力學(xué)(專)第八章彈性體的應(yīng)力和應(yīng)變

力學(xué)(專)第八章彈性體的應(yīng)力和應(yīng)變CATALOGUE目錄彈性體基本概念與性質(zhì)應(yīng)力分析基礎(chǔ)應(yīng)變分析基礎(chǔ)彈性體本構(gòu)關(guān)系彈性體邊界條件與約束類型彈性體靜力學(xué)問(wèn)題求解方法彈性體動(dòng)力學(xué)問(wèn)題簡(jiǎn)介01彈性體基本概念與性質(zhì)彈性體定義及特點(diǎn)定義彈性體是指在外力作用下發(fā)生形變，當(dāng)外力撤去后能恢復(fù)原狀的物體?？赡嫘孕巫冞^(guò)程中，外力所做的功可以全部轉(zhuǎn)化為彈性勢(shì)能儲(chǔ)存起來(lái)，當(dāng)外力撤去時(shí)，這些能量又能全部釋放出來(lái)，使物體恢復(fù)原狀。線性彈性在彈性限度內(nèi)，物體的形變與外力成正比，符合胡克定律。各向同性物體的彈性性質(zhì)不隨方向而改變。滿足胡克定律的物體，其應(yīng)力和應(yīng)變之間呈線性關(guān)系。在彈性限度內(nèi)，應(yīng)力和應(yīng)變成正比。不滿足胡克定律的物體，其應(yīng)力和應(yīng)變之間呈非線性關(guān)系。在受到較大外力作用時(shí)，物體的形變可能不再與外力成正比。線性與非線性彈性體非線性彈性體線性彈性體描述物體彈性性質(zhì)的物理量，包括楊氏模量、剪切模量、體積模量等。彈性常數(shù)又稱拉伸模量或彈性模量，是描述固體材料抵抗拉伸形變能力的物理量。其定義為在彈性限度內(nèi)，正應(yīng)力與正應(yīng)變的比值。楊氏模量越大，說(shuō)明材料抵抗拉伸形變的能力越強(qiáng)。楊氏模量彈性常數(shù)與楊氏模量02應(yīng)力分析基礎(chǔ)應(yīng)力概念及分類應(yīng)力定義應(yīng)力是物體內(nèi)部單位面積上的內(nèi)力，表示物體內(nèi)部的相互擠壓或拉伸作用。應(yīng)力分類根據(jù)作用面的方向不同，應(yīng)力可分為正應(yīng)力和剪應(yīng)力。正應(yīng)力作用面與外力方向垂直，剪應(yīng)力作用面與外力方向平行。正應(yīng)力計(jì)算正應(yīng)力計(jì)算公式為σ=F/A，其中F為作用在物體上的外力，A為受力面的面積。正應(yīng)力方向與外力方向相同。剪應(yīng)力計(jì)算剪應(yīng)力計(jì)算公式為τ=F/A，其中F為作用在物體上的外力，A為受力面的面積。剪應(yīng)力方向與外力方向垂直。正應(yīng)力與剪應(yīng)力計(jì)算VS主應(yīng)力是指物體內(nèi)部某一點(diǎn)處，在所有方向上正應(yīng)力的最大值和最小值。主應(yīng)力的方向與外力方向無(wú)關(guān)，只與物體內(nèi)部的應(yīng)力分布有關(guān)。最大剪應(yīng)力最大剪應(yīng)力是指物體內(nèi)部某一點(diǎn)處，在所有方向上剪應(yīng)力的最大值。最大剪應(yīng)力的方向與外力方向垂直，且位于兩個(gè)主應(yīng)力方向之間。主應(yīng)力主應(yīng)力與最大剪應(yīng)力03應(yīng)變分析基礎(chǔ)應(yīng)變概念及分類應(yīng)變是物體在受到外力作用下，其內(nèi)部各點(diǎn)間相對(duì)位置的改變，是描述物體變形程度的物理量。應(yīng)變定義根據(jù)變形的性質(zhì)，應(yīng)變可分為彈性應(yīng)變和塑性應(yīng)變；根據(jù)變形的方向，應(yīng)變可分為正應(yīng)變和剪應(yīng)變。應(yīng)變分類線應(yīng)變計(jì)算線應(yīng)變是物體在單向拉伸或壓縮時(shí)，其長(zhǎng)度方向的相對(duì)變形量，計(jì)算公式為ε=ΔL/L，其中ε為線應(yīng)變，ΔL為長(zhǎng)度變化量，L為原長(zhǎng)。剪應(yīng)變計(jì)算剪應(yīng)變是物體在受到剪切力作用下，其內(nèi)部各點(diǎn)間相對(duì)位置的錯(cuò)動(dòng)量，計(jì)算公式為γ=Δx/y，其中γ為剪應(yīng)變，Δx為錯(cuò)動(dòng)量，y為剪切面間距。線應(yīng)變與剪應(yīng)變計(jì)算應(yīng)變能密度定義應(yīng)變能密度是單位體積內(nèi)物體在變形過(guò)程中所儲(chǔ)存的彈性勢(shì)能，是描述物體抵抗變形能力的重要物理量。要點(diǎn)一要點(diǎn)二應(yīng)變能密度函數(shù)表達(dá)式對(duì)于線彈性材料，其應(yīng)變能密度函數(shù)W可表示為W=(1/2)σ·ε，其中σ為應(yīng)力張量，ε為應(yīng)變張量，"·"表示張量的內(nèi)積運(yùn)算。該函數(shù)描述了物體在變形過(guò)程中單位體積內(nèi)所儲(chǔ)存的彈性勢(shì)能。應(yīng)變能密度函數(shù)04彈性體本構(gòu)關(guān)系在彈性限度內(nèi)，彈性體的應(yīng)力和應(yīng)變成正比，即σ=Eε，其中σ為應(yīng)力，E為彈性模量，ε為應(yīng)變。胡克定律適用于小變形情況，即應(yīng)變?cè)趶椥詷O限以內(nèi)。對(duì)于大變形或非線性材料，胡克定律不再適用。胡克定律適用范圍胡克定律及其適用范圍材料的物理性質(zhì)在各個(gè)方向上相同，不受方向影響。各向同性材料對(duì)于各向同性材料，其應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系可以用廣義胡克定律描述，即σ=Eε+(νE/(1-2ν))(trε)I，其中ν為泊松比，trε為應(yīng)變張量的跡，I為單位張量。本構(gòu)關(guān)系各向同性材料本構(gòu)關(guān)系各向異性材料材料的物理性質(zhì)在各個(gè)方向上不同，受方向影響。本構(gòu)關(guān)系對(duì)于各向異性材料，其應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系比較復(fù)雜，需要用張量來(lái)描述。一般情況下，可以通過(guò)實(shí)驗(yàn)測(cè)定不同方向上的彈性常數(shù)，建立各向異性材料的本構(gòu)方程。各向異性材料本構(gòu)關(guān)系05彈性體邊界條件與約束類型邊界條件的定義彈性體與外界相互作用所形成的力學(xué)條件，決定彈性體內(nèi)部應(yīng)力和應(yīng)變的分布。邊界條件的分類根據(jù)作用方式和性質(zhì)，可分為位移邊界條件、力邊界條件和混合邊界條件。邊界條件概述位移約束限制彈性體某一部分或全部的自由度，如固定端約束、滑動(dòng)支座等。力約束通過(guò)外力作用在彈性體上，形成特定的應(yīng)力分布，如集中力、均布載荷等?；旌霞s束同時(shí)包含位移和力約束，如彈性支撐、彈簧約束等。常見(jiàn)約束類型及其特點(diǎn)位移約束對(duì)應(yīng)力和應(yīng)變的影響位移約束會(huì)改變彈性體的剛度，從而影響其內(nèi)部的應(yīng)力和應(yīng)變分布。例如，固定端約束會(huì)使得附近的應(yīng)力集中，而滑動(dòng)支座則會(huì)使得應(yīng)力分布更加均勻。力約束對(duì)應(yīng)力和應(yīng)變的影響力約束會(huì)直接改變彈性體的應(yīng)力分布，從而影響其應(yīng)變。例如，集中力會(huì)使得作用點(diǎn)附近的應(yīng)力急劇增加，而均布載荷則會(huì)使得應(yīng)力分布更加均勻?；旌霞s束對(duì)應(yīng)力和應(yīng)變的影響混合約束兼具位移和力約束的特點(diǎn)，對(duì)應(yīng)力和應(yīng)變的影響更為復(fù)雜。例如，彈性支撐既可以限制位移，又可以承受一定的載荷，因此會(huì)使得應(yīng)力分布更加復(fù)雜。約束對(duì)應(yīng)力和應(yīng)變影響06彈性體靜力學(xué)問(wèn)題求解方法根據(jù)彈性體的受力情況和約束條件，建立平衡方程。通常包括力平衡方程和力矩平衡方程。平衡方程的建立首先確定未知量，然后根據(jù)平衡方程和已知條件進(jìn)行求解。在求解過(guò)程中，需要注意選擇合適的坐標(biāo)系和單位，以及運(yùn)用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)方法。求解思路平衡方程建立與求解思路位移法以結(jié)點(diǎn)位移為基本未知量，通過(guò)求解結(jié)點(diǎn)位移來(lái)求解結(jié)構(gòu)內(nèi)力。優(yōu)點(diǎn)是可以直接得到結(jié)點(diǎn)位移，易于處理復(fù)雜結(jié)構(gòu)；缺點(diǎn)是需要求解聯(lián)立方程組，計(jì)算量較大。力法以多余未知力為基本未知量，通過(guò)求解多余未知力來(lái)求解結(jié)構(gòu)內(nèi)力。優(yōu)點(diǎn)是可以直接得到多余未知力，計(jì)算量相對(duì)較小；缺點(diǎn)是需要處理內(nèi)部約束，對(duì)于復(fù)雜結(jié)構(gòu)處理較為困難?；旌戏ㄍ瑫r(shí)以結(jié)點(diǎn)位移和多余未知力為基本未知量，通過(guò)求解聯(lián)立方程組來(lái)求解結(jié)構(gòu)內(nèi)力。優(yōu)點(diǎn)是結(jié)合了位移法和力法的優(yōu)點(diǎn)，可以處理復(fù)雜結(jié)構(gòu)；缺點(diǎn)是需要求解大型聯(lián)立方程組，計(jì)算量較大。位移法、力法和混合法比較例題1求解懸臂梁的撓度和轉(zhuǎn)角。通過(guò)建立平衡方程和運(yùn)用疊加原理，可以求得懸臂梁在任意荷載作用下的撓度和轉(zhuǎn)角。例題2求解簡(jiǎn)支梁的彎矩和剪力。通過(guò)建立平衡方程和運(yùn)用截面法，可以求得簡(jiǎn)支梁在任意荷載作用下的彎矩和剪力。例題3求解框架結(jié)構(gòu)的內(nèi)力和位移。通過(guò)建立平衡方程和運(yùn)用位移法或力法，可以求得框架結(jié)構(gòu)在任意荷載作用下的內(nèi)力和位移。典型例題解析07彈性體動(dòng)力學(xué)問(wèn)題簡(jiǎn)介牛頓第二定律彈性體動(dòng)力學(xué)的基本方程基于牛頓第二定律，即F=ma，其中F為外力，m為質(zhì)量，a為加速度。彈性體模型彈性體通常被建模為連續(xù)介質(zhì)模型，其內(nèi)部各點(diǎn)具有質(zhì)量和彈性。運(yùn)動(dòng)方程通過(guò)考慮彈性體內(nèi)各點(diǎn)的位移、速度和加速度，可以建立彈性體的運(yùn)動(dòng)方程。動(dòng)力學(xué)基本方程建立030201特征值問(wèn)題彈性體的振動(dòng)模態(tài)可以通過(guò)求解特征值問(wèn)題得到，即求解運(yùn)動(dòng)方程的特征值和特征向量。頻率計(jì)算通過(guò)模態(tài)分析可以得到彈性體的各階振動(dòng)頻率，進(jìn)而可以計(jì)算彈性體在不同頻率下的響應(yīng)。模態(tài)分析振動(dòng)模態(tài)是彈性體振動(dòng)的固有特性，通過(guò)模態(tài)分析可以確定彈性體的振動(dòng)頻率、振型和阻尼比等參數(shù)。振動(dòng)模態(tài)分析