2022-2023學(xué)年安徽省蕪湖市高一自主招生考試數(shù)學(xué)模擬試題（含解析）

2022-2023學(xué)年安徽省蕪湖市高一自主招生考試數(shù)學(xué)模擬試題

（含解析）

一、選擇題（本大題共7小題，每小題6分，共42分，每小題只有一個(gè)選項(xiàng)正

確，把正確的選項(xiàng)填在答題卡答題欄中）

1.方程》兇―5國+4=°的實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)是（）

A.1B.2C.3D.4

【正確答案】C

【分析】利用絕對(duì)值的意義，分為xNO或x<0兩種情況，結(jié)合一元二次方程的解法求解

即可.

【詳解】當(dāng)xNO時(shí)，方程工國一5兇+4=0可化為X2_5X+4=0,解得：x1=l,x2=4；

當(dāng)x<0時(shí)，方程x|x|—5國+4=0可化為一/+5》+4=0,解得：&=亙/（不合題

意舍去），X.=--,

2

方程x|x|-5兇+4=0有3個(gè)實(shí)數(shù)根.

故選：C.

2.依次將正整數(shù)1,2,3,…的平方數(shù)排成一串：149162536496481100121144…，排在第1

個(gè)位置的數(shù)字是1,排在第5個(gè)位置的數(shù)字是6,排在第10個(gè)位置的數(shù)字是4,排在第898

個(gè)位置的數(shù)字是（）

A.1B.4C.5D.9

【正確答案】B

【分析】先分別找到占1個(gè)，2個(gè)，3個(gè)，4個(gè)，5個(gè)數(shù)位的平方數(shù)的個(gè)數(shù)，從而得出第898

個(gè)位置的數(shù)字是2082的個(gè)位數(shù)字，求解即可.

【詳解】F到32,結(jié)果都各占1個(gè)數(shù)位，共占1X3=3個(gè)數(shù)位；

4?到92,結(jié)果都各占2個(gè)數(shù)位，共占2X6=12個(gè)數(shù)位；

IO2到3/,結(jié)果都各占3個(gè)數(shù)位，共占3X22=66個(gè)數(shù)位；

322到992，結(jié)果都各占4個(gè)數(shù)位，共占4X68=272個(gè)數(shù)位；

lOO?到2082，結(jié)果都各占5個(gè)數(shù)位，共占5X109=545個(gè)數(shù)位；

此時(shí)3+12+66+272+545=898,而2082=43264，

所以，排在第898個(gè)位置的數(shù)字恰好應(yīng)該是2082的個(gè)位數(shù)字，即為4.

故選：B.

3.設(shè)拋物線=/4與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)為（X”0）和（孫0），則x：-+10=

（）

A.-19B.-9C.16D.-27

【正確答案】A

【分析】依題意外、巧為方程V+x—4=0的兩根，即可得到玉+z=T，x：=4-x「

=4-X2,再代入計(jì)算可得.

【詳解】依題意不、々為方程/+X一4=0的兩根，

所以x；+X1-4=0,x；+x2-4=0,+x2=-I,

所以玉2=4_X_XJ=4-x,,

—

所以x：—5^2+10=X］（4—xj—5（4—x,）+10=4再一x;+5x210

=—&-x；+5（w+玉）—10

=-4+5x（-l）-10=-19.

故選：A

4.若直角坐標(biāo)系內(nèi)兩點(diǎn)M、N滿足條件①M(fèi)、N都在函數(shù)y的圖象上②“、N關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,

則稱點(diǎn)對(duì)（M,N）是函數(shù)y的一個(gè)“共生點(diǎn)對(duì)”（點(diǎn)對(duì)（M,N）與（M"）看作同一個(gè)洪生點(diǎn)

2x2+4x+1,x<0

對(duì)"），已知函數(shù)y=41,則函數(shù)y的“共生點(diǎn)對(duì)”有（）個(gè)

A.0B.1C.2D.3

【正確答案】C

【分析】根據(jù)“共生點(diǎn)對(duì)'’的概念知，函數(shù)y=」-,x>0的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的圖象與函數(shù)

3x

y=2x2+4x+l（x<0）的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)即為函數(shù)y的“共生點(diǎn)對(duì)”個(gè)數(shù)，結(jié)合函數(shù)圖象分析

即可.

【詳解】根據(jù)“共生點(diǎn)對(duì)''的概念知，作出函數(shù)y=」-,%>0的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的圖象與

3x

函數(shù)y=2f+4x+l（x?0）的圖象如下圖所示：

由圖可知它們的交點(diǎn)有兩個(gè)，所以函數(shù)y的“共生點(diǎn)對(duì)''有2對(duì).

故選：C.

5.如圖，E,尸是正方形/8C。的邊4。上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，滿足/，連接CF交8。于點(diǎn)

G.連接BE交AG于點(diǎn)、H.若正方形的邊長為4,則線段。，長度的最小值是（）

A.275-2B.V5C.3D.3.5

【正確答案】A

【分析】根據(jù)條件可證明和全等，AWG和全等，從而得到N1=N3,

然后求出/H8=90。，取的中點(diǎn)O,可得0H=g/B=2,利用勾股定理列式求出。。，

然后根據(jù)三角形的三邊關(guān)系可知當(dāng)。、D、”三點(diǎn)共線時(shí)，。，的長度最小.

在正方形488中，AB=AD=CD,NBAD=NCDA,NADG=NCDG,

AB=CD

在ABE和DCF中，＜/BAD=ZCDA,

AE=AF

ABE%DCF,.-,Z1=Z2.

AD=CD

在AADG和CDG中，＜NADG=ZCDG,

DG=DG

ADGqCDG，二/2=/3,=

NBAH+N3=NBAD=90°.Z1+ZBAH=90"，

N/H8=180°—90°=90°，

取的中點(diǎn)O,連接O",OD,則0〃=40=，48=2,

2

在Rta/OO中，OD=y]AO2+AD2=275-

根據(jù)三角形的三邊關(guān)系，OH+DH>OD,

.??當(dāng)。、D、，三點(diǎn)共線時(shí)，的長度最小，最小值為。。一=2行一2.

故選：A.

6.如圖，-個(gè)邊長分別是6,8,10的直角三角形的一個(gè)頂點(diǎn)與正方形的點(diǎn)力重合，另兩個(gè)

頂點(diǎn)在正方形的兩邊8C,C。上，則正方形的面積是（）

D

F

C

152172322

B.—C.—D.——

161617

【正確答案】D

【分析】根據(jù)勾股定理逆定理可以證明尸是直角三角形，利用正方形的性質(zhì)可以證明

△FEC-AEAB,然后利用相似三角形的性質(zhì)可以得到CE:BA=3：4,設(shè)CE=3x,則EB

=x,在△胡8中，根據(jù)勾股定理可求出一，即可求出正方形的面積.

【詳解】的三邊為6,8,10,而62+82=1（）2,

為直角三角形，NAEF=90°,：.ZFEC+ZAEB=90°,

而四邊形N8CZ）為正方形，/8=90。，：.ZEAB+ZAEB^90°,

:.NFEC=NEAB,又N8=NC=90°,：./XFEC^/\EAB,

：.CE:BA=EF:AE=3：4.

設(shè)CE=3x,貝ljBZ=4x,：.EB=x,

；三角形EBA為直角三角形,

64

AE2=EB2+BA2'A64=X2+(4X)\：.X2=—,

...正方形的面積=(4x)2=3》±=±cm2.

故選：D.

7.如圖，。是正方形48C。對(duì)角線ZC上一點(diǎn)，OE_LO。，NOED=45。,E在4B上,結(jié)論：

①NAOD=ZAED；②AD:OD=AF：EF；③0E?=OF-0A;④若力B=6,BE=4,

D.4

【正確答案】D

【分析】由題意△OOE是等腰直角三角形，根據(jù)正方形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理，可判

斷①；根據(jù)NXOOn/NEF,NE4F=NOAD=45。,證明可判斷②；根

據(jù)NAEO=NEFO,AAOE=ZEOF,證明△ZEOSAEFO,可判斷③；利用勾股定理得出

OE的長，再根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)，可判斷④.

【詳解】,：OELOD,:.NDOE=90。,VZO￡D=45°,

.?.△OOE是等腰直角三角形，OD=OE,NODE=45°.

'：/EAD=90。,NAED+ZADE=90°,：./4ED=90。-NADE,

：ZAOD+ZDAO+ZADO=180°,；.NZOD+45°+45°+ZADE=180°,

乙400=90。一乙WE,

所以NNOO=NZE。，故①正確；

NAOD=ZAEF,NEAF=NOAD=45。，

:.△AODS/\AEF,：.AD：OD=AF：EF,故②正確；

,?NAEO=ZAED+ZDEO=//ED+45。，NEFO=ZAOD+4EDO=ZAOD+450,

又NAOD=NAED,:.NAEO=ZEFO,

又NAOE=NEOF,：./\AEO^/\EFO,

0AOE

—————，即OE2=OF-OA，故③正確；

OEOF

,4B=AD=6,BE=4，?,4E=2，??DE—>/AD~4-AE~—2VTo9

?.?△。0后是等腰直角三角形，；.0￡=0。=2若，故④正確.

故正確結(jié)論個(gè)數(shù)為4.

故選：D.

二、填空題（本大題共7小題，每小題7分，共49分）

8.J（5+2⑻—#—2府=?

【正確答案】2272

【分析】根據(jù)立方差公式與根式的性質(zhì)可求出結(jié)果.

（5+2#+1+5-26）

=1175+276+5-276-275+276x>/5-2>/6

二11V10-2=1178=22V2.

故22應(yīng)

9.若有四個(gè)不同的正整數(shù)a,b,c,4滿足（2022-a）（2022—b）（2022-c）（2022-d）=6,

貝!Ia+b+c+d-.

【正確答案】8087或8089

【分析】根據(jù)人氏c、d是四個(gè)不同的正整數(shù)，可知四個(gè)括號(hào)內(nèi)的值分別是：1,T,-2,3或

1,_1,2,-3,據(jù)此可得出結(jié)論.

【詳解】?.7、b、c、d是四個(gè)不同的正整數(shù)，

...四個(gè)括號(hào)內(nèi)的值分別是：1,T,-2,3或1,-1,2,-3.

四個(gè)括號(hào)內(nèi)的值分別是：1,-1,-2,3時(shí)，

不妨令2022—a=l,2022—b=—1,2022—c=—2,2022—d=3,

：.a=2021,6=2023,c=20249=2019,

：.a+h+c+d=2021+2023+2024+2019=8087；

四個(gè)括號(hào)內(nèi)的值分別是：1,T,2,-3時(shí)，

不妨令2022-。=1,2022-b=-\,2022-c=2,2022-d=-3,

：.a=2021,6=2023,c=2020,d=2025,

；?a+b+c+d=2021+2023+2020+2025=8089.

故8087或8089.

10已知實(shí)數(shù)加彳〃且滿足（加+2）2=3—3（機(jī)+2）,（〃+2）2=3-3（〃+2）,則

【正確答案】布

【分析】由題意可得他、〃是方程（x+2『=3—3（x+2）的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，由

利用韋達(dá)定理可得答案.

【詳解】因?yàn)閷?shí)數(shù)加且滿足（〃?+2）2=3-3（加+2）,（〃+2）2=3-3（〃+2）,

所以用、〃是方程（x+2『=3—3（x+2）即/+7》+7=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，

tn〃

可得機(jī)+〃=一7,mn=7所以加—>0,一>0,

9nm

nm加+〃）-2mmr—

所以——十——-----------------+2=V7，

mnnm

故答案為.、萬

4

11.如圖，NC=90。，BC=6,tan8=—，點(diǎn)〃從點(diǎn)5出發(fā)以每秒3個(gè)單位長度的速度

3

在歷/上向點(diǎn)4運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)N同時(shí)從點(diǎn)4出發(fā)向點(diǎn)。運(yùn)動(dòng)，其速度是每秒2個(gè)單位長度，當(dāng)

一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)也停止運(yùn)動(dòng).當(dāng)，為秒時(shí)，ZkM乂4為等腰三角形.

1731

【分析】根據(jù)題意，分AM=AN、AM=MN和MN=AN,三種情況分類討論，結(jié)合三

角形全等和相似，列出關(guān)系式，即可求解.

【詳解】解：由題可知，BC=6,AC=8,AB=10

如圖（1）所示，當(dāng)=時(shí)，10—3f=2f,解得r=2；

圖（1）

如圖（2）所示，當(dāng)時(shí)，過點(diǎn)/作A/DLNC于點(diǎn)

則ZADM=90",ZM=MN=10—37,Z0=；ZN=f,

因?yàn)橐?c8=90°，所以MD//BC,所以AMDmABC,

所以把二生，即二t解得/=4、0；

ABAC10817

圖⑵

如圖（3）所示，當(dāng)MN=4N時(shí),過點(diǎn)N作NDL4B于點(diǎn)、D,

=；W=；(10_3f),

則Z.ADN=NACB=90°,AD=DM

4DAN

因?yàn)?=NZ,所以ADNsACB,所以——=—

ACAB

即”0—3/)j/,解得，

綜上可得，當(dāng)t的值為2或秒一秒或一秒時(shí),AMN能成為等腰三角形.

故2或竺或翌

1731

12.如圖，點(diǎn)P為函數(shù)夕=一(》>0)的圖象上一點(diǎn)，且到兩坐標(biāo)軸距離相等，尸半徑為

x

2,4(4,0),8(8,0),點(diǎn)。是P上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)C是08的中點(diǎn)，則4c的最小值是

【正確答案】372-1

【分析】設(shè)P(x,x)(x>0),求得P(6,6),連接OP交尸于點(diǎn)。'，連接8。'，取8。'的

中點(diǎn)C',

連接ZC',此時(shí)4C'最小，結(jié)合ZC'=；OQ'=g(OP—P。')，即可求解.

【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)尸為函數(shù)夕=生(》>0)的圖象上一點(diǎn)，且到兩坐標(biāo)軸距離相等，

X

所以可設(shè)尸(x,x)(x>0),則％=生，解得x=6或%=一6(舍去)，即點(diǎn)尸(6,6),

X

即圓尸的方程為(x-6)2+(y-6)2=4,

如圖所示，連接OP交P于點(diǎn)。'，連接8。'，取6。'的中點(diǎn)

連接ZC',此時(shí)ZC最小，

因?yàn)?(4,0),8(8,0),點(diǎn)c是Q?的中點(diǎn)，

所以。N=/8,C8=C。，所以4C=g。。，

當(dāng)點(diǎn)。運(yùn)動(dòng)到。'時(shí)，。。最小，

又因?yàn)槭陌霃綖?,所以ZC的最小值為ZC'=；OQ'=；(OP—尸0)=3后—1.

故答案為.3&—1

13.如圖，在△/BC中，AB=AC,以48為直徑的圓交8c于點(diǎn)。，連接力。，點(diǎn)P是力。

上一點(diǎn)，過點(diǎn)C作CF//4B,延長B尸交/C于E,交CF于F,若PE=4,瓦'=5則

BP=.

【正確答案】6

【分析】作出輔助線，利用全等和相似關(guān)系得到方程，求出答案.

【詳解】因?yàn)榱?為直徑，所以NZ￡>8=90°,

因?yàn)?所以BD=CD,

延長AD交FC的延長線于點(diǎn)G,

則ZADB=NGDC,

因?yàn)镃F//AB,所以NG=NB4。，

故ADBqGDC,所以CG=Z8,

因?yàn)镻E=4,EF=5,設(shè)BP=x,

cpEF5

則由S/X/EB可得，_=_^=_2一

ABBE4+x

PFFGFC+CGR??]9+x

由FPGsABPA可得,

PB~AB~AB~AB_4+x

又PF_PE+EF_99+x9

故J巴解得x=6故BP=6.

PBPBx4+xx

故6

m

14.設(shè)自然數(shù)加,〃，加>〃，且（〃？+〃）+（加一〃）+m〃+—=75,則優(yōu)+〃=

n

【正確答案】16

,.Im-377

【分析】依題意可得加+=3〃x52,即可得到《1,從而得解.

\/[〃+1=5

【詳解】因?yàn)椋?〃）+（加一〃）+加〃+—=75,即2〃?++—=75,

nn

m\n24-2774-1）/1\2

R即It一\_________Z.=75,所以+=75〃，

n

即mn1+（2加一75）〃+機(jī)=0,所以關(guān)于〃的方程加〃？+（2加-75）〃+機(jī)=0有正整數(shù)解，

[A=（2W-75）2-4W2>0

所以彳\7,

w>0

75

其中△=（2加一75）9-4加2=4加2_300m+752-4m2>0,解得m<—,

75

所以0<加<—,

2

又加（“+1）2=3/7X52,因?yàn)椤?？、〃為自然?shù)且加>〃，

所以〈?,解得《…，經(jīng)檢驗(yàn)符合題意，

〃+1=5[m=12

所以機(jī)+〃=16.

故16

三、解答題（本大題共4小題，共59分，解答應(yīng)寫出必要的文字說明，演算或

推演步驟）

15.（1）解方程（x+3?+（x+l）4=82；

（2）對(duì)于函數(shù)/'（》）=加+（6+1卜+6-2（。。0）,若存在實(shí)數(shù)xo，使/（%”與成立，

則稱xo為/（X）的固定點(diǎn).

①當(dāng)。=2,6=-4時(shí)，求〃x）的固定點(diǎn)；

②若對(duì)于任意實(shí)數(shù)6,函數(shù)/'（X）恒有兩個(gè)不相同的固定點(diǎn)，求。的取值范圍.

【正確答案】（1）%]=0,x2=-4；（2）①一1和3：②0<q<2.

【分析】(1)設(shè)x+2=y,則原方程變?yōu)?夕+1?+(夕—1?=82,化簡整理得

(/-4)(/+10)=0,求得一的值,進(jìn)而得原方程的解：

(2)①把4,6的值代入方程，解方程/(x)=x即可得/(X)的不動(dòng)點(diǎn)；

②根據(jù)方程有兩解可得〃-4ab+8a>0對(duì)6為任意實(shí)數(shù)恒成立,將其看成關(guān)于6的二次函

數(shù)，根據(jù)與<0即可得結(jié)果.

【詳解】(1)設(shè)x+2=y,則原方程變?yōu)?y+l)4+(y—l)4=82,

/.[(/+1)+2刃2+[(/+1)-=82,得(/++4/=41,

化簡整理得_/+6/-40=0,ap(/-4)(/+10)=0,

V/+1O^O.“_4=o二y=±2,

當(dāng)》=2時(shí)，x+2=2,?,.x=0,

當(dāng)歹=-2時(shí)，％+2=-2,x=—4,

?,?原方程的解是玉=0,x2=一4.

(2)①當(dāng)〃=2,6=-4時(shí)，/(x)=2x2-3x-6,

由/(x)=x,得X=2x2—3x—6，即%2一2%-3=0,解得：x=-l或3,

故-1和3是/、(無)的固定點(diǎn)；

②由題意，對(duì)于任意實(shí)數(shù)人方程/(*)=》即公2+/+。一2=0總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)

解，

aH0,△=〃-4a(6-2)〉0,

二b2-4ab+8a>0對(duì)人為任意實(shí)數(shù)恒成立.

貝!|△]=(-4a)--4x8a<0,

；?16“2_32。<0，：.0<a<2.

16.某校開展研學(xué)旅行活動(dòng)，決定租幾輛客車，要求每輛車乘坐相同的人數(shù)，每輛車至多乘

坐32人.如果租22座的客車，就有一人沒座位，如果租截客量大于22的客車可以比原來

少租一輛，而且所有師生剛好平均分乘這些客車上，問原來租幾輛客車，師生共有多少人？

【正確答案】原來租24輛客車，師生共有529人.

【分析】設(shè)原來租人輛客車，實(shí)際租用的客車每輛車坐〃人，由題意得左22,N432且

23

224+1=〃(左一1),從而得到〃=22+―即可得至ij左一1=1或左一1=23,求出左的值,

即可得解.

【詳解】設(shè)原來租左輛客車，實(shí)際租用的客車每輛車坐〃人,

由題意得：k>2,”432且221+1=〃（左一1）,

所以〃=2/2（1）+23

2CC2d---2--3-

k-\k-\k-\

23

因?yàn)椤ㄊ钦麛?shù)，所以上■必須是正整數(shù)，于是左一1=1或左一1=23,

?-1

當(dāng)左一1=1,即4=2時(shí)，〃=45〉32,不合題意，舍去.

當(dāng)左一1=23,即后=24時(shí)，〃=23,符合題意，此時(shí)〃（左—1）=23x2.3=529,

所以原來租24輛客車，師生共有529人.

17.如圖，在矩形/8CD中，■平分N/OC時(shí)，將△/8E沿/E折疊至△///,點(diǎn)尸恰好

落在DE上.

（2）如圖，延長CF交/E于點(diǎn)G,交AB于點(diǎn)、H.

①求曲段=空

AGAF

②求空的值.

DF

【正確答案】（1）證明見解析

（2）①證明見解析；②;go—140.

【分析】（1）利用矩形的性質(zhì)和翻折的性質(zhì)可得NF=OC，從而可證△/￡0名得出

結(jié)論；

（2）①利用等腰三角形兩個(gè)底角相等，通過計(jì)算角度，可證明△/HGsaC尸E,由相似三

AJ4CF

角形的性質(zhì)得竺?=￡,從而解決問題；

AGCE

②利用等腰直角三角形的性質(zhì)表示出EM，可得CM的長，再利用△ZHGSACFE,

由相似三角形的性質(zhì)得里=4"，求出G”即可得解.

EFCF

【小問1詳解】

?.?四邊形是矩形，

:?NB=/BCD=NCDA=NBAD=90°,AB=CD,4D=BC，

,/ED平分N/1OC,Z.ZADE=ZEDC=45°，；?ZDEC=90°-NEDC=45°.

?.,將A/18E沿AE折疊至，AABE學(xué)LAFE,

：?AB=AF,NAFD=NB=90"，：.AF=AB=DC,

'AFD=ZC

在與ADCE中,<NADF=ZDEC,：.△4FD絲△OCE,

AF=DC

：,AD=DE.

【小問2詳解】

@V/\AFD=/^DCE,AD—DE,AF-DF—DC—CE,

180°-45°

/.NDCF=ZDFC=------------=675,；?ZECF=22.5°.

2

180°-45°

,/AD=DE,???NDAE=ZDEA=-----------=675，NHAG=90°-67.5°=22.5°，

2

/ECF=AHAG,

,/NEFC=180°-67.5°=112.5°.ZAHG=ZB+/ECF=90"+22.5°=112.5°，

/EFC=AAHG,

.AHCF

AAHGsACFE,

'~AG~CE

CE=CD=AF=DF=AB,

?AHCF

②過點(diǎn)尸作于如圖,

設(shè)CE=CD=AF=AB=a，：.BC=DE=dCD，+EC?=屑，

BE=EF=DE—DF=>j2a—a‘

:ZEFM=90°—ZFEM=45°，,NFEM=ZEFM=45°，

EFyf2a—ay/2

:.EM=FM=,=^~^-=a—Ja,

V2<22

???BM=BE+EM=41a-a+a-^^a=，

22

.「A/_/?V2_yjla

,,CM=yj2Q-------a=------，

22

yfia

■:NFMC=NB=900，：?FM〃BH，；.FM=CM=CF二一5—二］,

~BH~~BC~~CH~42a~2

?*-BH=2FM=2”舊,：,AHAB-BH=a-2a+y/2a^42a-a'

在RtABCH中，CH=^BH2+BC2=為一衣『+（缶『=2也-應(yīng)a，

CF=；CH=y/2-^2a,

GHAH

■:XAA