專題14 圓錐曲線（選填題8種考法）（解析版）

專題14圓錐曲線（選填題8種考法）考法一曲線的定義及應(yīng)用【例1-1】（2023·北京·統(tǒng)考高考真題）已知拋物線的焦點為，點在上．若到直線的距離為5，則（

）A．7 B．6 C．5 D．4【答案】D【解析】因為拋物線的焦點，準線方程為，點在上，所以到準線的距離為，又到直線的距離為，所以，故.故選：D.【例1-2】．（2023·陜西咸陽·武功縣普集高級中學?？寄M預(yù)測）已知橢圓C：的左?右焦點分別是，，為橢圓C上一點，則下列結(jié)論不正確的是（

）A．的周長為6 B．的面積為C．的內(nèi)切圓的半徑為 D．的外接圓的直徑為【答案】D【解析】由題意知，，，，由橢圓的定義知，，，∴的周長為，即A正確；將代入橢圓方程得，解得，∴的面積為，即B正確；設(shè)的內(nèi)切圓的半徑為r，則，即，∴，即C正確；不妨取，則，，∴的面積為，即，∴，由正弦定理知，的外接圓的直徑，即D錯誤，故選:D.

【變式】1．（2023·河南開封·統(tǒng)考三模）已知點是橢圓上一點，橢圓的左、右焦點分別為、，且，則的面積為（

）A．6 B．12 C． D．【答案】C【解析】由橢圓，得，，.

設(shè)，，∴，在中，由余弦定理可得：，可得，得，故.故選：C.2．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）設(shè)為橢圓的兩個焦點，點在上，若，則（

）A．1 B．2 C．4 D．5【答案】B【解析】方法一：因為，所以，從而，所以．故選：B.方法二：因為，所以，由橢圓方程可知，，所以，又，平方得：，所以．故選：B.3．（2023·北京·101中學?？既＃┮阎謩e是雙曲線的左右焦點，是上的一點，且，則的周長是．【答案】34【解析】因為，所以，故，則，又，故，則，，所以的周長為.故答案為：34.4．（2023·全國·模擬預(yù)測）已知，分別為雙曲線的左、右焦點，點在雙曲線上，且，的面積為8，則到雙曲線的漸近線的距離為.【答案】2【解析】由題意及雙曲線的定義知，則，由余弦定理可得，所以，因為，所以，，因為的面積為8，所以，所以，所以，因為點到該雙曲線漸近線的距離為，所以點到該雙曲線漸近線的距離為2.故答案為：2.考法二曲線的標準方程【例2-1】（2022·天津·統(tǒng)考高考真題）已知拋物線分別是雙曲線的左、右焦點，拋物線的準線過雙曲線的左焦點，與雙曲線的漸近線交于點A，若，則雙曲線的標準方程為（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】拋物線的準線方程為，則，則、，不妨設(shè)點為第二象限內(nèi)的點，聯(lián)立，可得，即點，因為且，則為等腰直角三角形，且，即，可得，所以，，解得，因此，雙曲線的標準方程為.故選：C.【例2-2】（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）已知橢圓的離心率為，分別為C的左、右頂點，B為C的上頂點．若，則C的方程為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因為離心率，解得，，分別為C的左右頂點，則，B為上頂點，所以.所以，因為所以，將代入，解得，故橢圓的方程為.故選：B.【例2-3】（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）過四點中的三點的一個圓的方程為．【答案】或或或．【解析】[方法一]：圓的一般方程依題意設(shè)圓的方程為，（1）若過，，，則，解得，所以圓的方程為，即；（2）若過，，，則，解得，所以圓的方程為，即；（3）若過，，，則，解得，所以圓的方程為，即；（4）若過，，，則，解得，所以圓的方程為，即；故答案為：或或或．[方法二]：【最優(yōu)解】圓的標準方程（三點中的兩條中垂線的交點為圓心）設(shè)（1）若圓過三點，圓心在直線，設(shè)圓心坐標為，則，所以圓的方程為；（2）若圓過三點，設(shè)圓心坐標為，則，所以圓的方程為；（3）若圓過三點，則線段的中垂線方程為，線段的中垂線方程為，聯(lián)立得，所以圓的方程為；（4）若圓過三點，則線段的中垂線方程為，線段中垂線方程為，聯(lián)立得，所以圓的方程為．故答案為：或或或．【例2-4】（2023·北京·北京四中校考模擬預(yù)測）已知拋物線的焦點為，準線為，點是拋物線上一點，于.若，則拋物線的方程為（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】如圖，連接，設(shè)準線與軸交點為

拋物線的焦點為，準線：又拋物線的定義可得，又，所以為等邊三角形，所以，所以在中，，則，所以拋物線的方程為.故選：C.【變式】1．（2023·吉林白山·統(tǒng)考模擬預(yù)測）若拋物線的焦點到準線的距離為3，且的開口朝左，則的標準方程為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】依題意可設(shè)的標準方程為，因為的焦點到準線的距離為3，所以，所以的標準方程為.故選：A2．（2023·天津河西·天津市新華中學校考模擬預(yù)測）已知雙曲線的左頂點與拋物線的焦點的距離為3，且雙曲線的一條漸近線與拋物線的準線的交點坐標為，則雙曲線的標準方程為（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】雙曲線的一條漸近線與拋物線的準線的交點坐標為，故拋物線的準線方程為，即拋物線焦點為，漸近線方程過，則，雙曲線的左頂點與拋物線焦點距離是，則左頂點為，即.故雙曲線方程為.故選：B.3（2023·全國·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知橢圓的左頂點為A，上頂點為B，左、右焦點分別為，，延長交橢圓E于點P．若點A到直線的距離為，的周長為16，則橢圓E的標準方程為（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】由題意，得，，，則直線的方程為，所以點A到直線的距離①．由的周長為16，得，即a+c=8②，聯(lián)立①②，解得③．因為，所以④．聯(lián)立②④，解得a=6，c=2，所以，故橢圓E的標準方程為是.故選：B．4．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）設(shè)點M在直線上，點和均在上，則的方程為．【答案】【解析】[方法一]：三點共圓∵點M在直線上，∴設(shè)點M為，又因為點和均在上，∴點M到兩點的距離相等且為半徑R，∴，，解得，∴，，的方程為.故答案為：[方法二]：圓的幾何性質(zhì)由題可知，M是以（3，0）和（0，1）為端點的線段垂直平分線y=3x-4與直線的交點(1,-1).,的方程為.故答案為：5．（2023·北京·統(tǒng)考高考真題）已知雙曲線C的焦點為和，離心率為，則C的方程為．【答案】【解析】令雙曲線的實半軸、虛半軸長分別為，顯然雙曲線的中心為原點，焦點在x軸上，其半焦距，由雙曲線的離心率為，得，解得，則，所以雙曲線的方程為.故答案為：考法三離心率【例3-1】（2023·云南昆明·昆明一中?？寄M預(yù)測）已知橢圓的左、右焦點分別為，，點是橢圓短軸的一個端點，且，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由題意可知，，在中，由余弦定理得，化簡得，則，所以，故選：C.【例3-2】．（2023·福建廈門·廈門一中?？寄M預(yù)測）已知為雙曲線：的右焦點，平行于軸的直線分別交的漸近線和右支于點，，且，，則的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】雙曲線：的漸近線方程為.設(shè)，聯(lián)立方程組，解得.因為，所以，即，可得.又因為點在雙曲線上，所以，將代入，可得，由，所以，所以，即，化簡得，則，所以雙曲線的離心率為.故選：B.

【變式】1．（2023·湖南郴州·統(tǒng)考一模）已知點是橢圓的左右焦點，點為橢圓上一點，點關(guān)于平分線的對稱點也在橢圓上，若，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由題意可作圖如下：

由圖可知：，由平分，則，所以，由，則解得，由是關(guān)于直線的對稱點，則共線，，，，所以，在中，，可得，解得，，在中，由余弦定理，可得，代入可得：，化簡可得：，所以其離心率.故選：C.2．（2023·貴州·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知右焦點為的橢圓：上的三點，，滿足直線過坐標原點，若于點，且，則的離心率是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】設(shè)橢圓左焦點為，連接，，，設(shè)，，結(jié)合橢圓對稱性得，由橢圓定義得，，則.因為，，則四邊形為平行四邊形，則，而，故，則，即，整理得，在中，，即，即，∴，故.故選：A

3．（2023·甘肅酒泉·統(tǒng)考三模）已知雙曲線的右焦點為，過點的直線與雙曲線的右支交于，兩點，且，點關(guān)于原點的對稱點為點，若，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】設(shè)雙曲線的左焦點為，連接，，，如圖所示，

又因為，所以，所以四邊形為矩形，設(shè)，則，由雙曲線的定義可得：，，又因為為直角三角形，所以，即，解得，所以，，又因為為直角三角形，，所以，即：，所以，即.故選：D.4（2023·安徽合肥·合肥一六八中學?？寄M預(yù)測）“”是“方程表示橢圓”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【解析】方程表示橢圓，所以“”是“方程表示橢圓”的必要不充分條件，故選：B.考法四折線段距離最值【例4-1】．（2023·江蘇南通·統(tǒng)考三模）已知為橢圓：的右焦點，為上一點，為圓：上一點，則的最大值為（

）A．5 B．6 C． D．【答案】D【解析】依題意，設(shè)橢圓的左焦點為，圓的圓心為，半徑為，，當三點共線，且在之間時等號成立.而，所以，當四點共線，且在之間，是的延長線與圓的交點時等號成立.故選：D

【例4-2】（2023秋·北京）已知，分別為雙曲線的左、右焦點，為雙曲線內(nèi)一點，點A在雙曲線的右支上，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因為，所以要求的最小值，只需求的最小值.如圖,連接交雙曲線的右支于點.當點A位于點處時，最小，最小值為.故的最小值為.

故選：C【例4-3】（2023·湖南）設(shè)點P是圓上的一動點，，，則的最小值為（

）．A． B． C．6 D．12【答案】B【解析】設(shè)，則點P的軌跡為以A，B為焦點，為實軸長的雙曲線的上支，∴點P的軌跡方程為，依題意，雙曲線與圓有公共點，將圓的方程代入雙曲線方程得，即，判別式，解得，當時，，且，∴等號能成立．∴．故選：B【變式】1．（2023秋·黑龍江大慶）已知定點，點為橢圓的右焦點，點M在橢圓上移動，求的最大值和最小值為（

）A．12， B．，C．12，8 D．9，【答案】C【解析】令橢圓的左焦點為，有，由橢圓定義知，

顯然點在橢圓內(nèi)，，直線交橢圓于，而，即，當且僅當點共線時取等號，當點與重合時，，則，當點與重合時，，則，所以的最大值和最小值為12，8.故選：C2．（2023·寧夏中衛(wèi)·統(tǒng)考一模）已知雙曲線C：的左右焦點為，，點P在雙曲線C的右支上，則（

）A．－8 B．8 C．10 D．－10【答案】A【解析】設(shè)雙曲線的實半軸長為，則，所以，因為雙曲線C的左右焦點為，，點P在雙曲線C的右支上，所以，故選：A3．（2023·廣西）已知，雙曲線的左、右焦點分別為，，點是雙曲線左支上一點，則的最小值為（）A．5 B．7 C．9 D．11【答案】C【解析】由雙曲線，則，即，且，由題意，，當且僅當共線時，等號成立.故選：C.4．（2024·全國·高三專題練習）已知拋物線的焦點為F，點，若點A為拋物線任意一點，當取最小值時，點A的坐標為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】設(shè)點A在準線上的射影為D，如圖，

則根據(jù)拋物線的定義可知，求的最小值，即求的最小值，顯然當D，B，A三點共線時最小，此時點的橫坐標為1，代入拋物線方程可知.故選：B.5．（2023春·河南周口）已知點是拋物線上的一點，過點作直線的垂線，垂足為，若，則的最小值為（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】A【解析】由拋物線可知其焦點為，準線方程為記拋物線的焦點為，

所以，當且僅當點在線段上時等號成立，所以的最小值為3．故選：A．考法五直線與曲線的位置關(guān)系【例5-1】．（2023·全國·高三專題練習）直線l：與橢圓C：的位置關(guān)系是（

）A．相交 B．相切 C．相離 D．不能確定【答案】A【解析】將直線l：變形為l：，由得，于是直線l過定點，而，于是點在橢圓C：內(nèi)部，因此直線l：與橢圓C：相交．故選：A．

【例5-2】（2023·上海）已知雙曲線，直線，若直線與雙曲線的交點分別在兩支上，求的范圍．【答案】【解析】聯(lián)立雙曲線、直線方程，消去整理得，由題意，設(shè)方程的兩根為，則，解得．故答案為：

【變式】1．（2023·上海）已知雙曲線，直線，若直線與雙曲線的右支有兩個交點，求的取值范圍．【答案】或【解析】依題意，聯(lián)立方程，消去，得，設(shè)直線與雙曲線的右支的兩個交點為，，

則，解得或，所以或.故答案為：或.2．（2024·全國·高三專題練習）直線與雙曲線有且只有一個公共點，則實數(shù)．【答案】或【解析】由消去y，整理得，當時，由得；又注意到直線恒過點，且漸近線的斜率為時，直線與漸近線平行時也成立．故答案為：或

3．（2023·全國·高三專題練習）過拋物線上一點的拋物線的切線方程為.【答案】【解析】解法一：設(shè)切線方程為．由??，由，得，∴.故切線方程為，即.故答案為：.解法二：由得，∴.∴.∴切線方程為，即.故答案為：.4．（2023·全國·高三專題練習）設(shè)直線和橢圓有且僅有一個公共點，求和的取值范圍．【答案】，【解析】令，則已知橢圓和直線變?yōu)橄鄳?yīng)的圓和直線，要使已知的直線與橢圓有且僅有一個公共點，只要相應(yīng)的直線與圓相切．由直線和圓相切的充要條件可知，即，故得，即，解得．考法六弦長【例6-1】（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）已知雙曲線的離心率為，C的一條漸近線與圓交于A，B兩點，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由，則解得，所以雙曲線的一條漸近線不妨取，則圓心到漸近線的距離，所以弦長.故選：D【例6-2】．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）設(shè)F為拋物線的焦點，點A在C上，點，若，則（

）A．2 B． C．3 D．【答案】B【解析】由題意得，，則，即點到準線的距離為2，所以點的橫坐標為，不妨設(shè)點在軸上方，代入得，，所以.故選：B【變式】1．（2023·北京大興·?？既＃┮阎獟佄锞€頂點在原點，焦點為，過作直線交拋物線于、兩點，若線段的中點橫坐標為2，則線段的長為【答案】6【解析】是拋物線的焦點，準線方程，設(shè)，線段的中點橫坐標為2,.，線段的長為6.故答案為：6.2．（2022·天津·統(tǒng)考高考真題）若直線與圓相交所得的弦長為，則．【答案】【解析】圓的圓心坐標為，半徑為，圓心到直線的距離為，由勾股定理可得，因為，解得.故答案為：.3（2023·廣西欽州）已知橢圓與直線交于A，B兩點，且，則實數(shù)m的值為（

）A．±1 B．±C． D．±【答案】A【解析】由，消去y并整理，得3x2＋4mx＋2m2－2＝0．設(shè)，則，．由題意，得，解得．故選:A考法七中點弦【例7-1】．（2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知直線與橢圓交于兩點，若點恰為弦的中點，則橢圓的離心率是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】依題意，直線的斜率為，設(shè)，則，且，由兩式相減得：，于是，解得，此時橢圓，顯然點在橢圓內(nèi)，符合要求，所以橢圓的離心率.故選：A【例7-2】．（2023·貴州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知橢圓的右焦點為，過點且斜率為1的直線交橢圓于兩點.若的中點坐標為，則的方程為（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】設(shè)，則，由已知有，，作差得，則，所以，解得，則的方程為.故選：D．【例7-3】．（2023·河南鄭州·統(tǒng)考二模）已知橢圓的上頂點為B，斜率為的直線l交橢圓于M，N兩點，若△BMN的重心恰好為橢圓的右焦點F，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】設(shè)，的中點為，因為都在橢圓上，所以，作差可得，即，所以，即，因為，所以，又因為為△BMN的重心，所以，所以，則，所以，整理得，即，所以，則，所以離心率.故選:A.【變式】1．（2023·陜西渭南·統(tǒng)考二模）已知直線過雙曲線的左焦點，且與的左?右兩支分別交于兩點，設(shè)為坐標原點，為的中點，若是以為底邊的等腰三角形，則直線的斜率為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】設(shè),由均在上，為的中點，得，則，∴，∴，設(shè)直線的傾斜角為，則，不妨設(shè)為銳角，∵是以為底邊的等腰三角形，∴直線的傾斜角為，則.∴，∴，解得，∴由對稱性知直線的斜率為.故選：D2．（2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知雙曲線的離心率為，直線與交于兩點，為線段的中點，為坐標原點，則與的斜率的乘積為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】設(shè)，，，則，兩式作差，并化簡得，，所以，因為為線段的中點，即所以，即，由，得.故選：B.3．（2023·四川成都·?？寄M預(yù)測）已知拋物線，直線與拋物線交于、兩點，線段的中點為，則的方程為（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】設(shè)點、，則，若直線軸，則線段的中點在軸上，不合乎題意，則直線的斜率存在，由已知，兩式作差可得，所以，直線的斜率為，因此，直線的方程為，即.故選：A.4．（2023·陜西商洛·統(tǒng)考三模）如圖，已知過原點的直線與雙曲線相交于兩點，雙曲線的右支上一點滿足，若直線的斜率為-3，則雙曲線的離心率為.【答案】/【解析】如圖，取的中點，連接，則，所以，設(shè)直線的傾斜角為，則，所以，所以直線的斜率為.設(shè)，則.由，得到.，所以，所以，則.故答案為：5．（2023·四川內(nèi)江·統(tǒng)考模擬預(yù)測）若雙曲線上存在兩個點關(guān)于直線對稱，則實數(shù)的取值范圍為.【答案】【解析】依題意，雙曲線上兩點，，，，若點A、B關(guān)于直線對稱，則設(shè)直線的方程是，代入雙曲線方程化簡得：，則，且，解得，且又，設(shè)的中點是，，所以，．因為的中點在直線上，所以，所以，又所以，即，所以所以，整理得，所以或，實數(shù)的取值范圍為：故答案為：.考法八綜合運用【例8-1】．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）（多選）設(shè)O為坐標原點，直線過拋物線的焦點，且與C交于M，N兩點，l為C的準線，則（

）．A． B．C．以MN為直徑的圓與l相切 D．為等腰三角形【答案】AC【解析】A選項：直線過點，所以拋物線的焦點，所以，則A選項正確，且拋物線的方程為.B選項：設(shè)，由消去并化簡得，解得，所以，B選項錯誤.C選項：設(shè)的中點為，到直線的距離分別為，因為，即到直線的距離等于的一半，所以以為直徑的圓與直線相切，C選項正確.D選項：直線，即，到直線的距離為，所以三角形的面積為，由上述分析可知，所以，所以三角形不是等腰三角形，D選項錯誤.故選：AC.

【例8-2】（2023·湖南·模擬預(yù)測）（多選）已知O為坐標原點，，分別是雙曲線E：的左、右焦點，P是雙曲線E的右支上一點，若，雙曲線E的離心率為，則下列結(jié)論正確的是（

）A．雙曲線E的標準方程為B．雙曲線E的漸近線方程為C．點P到兩條漸近線的距離之積為D．若直線與雙曲線E的另一支交于點M，點N為PM的中點，則【答案】ACD【解析】根據(jù)雙曲線的定義得，，故，由，得，所以，所以雙曲線E的標準方程為，漸近線方程為，即，所以A正確，B不正確；設(shè)，則點P到兩條漸近線的距離之積為，所以C正確；設(shè)，，因為P，M在雙曲線E上，所①，②，①－②并整理得，，即，所以，所以D正確．故選：ACD．【變式】1（2023·云南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）設(shè)O為坐標原點，，是雙曲線C：的左、右焦點，過作圓O：的一條切線，切點為T．線段交C于點P，若的面積為，且，則C的方程為（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】

由圓的方程知，，又，在直角△中，，且.在△中，則，故.在△中，，由正弦定理，，則，∴由雙曲線定義，，又，，則，∴，即.∵為直角，易知為鈍角，由知，，在△中，由余弦定理，，∴，∴，整理得，∴.又，將代入，解得.∴雙曲線C的方程：.故選：A2．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）（多選）雙曲線C的兩個焦點為，以C的實軸為直徑的圓記為D，過作D的切線與C交于M，N兩點，且，則C的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】AC【解析】[方法一]：幾何法，雙曲線定義的應(yīng)用情況一

M、N在雙曲線的同一支，依題意不妨設(shè)雙曲線焦點在軸，設(shè)過作圓的切線切點為B，所以，因為，所以在雙曲線的左支，，，，設(shè)，由即，則，選A情況二若M、N在雙曲線的兩支，因為，所以在雙曲線的右支，所以，，，設(shè)，由，即，則，所以，即，所以雙曲線的離心率選C[方法二]：答案回代法特值雙曲線，過且與圓相切的一條直線為，兩交點都在左支,，，則，特值雙曲線，過且與圓相切的一條直線為，兩交點在左右兩支，在右支，，，則，[方法三]：依題意不妨設(shè)雙曲線焦點在軸，設(shè)過作圓的切線切點為，若分別在左右支，因為，且，所以在雙曲線的右支，又，，，設(shè)，，在中，有，故即，所以，而，，，故，代入整理得到，即，所以雙曲線的離心率若均在左支上，同理有，其中為鈍角，故，故即，代入，，，整理得到：，故，故，故選：AC.一、單選題1．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）設(shè)橢圓的離心率分別為．若，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由，得，因此，而，所以.故選：A2．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）已知橢圓的左、右焦點分別為，，直線與C交于A，B兩點，若面積是面積的2倍，則（

）．A． B． C． D．【答案】C【解析】將直線與橢圓聯(lián)立，消去可得，因為直線與橢圓相交于點，則，解得，設(shè)到的距離到距離，易知，則，，，解得或（舍去），故選：C.3．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）橢圓的左頂點為A，點P，Q均在C上，且關(guān)于y軸對稱．若直線的斜率之積為，則C的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】[方法一]：設(shè)而不求設(shè)，則則由得：，由，得，所以，即，所以橢圓的離心率，故選A.[方法二]：第三定義設(shè)右端點為B，連接PB，由橢圓的對稱性知：故，由橢圓第三定義得：，故所以橢圓的離心率，故選A.4．（2023·浙江·模擬預(yù)測）已知圓和點，由圓外一點向圓引切線，切點分別為，若，則的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】設(shè)，連接，則，可得，所以，即，可得，所以，當時，.故選：C.

5．（2023·四川巴中·南江中學?？寄M預(yù)測）已知橢圓四個頂點構(gòu)成的四邊形的面積為，直線與橢圓C交于A，B兩點，且線段的中點為，則橢圓C的方程是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】設(shè)，，則，，兩式作差并化簡整理得，因為線段AB的中點為，所以，，所以，由，得，又因為，解得，，所以橢圓C的方程為．故選：A．6．（2023·四川遂寧·射洪中學校考模擬預(yù)測）已知拋物線的焦點和橢圓的一個焦點重合，且拋物線的準線截橢圓的弦長為3，則橢圓的標準方程為（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】拋物線的焦點為，準線為，設(shè)橢圓的方程為，橢圓中，，當時，，故又，所以，故橢圓方程為，故選：B7．（2023·重慶萬州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知橢圓E：的焦距為4，平行四邊形ABCD內(nèi)接于橢圓E，且直線AB與AD的斜率之積為，則橢圓E的方程為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】設(shè)，由對稱性可得，則，所以兩式相減可得，因為直線AB與AD的斜率之積為，所以，即，所以，設(shè)橢圓的半焦距為，因為橢圓的焦距為4，所以，所以，又，所以，所以橢圓的標準方程為，故選：A.

8．（2023·湖南郴州·安仁縣第一中學校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知集合，則集合的真子集的個數(shù)為（

）A．3 B．7 C．15 D．31【答案】A【解析】方法一：聯(lián)立，解得或，,集合的真子集的個數(shù)為.方法二：在同一直角坐標系中畫出函數(shù)以及的圖象，由圖象可知兩圖形有2個交點，所以的元素個數(shù)為2，進而真子集的個數(shù)為.

故選：A.9．（2023·四川瀘州·瀘縣五中?？寄M預(yù)測）設(shè)分別是雙曲線的左、右焦點，為坐標原點，過左焦點作直線與圓切于點，與雙曲線右支交于點，且滿足，，則雙曲線的方程為（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】∵為圓上的點，，，∴是的中點，又是的中點，，且，又，，是圓的切線，，又，，，∴雙曲線方程為．

故選：D10．（2023·天津南開·統(tǒng)考二模）已知拋物線的準線過雙曲線的左焦點，點為雙曲線的漸近線和拋物線的一個公共點，若到拋物線焦點的距離為5，則雙曲線的方程為（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】由題意知，拋物線的準線方程為，所以雙曲線的左焦點坐標為，所以雙曲線的.又因為點為雙曲線的漸近線和拋物線的一個公共點，若到拋物線焦點的距離為5，所以，所以，代入拋物線方程即可得.因為在雙曲線的漸近線方程上，所以，又因為雙曲線中，，所以，所以雙曲線的方程為：.故選：D11．（2023·全國·校聯(lián)考三模）若雙曲線與雙曲線有相同的焦距，且過點，則雙曲線的標準方程為（

）A． B．C．或 D．或【答案】C【解析】因為和有相同的焦距，又雙曲線的焦距為，所以雙曲線的焦距，又過點，當?shù)慕裹c在x軸上，設(shè)雙曲線的方程為，若將點代入，得①，又②，聯(lián)立①②兩式得，，所以雙曲線的標準方程為.當?shù)慕裹c在y軸上，設(shè)雙曲線的方程為，將點代入，得③，又④，聯(lián)立③④兩式得，，所以雙曲線的標準方程為，綜上所述，雙曲線的標準方程為或.故選：C.12．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）已知實數(shù)滿足，則的最大值是（

）A． B．4 C． D．7【答案】C【解析】法一：令，則，代入原式化簡得，因為存在實數(shù)，則，即，化簡得，解得，故的最大值是，法二：，整理得，令，，其中，則，，所以，則，即時，取得最大值，法三：由可得，設(shè)，則圓心到直線的距離，解得故選：C.13．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）設(shè)O為坐標原點，為橢圓的兩個焦點，點P在C上，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】方法一：設(shè)，所以，由，解得：，由橢圓方程可知，，所以，，解得：，即，因此．故選：B．方法二：因為①，，即②，聯(lián)立①②，解得：，而，所以，即．故選：B．方法三：因為①，，即②，聯(lián)立①②，解得：，由中線定理可知，，易知，解得：．故選：B．14．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）設(shè)A，B為雙曲線上兩點，下列四個點中，可為線段AB中點的是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】設(shè)，則的中點，可得，因為在雙曲線上，則，兩式相減得，所以.對于選項A：可得，則，聯(lián)立方程，消去y得，此時，所以直線AB與雙曲線沒有交點，故A錯誤；對于選項B：可得，則，聯(lián)立方程，消去y得，此時，所以直線AB與雙曲線沒有交點，故B錯誤；對于選項C：可得，則由雙曲線方程可得，則為雙曲線的漸近線，所以直線AB與雙曲線沒有交點，故C錯誤；對于選項D：，則，聯(lián)立方程，消去y得，此時，故直線AB與雙曲線有交兩個交點，故D正確；故選：D.15．（2023·天津·統(tǒng)考高考真題）雙曲線的左、右焦點分別為．過作其中一條漸近線的垂線，垂足為．已知，直線的斜率為，則雙曲線的方程為（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】如圖，

因為，不妨設(shè)漸近線方程為，即，所以，所以.設(shè),則，所以，所以.因為,所以，所以，所以，所以，因為，所以，所以，解得，所以雙曲線的方程為故選：D16．（2023·浙江嘉興·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知點是直線：和：的交點，點是圓：上的動點，則的最大值是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因為直線：，即，令，解得，可知直線過定點，同理可知：直線過定點，又因為，可知，所以直線與直線的交點的軌跡是以的中點，半徑的圓，因為圓的圓心，半徑，所以的最大值是.故選：B.17．（2023·湖南永州·統(tǒng)考一模）已知橢圓的左、右焦點分別是，點是橢圓上位于第一象限的一點，且與軸平行，直線與的另一個交點為，若，則的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由令，得，由于與軸平行，且在第一象限，所以.由于，所以，即，將點坐標代入橢圓的方程得，，，所以離心率.故選：B

18．（2023·浙江·模擬預(yù)測）費馬原理是幾何光學中的重要原理，可以推導出圓錐曲線的一些光學性質(zhì)，如：點為橢圓（為焦點）上一點，則點處的切線平分外角.已知橢圓為坐標原點，是點處的切線，過左焦點作的垂線，垂足為，則為（

）A． B．2 C．3 D．【答案】A【解析】依題意可知直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，代入得，整理得，由于直線和橢圓相切，則，整理得，所以直線的方程為，對于橢圓，，所以，所以直線的方程為，由解得，所以.故選：A

19．（2023·浙江·模擬預(yù)測）已知橢圓的左右焦點分別是，過的直線交橢圓于兩點，若（為坐標原點），，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】如圖所示：

設(shè)，因為，所以.又因為，所以，即.因為，所以.因為，所以.在中，，解得，即，所以，即.所以，.故選：B二、多選題20．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）已知O為坐標原點，過拋物線焦點F的直線與C交于A，B兩點，其中A在第一象限，點，若，則（

）A．直線的斜率為 B．C． D．【答案】ACD【解析】對于A，易得，由可得點在的垂直平分線上，則點橫坐標為，代入拋物線可得，則，則直線的斜率為，A正確；對于B，由斜率為可得直線的方程為，聯(lián)立拋物線方程得，設(shè)，則，則，代入拋物線得，解得，則，則，B錯誤；對于C，由拋物線定義知：，C正確；對于D，，則為鈍角，又，則為鈍角，又，則，D正確.故選：ACD.21．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）已知O為坐標原點，點在拋物線上，過點的直線交C于P，Q兩點，則（

）A．C的準線為 B．直線AB與C相切C． D．【答案】BCD【解析】將點的代入拋物線方程得，所以拋物線方程為，故準線方程為，A錯誤；，所以直線的方程為，聯(lián)立，可得，解得，故B正確；設(shè)過的直線為，若直線與軸重合，則直線與拋物線只有一個交點，所以，直線的斜率存在，設(shè)其方程為，，聯(lián)立，得，所以，所以或，，又，，所以，故C正確；因為，，所以，而，故D正確.故選：BCD22．（2023·河北保定·統(tǒng)考二模）已知直線，圓的圓心坐標為，則下列說法正確的是（

）A．直線恒過點B．C．直線被圓截得的最短弦長為D．當時，圓上存在無數(shù)對點關(guān)于直線對稱【答案】ABD【解析】直線，恒過點，所以A正確；圓的圓心坐標為，，，所以B正確；圓的圓心坐標為，圓的半徑為2．直線，恒過點，圓的圓心到定點的距離為：，直線被圓截得的最短弦長為，所以C不正確；當時，直線方程為：，經(jīng)過圓的圓心，所以圓上存在無數(shù)對點關(guān)于直線對稱，所以D正確．故選：ABD．23．（2023·廣西柳州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知雙曲線的上焦點為，過焦點作的一條漸近線的垂線，垂足為，并與另一條漸近線交于點，若，則的離心率可能為（

）A． B． C． D．【答案】AC【解析】當時，兩漸近線的斜率為，此時直線與另一漸近線平行，不滿足題意.當時，如圖1所示，

.，又，解得，，，，即漸近線的斜率為，當時，如圖2所示，設(shè)與軸交于點P，

，，又，解得，即漸近線的斜率為，綜上，雙曲線的離心率為或.故選：AC.24．（2023·遼寧錦州·校考一模）設(shè)雙曲線的右焦點為，若直線與的右支交于兩點，且為的重心，則（

）A．的離心率的取值范圍為B．的離心率的取值范圍為C．直線斜率的取值范圍為D．直線斜率的取值范圍為【答案】AC【解析】為的中點，根據(jù)重心性質(zhì)可得，因為，則，因為直線與的右支交于兩點，所以點在雙曲線右支內(nèi)部，故有，解得，當直線斜率不存在時，的中點在軸上，故三點不共線，不符合題意舍，設(shè)直線斜率為，設(shè)，所以，，因為在雙曲線上，所以，兩式相減可得：，即，即有成立，即有，因為不共線，即，即，即，所以的離心率的取值范圍為，因為，因為，即，所以，所以.故選：AC25（2023·浙江嘉興·統(tǒng)考模擬預(yù)測）設(shè)，為橢圓：的兩個焦點，為上一點且在第一象限，為的內(nèi)心，且內(nèi)切圓半徑為1，則（

）A． B． C． D．【答案】ABD【解析】如下圖所示，設(shè)切點為，，，對于A，由橢圓的方程知：，由橢圓的定義可得：，易知，所以，所以，故A正確；對于BCD，，又因為，解得：，又因為為上一點且在第一象限，所以，解得：，故B正確；從而，所以，所以，而，所以，故C錯誤；從而，故D正確.故選:ABD．

26．（2023·重慶·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知雙曲線的左、右焦點分別為，過點作x軸的垂線與雙曲線交于A，B兩點，若為直角三角形，則（

）A．B．雙曲線的離心率C．雙曲線的焦距為D．的面積為【答案】BD【解析】如圖所示：

若為直角三角形，由雙曲線的對稱性可知：，且.設(shè)，則由雙曲線的定義得：，.所以在直角三角形中，由勾股定理得：.解得：，所以，所以的面積為：.故D正確；，所以，故C不正確；由可知，，，所以，故A不正確；，故B正確.故選：BD.三、填空題27．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）已知點在拋物線C：上，則A到C的準線的距離為.【答案】【解析】由題意可得：，則，拋物線的方程為，準線方程為，點到的準線的距離為.故答案為：.28．（2023·天津·統(tǒng)考高考真題）過原點的一條直線與圓相切，交曲線于點，若，則的值為．【答案】【解析】易知圓和曲線關(guān)于軸對稱，不妨設(shè)切線方程為，，所以，解得：，由解得：或，所以，解得：．當時，同理可得．故答案為：．29．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）已知雙曲線的左、右焦點分別為．點在上，點在軸上，，則的離心率為．【答案】/【解析】方法一：依題意，設(shè)，則，在中，，則，故或（舍去），所以，，則，故，所以在中，，整理得，故.方法二:依題意，得，令，因為，所以，則，又，所以，則，又點在上，則，整理得，則，所以，即，整理得，則，解得或，又，所以或（舍去），故.故答案為：.30．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）已知直線與交于A，B兩點，寫出滿足“面積為”的m的一個值．【答案】（中任意一個皆可以）【解析】設(shè)點到直線的距離為，由弦長公式得，所以，解得：或，由，所以或，解得：或．故答案為：（中任意一個皆可以）．31．（2022·浙江·統(tǒng)考高考真題）已知雙曲線的左焦點為F，過F且斜率為的直線交雙曲線于點，交雙曲線的漸近線于點且．若，則雙曲線的離心率是．【答案】【解析】過且斜率為的直線，漸近線，聯(lián)立，得，由，得而點在雙曲線上，于是，解得：，所以離心率.故答案為：．32．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）已知直線l與橢圓在第一象限交于A，B兩點，l與x軸，y軸分別交于M，N兩點，且，則l的方程為．【答案】【解析】[方法一]：弦中點問題：點差法令的中點為，設(shè)，，利用點差法得到，設(shè)直線，，，求出、的坐標，再根據(jù)求出、，即可得解；解：令的中點為，因為，所以，設(shè)，，則，，所以，即所以，即，設(shè)直線，，，令得，令得，即，，所以，即，解得或（舍去），又，即，解得或（舍去），所以直線，即；故答案為：[方法二]：直線與圓錐曲線相交的常規(guī)方法解：由題意知，點既為線段的中點又是線段MN的中點，設(shè)，，設(shè)直線，，，則，，，因為，所以聯(lián)立直線AB與橢圓方程得消掉y得其中，∴AB中點E的橫坐標,又，∴∵，，∴,又，解得m=2所以直線，即33．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）設(shè)點，若直線關(guān)于對稱的直線與圓有公共點，則a的取值范圍是．【答案】【解析】關(guān)于對稱的點的坐標為，在直線上，所以所在直線即為直線，所以直線為，即；圓，圓心，半徑，依題意圓心到直線的距離，即，解得，即；故答案為：34．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）記雙曲線的離心率為e，寫出滿足條件“直線與C無公共點”的e的一個值．【答案】2（滿足皆可）【解析】，所以C的漸近線方程為,結(jié)合漸近線的特點，只需，即，可滿足條件“直線與C無公共點”所以，又因為，所以，故答案為：2（滿足皆可）35．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）若雙曲線的漸近線與圓相切，則．【答案】【解析】雙曲線的漸近線為，即，不妨取，圓，即，所以圓心為，半徑，依題意圓心到漸近線的距離，解得或（舍去）．故答案為：．36．（2022·北京·統(tǒng)考高考真題）已知雙曲線的漸近線方程為，則．【答案】【解析】對于雙曲線，所以，即雙曲線的標準方程為，則，，又雙曲線的漸近線方程為，所以，即，解得；故答案為：37．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）寫出與圓和都相切的一條直線的方程．【答案】或或【解析】[方法一]：顯然直線的斜率不為0，不妨設(shè)直線方程為，于是，故①，于是或，再結(jié)合①解得或或，所以直線方程有三條，分別為，，填一條即可[方法二]：設(shè)圓的圓心，半徑為，圓的圓心，半徑，則，因此兩圓外切，由圖像可知，共有三條直線符合條件，顯然符合題意；又由方程和相減可得方程，即為過兩圓公共切點的切線方程，又易知兩圓圓心所在直線OC的方程為，直線OC與直線的交點為，設(shè)過該點的直線為，則，解得，從而該切線的方程為填一條即可[方法三]：圓的圓心為，半徑為，圓的圓心為，半徑為，兩圓圓心距為，等于兩圓半徑之和，故兩圓外切，如圖，當切線為l時，因為，所以，設(shè)方程為O到l的距離，解得，所以l的方程為，當切線為m時，設(shè)直線方程為，其中，，由題意，解得，當切線為n時，易知切線方程為，故答案為：或或.38．（2023·陜西漢中·校聯(lián)考模擬預(yù)測）設(shè)為橢圓的兩個焦點，點在橢圓上，若，則.【答案】2【解析】因橢圓方程為，則.因，則.又由橢圓定義，可得，則.故答案為：2

39．（2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）寫出與圓和圓都相切的一條直線的方程.【答案】（或或，寫出一個即可）【解析】由題意得，圓，可得圓心，半徑為，圓，可得圓心，半徑為，因為，可得，所以圓與圓相外切，將兩圓的方程相減，可得，此方程為圓與圓的公切線，又由圓與圓的半徑相等，故外公切線與直線平行，因為，所以圓C與圓D的外公切線