18 高分提能三　概率、變量分布與其他知識(shí)的綜合問題 【正文】教師

高分提能三概率、變量分布與其他知識(shí)的綜合問題[備選理由]例1考查二項(xiàng)分布的分布列及期望,考查與數(shù)列結(jié)合的概率問題;例2考查相互獨(dú)立事件的概率、離散型隨機(jī)變量的期望及與函數(shù)相關(guān)的概率問題.1[配例1使用][2023·遼寧鐵嶺六校聯(lián)考]第22屆世界杯于2022年11月21日至12月18日在卡塔爾舉辦.在決賽中,阿根廷隊(duì)通過點(diǎn)球大戰(zhàn)戰(zhàn)勝法國隊(duì)獲得冠軍.(1)撲點(diǎn)球的難度一般比較大,假設(shè)罰點(diǎn)球的球員會(huì)等可能地隨機(jī)選擇球門的左、中、右三個(gè)方向射門,門將也會(huì)等可能地隨機(jī)選擇球門的左、中、右三個(gè)方向來撲點(diǎn)球,而且門將即使方向判斷正確也有23的可能性撲不到球,每次撲球結(jié)果相互獨(dú)立.不考慮其他因素,在一次點(diǎn)球大戰(zhàn)中,求門將在前三次撲到點(diǎn)球的個(gè)數(shù)X的分布列和期望(2)好成績的取得離不開平時(shí)的努力訓(xùn)練,甲、乙、丙三名前鋒隊(duì)員在某次傳接球的訓(xùn)練中,球從甲腳下開始,等可能地隨機(jī)傳給另外兩人中的一人,接球者接到球后再等可能地隨機(jī)傳給另外兩人中的一人,如此不停地傳下去,假設(shè)傳出的球都能被接住.記第n次傳球之前球在甲腳下的概率為pn,易知p1=1,p2=0.①證明:pn-②設(shè)第n次傳球之前球在乙腳下的概率為qn,比較p10與q10的大小.解:(1)方法一:X的所有可能取值為0,1,2,3,在一次撲球中,撲到點(diǎn)球的概率為p=13×13=所以P(X=0)=C30×893=512729,P(X=1)=C31×1P(X=2)=C32×192×89=24729=8243,P(X=3)所以X的分布列為X0123P5126481E(X)=64243×1+8243×2+1729×3方法二:依題意可得,門將每次可以撲到點(diǎn)球的概率為p=13×13=X的所有可能取值為0,1,2,3,易知X~B3,所以P(X=k)=C3k×19k×893X0123P5126481所以X的期望E(X)=3×19=1(2)①證明:第n次傳球之前球在甲腳下的概率為pn,則當(dāng)n≥2時(shí),第n-1次傳球之前球在甲腳下的概率為pn-1,第n-1次傳球之前球不在甲腳下的概率為1-pn-1,則pn=pn-1×0+(1-pn-1)×12=-12pn-1+12(即pn-13=-12pn-1-13(n≥所以pn-13是以23為首項(xiàng)②由①可知pn=23-12n-1+13,所以p10=又q10=12(1-p10)=12×23-23×-12[配例2使用][2023·浙江金麗衢十二校聯(lián)考]某工廠生產(chǎn)一種大件產(chǎn)品的日產(chǎn)量為2,每件產(chǎn)品質(zhì)量為一等的概率為0.5,二等的概率為0.4,三等的概率為0.1,且生產(chǎn)的兩件產(chǎn)品的質(zhì)量相互獨(dú)立.已知生產(chǎn)一件不同等級(jí)的產(chǎn)品的利潤如下表:等級(jí)一等二等三等利潤(萬元)0.80.6-0.3(1)求生產(chǎn)的兩件產(chǎn)品中至少有一件一等品的概率.(2)求該工廠每天所獲利潤Y(單位:萬元)的數(shù)學(xué)期望.(3)若該工廠要增加日產(chǎn)能,需引進(jìn)設(shè)備及更新技術(shù),但增加n件產(chǎn)能,其成本也將相應(yīng)增加(n-lnn)萬元,假如你作為工廠的決策者,你覺得該廠目前該不該增產(chǎn)?并說明理由.(ln2≈0.69,ln3≈1.1)解:(1)設(shè)“一件產(chǎn)品是一等品”為事件A,則“一件產(chǎn)品不是一等品”為事件A,P(A)=0.5,P(A)=0.5,所以生產(chǎn)的兩件產(chǎn)品中至少有一件一等品的概率P=P(A)P(A)+C21P(A)P(A)=0.52+2×0.5×0.5=0.75.(2)設(shè)“一件產(chǎn)品為一等品”為事件A,“一件產(chǎn)品為二等品”為事件B,“一件產(chǎn)品為三等品”為事件C,則P(A)=0.5,P(B)=0.4,P(C)=0.1.Y的所有可能取值為1.6,1.4,1.2,0.5,0.3,-0.6,P(Y=-0.6)=[P(C)]2=0.01,P(Y=0.3)=C21P(B)P(C)=2×0.4×0.1=0P(Y=0.5)=C21P(A)P(C)=2×0.5×0.1=0.1,P(Y=1.2)=[P(B)]2=0P(Y=1.4)=C21P(A)P(B)=2×0.5×0.4=0.4,P(Y=1.6)=[P(A)]2=0所以Y的分布列為Y-0.60.30.51.21.41.6P0.010.080.10.160.40.25數(shù)學(xué)期望E(Y)=-0.6×0.01+0.3×0.08+0.5×0.1+1.2×0.16+1.4×0.4+1.6×0.25=1.22(萬元).(3)由(2)可知,增產(chǎn)前,每件產(chǎn)品的平均利潤為1.22÷2=0.61(萬元),則每日產(chǎn)能增加n件時(shí),利潤增加0.61n萬元,成本也相應(yīng)增加(n-lnn)萬元,所以凈利潤的變化量為0.61n-n+lnn=lnn-0.39n(n∈N*).設(shè)f(x)=lnx-0.39x,則f'(x)=1x-0.39,當(dāng)x<10039時(shí),f'(x)>0,f(x)當(dāng)x>10039時(shí),f'(x)<0,f(x)單調(diào)遞減,所以f(x)在x=10039處取得極大值,即最大值,又2<10039<3,n∈N*,所以f(n)max=max{f(2),f(3)},因?yàn)閒(2)=ln2-0.39×2≈0.69