強基計劃專題練02 函數與導數（原卷版）

專題訓練02函數與導數一、單選題1．設函數，則（

）A．函數有且僅有一個零點B．對，，函數有且僅有一個零點C．，恒成立D．，恒成立2．已知直線與函數的圖象恰有兩個切點，設滿足條件的所有可能取值中最大的兩個值分別為和，且，則（

）A． B． C． D．3．已知函數，將的所有極值點按照由小到大的順序排列，得到數列，對于，則下列說法中正確的是（

）A． B．C．數列是遞增數列 D．4．信息熵是信息論中的一個重要概念.設隨機變量所有可能的取值為，且，，定義的信息熵，若，隨機變量所有可能的取值為，且，則（

）A． B．C． D．5．設定義在R上的函數與的導函數分別為和．若，，且為奇函數，則下列說法中一定正確的是（

）A． B．C．， D．二、多選題6．定義：若數列滿足，則稱為“Titus雙指數迭代數列”.已知在“Titus雙指數迭代數列”中，首項，則（

）A．當時，B．當時，為遞增數列C．當時，有最小值D．當取任意非零實數時，一定有最大值或最小值7．已知函數，記的最小值為，數列的前n項和為，下列說法正確的是（

）A． B．C． D．若數列滿足，則8．已知正四面體的棱長為，其所有頂點均在球的球面上．已知點滿足，，過點作平面平行于和，平面分別與該正四面體的棱相交于點，則（

）A．四邊形的周長是變化的B．四棱錐體積的最大值為C．當時，平面截球所得截面的周長為D．當時，將正四面體繞旋轉90°后與原四面體的公共部分的體積為三、填空題9．已知函數，如果不等式對恒成立，則實數m的取值范圍_______________.10．已知，設，，其中k是整數．若對一切，都是區(qū)間上的嚴格增函數．則的取值范圍是__________．11．在同一平面直角坐標系中，P，Q分別是函數和圖象上的動點，若對任意，有恒成立，則實數m的最大值為______．12．黎曼函數是一個特殊的函數，由德因數學家波恩哈德·黎曼發(fā)現并提出，在高等數學中有著廣泛的應用.黎曼函數定義在上，其解析式如下：，定義在實數集上的函數滿足，且函數的圖象關于直線對稱，，當時，，則___________.13．已知函數，的定義域均為R，是奇函數，且，，則下列結論正確的是______．（只填序號）①為偶函數；②為奇函數；③；④.14．若對于，，使得不等式恒成立，則實數x的范圍為______．四、解答題15．已知定義在上的函數有，且對于任意的都有，求證：對于大于1的有理數，及實數，有．16．已知函數.(1)若函數在區(qū)間上單調遞減，求實數的取值范圍；(2)若方程有兩個實根，，且，求證：.參考數據：，.17．已知函數，(1)若對成立，求實數a的取值范圍；(2)若，函數存在兩個極值點，，記的最大值與最小值為，求的值.18．三個互不相同的函數與在區(qū)間D上恒有或恒有，則稱為與在區(qū)間D上的“分割函數”．(1)設，試分別判斷是否是與在區(qū)間上的“分割函數”，請說明理由；(2)求所有的二次函數，使得該函數是與在區(qū)間上的“分割函數”；(3)若，且存在實數k，b，使得為與在區(qū)間上的“分割函數”，求的最大值．19．設是坐標平面上的一點，曲線是函數的圖像．若過點恰能作曲線的條切線（），則稱是函數的“度點”．(1)判斷點與點是否為函數的1度點，不需要說明理由；(2)已知，．證明：點是的0度點；(3)求函數的全體2度點構成的集合．20．已知函數．(1)若對時，，求正實數a的最大值；(2)證明：；(3)若函數的最小值為m，證明：方程有唯一的實數根，（其中是自然對數的底數）21．設是定義域為的函數，當時，.(1)已知在區(qū)間上嚴格增，且對任意，有，證明：函數在區(qū)間上是嚴格增函數；(2)已知，且對任意，當時，有，若當時，函數取得極值，求實數的值；(3)已知，且對任意，當時，有，證明：.22．已知，且0為的一個極值點．(1)求實數的值；(2)證明：①函數在區(qū)間上存在唯一零點；②，其中且．23．已知函數．