統(tǒng)計量及其抽樣分布

統(tǒng)計量及其抽樣分布2024/3/25統(tǒng)計量及其抽樣分布從歷史的典籍中，人們不難發(fā)現(xiàn)許多關(guān)于錢糧、戶口、地震、水災(zāi)等等的記載，說明人們很早就開始了統(tǒng)計的工作.但是當(dāng)時的統(tǒng)計，只是對有關(guān)事實的簡單記錄和整理，而沒有在一定理論的指導(dǎo)下，作出超越這些數(shù)據(jù)范圍之外的推斷.統(tǒng)計量及其抽樣分布到了十九世紀(jì)末二十世紀(jì)初，隨著近代數(shù)學(xué)和概率論的發(fā)展，才真正誕生了數(shù)理統(tǒng)計學(xué)這門學(xué)科.數(shù)理統(tǒng)計學(xué)統(tǒng)計量及其抽樣分布

數(shù)理統(tǒng)計學(xué)是一門應(yīng)用性很強的學(xué)科.它是研究怎樣以有效的方式收集、整理和分析帶有隨機性的數(shù)據(jù)，以便對所考察的問題作出推斷和預(yù)測，直至為采取一定的決策和行動提供依據(jù)和建議.統(tǒng)計量及其抽樣分布

數(shù)理統(tǒng)計的特點是應(yīng)用面廣，分支較多.社會的發(fā)展不斷向統(tǒng)計提出新的問題.計算機的誕生與發(fā)展，為數(shù)據(jù)處理提供了強有力的技術(shù)支持，數(shù)理統(tǒng)計與計算機的結(jié)合是必然的發(fā)展趨勢.統(tǒng)計量及其抽樣分布數(shù)理統(tǒng)計不同于一般的資料統(tǒng)計，它更側(cè)重于應(yīng)用隨機現(xiàn)象本身的規(guī)律性進(jìn)行資料的收集、整理和分析.由于大量隨機現(xiàn)象必然呈現(xiàn)出它的規(guī)律性，因而從理論上講，只要對隨機現(xiàn)象進(jìn)行足夠多次觀察，被研究的隨機現(xiàn)象的規(guī)律性一定能清楚地呈現(xiàn)出來.只允許我們對隨機現(xiàn)象進(jìn)行次數(shù)不多的觀察試驗，也就是說,我們獲得的只是局部觀察資料.但客觀上統(tǒng)計量及其抽樣分布數(shù)理統(tǒng)計的任務(wù)就是研究怎樣有效地收集、整理、分析所獲得的有限的資料，對所研究的問題,盡可能地作出精確而可靠的結(jié)論.統(tǒng)計量及其抽樣分布

由于推斷是基于抽樣數(shù)據(jù)，抽樣數(shù)據(jù)又不能包括研究對象的全部信息.因而由此獲得的結(jié)論必然包含不肯定性.在數(shù)理統(tǒng)計中，不是對所研究的對象全體(稱為總體)進(jìn)行觀察，而是抽取其中的部分(稱為樣本)進(jìn)行觀察獲得數(shù)據(jù)（抽樣），并通過這些數(shù)據(jù)對總體進(jìn)行推斷.統(tǒng)計量及其抽樣分布下面我們以一例進(jìn)行說明：統(tǒng)計量及其抽樣分布某種子公司A，栽種了幾種類別的鮮花，收獲了大量的花籽，并把每25粒花籽扎成一小包出售.一個零售商批發(fā)了若干包，并向顧客保證：在每包25?；ㄗ阎兄辽儆?2粒將能發(fā)芽，否則的話可免費調(diào)換另一包.每包要是有3粒不發(fā)芽，馬上免費退換！每包25粒統(tǒng)計量及其抽樣分布每包25粒中至少有22粒將發(fā)芽所有的包都如此嗎？？這種類型的不肯定性，即不知道種子公司出售的小包中可接受的比例，它是由于對總體的真實狀態(tài)（天然狀態(tài)）無知所引起的不肯定性.零售商面臨如下兩種類型的不肯定性：(1)他對種子公司出售的小包中可接受（即至少有22粒花籽將發(fā)芽）的包數(shù)所占比例是不清楚的.這是第一類不肯定性.統(tǒng)計量及其抽樣分布(2)由于種子公司出售的花籽的貨單上，這類花籽共有一百萬包，而零售商只購買了200包，那些包是可接受的呢？？這就是盡管他知道了一百萬包可接受的比例，但對他所購買的200包，其中可接受的比例仍舊沒有“把握”.從中購買200包共100萬包因此他又面臨著另一類不肯定性；統(tǒng)計量及其抽樣分布零售商購買的200包仍有可能“碰巧”是從不可接受的一萬包中選取的.那些包是可接受的呢？？即使是0.99，即種子公司出售的一百萬包中有99萬包是可接受的，這樣他就要損失一筆資金.從中購買200包共100萬包統(tǒng)計量及其抽樣分布這一類不肯定性是由于“隨機性”所引起的.在已知的條件下，這種不肯定性的程度已在概率論部分作過討論.下面我們回到第一類不肯定性：零售商對種子公司出售的小包中可接受（即至少有22?；ㄗ褜l(fā)芽）的包數(shù)所占比例是多少沒有把握.統(tǒng)計量及其抽樣分布零售商能夠根據(jù)試驗的方法（請公司進(jìn)行發(fā)芽試驗）來改善他的處境.根據(jù)試驗他能作出天然狀況是多少的決策.這就是抽取部分種籽進(jìn)行發(fā)芽試驗，通過這部分中發(fā)芽數(shù)所占比例（頻率)來對的真值進(jìn)行推斷.統(tǒng)計量及其抽樣分布(1)怎樣設(shè)計試驗，決定觀察的數(shù)目；(2)怎樣利用試驗觀察的結(jié)果作出一個“好”的推斷等.這都是數(shù)理統(tǒng)計所要研究的問題.雖然他不能精確地和肯定地確定，但可以期望獲得一個（在某種意義下）比較好的推斷.這就涉及到統(tǒng)計量及其抽樣分布第一個問題是怎樣進(jìn)行抽樣，使抽得的樣本更合理,并有更好的代表性？這是抽樣方法和試驗設(shè)計問題：最簡單易行的是進(jìn)行隨機抽樣.第二個問題是怎樣從取得的樣本去推斷總體？這種推斷具有多大的可靠性？這是統(tǒng)計推斷問題.本課程著重討論第二個問題,即最常用統(tǒng)計推斷方法.統(tǒng)計量及其抽樣分布

概率論是數(shù)理統(tǒng)計的基礎(chǔ)，而數(shù)理統(tǒng)計是概率論的重要應(yīng)用.但它們是并列的兩個學(xué)科，并無從屬關(guān)系.可見，在數(shù)理統(tǒng)計中必然要用到概率論的理論和方法.因為隨機抽樣的結(jié)果帶有隨機性，不能不把它當(dāng)作隨機現(xiàn)象來處理.由此也可以說，統(tǒng)計量及其抽樣分布統(tǒng)計方法具有“部分推斷整體”的特征.在結(jié)束本節(jié)之前，我們需要強調(diào)說明一點：因為我們是從一小部分樣本觀察值去推斷該全體對象（總體）情況，即由部分推斷全體.這里使用的推理方法是“歸納推理”.統(tǒng)計量及其抽樣分布這種歸納推理不同于數(shù)學(xué)中的“演繹推理”，它在作出結(jié)論時，是根據(jù)所觀察到的大量個別情況，“歸納”起來所得，而不是從一些假設(shè)、命題、已知的事實等出發(fā)，按一定的邏輯推理去得出來的.統(tǒng)計量及其抽樣分布

例如，在幾何學(xué)中要證明“等腰三角形底角相等”只須從“等腰”這個前提出發(fā)，運用幾何公理，一步一步推出這個結(jié)論.

而一個習(xí)慣于統(tǒng)計思想的人，就可能想出這樣的方法：做很多大小形狀不一的等腰三角形，實地測量其底角，看差距如何，根據(jù)所得資料看看可否作出“底角相等”的結(jié)論.這樣做就是歸納式的方法.統(tǒng)計量及其抽樣分布現(xiàn)在要問：從局部觀察要對總體下結(jié)論有沒有片面性呢？結(jié)論是否可靠？顯然這里不僅依賴于進(jìn)行局部觀察的“樣本”是否具有總體的代表性，也依賴于對從這些樣本得到數(shù)據(jù)的合理加工、分析并得出論斷.統(tǒng)計量及其抽樣分布我們對每個經(jīng)過合理手續(xù)選取的一個樣品也應(yīng)看到它所具有的兩重性：一方面它具有特殊性，因為它畢竟是個別觀察值，不能反映總體的全面性質(zhì)，有片面性.因而統(tǒng)計上往往不采用由一次抽取的樣品來下結(jié)論.統(tǒng)計量及其抽樣分布在這個基礎(chǔ)上再加上科學(xué)的推斷方法，對總體下的結(jié)論同樣也是可靠的.另一方面也要看到“普遍性即存在于特殊性之中”，即每個樣品的情況又必然反映總體的一些普遍性.當(dāng)樣品有一定數(shù)量時總體的普遍性是可以得到比較真實的反映的.統(tǒng)計量及其抽樣分布但此時還應(yīng)記住畢竟是由“局部”推斷“整體”，因而仍可能犯錯誤，結(jié)論往往又是在某個“可靠性水平”之下得出的.這種矛盾的特殊性與普遍性的辯證統(tǒng)一在統(tǒng)計學(xué)中貫穿始終，是我們應(yīng)該記住的基本思想.統(tǒng)計量及其抽樣分布第二節(jié)樣本及抽樣分布統(tǒng)計量與經(jīng)驗分布函數(shù)統(tǒng)計三大抽樣分布幾個重要的抽樣分布定理課堂練習(xí)小結(jié)布置作業(yè)統(tǒng)計量及其抽樣分布由樣本值去推斷總體情況，需要對樣本值進(jìn)行“加工”，這就要構(gòu)造一些樣本的函數(shù)，它把樣本中所含的（某一方面）的信息集中起來.1.統(tǒng)計量這種不含任何未知參數(shù)的樣本的函數(shù)稱為統(tǒng)計量.它是完全由樣本決定的量.一、統(tǒng)計量與經(jīng)驗分布函數(shù)統(tǒng)計量及其抽樣分布定義請注意:統(tǒng)計量及其抽樣分布幾個常見統(tǒng)計量樣本平均值它反映了總體均值的信息樣本方差它反映了總體方差的信息樣本標(biāo)準(zhǔn)差統(tǒng)計量及其抽樣分布它反映了總體k階矩的信息樣本k階原點矩樣本k階中心矩

k=1,2,…它反映了總體k階中心矩的信息統(tǒng)計量及其抽樣分布統(tǒng)計量的觀察值統(tǒng)計量及其抽樣分布2.經(jīng)驗分布函數(shù)統(tǒng)計量及其抽樣分布統(tǒng)計量及其抽樣分布二、統(tǒng)計三大抽樣分布記為分布1、定義:設(shè)相互獨立,都服從正態(tài)分布N(0,1),則稱隨機變量：

所服從的分布為自由度為n

的分布.分布是由正態(tài)分布派生出來的一種分布.統(tǒng)計量及其抽樣分布分布的密度函數(shù)為來定義.其中伽瑪函數(shù)通過積分注統(tǒng)計量及其抽樣分布1.

設(shè)相互獨立,都服從正態(tài)分布則這個性質(zhì)叫分布的可加性.3．若近似正態(tài)分布N(0,1).(應(yīng)用中心極限定理可得)2．設(shè)且X1,X2相互獨立，統(tǒng)計量及其抽樣分布E(X)=n,D(X)=2n.統(tǒng)計量及其抽樣分布統(tǒng)計量及其抽樣分布概率密度函數(shù)為：

定義:設(shè)X～N(0,1),Y～,且X與Y相互獨立，則稱變量所服從的分布為自由度為n的t分布.2、t分布統(tǒng)計量及其抽樣分布統(tǒng)計量及其抽樣分布統(tǒng)計量及其抽樣分布統(tǒng)計量及其抽樣分布由定義可見，3、F分布~F(n2,n1)定義:設(shè)U與V相互獨立，則稱隨機變量服從自由度為n1及n2的F分布，n1稱為第自由度，n2稱為第二自由度，記作F~F(n1,n2).統(tǒng)計量及其抽樣分布即它的數(shù)學(xué)期望并不依賴于第一自由度n1.1.F分布的數(shù)學(xué)期望為:若n2>2若F~F(n1,n2)，F(xiàn)的概率密度為統(tǒng)計量及其抽樣分布2.F分布的分位數(shù)統(tǒng)計量及其抽樣分布三、幾個重要的抽樣分布定理統(tǒng)計量及其抽樣分布當(dāng)總體為正態(tài)分布時，給出幾個重要的抽樣分布定理.統(tǒng)計量及其抽樣分布

定理1(樣本均值的分布)設(shè)X1,X2,…,Xn是來自正態(tài)總體的樣本，是樣本均值，則有統(tǒng)計量及其抽樣分布n取不同值時樣本均值的分布請注意:統(tǒng)計量及其抽樣分布

定理2(樣本方差的分布)設(shè)X1,X2,…,Xn是來自正態(tài)總體的樣本,分別為樣本均值和樣本方差,則有n取不同值時的分布統(tǒng)計量及其抽樣分布

定理3(樣本均值的分布)設(shè)X1,X2,…,Xn是取自正態(tài)總體的樣本,分別為樣本均值和樣本方差,則有統(tǒng)計量及其抽樣分布

定理4(兩總體樣本均值差、樣本方差比的分布)分別是這兩個樣本的且X與Y獨立,X1,X2,…,是來自X的樣本,是取自Y的樣本,這兩個樣本的樣本方差,則有Y1,Y2,…,樣本均值，分別是統(tǒng)計量及其抽樣分布四、例題例1解統(tǒng)計量及其抽樣分布例2解統(tǒng)計量及其抽樣分