sinx0+cos?-2?(?+D

令O(X)=XSinX+,COSX--^-COSX,x∈(0,乃)，

Ir21

(X)=_SinJr4----sinx>O,所以°(x)>O(O)=一,∕7(x))≥0成立.

222t

綜上，〃的取值范圍為(F,l]?

Kr點(diǎn)石成金曾關(guān)鍵點(diǎn)『點(diǎn)石成金』：函數(shù)求導(dǎo)后的計(jì)算方向：

(1)求導(dǎo)后不要急于求/'(X)=O的根，因?yàn)橛袝r候會無根，無根的原因是廣。)出現(xiàn)恒正或恒負(fù)，所以要

先考慮了'O)會不會出現(xiàn)恒正或恒負(fù)的情況，這時候要看了'(X)的最大值小于等于零或最小值大于等于零.

(2)當(dāng)/'(X)有正有負(fù)時/'(X)=O才會有根可求，求根時可以直接解方程，或者猜根，或者使用零點(diǎn)存在

定理證明有根.

(二)選考題：共10分.請考生在第22,23題中任選一題作答，在答題卷上將所選題號涂黑，

如果多做，則按所做的第一題計(jì)分.

1

X=-------,

CoSaTi

22.在直角坐標(biāo)系XQy中，曲線C的參數(shù)方程為｛r(α為參數(shù)，a≠kπ+-?以坐標(biāo)原點(diǎn)

√3sina2

y~，

Icosa

(乃、

。為極點(diǎn)，尢軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線/的極坐標(biāo)方程為夕CoSe+可=1.

??√

(1)求曲線C的普通方程和直線/的直角坐標(biāo)方程；

(2)已知點(diǎn)P(2,0),若直線/與曲線。交于4B兩點(diǎn),求占-占的值.

?PA??PB?

2

K答案R(I)C：χ2-^-=l,直線/：x-√3y-2=0

3

⑵-

3

K解析』

X=夕COSe

K祥解》(1)用消參數(shù)法化參數(shù)方程為普通方程，由公式〈.八化極坐標(biāo)方程為直角坐標(biāo)方程；

y=ps?nθ

(2)化直線方程為P點(diǎn)的標(biāo)準(zhǔn)參數(shù)方程，代入拋物線方程利用參數(shù)幾何意義結(jié)合韋達(dá)定理求解.

R小問1詳析H

1

X=

曲線C的參數(shù)方程為〈慳Sa(α為參數(shù)，a≠kπ+-),

√3sina2

y---------，

COSa

2?222

所以尤2=_^_ysina

所以公一2L=L即曲線C的普通方程為/―匕=].

-9，

cosa3COS-a33

π、

直線/的極坐標(biāo)方程為夕CoSe+g=1