不等式及線性規(guī)劃課件

不等式及線性規(guī)劃課件目錄不等式基本概念與性質(zhì)一元一次不等式及其解法一元二次不等式及其解法線性規(guī)劃基本概念與原理單純形法求解線性規(guī)劃問(wèn)題整數(shù)線性規(guī)劃及其應(yīng)用01不等式基本概念與性質(zhì)表示兩個(gè)量之間大小關(guān)系的數(shù)學(xué)表達(dá)式，常用符號(hào)有“<”、“>”、“≤”、“≥”等。不等式的定義可以通過(guò)數(shù)軸、區(qū)間、集合等多種方式表示不等式。不等式的表示方法不等式定義及表示方法傳遞性可加性可乘性乘法逆元性質(zhì)不等式基本性質(zhì)01020304若a<b且b<c，則a<c；若a>b且b>c，則a>c。若a<b，c<d，則a+c<b+d；若a>b，c>d，則a+c>b+d。若a<b且c>0，則ac<bc；若a>b且c>0，則ac>bc。若a<b且ab≠0，則1/a>1/b；若a>b且ab≠0，則1/a<1/b。在數(shù)軸上表示一段連續(xù)的數(shù)的集合，常用符號(hào)有“()”、“[]”、“(]”、“[)”等。區(qū)間的定義區(qū)間的表示方法數(shù)軸與區(qū)間的關(guān)系通過(guò)數(shù)軸上的兩個(gè)端點(diǎn)來(lái)表示一個(gè)區(qū)間，如(a,b)、[a,b]、(a,b]、[a,b)等。數(shù)軸可以直觀地表示出區(qū)間的大小和位置關(guān)系，方便進(jìn)行不等式的求解和比較。030201區(qū)間與數(shù)軸表示法02一元一次不等式及其解法只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的次數(shù)是1的不等式。一元一次不等式的定義ax+b>0（a≠0）。一元一次不等式的一般形式當(dāng)a>0時(shí)，不等式兩邊同加（或同減）一個(gè)數(shù)，不等號(hào)方向不變；當(dāng)a<0時(shí)，不等式兩邊同加（或同減）一個(gè)數(shù)，不等號(hào)方向改變。一元一次不等式的性質(zhì)一元一次不等式概念123去分母、去括號(hào)、移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)、系數(shù)化為1。解一元一次不等式的基本步驟在解不等式時(shí)，要注意不等式兩邊同時(shí)乘以或除以同一個(gè)負(fù)數(shù)時(shí)，不等號(hào)的方向要改變。解一元一次不等式的注意事項(xiàng)一元一次不等式在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用非常廣泛，如比較大小、求解取值范圍等。解一元一次不等式的應(yīng)用一元一次不等式解法含有參數(shù)的一元一次不等式的定義在不等式中含有字母參數(shù)的不等式。含有參數(shù)的一元一次不等式的解法首先根據(jù)題目條件確定參數(shù)的取值范圍，然后將參數(shù)代入不等式中進(jìn)行求解。在求解過(guò)程中，要注意參數(shù)對(duì)不等式解的影響。含有參數(shù)的一元一次不等式的應(yīng)用含有參數(shù)的一元一次不等式在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用也非常廣泛，如求解最值問(wèn)題、判斷函數(shù)單調(diào)性等。含有參數(shù)的一元一次不等式03一元二次不等式及其解法03一元二次不等式的解集滿足一元二次不等式的所有未知數(shù)的集合。01一元二次不等式的定義只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的不等式。02一元二次不等式的一般形式$ax^2+bx+c>0$或$ax^2+bx+c<0$，其中$aneq0$。一元二次不等式概念通過(guò)計(jì)算判別式$Delta=b^2-4ac$的值，判斷一元二次不等式的解的情況。判別式法通過(guò)配方將一元二次不等式轉(zhuǎn)化為完全平方的形式，從而求解。配方法將一元二次不等式因式分解，然后利用不等式的性質(zhì)求解。因式分解法一元二次不等式解法含有參數(shù)的一元二次不等式的定義01在一元二次不等式中，除了未知數(shù)外，還含有其他參數(shù)。含有參數(shù)的一元二次不等式的解法02首先確定參數(shù)的范圍，然后根據(jù)參數(shù)的不同取值范圍，分別求解一元二次不等式。含有參數(shù)的一元二次不等式的應(yīng)用03在實(shí)際問(wèn)題中，常常會(huì)遇到含有參數(shù)的一元二次不等式，例如經(jīng)濟(jì)學(xué)中的邊際分析問(wèn)題、物理學(xué)中的運(yùn)動(dòng)學(xué)問(wèn)題等。通過(guò)求解含有參數(shù)的一元二次不等式，可以得到實(shí)際問(wèn)題的解或最優(yōu)解。含有參數(shù)的一元二次不等式04線性規(guī)劃基本概念與原理線性規(guī)劃是一種數(shù)學(xué)優(yōu)化技術(shù)，用于在給定約束條件下最大化或最小化一個(gè)線性目標(biāo)函數(shù)。目標(biāo)函數(shù)是線性規(guī)劃中需要優(yōu)化（最大化或最小化）的函數(shù)，通常表示為一系列決策變量的線性組合。線性規(guī)劃定義及目標(biāo)函數(shù)目標(biāo)函數(shù)線性規(guī)劃定義約束條件約束條件是限制決策變量取值范圍的數(shù)學(xué)表達(dá)式，通常表示為一系列線性不等式或等式。可行域可行域是滿足所有約束條件的決策變量取值范圍的集合，即所有可行解的集合。約束條件與可行域單純形法單純形法是一種求解線性規(guī)劃問(wèn)題的標(biāo)準(zhǔn)方法，通過(guò)迭代的方式在可行域中搜索最優(yōu)解。適用于大規(guī)模問(wèn)題，計(jì)算效率高。圖形法通過(guò)繪制目標(biāo)函數(shù)和約束條件的圖形，尋找可行域中的最優(yōu)解。適用于簡(jiǎn)單問(wèn)題，直觀易懂。內(nèi)點(diǎn)法內(nèi)點(diǎn)法是一種求解線性規(guī)劃問(wèn)題的數(shù)值方法，通過(guò)在可行域內(nèi)部搜索最優(yōu)解。適用于某些特定類型的問(wèn)題，如具有大量等式約束的問(wèn)題。線性規(guī)劃問(wèn)題求解思路05單純形法求解線性規(guī)劃問(wèn)題

單純形法基本原理線性規(guī)劃問(wèn)題的標(biāo)準(zhǔn)形式通過(guò)引入松弛變量和剩余變量，將一般形式的線性規(guī)劃問(wèn)題轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)形式。單純形法的基本思想從可行域的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，沿著目標(biāo)函數(shù)值改善的方向?qū)で罅硪粋€(gè)頂點(diǎn)，逐步逼近最優(yōu)解。單純形表通過(guò)構(gòu)造單純形表，將線性規(guī)劃問(wèn)題的求解過(guò)程表格化，便于計(jì)算和分析。迭代過(guò)程重復(fù)進(jìn)行最優(yōu)性檢驗(yàn)和基變換操作，直到找到最優(yōu)解或確定問(wèn)題無(wú)解為止。初始單純形表的建立根據(jù)線性規(guī)劃問(wèn)題的標(biāo)準(zhǔn)形式，構(gòu)造初始單純形表。最優(yōu)性檢驗(yàn)檢查當(dāng)前單純形表中是否存在負(fù)檢驗(yàn)數(shù)。若存在，則當(dāng)前解不是最優(yōu)解；若不存在，則當(dāng)前解為最優(yōu)解。基變換若當(dāng)前解不是最優(yōu)解，則需要進(jìn)行基變換。選擇負(fù)檢驗(yàn)數(shù)對(duì)應(yīng)的非基變量作為入基變量，根據(jù)最小比值原則確定出基變量，進(jìn)行基變換操作。單純形法求解步驟生產(chǎn)計(jì)劃問(wèn)題某企業(yè)計(jì)劃生產(chǎn)兩種產(chǎn)品，受到原材料、勞動(dòng)力等資源限制。通過(guò)構(gòu)造線性規(guī)劃模型，并利用單純形法求解，可以確定各產(chǎn)品的最優(yōu)生產(chǎn)量，實(shí)現(xiàn)資源的最優(yōu)配置。運(yùn)輸問(wèn)題某運(yùn)輸公司需要將貨物從多個(gè)產(chǎn)地運(yùn)往多個(gè)銷地，受到運(yùn)輸能力、成本等限制。通過(guò)構(gòu)造線性規(guī)劃模型，并利用單純形法求解，可以確定各產(chǎn)地到各銷地的最優(yōu)運(yùn)輸方案，實(shí)現(xiàn)運(yùn)輸成本的最小化。投資組合問(wèn)題投資者需要在多個(gè)投資項(xiàng)目中選擇投資，受到投資預(yù)算、風(fēng)險(xiǎn)等因素限制。通過(guò)構(gòu)造線性規(guī)劃模型，并利用單純形法求解，可以確定各投資項(xiàng)目的最優(yōu)投資比例，實(shí)現(xiàn)投資收益的最大化。單純形法應(yīng)用舉例06整數(shù)線性規(guī)劃及其應(yīng)用整數(shù)線性規(guī)劃定義整數(shù)約束非凸性組合性質(zhì)整數(shù)線性規(guī)劃概念及特點(diǎn)整數(shù)線性規(guī)劃是線性規(guī)劃的一個(gè)特殊形式，其中部分或全部決策變量被限制為整數(shù)。整數(shù)線性規(guī)劃問(wèn)題的可行域通常是非凸的，這使得求解更加困難。決策變量必須為整數(shù)，這增加了問(wèn)題的復(fù)雜性。整數(shù)線性規(guī)劃問(wèn)題具有組合性質(zhì)，即問(wèn)題的解可能由一組特定的整數(shù)組合決定。分支策略通過(guò)將問(wèn)題分解為兩個(gè)或多個(gè)子問(wèn)題來(lái)縮小搜索范圍，每個(gè)子問(wèn)題對(duì)應(yīng)原問(wèn)題的一個(gè)子集。定界策略利用線性規(guī)劃松弛問(wèn)題的解來(lái)估計(jì)整數(shù)線性規(guī)劃問(wèn)題的最優(yōu)解，從而排除不可能產(chǎn)生最優(yōu)解的子問(wèn)題。分支定界法求解整數(shù)線性規(guī)劃分支定界法步驟1.求解原問(wèn)題的線性規(guī)劃松弛問(wèn)題，得到最優(yōu)解。2.若最優(yōu)解滿足整數(shù)約束，則停止計(jì)算，該解即為整數(shù)線性規(guī)劃問(wèn)題的最優(yōu)解。分支定界法求解整數(shù)線性規(guī)劃0102分支定界法求解整數(shù)線性規(guī)劃4.對(duì)每個(gè)子問(wèn)題重復(fù)上述步驟，直到找到滿足整數(shù)約束的最優(yōu)解或確定原問(wèn)題無(wú)解。3.若最優(yōu)解不滿足整數(shù)約束，則選擇一個(gè)非整數(shù)變量進(jìn)行分支，將原問(wèn)題分解為兩個(gè)子問(wèn)題。整數(shù)線性規(guī)劃應(yīng)用舉例企業(yè)需要根據(jù)市場(chǎng)需求、生產(chǎn)能力、成本等因素制定生產(chǎn)計(jì)劃。通過(guò)整數(shù)線性規(guī)劃，可以優(yōu)化生產(chǎn)資源的配置，實(shí)現(xiàn)成本最小化或利潤(rùn)最大化。物流配送問(wèn)題在物流