23年安徽合肥高三二模數(shù)學(xué)試卷【含答案】

2023年安徽合肥高三二模數(shù)學(xué)試卷一、單選題1、設(shè)i是虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點(diǎn)位于A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限2、若集合，則（

）．A. B. C. D.3、己知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，則的值為（

）.A. B. C. D.4、Malthus模型是一種重要的數(shù)學(xué)模型．某研究人員在研究一種細(xì)菌繁殖數(shù)量與時(shí)間t關(guān)系時(shí)，得到的Malthus模型是，其中是時(shí)刻的細(xì)菌數(shù)量，e為自然對數(shù)的底數(shù)．若t時(shí)刻細(xì)菌數(shù)量是時(shí)刻細(xì)菌數(shù)量的6.3倍，則t約為（

）．（）A.2 B.3 C.4 D.55、已知球與圓臺(tái)的上下底面和側(cè)面都相切．若圓臺(tái)的側(cè)面積為；上、下底面的面積之比為，則球的表面積為（

）．A. B. C. D.6、某高中學(xué)校在新學(xué)期增設(shè)了“傳統(tǒng)文化”、“數(shù)學(xué)文化”、“綜合實(shí)踐”、“科學(xué)技術(shù)”和“勞動(dòng)技術(shù)”門校本課程．小明和小華兩位同學(xué)商量每人選報(bào)門校本課程，若兩人所選的課程至多有一門相同，且小明必須選報(bào)“數(shù)學(xué)文化”課程，則兩位同學(xué)不同的選課方案有（

）．A.種B.種C.種D.種7、在平面直角坐標(biāo)系中，對于點(diǎn)，若，則稱點(diǎn)A和點(diǎn)B互為等差點(diǎn)．已知點(diǎn)Q是圓上一點(diǎn)，若直線上存在點(diǎn)Q的等差點(diǎn)P，則的取值范圍為（

）A.B.C.D.8、設(shè)A，B，C，D是曲線上的四個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若以這四個(gè)動(dòng)點(diǎn)為頂點(diǎn)的正方形有且只有一個(gè)，則實(shí)數(shù)m的值為（

）．A.4 B. C.3 D.二、多選題9、已知雙曲線的左、右頂點(diǎn)分別為，漸近線為直線，離心率為e．過右焦點(diǎn)F且垂直于x軸的直線交雙曲線C于點(diǎn)P，Q，則（

）A. B. C. D.10、下圖是某汽車公司100家銷售商2022年新能源汽車銷售數(shù)據(jù)頻率分布直方圖（單位：輛），則（

）．A.a的值為0.004B.估計(jì)這100家銷售商新能源汽車銷量的平均數(shù)為135C.估計(jì)這100家銷售商新能源汽車銷量的分位數(shù)為212.5D.若按分層抽樣原則從這100家銷售商抽取20家，則銷量在內(nèi)的銷售商應(yīng)抽取5家11、與函數(shù)圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，，則（

）A.的值域?yàn)锽.的圖象關(guān)于直線對稱C.在所有實(shí)根之和為D.在上解集為12、已知正方體的棱長為1，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是棱AD，AB上的動(dòng)點(diǎn)，G是棱的中點(diǎn)，以為底面作三棱柱，頂點(diǎn)也在正方體的表面上．設(shè)，則（

）A.，直線與直線所成的角均為B.，使得四面體的體積為C.當(dāng)時(shí)，直線與平面所成角的正切值為D.當(dāng)時(shí)，若三棱柱為正三棱柱，則其高為三、填空題13、已知．若，則實(shí)數(shù)的值為

．14、若定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)滿足，且，則

．15、第十九屆亞洲運(yùn)動(dòng)會(huì)將于2023年9月23日至10月8日在中國杭州舉行．為了讓更多的同學(xué)了解亞運(yùn)會(huì)，學(xué)校團(tuán)委舉行了“迎亞運(yùn)，猜謎語”活動(dòng)．甲、乙兩位同學(xué)組隊(duì)代表班級(jí)參加此次迷語競猜活動(dòng)．比賽共兩輪，每人每輪各猜一個(gè)謎語．已知甲每輪猜對謎語的概率為，乙每輪猜對謎語的概率為，若甲、乙兩人每輪猜對謎語與否互不影響，前后兩輪猜對謎語結(jié)果也互不影響，則甲、乙兩人在此次比賽中共猜對3個(gè)謎語的概率為

．16、我們把由半橢圓與半橢圓合成的曲線稱為“果圓”，其中，如圖．設(shè)，是“果圓”與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，C為半橢圓上一點(diǎn)，F(xiàn)為半橢圓的焦點(diǎn)．若，則“果圓”的內(nèi)接矩形面積的最大值為

．四、解答題17、如圖，某地需要經(jīng)過一座山兩側(cè)的D，E兩點(diǎn)修建一條穿山隧道．工程人員先選取直線DE上的三點(diǎn)A，B，C，設(shè)在隧道DE正上方的山頂P處測得A處的俯角為，B處的俯角為，C處的俯角為，且測得，試求擬修建的隧道DE的長．已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，．求數(shù)列的通項(xiàng)公式；令，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．如圖，在多面體ABCFDE中，四邊形ABED是菱形，，，平面ABED，點(diǎn)G是線段CD的中點(diǎn)．證明：平面BCD；若，求直線FG與平面ACD所成角的正弦值．20、地球上生命體內(nèi)都存在生物鐘，研究表明，生物鐘紊亂會(huì)導(dǎo)致肥胖、糖尿病、高血壓、高血脂等嚴(yán)重體征狀況．控制睡眠或蘇醒傾向的生物鐘基因，簡稱PER，PER分為PERl（導(dǎo)致早起傾向）和PERo（導(dǎo)致晚睡傾向）．某研究小組為研究光照對動(dòng)物的影響，對實(shí)驗(yàn)鼠進(jìn)行了光照誘導(dǎo)與GRPE蛋白干預(yù)實(shí)驗(yàn)．以下是16只實(shí)驗(yàn)鼠在光照誘導(dǎo)與GRPE蛋白干預(yù)實(shí)驗(yàn)中，出現(xiàn)PERl突變的Sd指標(biāo)：長期試驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，若實(shí)驗(yàn)鼠Sd指標(biāo)超過10.00，則認(rèn)定其體征狀況嚴(yán)重，從實(shí)驗(yàn)鼠中隨機(jī)選取3只，記X為體征狀況嚴(yán)重的只數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；若編號(hào)1~8的實(shí)驗(yàn)鼠為GRPE蛋白干預(yù)實(shí)驗(yàn)組，編號(hào)9~16的為非GRPE蛋白干預(yù)對照組，試依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，分析GRPE蛋白干預(yù)是否與實(shí)驗(yàn)鼠體征狀況有關(guān)？附：（其中）．已知拋物線的焦點(diǎn)為F，為其準(zhǔn)線l與x軸的交點(diǎn)，過點(diǎn)E作直線與拋物線C在第一象限交于點(diǎn)A，B，且．求的值；設(shè)圓，過點(diǎn)A作圓M的兩條切線分別交拋物線C于點(diǎn)P，Q，求面積的最大值．已知函數(shù)，其中．若函數(shù)圖像僅有一條垂直于y軸的切線，求m的取值范圍；討論函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)．1、【答案】B;【解析】試題分析：通過題意得，所以在復(fù)平面內(nèi)表示復(fù)數(shù)的點(diǎn)為在第二象限．因此正確答案為B．考點(diǎn)：復(fù)數(shù)的運(yùn)算；復(fù)數(shù)的代數(shù)表示以及幾何意義.2、【答案】C;【解析】，.因此正確答案為：C.3、【答案】B;【解析】解：因?yàn)槭堑炔顢?shù)列，設(shè)公差為，因?yàn)椋?，所以，則，因?yàn)榈那绊?xiàng)和為，所以，因此正確答案為：.4、【答案】C;【解析】當(dāng)時(shí)，，即，則，得.因此正確答案為：C5、【答案】A;【解析】【分析】根據(jù)題的描述，球內(nèi)切于圓臺(tái)，畫出圓臺(tái)的軸截面圖，根據(jù)圓臺(tái)的側(cè)面積，和上下底面的面積關(guān)系求出球的半徑，進(jìn)而即得.【詳解】依據(jù)題意，球內(nèi)切與圓臺(tái)，畫出兩者的軸截面，球的截面為圓，圓臺(tái)的軸截面為等腰梯形，如圖所示，過點(diǎn)作的垂線，垂足為，設(shè)球的半徑為，則，設(shè)圓臺(tái)的母線為，即，上、下底面的面積之比為，即，，由圓的切線長定理可知，，圓臺(tái)的側(cè)面積為，解得，則，即，則球的表面積.故選：A.6、【答案】B;【解析】當(dāng)小明和小華兩位同學(xué)所選的課程恰有一門相同時(shí)：相同的課程為“數(shù)學(xué)文化”時(shí)，有種，相同的課程不是“數(shù)學(xué)文化”時(shí)，有種，所以小明和小華兩位同學(xué)所選的課程恰有一門相同時(shí)，共有種，當(dāng)小明和小華兩位同學(xué)所選的課程均不相同時(shí)，有種，所以，兩位同學(xué)不同的選課方案有種．故選．7、【答案】C;【解析】通過題意設(shè)，通過題意知，則，由于點(diǎn)Q是圓上一點(diǎn)，故令，則，由于，故，則，故，因此正確答案為：C8、【答案】D;【解析】【分析】先證明的圖象有且只有一個(gè)對稱中心，設(shè)在函數(shù)右側(cè)的圖象上，由正方形的對稱性，設(shè)直線的斜率為，則直線的斜率為，則可得，換元后利用判別式可求的值.【詳解】設(shè)，則，故為上的奇函數(shù).下證：的圖象有且只有一個(gè)對稱中心.證明：設(shè)的圖象的對稱中心為，則恒成立，故，整理，得恒成立，故.故以A，B，C，D為頂點(diǎn)的正方形的對稱中心為原點(diǎn).不妨設(shè)在函數(shù)右側(cè)的圖象上，由正方形的對稱性，不妨設(shè)直線的斜率為，則直線的斜率為，故直線，直線.由，可得，故，同理，其中.因?yàn)?，故，整?得，即，所以，設(shè)，則，故在上僅有一個(gè)解，因?yàn)閷ΨQ軸且，故，故.故選：D.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：三次函數(shù)圖象上的對稱圖形問題，往往要考慮三次函數(shù)圖象的對稱性，另外可把圖象上的對稱圖形的對稱問題轉(zhuǎn)化為某些變量的方程的問題來處理.9、【答案】A;B;D;【解析】【分析】根據(jù)已知條件做出圖形，利用雙曲線的方程求出，結(jié)合雙曲線的離心率公式及雙曲線的漸近線方程，再利用兩直線垂直的條件、兩點(diǎn)間的距離公式及向量垂直的條件即可求解；【詳解】由，得，所以，即.所以，解得，由題意可知，作出如圖所示對于A，，故A正確；對于B，不妨設(shè)雙曲線的兩條漸近線分別為，所以直線的斜率為，直線的斜率為，所以，所以，故B正確；對于C，由題意可知，,過右焦點(diǎn)F且垂直于x軸的直線方程為，由，解得或，所以,所以，故C錯(cuò)誤；對于D，由題意可知，，，所以，所以，，即，故D正確.故選：ABD.10、【答案】A;C;D;【解析】A.由頻率分布直方圖可知，，得：，故A無誤；B.，故B有誤；C.設(shè)百分位數(shù)，易得，則，解得：，故C無誤；D.則銷量在的頻率為所以抽取的20家，則銷量在內(nèi)的銷售商為家，故D無誤.因此正確答案為：ACD11、【答案】B;C;【解析】【分析】利用函數(shù)的對稱性求出函數(shù)的解析式，利用三角恒等變換化簡函數(shù)的解析式，利用正弦型函數(shù)的值域可判斷A選項(xiàng)；利用正弦型函數(shù)的對稱性可判斷BC選項(xiàng)；求出不等式在上解集，可判斷D選項(xiàng).【詳解】在函數(shù)的圖象上任取一點(diǎn)，則點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對稱點(diǎn)在函數(shù)的圖象，所以，，所以，，對于A選項(xiàng)，，所以，函數(shù)的值域?yàn)?，A錯(cuò)；對于B選項(xiàng)，因?yàn)?，所以，函?shù)的圖象關(guān)于直線對稱，B對；對于C選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，作出函數(shù)在上的圖象如下圖所示：令，可得，由圖可知，直線與函數(shù)在上的圖象有四個(gè)交點(diǎn)，設(shè)這四個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)由小到大分別為、、、，由圖象可知，點(diǎn)、關(guān)于直線對稱，點(diǎn)、關(guān)于直線對稱，所以，在所有實(shí)根之和為，C對；對于D選項(xiàng)，由可得，當(dāng)時(shí)，，可得，解得，所以，不等式在上解集為，D錯(cuò).故選：BC.12、【答案】A;C;D;【解析】設(shè)，則，又，所以，解得，即.A：建立如圖空間直角坐標(biāo)系，則，有，所以，得，故A無誤；B：因?yàn)椋?，，，有，所以，得，所?設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，令，則，所以，則點(diǎn)到平面的距離為，所以四面體的體積為，則該四面體的體積為定值，故B有誤；C：由選項(xiàng)B的分析可知，當(dāng)時(shí)，，易知平面的一個(gè)法向量為，則，設(shè)直線與平面所成角為，為銳角，則，所以，故C無誤；D：當(dāng)時(shí)，E、F分別為AD、AB的中點(diǎn)，由正三棱柱的特征可知，點(diǎn)分別為正方形、、的中心，如下圖所示，則，有，則，所以為正三棱柱的高，且，故D無誤.因此正確答案為：ACD.13、【答案】0;【解析】【分析】利用條件求向量的坐標(biāo)，再利用向量共線的坐標(biāo)表示即可求出果.【詳解】因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，所以，解，故答案為?.14、【答案】2;【解析】由，得，所以，即，于是有，所以，即.所以函數(shù)的周期為.因?yàn)槭嵌x域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，所以，即.令，則，解得，所以.因此正確答案為：.15、【答案】;【解析】甲乙共猜對3個(gè)謎語有如下兩種情況：甲猜對一個(gè)，乙猜對兩個(gè)，其概率為：；或甲猜對兩個(gè)，乙猜對一個(gè)，其概率為：，故甲、乙兩人在此次比賽中共猜對3個(gè)謎語的概率為.因此正確答案為：16、【答案】;【解析】【分析】利用橢圓的定義以及正切二倍角公式求出，從而得出半橢圓與半橢圓的方程，再利用半橢圓與半橢圓的方程以及基本不等式求出“果圓”的內(nèi)接矩形面積的最大值.【詳解】由已知得，，所以分別是橢圓的右、左焦點(diǎn).由及橢圓的定義可得，即.又設(shè),則，由正切二倍角公式得，解得和，因?yàn)槭卿J角則所以，又因?yàn)椋?，因?yàn)?，，所?半橢圓與半橢圓.設(shè)“果圓”的內(nèi)接矩形為MNPQ（如圖），設(shè)，，則滿足①②，①-②得，即.則“果圓”的內(nèi)接矩形面積為==，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立.所以“果圓”的內(nèi)接矩形面積的最大值為.故答案為：17、【答案】;【解析】【分析】利用條件得出，再在和中，利用正弦定理，求出，從而求出結(jié)果.【詳解】由題意知，．在中，由正弦定理得，，即，所以．在中，因?yàn)?，由正弦定理得，即?/p>

所以，所以，即隧道DE的長為．18、【答案】(1)(2);【解析】【分析】（1）由和與項(xiàng)的關(guān)系可求得，進(jìn)而利用等比數(shù)列即可求解；（2）求得，進(jìn)而用錯(cuò)位相減法即可求和.【詳解】（1）由題意得，；當(dāng)時(shí)，，兩式相減得，即．又因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，，所以成等比數(shù)列，且首項(xiàng)，公比，所以．（2）由（1）得，，所以，①，①×2得，②①-②得，，所以．19、【答案】(1)證明見解析(2);【解析】（1）連接AE，交BD于點(diǎn)O，連接GO．在菱形ABED中，．因?yàn)槠矫鍭BED，平面ABED，所以．又因?yàn)椋矫鍯BD，所以平面CBD．因?yàn)椋?，，所以，且，所以四邊形EFGO為平行四邊形，所以，所以平面CBD．（2）如下圖所示，以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以BC，BA所在直線為x，y軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖．設(shè)，則，，，，，設(shè)平面ACD的一個(gè)法向量為，由得，取，因?yàn)?，記直線FG與平面ACD所成角為，則，所以，直線FG與平面ACD所成角的正弦值是．20、【答案】(1)分布列見解析；期望為(2)認(rèn)為實(shí)驗(yàn)鼠體征狀況與GRPE蛋白干預(yù)無關(guān);【解析】【分析】（1）先求出X的可能取值，逐個(gè)求解概率可得分布列，利用期望公式可求期望；（2）根據(jù)提供的數(shù)據(jù)列出2×2列聯(lián)表，計(jì)算卡方，根據(jù)臨界值進(jìn)行判斷.【詳解】（1）由題意得，16只實(shí)驗(yàn)鼠中，有7只體征狀況嚴(yán)重.X的可能取值有0，1，2，3，.所以X的分布列為所以X的數(shù)學(xué)期望．（2）由題意得，根據(jù)所給數(shù)據(jù)，得到列聯(lián)表：零假設(shè)：實(shí)驗(yàn)鼠體征狀況與GRPE蛋白干預(yù)沒有關(guān)系．利用列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)得，，根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，沒有充分證據(jù)推斷不成立，因此可認(rèn)為成立，即認(rèn)為實(shí)驗(yàn)鼠體征狀況與GRPE蛋白干預(yù)無關(guān)．21、【答案】(1)(2);【解析】【分析】（1）根據(jù)準(zhǔn)線l與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)確定，再利用拋物線的定義將點(diǎn)點(diǎn)距轉(zhuǎn)化為點(diǎn)線距，最后利用相似性得出比值；（2）先求出點(diǎn)的坐標(biāo)，然后設(shè)直線PQ的方程及點(diǎn)的坐標(biāo)，聯(lián)立直線與拋物線方程，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系確定直線PQ的斜率，再根據(jù)直線AP與圓M相切確定點(diǎn)的坐標(biāo)與圓半徑的關(guān)系，最后將三角形面積轉(zhuǎn)化為三次函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)確定最值．【詳解】（1）由題意得，所以拋物線C的方程為．由得．過B作于點(diǎn)，過A作于點(diǎn)，，且，由拋物線定義知，，所以，即．（2）設(shè)點(diǎn)，所以，所以，解得，所以．設(shè)切線AP，AQ的斜率為，因?yàn)檩S，由對稱性知．設(shè)直線PQ的方程為，將直線PQ的方程代入拋物線方程得①，所以所以，同理得，所以，所以，即，代入方程①，由得，因?yàn)橹本€AP的方程為，即，所以．因?yàn)橹本€AP與圓M相切，所以，即，不妨設(shè)，所以，所以，因?yàn)?，n隨r的增大而增大，所以，所以，直線PQ的方程為，即，所以，點(diǎn)A到直線PQ的距離為