2021年河南省中考數(shù)學(xué)試卷（含解析版）

2021年河南省中考數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（每小題3分，共30分）下列各小題均有四個選項，其中只有一個是正確的。1．（3分）﹣2的絕對值是（）A．2 B．﹣2 C． D．﹣2．（3分）河南省人民濟困最“給力”！據(jù)報道，2020年河南省人民在濟困方面捐款達到2.94億元．數(shù)據(jù)“2.94億”用科學(xué)記數(shù)法表示為（）A．2.94×107 B．2.94×108 C．0.294×108 D．0.294×1093．（3分）如圖是由8個相同的小正方體組成的幾何體，其主視圖是（）A． B． C． D．4．（3分）下列運算正確的是（）A．（﹣a）2＝﹣a2 B．2a2﹣a2＝2 C．a(chǎn)2?a＝a3 D．（a﹣1）2＝a2﹣15．（3分）如圖，a∥b，∠1＝60°，則∠2的度數(shù)為（）A．90° B．100° C．110° D．120°6．（3分）關(guān)于菱形的性質(zhì)，以下說法不正確的是（）A．四條邊相等 B．對角線相等 C．對角線互相垂直 D．是軸對稱圖形7．（3分）若方程x2﹣2x+m＝0沒有實數(shù)根，則m的值可以是（）A．﹣1 B．0 C．1 D．8．（3分）現(xiàn)有4張卡片，正面圖案如圖所示，它們除此之外完全相同，把這4張卡片背面朝上洗勻，從中隨機抽取兩張，則這兩張卡片正面圖案恰好是“天問”和“九章”的概率是（）A． B． C． D．9．（3分）如圖，?OABC的頂點O（0，0），A（1，2），點C在x軸的正半軸上，延長BA交y軸于點D．將△ODA繞點O順時針旋轉(zhuǎn)得到△OD′A′，當點D的對應(yīng)點D′落在OA上時，D′A′的延長線恰好經(jīng)過點C，則點C的坐標為（）A．（2，0） B．（2，0） C．（2+1，0） D．（2+1，0）10．（3分）如圖1，矩形ABCD中，點E為BC的中點，點P沿BC從點B運動到點C，設(shè)B，P兩點間的距離為x，PA﹣PE＝y(tǒng)，圖2是點P運動時y隨x變化的關(guān)系圖象，則BC的長為（）A．4 B．5 C．6 D．7二、填空題（每小題3分，共15分）11．（3分）若代數(shù)式有意義，則實數(shù)x的取值范圍是．12．（3分）請寫出一個圖象經(jīng)過原點的函數(shù)的解析式．13．（3分）某外貿(mào)公司要出口一批規(guī)格為200克/盒的紅棗，現(xiàn)有甲、乙兩個廠家提供貨源，它們的價格相同，品質(zhì)也相近．質(zhì)檢員從兩廠產(chǎn)品中各隨機抽取15盒進行檢測，測得它們的平均質(zhì)量均為200克，每盒紅棗的質(zhì)量如圖所示，則產(chǎn)品更符合規(guī)格要求的廠家是（填“甲”或“乙”）．14．（3分）如圖所示的網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長均為1，點A，B，D均在小正方形的頂點上，且點B，C在上，∠BAC＝22.5°，則的長為．15．（3分）小華用一張直角三角形紙片玩折紙游戲，如圖1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AC＝1．第一步，在AB邊上找一點D，將紙片沿CD折疊，點A落在A'處，如圖2；第二步，將紙片沿CA'折疊，點D落在D′處，如圖3．當點D′恰好落在原直角三角形紙片的邊上時，線段A′D′的長為．三、解答題（本大題共8個小題，共75分）16．（10分）（1）計算：3﹣1﹣+（3﹣）0；（2）化簡：（1﹣）÷．17．（9分）2021年4月，教育部印發(fā)《關(guān)于進一步加強中小學(xué)生睡眠管理工作的通知》，明確要求初中生每天睡眠時間應(yīng)達到9小時．某初級中學(xué)為了解學(xué)生睡眠時間的情況，從本校學(xué)生中隨機抽取500名進行問卷調(diào)查，并將調(diào)查結(jié)果用統(tǒng)計圖描述如下．調(diào)查問卷1．近兩周你平均每天睡眠時間大約是______小時．如果你平均每天睡眠時間不足9小時，請回答第2個問題2．影響你睡眠時間的主要原因是______（單選）．A．校內(nèi)課業(yè)負擔(dān)重B．校外學(xué)習(xí)任務(wù)重C．學(xué)習(xí)效率低D．其他平均每天睡眠時間x（時）分為5組：①5≤x＜6；②6≤x＜7；③7≤x＜8；④8≤x＜9；⑤9≤x＜10．根據(jù)以上信息，解答下列問題：（1）本次調(diào)查中，平均每天睡眠時間的中位數(shù)落在第（填序號）組，達到9小時的學(xué)生人數(shù)占被調(diào)查人數(shù)的百分比為；請對該校學(xué)生睡眠時間的情況作出評價，并提出兩條合理化建議．18．（9分）如圖，大、小兩個正方形的中心均與平面直角坐標系的原點O重合，邊分別與坐標軸平行，反比例函數(shù)y＝的圖象與大正方形的一邊交于點A（1，2），且經(jīng)過小正方形的頂點B．（1）求反比例函數(shù)的解析式；（2）求圖中陰影部分的面積．19．（9分）開鑿于北魏孝文帝年間的龍門石窟是中國石刻藝術(shù)瑰寶，盧舍那佛像是石窟中最大的佛像．某數(shù)學(xué)活動小組到龍門石窟景區(qū)測量這尊佛像的高度．如圖，他們選取的測量點A與佛像BD的底部D在同一水平線上．已知佛像頭部BC為4m，在A處測得佛像頭頂部B的仰角為45°，頭底部C的仰角為37.5°，求佛像BD的高度（結(jié)果精確到0.1m．參考數(shù)據(jù)：sin37.5°≈0.61，cos37.5°≈0.79，tan37.5°≈0.77）．20．（9分）在古代，智慧的勞動人民已經(jīng)會使用“石磨”，其原理為在磨盤的邊緣連接一個固定長度的“連桿”，推動“連桿”帶動磨盤轉(zhuǎn)動，將糧食磨碎，物理學(xué)上稱這種動力傳輸工具為“曲柄連桿機構(gòu)”．小明受此啟發(fā)設(shè)計了一個“雙連桿機構(gòu)”，設(shè)計圖如圖1，兩個固定長度的“連桿”AP，BP的連接點P在?O上，當點P在?O上轉(zhuǎn)動時，帶動點A，B分別在射線OM，ON上滑動，OM⊥ON．當AP與?O相切時，點B恰好落在?O上，如圖2．請僅就圖2的情形解答下列問題．（1）求證：∠PAO＝2∠PBO；（2）若?O的半徑為5，AP＝，求BP的長．21．（9分）獼猴嬉戲是王屋山景區(qū)的一大特色，獼猴玩偶非常暢銷．小李在某網(wǎng)店選中A，B兩款獼猴玩偶，決定從該網(wǎng)店進貨并銷售．兩款玩偶的進貨價和銷售價如下表：類別價格A款玩偶B款玩偶進貨價（元/個）4030銷售價（元/個）5645（1）第一次小李用1100元購進了A，B兩款玩偶共30個，求兩款玩偶各購進多少個．（2）第二次小李進貨時，網(wǎng)店規(guī)定A款玩偶進貨數(shù)量不得超過B款玩偶進貨數(shù)量的一半．小李計劃購進兩款玩偶共30個，應(yīng)如何設(shè)計進貨方案才能獲得最大利潤，最大利潤是多少？（3）小李第二次進貨時采取了（2）中設(shè)計的方案，并且兩次購進的玩偶全部售出，請從利潤率的角度分析，對于小李來說哪一次更合算？（注：利潤率＝×100%）22．（10分）如圖，拋物線y＝x2+mx與直線y＝﹣x+b相交于點A（2，0）和點B．（1）求m和b的值；（2）求點B的坐標，并結(jié)合圖象寫出不等式x2+mx＞﹣x+b的解集；（3）點M是直線AB上的一個動點，將點M向左平移3個單位長度得到點N，若線段MN與拋物線只有一個公共點，直接寫出點M的橫坐標xM的取值范圍．23．（10分）下面是某數(shù)學(xué)興趣小組探究用不同方法作一個角的平分線的討論片段，請仔細閱讀，并完成相應(yīng)的任務(wù)．小明：如圖1，（1）分別在射線OA，OB上截取OC＝OD，OE＝OF（點C，E不重合）；（2）分別作線段CE，DF的垂直平分線l1，l2，交點為P，垂足分別為點G，H；（3）作射線OP，射線OP即為∠AOB的平分線．簡述理由如下：由作圖知，∠PGO＝∠PHO＝90°，OG＝OH，OP＝OP，所以Rt△PGO≌Rt△PHO，則∠POG＝∠POH，即射線OP是∠AOB的平分線．小軍：我認為小明的作圖方法很有創(chuàng)意，但是太麻煩了，可以改進如下，如圖2，（1）分別在射線OA，OB上截取OC＝OD，OE＝OF（點C，E不重合）；（2）連接DE，CF，交點為P；（3）作射線OP．射線OP即為∠AOB的平分線．……任務(wù)：（1）小明得出Rt△PGO≌Rt△PHO的依據(jù)是（填序號）．①SSS②SAS③AAS④ASA⑤HL（2）小軍作圖得到的射線OP是∠AOB的平分線嗎？請判斷并說明理由．（3）如圖3，已知∠AOB＝60°，點E，F(xiàn)分別在射線OA，OB上，且OE＝OF＝+1．點C，D分別為射線OA，OB上的動點，且OC＝OD，連接DE，CF，交點為P，當∠CPE＝30°時，直接寫出線段OC的長．

2021年河南省中考數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、選擇題（每小題3分，共30分）下列各小題均有四個選項，其中只有一個是正確的。1．（3分）﹣2的絕對值是（）A．2 B．﹣2 C． D．﹣【分析】根據(jù)負數(shù)的絕對值等于它的相反數(shù)解答．【解答】解：﹣2的絕對值是2，即|﹣2|＝2．故選：A．【點評】本題考查了絕對值的性質(zhì)：正數(shù)的絕對值是它本身；負數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)；0的絕對值是0．2．（3分）河南省人民濟困最“給力”！據(jù)報道，2020年河南省人民在濟困方面捐款達到2.94億元．數(shù)據(jù)“2.94億”用科學(xué)記數(shù)法表示為（）A．2.94×107 B．2.94×108 C．0.294×108 D．0.294×109【分析】科學(xué)記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)．確定n的值時，要看把原數(shù)變成a時，小數(shù)點移動了多少位，n的絕對值與小數(shù)點移動的位數(shù)相同．【解答】解：2.94億＝294000000＝2.94×108，故選：B．【點評】此題考查科學(xué)記數(shù)法的表示方法，關(guān)鍵是確定a的值以及n的值．3．（3分）如圖是由8個相同的小正方體組成的幾何體，其主視圖是（）A． B． C． D．【分析】將圖形分成三層，從上而下第一層主視圖為一個正方形，第二層主視圖為兩個正方形，第三層主視圖為三個正方形，且左邊是對齊的．【解答】解：該幾何體的主視圖有三層，從上而下第一層主視圖為一個正方形，第二層主視圖為兩個正方形，第三層主視圖為三個正方形，且左邊是對齊的．故選：A．【點評】本題主要考查三視圖的定義，在理解三視圖的基礎(chǔ)上，還要有較強的空間想象能力．4．（3分）下列運算正確的是（）A．（﹣a）2＝﹣a2 B．2a2﹣a2＝2 C．a(chǎn)2?a＝a3 D．（a﹣1）2＝a2﹣1【分析】A．根據(jù)冪的乘方運算法則判斷；B．根據(jù)合并同類項法則判斷；C．根據(jù)同底數(shù)冪的乘法法則判斷；D．根據(jù)完全平方公式判斷．【解答】解：A．（﹣a）2＝a2，故本選項不符合題意；B.2a2﹣a2＝a2，故本選項不符合題意；C．a(chǎn)2?a＝a3，故本選項符合題意；D．（a﹣1）2＝a2﹣2a+1，故本選項不符合題意；故選：C．【點評】本題考查了合并同類項，完全平方公式，合并同類項以及冪的乘方，掌握相關(guān)公式與運算法則是解答本題的關(guān)鍵．5．（3分）如圖，a∥b，∠1＝60°，則∠2的度數(shù)為（）A．90° B．100° C．110° D．120°【分析】先根據(jù)圖得出∠2的補角，再由a∥b得出結(jié)論即可．【解答】解：由圖得∠2的補角和∠1是同位角，∵∠1＝60°且a∥b，∴∠1的同位角也是60°，∠2＝180°﹣60°＝120°，故選：D．【點評】本題主要考查平行線的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)與判定是中考必考內(nèi)容，平行線的三個性質(zhì)一定要牢記．6．（3分）關(guān)于菱形的性質(zhì)，以下說法不正確的是（）A．四條邊相等 B．對角線相等 C．對角線互相垂直 D．是軸對稱圖形【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì)逐一推理分析即可選出正確答案．【解答】解：A．菱形的四條邊相等，正確，不符合題意，B．菱形的對角線互相垂直且平分，對角線不一定相等，不正確，符合題意，C．菱形的對角線互相垂直且平分，正確，不符合題意，D．菱形是軸對稱圖形，正確，不符合題意，故選：B．【點評】本題考查菱形的性質(zhì)，熟練掌握菱形的基本性質(zhì)并能正確分析推理是解題的關(guān)鍵．7．（3分）若方程x2﹣2x+m＝0沒有實數(shù)根，則m的值可以是（）A．﹣1 B．0 C．1 D．【分析】根據(jù)根的判別式和已知條件得出△＝（﹣2）2﹣4×1×m＝4﹣4m＜0，求出不等式的解集，再得出答案即可．【解答】解：∵關(guān)于x的方程x2﹣2x+m＝0沒有實數(shù)根，∴△＝（﹣2）2﹣4×1×m＝4﹣4m＜0，解得：m＞1，∴m只能為，故選：D．【點評】本題考查了根的判別式和解一元一次不等式，注意：已知一元二次方程ax2+bx+c＝0（a、b、c為常數(shù)，a≠0），①當△＝b2﹣4ac＞0時，方程有兩個不相等的實數(shù)根，②當△＝b2﹣4ac＝0時，方程有兩個相等的實數(shù)根，③當△＝b2﹣4ac＜0時，方程沒有實數(shù)根．8．（3分）現(xiàn)有4張卡片，正面圖案如圖所示，它們除此之外完全相同，把這4張卡片背面朝上洗勻，從中隨機抽取兩張，則這兩張卡片正面圖案恰好是“天問”和“九章”的概率是（）A． B． C． D．【分析】畫樹狀圖，共有12種等可能的結(jié)果，兩張卡片正面圖案恰好是“天問”和“九章”的結(jié)果有2種，再由概率公式求解即可．【解答】解：把4張卡片分別記為：A、B、C、D，畫樹狀圖如圖：共有12種等可能的結(jié)果，兩張卡片正面圖案恰好是“天問”和“九章”的結(jié)果有2種，∴兩張卡片正面圖案恰好是“天問”和“九章”的概率為＝，故選：A．【點評】此題考查的是列表法或樹狀圖法求概率以及概率公式．列表法可以不重復(fù)不遺漏的列出所有可能的結(jié)果，適合于兩步完成的事件；樹狀圖法適合兩步或兩步以上完成的事件．9．（3分）如圖，?OABC的頂點O（0，0），A（1，2），點C在x軸的正半軸上，延長BA交y軸于點D．將△ODA繞點O順時針旋轉(zhuǎn)得到△OD′A′，當點D的對應(yīng)點D′落在OA上時，D′A′的延長線恰好經(jīng)過點C，則點C的坐標為（）A．（2，0） B．（2，0） C．（2+1，0） D．（2+1，0）【分析】延長A′D′交y軸于點E，延長D′A′，由題意D′A′的延長線經(jīng)過點C，利用點A的坐標可求得線段AD，OD，OA的長，由題意：△OA′D′≌△OAD，可得對應(yīng)部分相等；利用OD′⊥A′E，OA平分∠A′OE，可得△A′OE為等腰三角形，可得OE＝OA′＝，ED′＝A′D′＝1；利用△OED′∽△CEO，得到比例式可求線段OC，則點C坐標可得．【解答】解：延長A′D′交y軸于點E，延長D′A′，由題意D′A′的延長線經(jīng)過點C，如圖，∵A（1，2），∴AD＝1，OD＝2，∴OA＝．由題意：△OA′D′≌△OAD，∴A′D′＝AD＝1，OA′＝OA＝，OD′＝OD＝2，∠A′D′O＝∠ADO＝90°，∠A′OD′＝∠DOD′．則OD′⊥A′E，OA平分∠A′OE，∴△A′OE為等腰三角形．∴OE＝OA′＝，ED′＝A′D′＝1．∵EO⊥OC，OD′⊥EC，∴△OED′∽△CEO．∴．∴．∴OC＝2．∴C（2，0）．故選：B．【點評】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，坐標與圖形的性質(zhì)，三角形相似的判定與性質(zhì)，利用點的坐標表示出相應(yīng)線段的長度和利用線段的長度表示相應(yīng)點的坐標是解題的關(guān)鍵．10．（3分）如圖1，矩形ABCD中，點E為BC的中點，點P沿BC從點B運動到點C，設(shè)B，P兩點間的距離為x，PA﹣PE＝y(tǒng)，圖2是點P運動時y隨x變化的關(guān)系圖象，則BC的長為（）A．4 B．5 C．6 D．7【分析】當x＝0，即P在B點時，BA﹣BE＝1；利用兩點之間線段最短，得到PA﹣PE≤AE，得y的最大值為AE＝5；在Rt△ABE中，由勾股定理求出BE的長，再根據(jù)BC＝2BE求出BC的長．【解答】解：由函數(shù)圖象知：當x＝0，即P在B點時，BA﹣BE＝1．利用兩點之間線段最短，得到PA﹣PE≤AE．∴y的最大值為AE，∴AE＝5．在Rt△ABE中，由勾股定理得：BA2+BE2＝AE2＝25，設(shè)BE的長度為t，則BA＝t+1，∴（t+1）2+t2＝25，即：t2+t﹣12＝0，∴（t+4）（t﹣3）＝0，由于t＞0，∴t+4＞0，∴t﹣3＝0，∴t＝3．∴BC＝2BE＝2t＝2×3＝6．故選：C．【點評】本題考查了動點問題的函數(shù)圖象，根據(jù)勾股定理求出BE的長是解題的關(guān)鍵．二、填空題（每小題3分，共15分）11．（3分）若代數(shù)式有意義，則實數(shù)x的取值范圍是x≠1．【分析】分式有意義時，分母x﹣1≠0，據(jù)此求得x的取值范圍．【解答】解：依題意得：x﹣1≠0，解得x≠1，故答案為：x≠1．【點評】本題考查了分式有意義的條件．（1）分式有意義的條件是分母不等于零．（2）分式無意義的條件是分母等于零．12．（3分）請寫出一個圖象經(jīng)過原點的函數(shù)的解析式y(tǒng)＝x（答案不唯一）．【分析】圖象經(jīng)過原點，要求解析式中，當x＝0時，y＝0，只要是正比例函數(shù)解即可．【解答】解：依題意，正比例函數(shù)的圖象經(jīng)過原點，如y＝x（答案不唯一）．故答案為：y＝x（答案不唯一）．【點評】本題考查了正比例函數(shù)的性質(zhì)和二次函數(shù)的性質(zhì)，正比例函數(shù)的圖象經(jīng)過原點，二次函數(shù)的圖象也可能經(jīng)過原點，寫出一個即可．13．（3分）某外貿(mào)公司要出口一批規(guī)格為200克/盒的紅棗，現(xiàn)有甲、乙兩個廠家提供貨源，它們的價格相同，品質(zhì)也相近．質(zhì)檢員從兩廠產(chǎn)品中各隨機抽取15盒進行檢測，測得它們的平均質(zhì)量均為200克，每盒紅棗的質(zhì)量如圖所示，則產(chǎn)品更符合規(guī)格要求的廠家是甲（填“甲”或“乙”）．【分析】由于平均質(zhì)量相同，根據(jù)圖中所示兩組數(shù)據(jù)波動大小可得兩組數(shù)據(jù)的方差，波動越小，方差越小越穩(wěn)定．【解答】解：從圖中折線可知，乙的起伏大，甲的起伏小，所以乙的方差大于甲的方差，因為方差越小，表明這組數(shù)據(jù)分布比較集中，各數(shù)據(jù)偏離平均數(shù)越小，所以產(chǎn)品更符合規(guī)格要求的廠家是甲．故答案為：甲．【點評】本題考查了平均數(shù)與方差的意義．方差是用來衡量一組數(shù)據(jù)波動大小的量，方差越大，表明這組數(shù)據(jù)偏離平均數(shù)越大，即波動越大，數(shù)據(jù)越不穩(wěn)定；反之，方差越小，表明這組數(shù)據(jù)分布比較集中，各數(shù)據(jù)偏離平均數(shù)越小，即波動越小，數(shù)據(jù)越穩(wěn)定．14．（3分）如圖所示的網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長均為1，點A，B，D均在小正方形的頂點上，且點B，C在上，∠BAC＝22.5°，則的長為．【分析】如圖，圓心為O，連接OA，OB，OC，OD．利用弧長公式求解即可．【解答】解：如圖，圓心為O，連接OA，OB，OC，OD．∵OA＝OB＝OD＝5，∠BOC＝2∠BAC＝45°，∴的長＝＝．故答案為：．【點評】本題考查弧長公式，解題的關(guān)鍵是正確尋找圓心O的位置，屬于中考常考題型．15．（3分）小華用一張直角三角形紙片玩折紙游戲，如圖1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AC＝1．第一步，在AB邊上找一點D，將紙片沿CD折疊，點A落在A'處，如圖2；第二步，將紙片沿CA'折疊，點D落在D′處，如圖3．當點D′恰好落在原直角三角形紙片的邊上時，線段A′D′的長為或2﹣．【分析】分兩種情形解答：①點D′恰好落在直角三角形紙片的AB邊上時，由題意：△ADC≌△A′DC≌△A′D′C，則∠D′A′C＝∠DA′C＝∠A＝60°，A′C＝AC＝1；A′C垂直平分線段DD′；利用，可求得CE，則A′E＝A′C﹣CE，解直角三角形A′D′E可求線段A′D′；②點D′恰好落在直角三角形紙片的BC邊上時，由題意：△ADC≌△A′DC≌△A′D′C，則∠D′A′C＝∠DA′C＝∠A＝60°，A′C＝AC＝1，∠ACD＝∠A′CD＝∠A′CD′＝∠ACB＝30°；在Rt△A′D′C中，利用30°所對的直角邊等于斜邊的一半可得結(jié)論．【解答】解：①點D′恰好落在直角三角形紙片的AB邊上時，設(shè)A′C交AB邊于點E，如圖，由題意：△ADC≌△A′DC≌△A′D′C，A′C垂直平分線段DD′．則∠D′A′C＝∠DA′C＝∠A＝60°，A′C＝AC＝1．∵∠ACB＝90°，∠B＝30°，AC＝1，∴BC＝AC?tanA＝1×tan60°＝．AB＝2AC＝2，∵，∴CE＝．∴A′E＝A′C﹣CE＝1﹣．在Rt△A′D′E中，∵cos∠D′A′E＝，∴，∴A′D′＝2A′E＝2﹣．②點D′恰好落在直角三角形紙片的BC邊上時，如圖，由題意：△ADC≌△A′DC≌△A′D′C，∠ACD＝∠A′CD＝∠A′CD′＝∠ACB＝30°；則∠D′A′C＝∠DA′C＝∠A＝60°，A′C＝AC＝1．∵∠D′A′C＝60°，∠A′CD′＝30°，∴∠A′D′C＝90°，∴A′D′＝′C＝．綜上，線段A′D′的長為：或2﹣．故答案為：或2﹣．【點評】本題主要考查了翻折問題，含30°角的直角三角形，直角三角形的邊角關(guān)系，特殊角的三角函數(shù)值，全等三角形的性質(zhì)．翻折屬于全等變換，對應(yīng)部分相等，這是解題的關(guān)鍵，當點D′恰好落在直角三角形紙片的邊上時，要注意分類討論．三、解答題（本大題共8個小題，共75分）16．（10分）（1）計算：3﹣1﹣+（3﹣）0；（2）化簡：（1﹣）÷．【分析】（1）直接利用負整數(shù)指數(shù)冪的性質(zhì)以及算術(shù)平方根、零指數(shù)冪的性質(zhì)分別化簡得出答案；（2）將括號里面通分運算，再利用分式的乘除運算法則化簡得出答案．【解答】解：（1）原式＝﹣+1＝1；（2）原式＝?＝．【點評】此題主要考查了分式的混合運算以及實數(shù)運算，正確掌握分式的混合運算法則是解題關(guān)鍵．17．（9分）2021年4月，教育部印發(fā)《關(guān)于進一步加強中小學(xué)生睡眠管理工作的通知》，明確要求初中生每天睡眠時間應(yīng)達到9小時．某初級中學(xué)為了解學(xué)生睡眠時間的情況，從本校學(xué)生中隨機抽取500名進行問卷調(diào)查，并將調(diào)查結(jié)果用統(tǒng)計圖描述如下．調(diào)查問卷1．近兩周你平均每天睡眠時間大約是______小時．如果你平均每天睡眠時間不足9小時，請回答第2個問題2．影響你睡眠時間的主要原因是______（單選）．A．校內(nèi)課業(yè)負擔(dān)重B．校外學(xué)習(xí)任務(wù)重C．學(xué)習(xí)效率低D．其他平均每天睡眠時間x（時）分為5組：①5≤x＜6；②6≤x＜7；③7≤x＜8；④8≤x＜9；⑤9≤x＜10．根據(jù)以上信息，解答下列問題：（1）本次調(diào)查中，平均每天睡眠時間的中位數(shù)落在第③（填序號）組，達到9小時的學(xué)生人數(shù)占被調(diào)查人數(shù)的百分比為17%；（2）請對該校學(xué)生睡眠時間的情況作出評價，并提出兩條合理化建議．【分析】（1）由中位數(shù)的定義即可得出結(jié)論；（2）求出每天睡眠時間達到9小時的學(xué)生人數(shù)，計算即可．【解答】解：（1）由統(tǒng)計圖可知，抽取的這500名學(xué)生平均每天睡眠時間的中位數(shù)為第250個和第251個數(shù)據(jù)的平均數(shù)，故落在第③組；睡眠達到9小時的學(xué)生人數(shù)占被調(diào)查人數(shù)的百分比為：×100%＝17%，故答案為：③，17%．（2）答案不唯一，言之有理即可．例如：該校大部分學(xué)生睡眠時間沒有達到通知要求；建議①：該校各學(xué)科授課老師精簡家庭作業(yè)內(nèi)容，師生一起提高在校學(xué)習(xí)效率；建議②：建議學(xué)生減少參加校外培訓(xùn)班，校外輔導(dǎo)機構(gòu)嚴禁布置課后作業(yè)．【點評】本題考查的是頻數(shù)分布直方圖和扇形統(tǒng)計圖的知識，讀懂頻數(shù)分布直方圖和利用統(tǒng)計圖獲取信息是解題的關(guān)鍵．18．（9分）如圖，大、小兩個正方形的中心均與平面直角坐標系的原點O重合，邊分別與坐標軸平行，反比例函數(shù)y＝的圖象與大正方形的一邊交于點A（1，2），且經(jīng)過小正方形的頂點B．（1）求反比例函數(shù)的解析式；（2）求圖中陰影部分的面積．【分析】（1）根據(jù)待定系數(shù)法求出k即可得到反比例函數(shù)的解析式；（2）先根據(jù)反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義求出小正方形的面積為4m2＝8，再求出大正方形在第一象限的頂點坐標，得到大正方形的面積為4×22＝16，根據(jù)圖中陰影部分的面積＝大正方形的面積﹣小正方形的面積即可求出結(jié)果．【解答】解：（1）∵反比例函數(shù)y＝的圖象經(jīng)過點A（1，2），∴2＝，∴k＝2，∴反比例函數(shù)的解析式為y＝；（2）∵小正方形的中心與平面直角坐標系的原點O重合，邊分別與坐標軸平行，∴設(shè)B點的坐標為（m，m），∵反比例函數(shù)y＝的圖象經(jīng)過B點，∴m＝，∴m2＝2，∴小正方形的面積為4m2＝8，∵大正方形的中心與平面直角坐標系的原點O重合，邊分別與坐標軸平行，且A（1，2），∴大正方形在第一象限的頂點坐標為（2，2），∴大正方形的面積為4×22＝16，∴圖中陰影部分的面積＝大正方形的面積﹣小正方形的面積＝16﹣8＝8．【點評】本題主要考查了待定系數(shù)法求反比例函數(shù)的解析式，反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義，正方形的性質(zhì)，熟練掌握反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義是解決問題的關(guān)鍵．19．（9分）開鑿于北魏孝文帝年間的龍門石窟是中國石刻藝術(shù)瑰寶，盧舍那佛像是石窟中最大的佛像．某數(shù)學(xué)活動小組到龍門石窟景區(qū)測量這尊佛像的高度．如圖，他們選取的測量點A與佛像BD的底部D在同一水平線上．已知佛像頭部BC為4m，在A處測得佛像頭頂部B的仰角為45°，頭底部C的仰角為37.5°，求佛像BD的高度（結(jié)果精確到0.1m．參考數(shù)據(jù)：sin37.5°≈0.61，cos37.5°≈0.79，tan37.5°≈0.77）．【分析】根據(jù)tan∠DAC＝＝tan37.5°≈0.77，列出方程即可解決問題．【解答】解：根據(jù)題意可知：∠DAB＝45°，∴BD＝AD，在Rt△ADC中，DC＝BD﹣BC＝（AD﹣4）m，∠DAC＝37.5°，∵tan∠DAC＝，∴tan37.5°＝≈0.77，解得AD≈17.4m，答：佛像的高度約為17.4m．【點評】本題考查解直角三角形的應(yīng)用﹣仰角俯角問題，銳角三角函數(shù)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造直角三角形解決問題，學(xué)會用構(gòu)建方程的思想思考問題．20．（9分）在古代，智慧的勞動人民已經(jīng)會使用“石磨”，其原理為在磨盤的邊緣連接一個固定長度的“連桿”，推動“連桿”帶動磨盤轉(zhuǎn)動，將糧食磨碎，物理學(xué)上稱這種動力傳輸工具為“曲柄連桿機構(gòu)”．小明受此啟發(fā)設(shè)計了一個“雙連桿機構(gòu)”，設(shè)計圖如圖1，兩個固定長度的“連桿”AP，BP的連接點P在?O上，當點P在?O上轉(zhuǎn)動時，帶動點A，B分別在射線OM，ON上滑動，OM⊥ON．當AP與?O相切時，點B恰好落在?O上，如圖2．請僅就圖2的情形解答下列問題．（1）求證：∠PAO＝2∠PBO；（2）若?O的半徑為5，AP＝，求BP的長．【分析】（1）連接切點與圓心，根據(jù)角之間的互余關(guān)系及等量代換代換求解即可．（2）作出相關(guān)輔助線，構(gòu)造相似三角形Rt△POD與Rt△OAP，利用相似三角形的性質(zhì)求得PD＝3，OD＝4，最后根據(jù)直角三角形的勾股定理求解即可．【解答】（1）證明：如圖①，連接OP，延長BO與圓交于點C，則OP＝OB＝OC，∵AP與?O相切于點P，∴∠APO＝90°，∴∠PAO+∠AOP＝90°，∵MO⊥CN，∴∠AOP+∠POC═90°，∴∠PAO＝∠POC，∵OP＝OB，∴∠OPB＝∠PBO，∴∠POC═∠OPB+∠PBO═2∠PBO，∴∠PAO＝2∠PBO，（2）解：如圖②所示，連接OP，延長BO與圓交于點C，連接PC，過點P作PD⊥OC于點D，則有：AO＝＝，由（1）可知∠POC＝∠PAO，∴Rt△POD～Rt△OAP，∴，即，解得PD＝3，OD＝4，∴CD═OC﹣OD＝1，在Rt△PDC中，PC＝＝，∵CB為圓的直徑，∴∠BPC＝90°，∴BP＝＝＝3，故BP長為3．【點評】本題考查切線的性質(zhì)及圓周角定理，解此類型題目的關(guān)鍵是作出適當?shù)妮o助線，比如連接切點與圓心、將直徑的兩端與圓上某一點連接、過圓上某點作垂直于半徑的線段等，根據(jù)輔助線構(gòu)造直角三角形及相似三角形，再根據(jù)相關(guān)性質(zhì)進行求解．21．（9分）獼猴嬉戲是王屋山景區(qū)的一大特色，獼猴玩偶非常暢銷．小李在某網(wǎng)店選中A，B兩款獼猴玩偶，決定從該網(wǎng)店進貨并銷售．兩款玩偶的進貨價和銷售價如下表：類別價格A款玩偶B款玩偶進貨價（元/個）4030銷售價（元/個）5645（1）第一次小李用1100元購進了A，B兩款玩偶共30個，求兩款玩偶各購進多少個．（2）第二次小李進貨時，網(wǎng)店規(guī)定A款玩偶進貨數(shù)量不得超過B款玩偶進貨數(shù)量的一半．小李計劃購進兩款玩偶共30個，應(yīng)如何設(shè)計進貨方案才能獲得最大利潤，最大利潤是多少？（3）小李第二次進貨時采取了（2）中設(shè)計的方案，并且兩次購進的玩偶全部售出，請從利潤率的角度分析，對于小李來說哪一次更合算？（注：利潤率＝×100%）【分析】（1）設(shè)A款玩偶購進x個，B款玩偶購進（30﹣x）個，由用1100元購進了A，B兩款玩偶建立方程求出其解即可；（2）設(shè)A款玩偶購進a個，B款玩偶購進（30﹣a）個，獲利y元，根據(jù)題意可以得到利潤與A款玩偶數(shù)量的函數(shù)關(guān)系，然后根據(jù)A款玩偶進貨數(shù)量不得超過B款玩偶進貨數(shù)量的一半，可以求得A款玩偶數(shù)量的取值范圍，再根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)，即可求得應(yīng)如何設(shè)計進貨方案才能獲得最大利潤，最大利潤元；（3）分別求出兩次進貨的利潤率，比較即可得出結(jié)論．【解答】解：（1）設(shè)A款玩偶購進x個，B款玩偶購進（30﹣x）個，由題意，得40x+30（30﹣x）＝1100，解得：x＝20．30﹣20＝10（個）．答：A款玩偶購進20個，B款玩偶購進10個；（2）設(shè)A款玩偶購進a個，B款玩偶購進（30﹣a）個，獲利y元，由題意，得y＝（56﹣40）a+（45﹣30）（30﹣a）＝a+450．∵A款玩偶進貨數(shù)量不得超過B款玩偶進貨數(shù)量的一半．∴a≤（30﹣a），∴a≤10，∵y＝a+450．∴k＝1＞0，∴y隨a的增大而增大．∴a＝10時，y最大＝460元．∴B款玩偶為：30﹣10＝20（個）．答：按照A款玩偶購進10個、B款玩偶購進20個的方案進貨才能獲得最大利潤，最大利潤是460元；（3）第一次的利潤率＝×100%≈42.7%，第二次的利潤率＝×100%＝46%，∵46%＞42.7%，∴對于小李來說第二次的進貨方案更合算．【點評】本題考查了列一元一次方程解實際問題的運用，一次函數(shù)的運用，解答時由銷售問題的數(shù)量關(guān)系求出一次函數(shù)的解析式是關(guān)鍵．22．（10分）如圖，拋物線y＝x2+mx與直線y＝﹣x+b相交于點A（2，0）和點B．（1）求m和b的值；（2）求點B的坐標，并結(jié)合圖象寫出不等式x2+mx＞﹣x+b的解集；（3）點M是直線AB上的一個動點，將點M向左平移3個單位長度得到點N，若線段MN與拋物線只有一個公共點，直接寫出點M的橫坐標xM的取值范圍．【分析】（1）用待定系數(shù)法即可求解；（2）求出點B的坐標為（﹣1，3），再觀察函數(shù)圖象即可求解；（3）分類求解確定MN的位置，進而求解．【解答】解：（1）將點A的坐標代入拋物線表達式得：0＝4+2m，解得：m＝﹣2，將點A的坐標代入直線表達式得：0＝﹣2+b，解得b＝2；故m＝﹣2，b＝2；（2）由（1）得，直線和拋物線的表達式為：y＝﹣x+2，y＝x2﹣2x，聯(lián)立上述兩個函數(shù)表達式并解得（不合題意的值已舍去），即點B的坐標為（﹣1，3），從圖象看，不等式x2+mx＞﹣x+b的解集為x＜﹣1或x＞2；（3）當點M在線段AB上時，線段MN與拋物線只有一個公共點，∵MN的距離為3，而A、B的水平距離是3，故此時只有一個交點，即﹣1≤xM＜2；當點M在點B的左側(cè)時，線段MN與拋物線沒有公共點；當點M在點A的右側(cè)時，當xM＝3時，拋物線和MN交于拋物線的頂點（1，﹣1），即xM＝3時，線段MN與拋物線只有一個公共點，綜上，﹣1≤xM＜2或xM＝3．【點評】本題考查的是二次函數(shù)綜合運用，涉及到一次函數(shù)的性質(zhì)、不等式的性質(zhì)等，其中（3），分類求解確定MN的位置是解題的關(guān)鍵．23．（10分）下面是某數(shù)學(xué)興趣小組探究用不同方法作一個角的平分線的討論片段，請仔細閱讀，并完成相應(yīng)的任務(wù)．小明：如圖1，（1）分別在射線OA，OB上截取OC＝OD，OE＝OF（點C，E不重合）；（2）分別作線段CE，DF的垂直平分線l1，l2，交點為P，垂足分別為點G，H；（3）作射線OP，射線OP即為∠AOB的平分線．簡述理由如下：由作圖知，∠PGO＝∠PHO＝90°，OG＝OH，OP＝OP，所以Rt△PGO≌Rt△PHO，則∠POG＝∠POH，即射線OP是∠AOB的平分線．小軍：我認為小明的作圖方法很有創(chuàng)意，但是太麻煩了，可以改進如下，如圖2，（1）分別在射線OA，OB上截取OC＝OD，OE＝OF（點C，E不重合）；（2）連接DE，CF，交點為P；（3）作射線OP．射線OP即為∠