北師大版七年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)舉一反三 專(zhuān)題2.2 探索直線(xiàn)平行的條件-重難點(diǎn)題型（舉一反三）（原卷版+解析）

專(zhuān)題2.2探索直線(xiàn)平行的條件-重難點(diǎn)題型【北師大版】【知識(shí)點(diǎn)1三線(xiàn)八角】1.同位角：兩條直線(xiàn)被第三條直線(xiàn)所截，兩個(gè)角都在兩條被截線(xiàn)同側(cè)，并在截線(xiàn)的同旁，這樣的一對(duì)角叫做同位角.2.內(nèi)錯(cuò)角：兩條直線(xiàn)被第三條直線(xiàn)所截，兩個(gè)角都在兩條被截線(xiàn)之間并且在截線(xiàn)的兩旁，這樣的一對(duì)角叫做內(nèi)錯(cuò)角.3.同旁?xún)?nèi)角：兩條直線(xiàn)被第三條直線(xiàn)所截兩個(gè)角都在兩條被截線(xiàn)之間并且在截線(xiàn)的同旁，這樣的一對(duì)角叫做同旁?xún)?nèi)角【題型1三線(xiàn)八角】【例1】(2023春?郯城縣期末）如圖，直線(xiàn)AD，BE被直線(xiàn)BF和AC所截，則∠1的同位角和∠5的內(nèi)錯(cuò)角分別是（）A．∠2和∠4 B．∠6和∠4 C．∠2和∠6 D．∠6和∠3【變式1-1】(2023春?長(zhǎng)白縣期中）如圖，有下列判斷：①∠A與∠1是同位角；②∠A與∠B是同旁?xún)?nèi)角；③∠4與∠1是內(nèi)錯(cuò)角；④∠1與∠3是同位角．其中正確的是（填序號(hào)）．【變式1-2】(2023春?連山區(qū)月考）如圖，直線(xiàn)EF交AB于G，交CD于M．（1）圖中有多少對(duì)對(duì)頂角；（2）圖中有多少對(duì)鄰補(bǔ)角；（3）圖中有多少對(duì)同位角；（4）圖中有多少對(duì)同旁?xún)?nèi)角；（5）寫(xiě)出圖中的內(nèi)錯(cuò)角．【變式1-3】(2023秋?崇川區(qū)校級(jí)期末）復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題我們常會(huì)把它分解為基本問(wèn)題來(lái)研究，化繁為簡(jiǎn)，化整為零這是一種常見(jiàn)的數(shù)學(xué)解題思想．（1）如圖1，直線(xiàn)l1，l2被直線(xiàn)l3所截，在這個(gè)基本圖形中，形成了對(duì)同旁?xún)?nèi)角．（2）如圖2，平面內(nèi)三條直線(xiàn)l1，l2，l3兩兩相交，交點(diǎn)分別為A、B、C，圖中一共有對(duì)同旁?xún)?nèi)角．（3）平面內(nèi)四條直線(xiàn)兩兩相交，最多可以形成對(duì)同旁?xún)?nèi)角．（4）平面內(nèi)n條直線(xiàn)兩兩相交，最多可以形成對(duì)同旁?xún)?nèi)角．【知識(shí)點(diǎn)2平行線(xiàn)的判定】1.平行公理及其推論①經(jīng)過(guò)直線(xiàn)外一點(diǎn)，有且只有一條直線(xiàn)與已知直線(xiàn)平行.②如果兩條直線(xiàn)都和第三條直線(xiàn)平行，那么這兩條直線(xiàn)也互相平行.2.平行線(xiàn)的判定方法①兩條直線(xiàn)被第三條直線(xiàn)所截，如果同位角相等，那么這兩條直線(xiàn)平行.（同位角相等，兩直線(xiàn)平行）.②兩條直線(xiàn)被第三條直線(xiàn)所截，如果內(nèi)錯(cuò)角相等，那么這兩條直線(xiàn)平行.（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線(xiàn)平行.③兩直線(xiàn)被第三條直線(xiàn)所截，如果同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)，則這兩條直線(xiàn)平行.（同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)，兩直線(xiàn)平行.）【題型2同位角相等，兩直線(xiàn)平行】【例2】(2023春?浦東新區(qū)月考）如圖，已知∠A＝∠EGC，∠A＝∠D，說(shuō)明AC∥DF．解：∵∠A＝∠EGC又∵∠A＝∠D∴＝（）∴DF∥AC．【變式2-1】(2023春?鄒平縣校級(jí)月考）已知如圖所示，∠1＝∠2，∠C＝∠D，你能推斷BD∥CE嗎？試說(shuō)明你的理由．【變式2-2】(2023春?江陰市校級(jí)月考）如圖，∠1＝75°，∠2＝105°，AB與ED平行嗎？為什么？【變式2-3】(2023春?盂縣期中）小明到工廠(chǎng)參加社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)時(shí)，發(fā)現(xiàn)工人師傅測(cè)量一塊木板兩邊AB與CD是否平行時(shí)，將直角尺（∠MFN＝90°）如圖放置：MF交AB于點(diǎn)E，NF交CD于點(diǎn)G，測(cè)得∠1＝140°，∠2＝50°．小明馬上用所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)幫師傅進(jìn)行了證明．請(qǐng)你寫(xiě)出規(guī)范的證明過(guò)程．【題型3內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線(xiàn)平行】【例3】(2023春?青浦區(qū)期中）推理填空：已知：如圖AB⊥BC于B，CD⊥BC于C，∠1＝∠2，求證：BE∥CF．證明：∵AB⊥BC于B，CO⊥BC于C（已知）∴∠1+∠3＝90°，∠2+∠4＝90°∴∠1與∠3互余，∠2與∠4互余又∵∠1＝∠2（），∴＝（）∴BE∥CF（）．【變式3-1】(2023秋?城東區(qū)校級(jí)期中）如圖，∠B＝45°，∠A+15°＝∠1，∠ACD＝60°．求證：AB∥CD．【變式3-2】(2023春?陽(yáng)谷縣期中）將一副直角三角尺拼成如圖所示的圖形，過(guò)點(diǎn)C作CF平分∠DCE交DE于點(diǎn)F，試判斷CF與AB是否平行，并說(shuō)明理由．【變式3-3】(2023春?沂源縣期末）已知，如圖∠1和∠D互余，CF⊥DF，問(wèn)AB與CD平行嗎？為什么？【題型4同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)，兩直線(xiàn)平行】【例4】(2023春?新津縣校級(jí)月考）如圖，直線(xiàn)AB與直線(xiàn)EF相交于點(diǎn)M，直線(xiàn)CD與直線(xiàn)EF相交于點(diǎn)N；∠1是它的補(bǔ)角的2倍，∠2的余角是∠2的12，那么AB∥CD【變式4-1】(2023春?牡丹區(qū)期末）如圖，已知AC，BC分別平分∠QAB，∠ABN，且∠1與∠2互余，求證：PQ∥MN．【變式4-2】(2023春?長(zhǎng)汀縣期中）已知：如圖，點(diǎn)E、C、D三點(diǎn)共線(xiàn)，∠DCM＝35°，∠B＝70°，CN平分∠BCE，CM⊥CN，問(wèn)：AB與CD有什么位置關(guān)系？請(qǐng)寫(xiě)出推理過(guò)程．【變式4-3】(2023秋?膠州市期末）已知：如圖，BE，DF分別平分∠ABD和∠BDC，且BE⊥DF．求證：AB∥CD．【題型5角平分線(xiàn)與平行線(xiàn)的判定】【例5】(2023秋?溫州月考）已知：如圖，∠ACD＝2∠B，CE平分∠ACD．求證：CE∥AB．【變式5-1】(2023春?丹陽(yáng)市期末）已知：如圖，AD是△ABC的角平分線(xiàn)，點(diǎn)E在BC上，點(diǎn)F在CA的延長(zhǎng)線(xiàn)上，EF交AB于點(diǎn)G，且∠AGF＝∠F．求證：EF∥AD．【變式5-2】(2023春?岳池縣月考）如圖，OC是∠AOB的平分線(xiàn)，且∠1＝∠2，試說(shuō)明EF∥OB嗎？【變式5-3】(2023春?廉江市期末）完成下面的證明如圖，BE平分∠ABD，DE平分∠BDC，且∠α+∠β＝90°，求證：AB∥CD．完成推理過(guò)程BE平分∠ABD（已知），∴∠ABD＝2∠α（）．∵DE平分∠BDC（已知），∴∠BDC＝2∠β（）∴∠ABD+∠BDC＝2∠α+2∠β＝2（∠α+∠β）（）∵∠α+∠β＝90°（已知），∴∠ABD+∠BDC＝180°（）．∴AB∥CD（）．【題型6平行線(xiàn)的判定的綜合應(yīng)用】【例6】(2023春?江蘇校級(jí)期中）數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，同學(xué)們正在討論一道習(xí)題：為了說(shuō)明地圖中的四望亭路與文昌中路是互相平行的，王老師已經(jīng)在地圖上量得∠1＝90°，你能通過(guò)度量圖中已標(biāo)出的其他的角來(lái)驗(yàn)證這個(gè)結(jié)論嗎？說(shuō)出你的理由．同學(xué)甲：度量∠2的度數(shù)，若∠2＝90°，滿(mǎn)足∠1+∠2＝180°，根據(jù)同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)，兩直線(xiàn)平行，就可以驗(yàn)證這個(gè)結(jié)論；同學(xué)乙：度量∠3的度數(shù)，若滿(mǎn)足∠3＝∠1＝90°，根據(jù)同位角相等，兩直線(xiàn)平行，就可以驗(yàn)證這個(gè)結(jié)論；同學(xué)丙：度量∠5的度數(shù)，若滿(mǎn)足∠5＝∠1＝90°，根據(jù)內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線(xiàn)平行，就可以驗(yàn)證這個(gè)結(jié)論；同學(xué)?。憾攘俊?的度數(shù)，若∠4＝90°，也能驗(yàn)證這個(gè)結(jié)論．請(qǐng)你說(shuō)明同學(xué)丁的理由．【變式6-1】(2023春?欽南區(qū)校級(jí)月考）王老師在廣場(chǎng)上練習(xí)駕駛汽車(chē)，他第一次向左拐65°后，第二次要怎樣拐才能使行駛路線(xiàn)與原來(lái)平行？．【變式6-2】(2023秋?余姚市期中）木條a、b、c如圖用螺絲固定在木板α上且∠ABM＝50°，∠DEM＝70°，將木條a、木條b、木條c看作是在同一平面α內(nèi)的三條直線(xiàn)AC、DF、MN，若使直線(xiàn)AC、直線(xiàn)DF達(dá)到平行的位置關(guān)系，則下列描述錯(cuò)誤的是（）A．木條b、c固定不動(dòng)，木條a繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)20° B．木條b、c固定不動(dòng)，木條a繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)160° C．木條a、c固定不動(dòng)，木條b繞點(diǎn)E逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)20° D．木條a、c固定不動(dòng)，木條b繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)110°【變式6-3】(2023春?南京期中）如圖，在△AOB和△COD中，∠AOB＝∠COD＝90°，∠B＝50°，∠C＝60°，點(diǎn)D在邊OA上，將圖中的△COD繞點(diǎn)O按每秒20°的速度沿順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)一周，在旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，在第t秒時(shí)，邊CD恰好與邊AB平行，則t的值為．專(zhuān)題2.2探索直線(xiàn)平行的條件-重難點(diǎn)題型【北師大版】【知識(shí)點(diǎn)1三線(xiàn)八角】1.同位角：兩條直線(xiàn)被第三條直線(xiàn)所截，兩個(gè)角都在兩條被截線(xiàn)同側(cè)，并在截線(xiàn)的同旁，這樣的一對(duì)角叫做同位角.2.內(nèi)錯(cuò)角：兩條直線(xiàn)被第三條直線(xiàn)所截，兩個(gè)角都在兩條被截線(xiàn)之間并且在截線(xiàn)的兩旁，這樣的一對(duì)角叫做內(nèi)錯(cuò)角.3.同旁?xún)?nèi)角：兩條直線(xiàn)被第三條直線(xiàn)所截兩個(gè)角都在兩條被截線(xiàn)之間并且在截線(xiàn)的同旁，這樣的一對(duì)角叫做同旁?xún)?nèi)角【題型1三線(xiàn)八角】【例1】(2023春?郯城縣期末）如圖，直線(xiàn)AD，BE被直線(xiàn)BF和AC所截，則∠1的同位角和∠5的內(nèi)錯(cuò)角分別是（）A．∠2和∠4 B．∠6和∠4 C．∠2和∠6 D．∠6和∠3分析：根據(jù)同位角：兩條直線(xiàn)被第三條直線(xiàn)所截形成的角中，若兩個(gè)角都在兩直線(xiàn)的同側(cè)，并且在第三條直線(xiàn)（截線(xiàn)）的同旁，則這樣一對(duì)角叫做同位角進(jìn)行分析即可．根據(jù)內(nèi)錯(cuò)角：兩條直線(xiàn)被第三條直線(xiàn)所截形成的角中，若兩個(gè)角都在兩直線(xiàn)的之間，并且在第三條直線(xiàn)（截線(xiàn)）的兩旁，則這樣一對(duì)角叫做內(nèi)錯(cuò)角進(jìn)行分析即可．【解答】解：∠1的同位角是∠2，∠5的內(nèi)錯(cuò)角是∠6，故選：C．【變式1-1】(2023春?長(zhǎng)白縣期中）如圖，有下列判斷：①∠A與∠1是同位角；②∠A與∠B是同旁?xún)?nèi)角；③∠4與∠1是內(nèi)錯(cuò)角；④∠1與∠3是同位角．其中正確的是（填序號(hào)）．分析：準(zhǔn)確識(shí)別同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁?xún)?nèi)角的關(guān)鍵，是弄清哪兩條直線(xiàn)被哪一條線(xiàn)所截．也就是說(shuō)，在辨別這些角之前，要弄清哪一條直線(xiàn)是截線(xiàn)，哪兩條直線(xiàn)是被截線(xiàn)．【解答】解：①∠A與∠1是同位角，此結(jié)論正確；②∠A與∠B是同旁?xún)?nèi)角，此結(jié)論正確；③∠4與∠1是內(nèi)錯(cuò)角，此結(jié)論正確；④∠1與∠3不是同位角，原來(lái)的結(jié)論錯(cuò)誤；故答案為：①②③．【變式1-2】(2023春?連山區(qū)月考）如圖，直線(xiàn)EF交AB于G，交CD于M．（1）圖中有多少對(duì)對(duì)頂角；（2）圖中有多少對(duì)鄰補(bǔ)角；（3）圖中有多少對(duì)同位角；（4）圖中有多少對(duì)同旁?xún)?nèi)角；（5）寫(xiě)出圖中的內(nèi)錯(cuò)角．分析：（1）根據(jù)對(duì)頂角的概念即可得到答案；（2）根據(jù)鄰補(bǔ)角的概念即可得到答案；（3）根據(jù)同位角的概念即可得到答案；（4）根據(jù)同旁?xún)?nèi)角的概念即可得到答案；（5）根據(jù)內(nèi)錯(cuò)角的概念可得答案．【解答】解：（1）圖中4對(duì)對(duì)頂角；（2）圖中12對(duì)鄰補(bǔ)角；（3）圖中有8對(duì)同位角；（4）圖中有4對(duì)同旁?xún)?nèi)角；（5）圖中內(nèi)錯(cuò)角有：∠AGF和∠GMD，∠CMG和∠MGB，∠CMG和∠MGH，∠NMG和∠MGB，∠NMG和∠MGH．【變式1-3】(2023秋?崇川區(qū)校級(jí)期末）復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題我們常會(huì)把它分解為基本問(wèn)題來(lái)研究，化繁為簡(jiǎn)，化整為零這是一種常見(jiàn)的數(shù)學(xué)解題思想．（1）如圖1，直線(xiàn)l1，l2被直線(xiàn)l3所截，在這個(gè)基本圖形中，形成了對(duì)同旁?xún)?nèi)角．（2）如圖2，平面內(nèi)三條直線(xiàn)l1，l2，l3兩兩相交，交點(diǎn)分別為A、B、C，圖中一共有對(duì)同旁?xún)?nèi)角．（3）平面內(nèi)四條直線(xiàn)兩兩相交，最多可以形成對(duì)同旁?xún)?nèi)角．（4）平面內(nèi)n條直線(xiàn)兩兩相交，最多可以形成對(duì)同旁?xún)?nèi)角．分析：根據(jù)同旁?xún)?nèi)角的定義，結(jié)合圖形確定同旁?xún)?nèi)角的對(duì)數(shù)．【解答】解：因?yàn)閮蓚€(gè)交點(diǎn)可以形成2對(duì)同旁?xún)?nèi)角，而三個(gè)交點(diǎn)形成的同旁?xún)?nèi)角的對(duì)數(shù)為6對(duì)，（1）直線(xiàn)l1，l2被直線(xiàn)l3所截，在這個(gè)基本圖形中，形成了2對(duì)同旁?xún)?nèi)角．（2）平面內(nèi)三條直線(xiàn)l1，l2，l3兩兩相交，交點(diǎn)分別為A、B、C，圖中一共有3×2＝6對(duì)同旁?xún)?nèi)角．（3）平面內(nèi)四條直線(xiàn)兩兩相交，交點(diǎn)最多為6個(gè)，最多可以形成4×（4﹣1）×（4﹣2）＝24對(duì)同旁?xún)?nèi)角．（4）平面內(nèi)n條直線(xiàn)兩兩相交，最多可以形成n（n﹣1）（n﹣2）對(duì)同旁?xún)?nèi)角故答案為：（1）2；（2）6；（3）24；（4）n（n﹣1）（n﹣2）【知識(shí)點(diǎn)2平行線(xiàn)的判定】1.平行公理及其推論①經(jīng)過(guò)直線(xiàn)外一點(diǎn)，有且只有一條直線(xiàn)與已知直線(xiàn)平行.②如果兩條直線(xiàn)都和第三條直線(xiàn)平行，那么這兩條直線(xiàn)也互相平行.2.平行線(xiàn)的判定方法①兩條直線(xiàn)被第三條直線(xiàn)所截，如果同位角相等，那么這兩條直線(xiàn)平行.（同位角相等，兩直線(xiàn)平行）.②兩條直線(xiàn)被第三條直線(xiàn)所截，如果內(nèi)錯(cuò)角相等，那么這兩條直線(xiàn)平行.（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線(xiàn)平行.③兩直線(xiàn)被第三條直線(xiàn)所截，如果同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)，則這兩條直線(xiàn)平行.（同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)，兩直線(xiàn)平行.）【題型2同位角相等，兩直線(xiàn)平行】【例2】(2023春?浦東新區(qū)月考）如圖，已知∠A＝∠EGC，∠A＝∠D，說(shuō)明AC∥DF．解：∵∠A＝∠EGC已知又∵∠A＝∠D已知∴∠D＝∠EGC（等量代換）∴DF∥AC同位角相等兩直線(xiàn)平行．【解題思路】根據(jù)平行線(xiàn)的判定和性質(zhì)解答可得．【解答過(guò)程】解：∵∠A＝∠EGC（已知）又∵∠A＝∠D（已知）∴∠D＝∠EGC（等量代換）∴DF∥AC（同位角相等兩直線(xiàn)平行），故答案為：已知，已知，∠D，∠EGC，等量代換，同位角相等兩直線(xiàn)平行．【變式2-1】(2023春?鄒平縣校級(jí)月考）已知如圖所示，∠1＝∠2，∠C＝∠D，你能推斷BD∥CE嗎？試說(shuō)明你的理由．【解題思路】根據(jù)提供的思路，利用平行線(xiàn)的性質(zhì)及判定填空．【解答過(guò)程】解：∵∠1＝∠2，∵∠1＝∠DOF，∴∠2＝∠DOF，∴DB∥EC．【變式2-2】(2023春?江陰市校級(jí)月考）如圖，∠1＝75°，∠2＝105°，AB與ED平行嗎？為什么？【解題思路】根據(jù)鄰補(bǔ)角互補(bǔ)可得∠1+∠COA＝180°，然后再計(jì)算出∠COA的度數(shù)，進(jìn)而可得根據(jù)同位角相等，兩直線(xiàn)平行可得AB與ED平行．【解答過(guò)程】解：AB與ED平行，∵∠1+∠COA＝180°，∠1＝75°，∴∠COA＝180°﹣75°＝105°，∵∠2＝105°，∴∠AOC＝∠2，∴AB∥ED．【變式2-3】(2023春?盂縣期中）小明到工廠(chǎng)參加社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)時(shí)，發(fā)現(xiàn)工人師傅測(cè)量一塊木板兩邊AB與CD是否平行時(shí)，將直角尺（∠MFN＝90°）如圖放置：MF交AB于點(diǎn)E，NF交CD于點(diǎn)G，測(cè)得∠1＝140°，∠2＝50°．小明馬上用所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)幫師傅進(jìn)行了證明．請(qǐng)你寫(xiě)出規(guī)范的證明過(guò)程．【解題思路】延長(zhǎng)MF交CD于點(diǎn)H，利用三角形外角的性質(zhì)可得∠CHF＝140°﹣90°＝50°，再由∠2＝50°可得∠CHF＝∠2，然后根據(jù)同位角相等，兩直線(xiàn)平行可得判定AB∥CD．【解答過(guò)程】證明：延長(zhǎng)MF交CD于點(diǎn)H，∵∠1＝90°+∠CFH，∠1＝140°，∴∠CHF＝140°﹣90°＝50°，∵∠2＝50°，∴∠CHF＝∠2，∴AB∥CD．【題型3內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線(xiàn)平行】【例3】(2023春?青浦區(qū)期中）推理填空：已知：如圖AB⊥BC于B，CD⊥BC于C，∠1＝∠2，求證：BE∥CF．證明：∵AB⊥BC于B，CO⊥BC于C（已知）∴∠1+∠3＝90°，∠2+∠4＝90°∴∠1與∠3互余，∠2與∠4互余又∵∠1＝∠2（已知），∴∠3＝∠4（等角的余角相等）∴BE∥CF（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線(xiàn)平行）．【解題思路】先根據(jù)垂直的定義得出∠1+∠3＝90°，∠2+∠4＝90°，再由∠1＝∠2可得出∠3＝∠4，由此可得出結(jié)論．【解答過(guò)程】證明：∵AB⊥BC于B，CO⊥BC于C（已知）∴∠1+∠3＝90°，∠2+∠4＝90°∴∠1與∠3互余，∠2與∠4互余又∵∠1＝∠2（已知），∴∠3＝∠4（等角的余角相等），∴BE∥CF（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線(xiàn)平行）．故答案為：已知；∠3＝∠4，等角的余角相等；內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線(xiàn)平行．【變式3-1】(2023秋?城東區(qū)校級(jí)期中）如圖，∠B＝45°，∠A+15°＝∠1，∠ACD＝60°．求證：AB∥CD．【解題思路】由三角形內(nèi)角和定理和已知條件求出∠A＝60°，得出∠ACD＝∠A，即可得出AB∥CD．【解答過(guò)程】證明：∵∠A+∠B+∠1＝180°，∠A+15°＝∠1，∴∠A+45°+∠A+15°＝180°，解得：∠A＝60°，∵∠ACD＝60°，∴∠ACD＝∠A，∴AB∥CD．【變式3-2】(2023春?陽(yáng)谷縣期中）將一副直角三角尺拼成如圖所示的圖形，過(guò)點(diǎn)C作CF平分∠DCE交DE于點(diǎn)F，試判斷CF與AB是否平行，并說(shuō)明理由．【解題思路】先根據(jù)直角三角板的性質(zhì)得出∠BAC＝45°，再由角平分線(xiàn)的性質(zhì)得出∠1＝45°，進(jìn)而可得出結(jié)論．【解答過(guò)程】解：CF∥AB．∵圖中是一副直角三角板，∴∠BAC＝45°．∵CF平分∠DCE，∴∠1＝45°，∴CF∥AB．【變式3-3】(2023春?沂源縣期末）已知，如圖∠1和∠D互余，CF⊥DF，問(wèn)AB與CD平行嗎？為什么？【解題思路】要證AB與CD平行，只需證∠2＝∠D，利用同角的余角相等不難證出．【解答過(guò)程】解：AB∥CD．理由如下：∵CF⊥DF，∴∠CFD＝90°．∵∠1+∠CFD+∠2＝180°，∴∠1+∠2＝90°．∵∠1與∠D互余，∴∠1+∠D＝90°，∴∠2＝∠D，∴AB∥CD（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線(xiàn)平行）．【題型4同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)，兩直線(xiàn)平行】【例4】(2023春?新津縣校級(jí)月考）如圖，直線(xiàn)AB與直線(xiàn)EF相交于點(diǎn)M，直線(xiàn)CD與直線(xiàn)EF相交于點(diǎn)N；∠1是它的補(bǔ)角的2倍，∠2的余角是∠2的12，那么AB∥CD【解題思路】根據(jù)補(bǔ)角定義可得2∠1＝180°﹣∠1，再根據(jù)余角定義可得12∠2＝90°﹣∠2，分別計(jì)算出∠1和∠2的度數(shù)，再根據(jù)同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)，兩直線(xiàn)平行可得AB∥CD【解答過(guò)程】解：∵∠1是它的補(bǔ)角的2倍，∴2∠1＝180°﹣∠1，∠1＝120°，∵∠2的余角是∠2的12∴12解得：∠2＝60°，∴∠1+∠2＝180°，∴AB∥CD．【變式4-1】(2023春?牡丹區(qū)期末）如圖，已知AC，BC分別平分∠QAB，∠ABN，且∠1與∠2互余，求證：PQ∥MN．【解題思路】由∠1與∠2互余知∠1+∠2＝90°，根據(jù)AC，BC分別平分∠QAB、∠ABN得∠BAQ＝2∠1、∠ABN＝2∠2，進(jìn)而知∠BAQ、∠ABN互補(bǔ)，依據(jù)同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)，兩直線(xiàn)平行得證．【解答過(guò)程】證明：∵∠1與∠2互余，∴∠1+∠2＝90°，又∵AC，BC分別平分∠QAB，∠ABN，∴∠BAQ＝2∠1，∠ABN＝2∠2，∴∠BAQ+∠ABN＝2∠1+2∠2＝2（∠1+∠2）＝180°，∴PQ∥MN（同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)，兩直線(xiàn)平行）．【變式4-2】(2023春?長(zhǎng)汀縣期中）已知：如圖，點(diǎn)E、C、D三點(diǎn)共線(xiàn)，∠DCM＝35°，∠B＝70°，CN平分∠BCE，CM⊥CN，問(wèn)：AB與CD有什么位置關(guān)系？請(qǐng)寫(xiě)出推理過(guò)程．【解題思路】先根據(jù)∠MCN＝90°，∠DCM＝35°，求得∠ECN＝55°，進(jìn)而根據(jù)CN平分∠BCE，得出∠BCE＝110°，再根據(jù)∠B＝70°，可得∠BCE+∠B＝180°，進(jìn)而判定AB∥CD．【解答過(guò)程】解：AB∥CD．理由：∵CM⊥CN，∴∠MCN＝90°，∵∠DCM＝35°，∴∠ECN＝180°﹣90°﹣35°＝55°，∵CN平分∠BCE，∴∠BCE＝2∠ECN＝110°，∵∠B＝70°，∴∠BCE+∠B＝110°+70°＝180°，∴AB∥CD．【變式4-3】(2023秋?膠州市期末）已知：如圖，BE，DF分別平分∠ABD和∠BDC，且BE⊥DF．求證：AB∥CD．【解題思路】根據(jù)角平分線(xiàn)的性質(zhì)得出∠ABE＝∠DBE=12∠ABD，∠BDF＝∠EDF=12∠BDE，根據(jù)BE⊥DF得出∠DBE+∠BDF＝90°，從而得出∠ABD+∠BDE＝180°，由平行線(xiàn)的判定方法即可得出【解答過(guò)程】證明：∵BE⊥DF，∠BFD＝90°，∴∠DBE+∠BDF＝90°，∵BE，DF分別平分∠ABD和∠BDC，∴∠ABE＝∠DBE=12∠ABD，∠BDF＝∠EDF=1∴∠ABD+∠BDE＝2∠DBE+2∠BDF＝180°，∴AB∥CD．【題型5角平分線(xiàn)與平行線(xiàn)的判定】【例5】(2023秋?溫州月考）已知：如圖，∠ACD＝2∠B，CE平分∠ACD．求證：CE∥AB．【解題思路】由CE為角平分線(xiàn)，利用角平分線(xiàn)的定義得到一對(duì)角相等，再由已知一對(duì)角相等，利用等量代換得到一對(duì)同位角相等，利用同位角相等兩直線(xiàn)平行即可得證．【解答過(guò)程】證明：∵CE平分∠ACD，∴∠ACD＝2∠DCE，∵∠ACD＝2∠B，∴∠DCE＝∠B，∴AB∥CE．【變式5-1】(2023春?丹陽(yáng)市期末）已知：如圖，AD是△ABC的角平分線(xiàn)，點(diǎn)E在BC上，點(diǎn)F在CA的延長(zhǎng)線(xiàn)上，EF交AB于點(diǎn)G，且∠AGF＝∠F．求證：EF∥AD．【解題思路】依據(jù)AD是△ABC的角平分線(xiàn)，可得∠BAD＝∠CAD，再根據(jù)∠BAD+∠CAD＝∠AGF+∠F，且∠AGF＝∠F，即可得到∠CAD＝∠F，進(jìn)而得出EF∥AD．【解答過(guò)程】證明：∵AD是△ABC的角平分線(xiàn)，∴∠BAD＝∠CAD，又∵∠BAD+∠CAD＝∠AGF+∠F，且∠AGF＝∠F，∴∠CAD＝∠F，∴EF∥AD．【變式5-2】(2023春?岳池縣月考）如圖，OC是∠AOB的平分線(xiàn)，且∠1＝∠2，試說(shuō)明EF∥OB嗎？【解題思路】先根據(jù)角平分線(xiàn)的定義得出∠1＝∠BOC，再由等量代換得出∠2＝∠BOC，進(jìn)而可得出結(jié)論．【解答過(guò)程】解：∵OC平分∠AOB（已知），∴∠1＝∠BOC（角平分線(xiàn)定義）．∵∠1＝∠2（已知），∴∠2＝∠BOC（等量代換），∴EF∥OB（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線(xiàn)平行）．【變式5-3】(2023春?廉江市期末）完成下面的證明如圖，BE平分∠ABD，DE平分∠BDC，且∠α+∠β＝90°，求證：AB∥CD．完成推理過(guò)程BE平分∠ABD（已知），∴∠ABD＝2∠α（角平分線(xiàn)的定義）．∵DE平分∠BDC（已知），∴∠BDC＝2∠β（角平分線(xiàn)的定義）∴∠ABD+∠BDC＝2∠α+2∠β＝2（∠α+∠β）（等量代換）∵∠α+∠β＝90°（已知），∴∠ABD+∠BDC＝180°（等量代換）．∴AB∥CD（同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)兩直線(xiàn)平行）．【解題思路】首先根據(jù)角平分線(xiàn)的定義可得∠ABD＝2∠α，∠BDC＝2∠β，根據(jù)等量代換可得∠ABD+∠BDC＝2∠α+2∠β＝2（∠α+∠β），進(jìn)而得到∠ABD+∠BDC＝180°，然后再根據(jù)同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)兩直線(xiàn)平行可得答案．【解答過(guò)程】證明：BE平分∠ABD（已知），∴∠ABD＝2∠α（角平分線(xiàn)的定義）．∵DE平分∠BDC（已知），∴∠BDC＝2∠β（角平分線(xiàn)的定義）∴∠ABD+∠BDC＝2∠α+2∠β＝2（∠α+∠β）（等量代換）∵∠α+∠β＝90°（已知），∴∠ABD+∠BDC＝180°（等量代換）．∴AB∥CD（同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)兩直線(xiàn)平行）．故答案為：角平分線(xiàn)的定義，角平分線(xiàn)的定義，等量代換，等量代換，同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)兩直線(xiàn)平行．【題型6平行線(xiàn)的判定的綜合應(yīng)用】【例6】(2023春?江蘇校級(jí)期中）數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，同學(xué)們正在討論一道習(xí)題：為了說(shuō)明地圖中的四望亭路與文昌中路是互相平行的，王老師已經(jīng)在地圖上量得∠1＝90°，你能通過(guò)度量圖中已標(biāo)出的其他的角來(lái)驗(yàn)證這個(gè)結(jié)論嗎？說(shuō)出你的理由．同學(xué)甲：度量∠2的度數(shù)，若∠2＝90°，滿(mǎn)足∠1+∠2＝180°，根據(jù)同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)，兩直線(xiàn)平行，就可以驗(yàn)證這個(gè)結(jié)論；同學(xué)乙：度量∠3的度數(shù)，若滿(mǎn)足∠3＝∠1＝90°，根據(jù)同位角相等，兩直線(xiàn)平行，就可以驗(yàn)證這個(gè)結(jié)論；同學(xué)丙：度量∠5的度數(shù)，若滿(mǎn)足∠5＝∠1＝90°，根據(jù)內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線(xiàn)平行，就可以驗(yàn)證這個(gè)結(jié)論；同學(xué)?。憾攘俊?的度數(shù)，若∠4＝90°，也能驗(yàn)證這個(gè)結(jié)論．請(qǐng)你說(shuō)明同學(xué)丁的理由．【解題思路】同學(xué)甲根據(jù)同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)，兩直線(xiàn)平行可以驗(yàn)證；同學(xué)乙根據(jù)同位角相等，兩直線(xiàn)平行可以驗(yàn)證；同學(xué)丙根據(jù)內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線(xiàn)平行可以驗(yàn)證；同學(xué)丁根據(jù)對(duì)頂角相等，以及同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)，兩直線(xiàn)平行可以驗(yàn)證．【解答過(guò)程】解：滿(mǎn)足∠1+∠2＝180°，根據(jù)同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)，兩直線(xiàn)平行，就可以驗(yàn)證這個(gè)結(jié)論；同學(xué)乙：度量∠3的度數(shù)，若滿(mǎn)足∠3＝∠1＝90°，根據(jù)同位角相等，兩直線(xiàn)平行，就可以驗(yàn)證這個(gè)結(jié)論；同學(xué)丙：度量∠5的度數(shù)，若滿(mǎn)足∠5＝∠1＝90°，根據(jù)內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線(xiàn)平行，就可以驗(yàn)證這個(gè)結(jié)論；同學(xué)丁：∵∠4＝∠2＝90°，∠1＝90°，∴∠1+∠2＝180°，∴平行．故答案為：同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)，兩直線(xiàn)平行；同位角相等，兩直線(xiàn)平行；內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線(xiàn)平行．【變式6-1】(2023春?欽南區(qū)校級(jí)月考）王老師在廣場(chǎng)上練習(xí)駕駛汽車(chē)，他第一次向左拐65°后，第二次要怎樣拐才能使行駛路線(xiàn)與原來(lái)平行？【解題思路】根據(jù)題意畫(huà)出示意圖，利用平行線(xiàn)的性質(zhì)可得答案．【解答過(guò)程】解：如圖所示，他第一次向左拐65°后，第二次若要使行駛路線(xiàn)與原來(lái)平行，可向右拐65°或向左拐115°．【變式6-2】(2023秋?余姚市期中）木條a、b、c如圖用螺絲固定在木板α上且∠ABM＝50°，∠DEM＝70°，將木條a、木條b、木條c看作是在同一平面α內(nèi)的三條直線(xiàn)AC、DF、MN，若使直線(xiàn)AC、直線(xiàn)DF達(dá)到平行的位置關(guān)系，則下列描述錯(cuò)誤的是（）A．木條b、c固定不動(dòng)，木條a繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)20° B．木條b、c固定不動(dòng)，木條a繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)160° C．木條a