高中拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程及幾何性質(zhì)

關(guān)于高中拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程及幾何性質(zhì)第一節(jié)

拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)第2頁,共24頁，2024年2月25日，星期天平面內(nèi)與一個定點(diǎn)F和一條定直線l的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線。定點(diǎn)F叫做拋物線的焦點(diǎn)。定直線l叫做拋物線的準(zhǔn)線。

︳︳一、定義··FMlNd的軌跡是拋物線。則點(diǎn)e=MdMF,1=新課講解第3頁,共24頁，2024年2月25日，星期天二、標(biāo)準(zhǔn)方程··FMlN如何建立直角坐標(biāo)系？第4頁,共24頁，2024年2月25日，星期天xyo··FMlNK設(shè)︱KF︱=p則F（，0），l：x=-

p2p2設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（x,y），由定義可知，化簡得y2=2px（p＞0）第5頁,共24頁，2024年2月25日，星期天

方程y2=2px（p＞0）叫做拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程。其中p為正常數(shù)，它的幾何意義是焦準(zhǔn)距

xyo··FMlNK第6頁,共24頁，2024年2月25日，星期天(m,n)··FMlNK若頂點(diǎn)在O1(m,n)，則方程為(y-n)2=2p(x-m)第7頁,共24頁，2024年2月25日，星期天圖形方程焦點(diǎn)準(zhǔn)線lFyxOlFyxOlFyxOlFyxOy2=2px（p>0）y2=-2px（p>0）x2=2py（p>0）x2=-2py（p>0）第8頁,共24頁，2024年2月25日，星期天四種拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的異同:共同點(diǎn):

(1)原點(diǎn)在拋物線上；

(2)對稱軸為X軸、Y軸；

(3)準(zhǔn)線與對稱軸垂直，垂足與焦點(diǎn)分別對稱于原點(diǎn),與原點(diǎn)的距離等于一次項(xiàng)前面的系數(shù)的絕對值的1/4；即焦點(diǎn)與準(zhǔn)線的距離等于一次項(xiàng)系數(shù)的絕對值的一半。不同點(diǎn):(1)對稱軸為x軸時，方程右端為±2px，左端為y2；對稱軸為y軸時，方程右端為±2py，左端為x2

。

(2)開口方向與x軸(或y軸)的正半軸相同時，焦點(diǎn)在x軸(或y軸)的正半軸上，方程的右端取+號；開口方向與x軸(或y軸)的負(fù)半軸相同時，焦點(diǎn)在x軸(或y軸)的負(fù)半軸上，方程的右端取-號。第9頁,共24頁，2024年2月25日，星期天O(0,0)AB·F(p/2,0)L:x=-p/2Kpy2=2pxO1(m,n)AB·F(h+p/2,k)L:x=h-p/2Kp(y-n)2=2p(x-m)頂點(diǎn)在原點(diǎn)頂點(diǎn)在點(diǎn)(m,n)拋物線草圖畫法：第10頁,共24頁，2024年2月25日，星期天O(0,0)AB·F(0,p/2)L:y=-p/2Kpx2=2py頂點(diǎn)在原點(diǎn)頂點(diǎn)在點(diǎn)(m,n)O1(m,n)AB·F(h,k-p/2)Kp(x-m)2=-2p(y-n)L:y=k+p/2第11頁,共24頁，2024年2月25日，星期天例1、點(diǎn)M與點(diǎn)F（4，0）的距離比它到直線l：x＋5＝0的距離小1，求點(diǎn)M的軌跡方程．

如圖可知原條件等價于M點(diǎn)到F（4，0）和到x＝－4距離相等，由拋物線的定義，點(diǎn)M的軌跡是以F（4，0）為焦點(diǎn)，x＝－4為準(zhǔn)線的拋物線．所求方程是y2＝16x．分析：

例題講解第12頁,共24頁，2024年2月25日，星期天例2、已知拋物線方程為x=ay2（a≠0)，討論拋物線的開口方向、焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程？解：拋物線的方程化為：y2=x1a即2p=1

a4a1∴焦點(diǎn)坐標(biāo)是（，0），準(zhǔn)線方程是：

x=4a1②當(dāng)a<0時,,拋物線的開口向左p2=14a∴焦點(diǎn)坐標(biāo)是（，0），準(zhǔn)線方程是：

x=4a114a①當(dāng)a>0時,,拋物線的開口向右p2=14a第13頁,共24頁，2024年2月25日，星期天例3、求拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程：(1)y2=6x(2)y=－6x2(4)已知拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)是F（0，-2），求它的標(biāo)準(zhǔn)方程。(3)y=x2-4x+3(5)y2-mx-2y+4m+1=0的準(zhǔn)線為x=3，求m。第14頁,共24頁，2024年2月25日，星期天例4、拋物線的焦點(diǎn)為F(1)若斜率為1的直線經(jīng)過點(diǎn)F，與拋物線交于A、B兩點(diǎn)，求線段AB的長。(2)拋物線上有三點(diǎn)A,B,C，且FA+FB+FC

=0，求|FA|+|FB|+|FC|。第15頁,共24頁，2024年2月25日，星期天1、求下列拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程：

（1）y2=-20x（2）y=2x2（3）2y2+5x=0（4）x2+8y=0焦點(diǎn)坐標(biāo)準(zhǔn)線方程（1）（2）（3）（4）（-5，0）x=5（0，—）18y=-—188x=—5（-—，0）58（0，-2）y=2注意：求拋物線的焦點(diǎn)一定要先把拋物線化為標(biāo)準(zhǔn)形式跟蹤練習(xí)第16頁,共24頁，2024年2月25日，星期天2、根據(jù)下列條件，寫出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程：（1）焦點(diǎn)是F（3，0）（2）準(zhǔn)線方程是x=（3）焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離是2解：y2=12x解：y2=x解：y2=4x或y2=-4x

或x2=4y或x2=-4y第17頁,共24頁，2024年2月25日，星期天例5、求過點(diǎn)A（-3，2）的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程。．AOyx解：1）設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為

x2=2py，把A（-3，2）代入，得p=2）設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為

y2=-2px，把A（-3，2）代入，得p=∴拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2=y或y2=x

。第18頁,共24頁，2024年2月25日，星期天1.已知拋物線經(jīng)過點(diǎn)P(4,－2)，求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程。

提示：注意到P為第四象限的點(diǎn)，所以可以設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2=2px或x2=-2py跟蹤練習(xí)第19頁,共24頁，2024年2月25日，星期天2.求頂點(diǎn)在，準(zhǔn)線為的拋物線方程和焦點(diǎn)坐標(biāo)。第20頁,共24頁，2024年2月25日，星期天例6、已知拋物線形古城門底部寬12m,高6m，建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求出它的標(biāo)準(zhǔn)方程。引申:(1)一輛貨車寬4m,高4m，問能否通過此城門?(2)若城門為雙向行道，那么該貨車能否通過呢？第21頁,共24頁，2024年2月25日，星期天三、拋物線的幾何性質(zhì)x··FMlNKy·O對于y2=2px(p>0)1、范圍：2、對稱性：關(guān)于x軸對稱3、頂點(diǎn)：O(0,0)頂準(zhǔn)距=頂焦距=p/2，焦準(zhǔn)距=p4、離心率e=1第22頁,共2