2024屆河南省信陽市高三上學(xué)期二模數(shù)學(xué)試卷及答案

2023-2024學(xué)年普通高中高三第二次教學(xué)質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分?？忌鞔饡r(shí)，將答案答在答題卡上，在本試卷上答題無效。考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。注意事項(xiàng)：1．答題前，考生務(wù)必將本人的姓名、準(zhǔn)考證號等考生信息填寫在答題卡上，并用2B鉛筆將準(zhǔn)考證號填涂在相應(yīng)位置。2．選擇題答案使用2B鉛筆填涂，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號；非選擇題答案使用0.5毫米的黑色墨水簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號在各題的答題區(qū)域（黑色線框）內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效。4．保持卡面清潔，不折疊，不破損。第Ⅰ卷一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．已知集合A{?x，Bxx4，則AB等于2A．0,1B．0,1C．2D．2i2．若z，則復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在B．第二象限i2A．第一象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限D(zhuǎn)．91S9等于3．設(shè)公差不為零的等差數(shù)列n的前n項(xiàng)和為Sn，45，則2S4A．15B．1C．14．已知向量a，b的夾角為且a2，b1，則a在b上投影向量的坐標(biāo)為3211B．,2A．2,2C．,D．22225．“x1”是“x10”的12A．充分而不必要條件C．充要條件B．必要而不充分條件D．既不充分也不必要條件6．過直線yx上的一點(diǎn)P作圓(x2(y2的兩條切線l，l，切點(diǎn)分別為A，B，當(dāng)直線l，21212關(guān)于yx對稱時(shí)，線段的長為A．4B．22C．6D．27．已知拋物線C:y2px(p0)的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)P是C上一點(diǎn)，且PF5，以PF為直徑的圓截x軸2所得的弦長為1，則p等于A．2B．2或4C．4D．4或68．隨著城市經(jīng)濟(jì)的發(fā)展，早高峰問題越發(fā)嚴(yán)重，上班族需要選擇合理的出行方式．某公司員工小明的上班出131313行方式有三種，某天早上他選擇自駕，坐公交車，騎共享單車的概率分別為，，，而他自駕，坐公交141516車，騎共享單車遲到的概率分別為，，，結(jié)果這一天他遲到了，在此條件下，他自駕去上班的概率是123715373547A．B．C．D．二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9．已知函數(shù)fxx1與曲線yfx的兩個交點(diǎn)，Asin的圖象如圖所示，M，N是直線y且，則下列選項(xiàng)正確的是9A．的值為3B．的值為2C．的值可以為D．的值可以為3310．氣象意義上從春季進(jìn)入夏季的標(biāo)志為“連續(xù)5天的日平均溫度均不低于22C”．現(xiàn)有甲、乙、丙三地連續(xù)5天的日平均溫度（單位：C①甲地：5個數(shù)據(jù)中位數(shù)為24，眾數(shù)為22；②乙地：5個數(shù)據(jù)的中位數(shù)為27，總體平均數(shù)為24；③丙地：5個數(shù)據(jù)中有一個數(shù)據(jù)是32，總體平均數(shù)為26，總體方差為10.8，則肯定進(jìn)入夏季的地區(qū)有A．一個都沒有B．甲地C．乙地D．丙地11．定義在R上的函數(shù)fx滿足fxf4x0，f22x是偶函數(shù)，f11，則B．f20231A．fx是奇函數(shù)100D．kf(2k100C．fx的圖象關(guān)于直線x1對稱k112．如圖，雙曲線C:x2ya2的左右頂點(diǎn)為A，B，P為C，2，APB，直線l與雙曲線C的漸近線交于F、G，M為線段FG的中點(diǎn)，則A．雙曲線C的離心率為e2B．P到兩條漸近線的距離之積為C．tantan2tan0a2D．若直線l與的斜率分別為k，k，則kk11212第Ⅱ卷三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分，請將答案填在答題卡對應(yīng)題號的位置上．5ax13．若x的展開式中x的系數(shù)為15，則a_________．14．已知直線2xy10的傾斜角為，則2的值是_________．22x,?15．已知函數(shù)fx2a恰有兩個不同的實(shí)數(shù)根x，x，則x2的最大值是12若方程[fx]e,xx1_________．416．已知數(shù)列a通項(xiàng)公式為annt，數(shù)列b為公比小于1的等比數(shù)列，且滿足bb8，nn1bannannbb6，設(shè)cn，在數(shù)列c中，若c?cnN*，則實(shí)數(shù)t的取值范圍為n423n22_________．四、解答題：本題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。1710分）在△ABC中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，已知a4且．cos2Acos2BCsinBsinC（1）若c3，求sinC；（2）若BC邊上的高是，求的最大值．212x?1812分）已知函數(shù)fxsin1,1，周期為的圖象經(jīng)過．（1）求fx解析式；（2）在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，ACB的角平分線交AB于D，若fC恰為fx的最大值，且CDfC，求4ab的最小值．1nanN*．n1912分）設(shè)數(shù)列n的前n項(xiàng)和為Sn，且Sn（1）求數(shù)列a的通項(xiàng)公式；n(n（2）設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為T，求T的表達(dá)式．n2nnN7.52，數(shù)學(xué)成績的2012分）某校高一200名學(xué)生的期中考試語文成績服從正態(tài)分布頻率分布直方圖如右圖：（1）計(jì)算這次考試的數(shù)學(xué)平均分，并比較語文和數(shù)學(xué)哪科的平均分較高（假設(shè)數(shù)學(xué)成績在頻率分布直方圖中（2）如果成績大于85分的學(xué)生為優(yōu)秀，這200名學(xué)生中本次考試語文、數(shù)學(xué)優(yōu)秀的人數(shù)大約各多少人？（3）如果語文和數(shù)學(xué)兩科都優(yōu)秀的共有4人，從（2）中的這些同學(xué)中隨機(jī)抽取3人，設(shè)三人中兩科都優(yōu)秀的有X人，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．附參考公式：若xN,2，則p(x)0.68，p(x)0.96x22y2232112分）已知橢圓C:ab0)的離心率為，左、右頂點(diǎn)分別為A、B，ab2點(diǎn)P、Q為橢圓上異于A、B的兩點(diǎn)，面積的最大值為2．（1）求橢圓C的方程；（2）設(shè)直線AP、BQ的斜率分別為k、k，且k5k．1212①求證：直線PQ經(jīng)過定點(diǎn)．②設(shè)△PQB和PQA的面積分別為S、S，求SS的最大值．121212ax2xaR．2212分）已知函數(shù)fxx1（1）若函數(shù)fx在,e上為增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的最大值；xm2eem（2）若fx有兩個極值點(diǎn)x,xxx，且不等式恒成立，求正數(shù)的取值范圍m12121（e2.718282023-2024學(xué)年普通高中高三第二次教學(xué)質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)參考答案一、選擇題1．B2．D3．D4．C5．A6．C7．D8．B二、選擇題9．AD10．BD11．ABD12．ACD三、填空題4316．213．314．15．3ln22四、解答題可得：171）由cos2Acos2BCsinBsinC1A1BCsinBsinBsinCsinAsinsinC，222C222b2c2a212即：b2c2a2bc．bc1即cosA，又AA，2333sinA3382由正弦定理得：sinC（2）由題意，．a(chǎn)48333BHBAcosB2RsinCcosBsinCC43234332CsinCcosC2sin2C2cos2C2sinC，333333CCC,，3433C時(shí)，取得最大值2．3212181周期為2，圖象經(jīng)過,1sin0，126k,kZ，又?6266fxsin2x1，（2）fx的最大值2，66fCsinC12CD，得sinC1，1166，CC，C,662C，3△ACD△BCD△ABC，11132bsin2asinabsin，即abab，2626232113，ab21124ab4abab3b4a22ba4a554…63，當(dāng)且僅當(dāng)，即b2a時(shí)取等號，ab33b32abab，即當(dāng)且僅當(dāng)b23，a3時(shí)取等號，所以4ab的最小值為63．12191）當(dāng)n1時(shí)，a1a，所以a．111當(dāng)…2時(shí)，S1na，S1n1a．nnn1n1an1…．n2兩式相減得：nn1anan，即nn1an1n1n2n1an212a1．1故nn1an1nann11故n．nn1(ncn(nnn，bc2n2n11（2）令nan則n2n12n2n12n2n2n14nn1n4n14n4，為等差數(shù)列．bnnbbn44nTbbbb2nn．1n2n123n22201）數(shù)學(xué)成績的平均分為0.012450.020550.025650.035750.006850.002951065.9，根據(jù)語文成績的正態(tài)分布知語文平均分為70分，所以語文平均分高些．1（2）因?yàn)檎Z文成績優(yōu)秀的概率為1PX8510.96…0.02，212數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀的概率為p0.0060.002100.05，2所以語文成績優(yōu)秀人數(shù)為2000.024，數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀人數(shù)為2000.0510．（3）語文數(shù)學(xué)兩科都優(yōu)秀的有4人，單科優(yōu)秀的有6人，X所有可能的取值為0，1，2，3．C3631016C14C63212C24C10C163CC3431023PX，PX，PX，PX．C310301010X的分布列為XP0123161231301123165所以X的數(shù)學(xué)期望EX0123．61030211）當(dāng)點(diǎn)P為橢圓C短軸頂點(diǎn)時(shí)，的面積取最大值，11且最大值為ABb2abab2，22c3a2a2x2由題意可得ab2，解得b1，所以，橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為y1．24c2a2b2c3（2）①設(shè)點(diǎn)Px,y、Qx,y．1122若直線PQ的斜率為零，則點(diǎn)P、Q關(guān)于y軸對稱，則kk，不合乎題意．12設(shè)直線PQ的方程為xtyn，由于直線PQ不過橢圓C的左、右頂點(diǎn)，則n2，xtyn聯(lián)立可得t24y2tnyn240，x24y424nt2n24t22416t24n20，可得n2t4，2n2444n2n2tn由韋達(dá)定理可得yy，yy，則1y2，yy12122122t4t4n2n4n2(n2)y1yy22ty1n2yn211y2(n2)y11y2(n2)y21k2112所以2212y22(n2)y2yy122n2n2nyy212n5112，解得n1，2n2nyy2ny22n32121即直線PQ的方程為xty，故直線PQ過定點(diǎn),0．22t15②由韋達(dá)定理可得yy，yy，122124t1t421212AMBM1y2yy241y2所以，1S21224t1512tt15t21524，24t24t24t21511t215t152t2…0，則t2…15，1上單調(diào)遞增，因?yàn)楹瘮?shù)fxx在15,x111615故t215…15，151515t2415所以，SS?，當(dāng)且僅當(dāng)t0時(shí)，等號成立，1216151544因此，SS的最大值為．12221）fx1x1axxax，x0，1因?yàn)楹瘮?shù)fx在,e上為增函數(shù)，1ex1所以fx…0，x,恒成立，即?，x,e恒成立，xx1x記hx，則hx，由hx00xe，由hx0xe，xx21e時(shí)，hx0，所以hx在,e上遞增，在,上遞減，又當(dāng)x1所以?he，即實(shí)數(shù)a的最大值為e；exax0的兩個實(shí)數(shù)根，（2）因?yàn)閤,xxx是fx的兩個極值點(diǎn)，所以x，x是方程fx1212121212xax121211a由．22emxm因?yàn)?，兩邊取自然對數(shù)得mxx1m1xxaxamx，1212121ex121212，m即m1ax2x211x12121