2023年九年級中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)：解直角三角形及其應(yīng)用(含解析)

2023年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)：解直角三角形及其應(yīng)用

一、單選題

1.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線AB與x軸交于點A（-2,0）,與x軸夾角為

30°,將小ABO沿直線AB翻折，點O的對應(yīng)點C恰好落在雙曲線y=-（k力0）上,

x

則k的值為（）

2.如圖，平行四邊形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O,AE平分NBAD,分別

交BC,BD于點E,P,連接OE,ZADC=60°,AB=-BC=2,則下列結(jié)論：

2

①NCAD=30°；@OE=^AD；③S平行四邊形ABCD=AB-AC；④BD=2百；

⑤SABEP=SAAPO；其中正確的個數(shù)是（）

A.2B.3C.4D.5

3.如圖，為了保證道路交通安全，某段高速公路在A處設(shè)立觀測點，與高速公路的距

離AC為20米.現(xiàn)測得一輛小轎車從B處行駛到C處所用的時間為4秒。若

NBAC=a,則此車的速度為（）

A.5tana米/秒B.80tana米/秒

con

C.二^米/秒D.-^―米/秒

tanatana

二'填空題

4.如圖，在ABC中，AD是BC上的高，tanB^cosZDAC，若sinC=—,

13

3c=12,則AD的長.

5.某人沿著坡角為a的斜坡前進80m,則他上升的最大高度是m.

6.如圖，建筑物BC上有一旗桿AB,點D到BC的距離為20m,在點D處觀察旗桿

頂部A的仰角為52。，觀察底部B的仰角為45。，則旗桿的高度為m.(精確

到0.1m,參考數(shù)據(jù)：sin520?0.79,to?52°?1.28,夜a1.41，6Hl.73

三、綜合題

7.在RtAACB中，NC=90。，點O在AB上，以O(shè)為圓心，OA長為半徑的圓與

AB、AC分別交于點D、E,且NCBE=NA.

(1)求證：BE是。O的切線；

(2)連接DE,求證：AAEBS/XEDB；

(3)若點F為AE的中點，連接OF交AD于點G,若AO=5,

3

sinZCBE=-,求OG的長.

8.如圖(1)放置兩個全等的含有30。角的直角三角板ABC與

DEF(NB=NE=30。)，若將三角板ABC向右以每秒1個單位長度的速度移動

(點C與點E重合時移動終止)，移動過程中始終保持點B、F、C、E在同一條直線

上，如圖(2),AB與DF、DE分別交于點p、M,AC與DE交于點

Q,其中AC=DF=^3，設(shè)三角板ABC移動時間為x秒.

(1)在移動過程中，試用含x的代數(shù)式表示的面積;

(2)計算x等于多少時，兩個三角板重疊部分的面積有最大值？最大值是多少？

9.已知AB是。。的切線，切點為B點，AO交。。于點C,點D在AB上且

(1)求證：DC為。。的切線；

(2)當(dāng)AD=2BD,CD=2時，求AO的長.

10.脫貧攻堅工作讓老百姓過上了幸福的生活.如圖①是政府給貧困戶新建的房屋，如

圖②是房屋的側(cè)面示意圖，它是一個軸對稱圖形，對稱軸是房屋的高AB所在的直

線.為了測量房屋的高度，在地面上C點測得屋頂A的仰角為35°,此時地面上C

點、屋檐上E點、屋頂上A點三點恰好共線，繼續(xù)向房屋方向走8m到達點D

時，又測得屋檐E點的仰角為60°,房屋的頂層橫梁EF=12m,

EFHCB,AB交EF于點G(點C,D,B在同一水平線上).(參考數(shù)據(jù)：

sin35°?0.6,cos35°?0.8,tan35°?0.7,^3?1.7)

(1)求屋頂?shù)綑M梁的距離AG；

(2)求房屋的高AB(結(jié)果精確到1根).

11.如圖，直線y=mx+n(m^Q)與雙曲線y=，左H0)交于A、B兩點，直線

X

AB與坐標(biāo)軸分別交于C、D兩點，連接,若。4=2而，

tanZAOC=-，點B(-3,b).

3

(1)分別求出直線AB與雙曲線的解析式;

⑵連接03,求SAOB.

12.如圖，某港口。位于東西方向的海岸線上，“遠航”號、“海天”號輪船同時離開港

口，各自沿一固定方向航行，“遠航”號每小時航行16海里，“海天”號每小時航行12

海里.

(1)若它們離開港口一個半小時后分別位于A、B處,且相距30海里.如果知道

“遠航”號沿東北方向航行，能知道“海天’號沿哪個方向航行嗎？說明理由.

(2)若“遠航”號沿北偏東60。方向航行，經(jīng)過兩個小時后位于尸處，此時船上有一

名乘客需要緊急回到了)石海岸線上，若他從方處出發(fā)，乘坐的快艇的速度是每小時80

海里.他能在半小時內(nèi)回到海岸線嗎？說明理由.

13.如圖，某人在山坡坡腳A處測得電視塔尖點C的仰角為60°,沿山坡向上

走到P處再測得點C的仰角為45°,已知04=100米，山坡坡度i=l:2,且

O、AB在同一條直線上，其中測傾器高度忽略不計.

(I)求電視塔oc的高度；(計算結(jié)果保留根號形式)

(2)求此人所在位置點P的鉛直高度.(結(jié)果精確到0」米，參考數(shù)據(jù)：

72=1.41，百=1.73)

14.我國于2019年6月5日首次完成運載火箭海上發(fā)射，達到了發(fā)射技術(shù)的新高

度.如圖，運載火箭海面發(fā)射站點M與岸邊雷達站N處在同一水平高度。當(dāng)火箭到達

點A處時，測得點A距離發(fā)射站點M的垂直高度為9千米，雷達站M測得A處的仰

角為37。，火箭繼續(xù)垂直上升到達點B處，此時海岸邊N處的雷達測得B處的仰角為

70°,根據(jù)下面提供的參考數(shù)據(jù)計算下列問題：

(參考數(shù)據(jù)：sin70°?0.94,cos70°~0.34,tan70°~275,sin37tM).6,cos37°~0.80,

tan37°~0.75)

(1)求火箭海面發(fā)射站點M與岸邊雷達站N的距離

(2)求火箭所在點B處距發(fā)射站點M處的高度

15.如圖，在，A3CD中，對角線AC的垂直平分線分別交AD,BC于點、E，F(xiàn)，

所與AC相交于點。，連接A產(chǎn)，CE.

(1)求證：四邊形尸是菱形;

(2)已知sinNACF=15,CF=5,AB=6,請你寫出sinB的值.

5

16.如圖，在，ABCD中，對角線AC,BD交于點O,OA=OB,過點B作BE_LAC

于點E.

(1)求證：ABCD是矩形;

氏

(2)若AD=2后,cosZABE=學(xué)7，求AC的長.

17.如圖，,ABCD中，點E,F分別在BC,AD上，BE=DF,連結(jié)AE,CF。

(1)求證：四邊形AECF是平行四邊形；

(2)若四邊形AECF為菱形，ZAFC=120°,BE=CE=4,求ABCD的面積。

18.如圖，ABC的外接。的圓心在AC邊上，以CB為邊作=

BD邊交AC延長于點D,點E為0C中點，連接BE并延長交O。于點F,連接AF.

⑵若BD=3#＞，04=3,求AF的長.

19.定義：有一個角是其對角一半的圓的內(nèi)接四邊形叫做圓美四邊形，其中這個角叫

做美角.

AA

(2)在(1)的條件下，若。的半徑為5.

①求BD的長.

②如圖2,在四邊形ABCD中，若C4平分ZBCD,貝UBC+CD的最大

值是.

(3)在(1)的條件下，如圖3,若AC是)0的直徑，請用等式表示線段

AB，BC,CD之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

20.如圖，在AABC中，AB=4拒，N3=45°,ZC=60°.

(1)求8c邊上的高線長.

(2)點E為線段的中點，點尸在邊AC上，連結(jié)E尸，沿E尸將△AEF折疊得

到仆PEF.

①如圖2,當(dāng)點P落在3c上時，求/AEP的度數(shù).

②如圖3,連結(jié)AP,當(dāng)時，求AP的長.

21.如圖，已知二次函數(shù)y=N-2x+加的圖象與x軸交于點A、B,與y軸交于點C,

直線AC交二次函數(shù)圖象的對稱軸于點。，若點C為A。的中點.

(2)若二次函數(shù)圖象上有一點Q,使得tan/43Q=3,求點Q的坐標(biāo)；

(3)對于(2)中的。點，在二次函數(shù)圖象上是否存在點P,使得

△QBPs△COA?若存在，求出點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

22.已知:如圖，在ABC中，AB=6,AC=9,tanZABC=242-過點

B作BMAC,動點p在射線BM上(點P不與B重合)，聯(lián)結(jié)PA并

延長到點Q,使ZAQC=ZABP.

(1)求ABC的面積;

(2)設(shè)BP=x,AQ=y，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出%的取值

范圍；

(3)連接PC,如果PQC是直角三角形，求BP的長.

23.如圖，在矩形ABCD中，AE±BD于點E,交BC邊于點F.AG

平分ZDAF交BD于點G,并經(jīng)過CD邊的中點H.

(1)求證：BG=AB.

(2)求tanZHFC的值.

(3)若CF=延~,試在BD上找一點M(不與B，D重合)，使直

5

線MC經(jīng)過四邊形DEFH一邊的中點，求所有滿足條件的BM的值.

24.在AABC中，AB=BC=2,NABC=120。，將△ABC繞點B順時針旋轉(zhuǎn)角a(0。

<a<90°)WAAIBCI,AiB交AC于點E,AiCi分別交AC、BC于D、F兩點.

(1)如圖1,觀察并猜想，在旋轉(zhuǎn)過程中，線段EAi與FC有怎樣的數(shù)量關(guān)系？

并證明你的結(jié)論；

(2)如圖2,當(dāng)a=30。時，試判斷四邊形BCiDA的形狀，并說明理由；

(3)在(2)的情況下，求ED的長.

25.已知，如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=gx+2與x軸交于點A,與y軸

交于點B,拋物線y=—；x?+bx+c經(jīng)過A、B兩點，與x軸的另一個交點為C.

(1)直接寫出點A和點B的坐標(biāo)

(2)求拋物線的解析式

(3)D為直線AB上方拋物線上一動點

①連接DO交AB于點E,若DE：OE=3:4,求點D的坐標(biāo)

②是否存在點D,使得ZDBA的度數(shù)恰好是ZBAC的2倍，如果存在，求點

D的坐標(biāo)，如果不存在，請說明理由.

答案解析部分

1.【答案】D

【解析】【解答】解：根據(jù)翻折圖形可得：AC=AO=2,ZCAO=60°,

:.CF=ACsin6Q°=s/3,AF=-AC=1,OF=1,

2

???點C的坐標(biāo)為卜1,6),

則k的值為JL

故答案為：D

【分析】根據(jù)翻折圖形可得：AC=A0=2,ZCAO=60°,過點C作CF，x軸于R根

據(jù)直角三角形的性質(zhì)以及勾股定理得出C的坐標(biāo)，最后根據(jù)反比例函數(shù)解析式解答即

可。

2.【答案】D

【解析】【解答】解：???平行四邊形ABCD,

/.ZABE=ZADC=60°,AD〃BC,

ZDAE=ZAEB,ZACB=ZDAC

「AE平分/BAD,

，NBAE=NDAE,

.*.ZBAE=ZAEB

/.AB=BE

VBC=BE+EC,AB=-BC

2

.,.BE=AE=CE

/?AABC是直角三角形，

/.ZACB=ZDAC=30°,故①正確;

VOA=OC,BE=CE,

AOE是公ABC的中位線，

11

??OE——AB——BE

22f

11

,.,BE=—BC=-AD

22

?*.OE=—x—AD=—AD,故②）正確；

?/△ABC是直角三角形，

二.S平行四邊形ABCD二AB?AC,故③）正確；

??,在R3ABC中，ZACB=30°,AB=-BC=2

2

???BC=4,

AC=BCcosNACB=4x@=2逝

2

.-.OC=|AC=73

在R3OCD中，

OB=s/oC2+CD2=J網(wǎng)Z+22=幣

.?.BD=2OB=2A/7，故④正確；

VOA=OC,

??SAAOE-'SACOE,

〈BE=CE

SABOE=SACOE,

??SABOE-SAAOE,BPSABOE-SAOEF=S△AOE-SAOEF,

SABEP=SAAPO,故⑤正確；

?.?正確結(jié)論的序號為①②③④⑤

故答案為：D.

【分析】利用平行四邊形的性質(zhì)可得到NABE=/ADC=60。，AD^BC,再利用平行

線的性質(zhì)及角平分線的性質(zhì)可證得NBAE=NAEB,由此可得到AB=BE,結(jié)合已知條

件可推出BE=AE=CE,從而可證得△ABC是直角三角形，就可求出NCAD的度數(shù)，

可對①作出判斷；再利用三角形的中位線定理可得到OE和BE的數(shù)量關(guān)系，由此可

得到OE和AD的數(shù)量關(guān)系，可對②作出判斷；平行四邊形的面積公式可對③作出判

斷；再求出OE的長，利用解直角三角形求出AC的長，即可得到OC的長，在

R3OBD中，利用勾股定理求出OD的長，繼而可求出BD的長，可對④作出判斷;

然后根據(jù)三角形的中線分得的兩個三角形的面積相等，可以得到SABOE=SAAOE,即可

推出SABEP=SAAPO，可對⑤作出判斷，綜上所述可得正確結(jié)論的個數(shù)。

3.【答案】A

【解析】【解答】解：在RtAABC中，

BC=ACtanZBAC=20tana

??,小轎車從B處行駛到C處所用的時間為4秒，

，此車的速度為2°3。=5tana.

4

故答案為：A.

【分析】利用解直角三角形求出BC的長，再利用速度=路程+時間，即可求解。

4.【答案】8

【解析】【解答】在RtAADC中，sinC=—=—

AC13

設(shè)AD=12x,貝ljAC=13x,

?#-DC=siAC2-AD2=5x，

12

cosZDAC=sinC=—

13

12

tanB=—

13

*?AD12

在RtAABD中，tanB=-----=一

BD13

而AD=12x,

???BD=13x,

13x+5x=12,

解得x=；

3

/.AD=12x=8.

故答案為：8.

【分析】利用正弦、余弦和正切的定義解直角三角形，求解即可作答。

5.【答案】8Osz7za

【解析】【解答】解：如圖，在RtzkABC中，

NA=a,AB=80m,

.?.BC=AB?sinA=80sina(m),

???他上升的最大高度是80sinam,

故答案為：80sina.

【分析】利用銳角三角函數(shù)計算求解即可。

6.【答案】5.6

【解析】【解答】解：由題意得：ACXCD,

R3ADC中，DC=20米，NADO52。，貝I」AC=DCtanNADC=20xl.28=25.6米，

RSBDC中，DC=20米，NBDO45。，則BC=DCtanNBDC=20xl=20米，

???AB=AC-BO5.6米，

故答案為：5.6；

【分析】在R3ADC中，利用AODCtanNADC求出AC,在RsBDC中，利用

BODCtanNBDC求出BC,根據(jù)AB=AC-BC即可求解.

7.【答案】(1)證明：如圖，連接OE,

VOA=OE,

AZCBE=ZA=ZAEO.

VZC=90°,

???NCBE+NCEB=90。，

AZAEO+ZCEB=90°,

???ZOEB=90°,

，BE是。0的切線.

(2)解：由(1)可得NOED+NDEB=90。.

VZAED=90°,即/OED+NAEO=90°,

.?./AEO=NDEB=NA.

VZEBA=ZDBE,

/.△AEB^AEDB.

（3）解：由點F為AE的中點可知OF垂直平分弦AE,即G為AE的中點,

?；0為AD的中點，

AOG=-DE.

2

sii匹DEDE

在RtAAED中,

AD2AO~~LO

3

sinZA=sinZCBE=—

5

.DE_3

"IF-?

DE—6，

OG=—x6=3.

2

【解析】【分析】（1）連接OE,由同圓半徑相等結(jié)合題意可得NCBE=NA=NAEO,

再由NCBE+NCEB=90。，即可推出NAEO+NCEB=90。，即求出NOEB=90。，故BE

是。。的切線.（2）由（1）可得NOED+NDEB=90。.再由NOED+NAEO=90。，即可證

明NAEO=NDEB=NA.即證明△AEBs^EDB.（3）由點F為的中點可知OF垂

直平分弦AE,即G為AE的中點，再由。為AD的中點可知0G為ADE中位

1DFDF3

線，即0G=-DE.最后由sinNCBE=sinNA=—=—=-,即可求出DE的

2AD105

長，即求出OG的長.

8.【答案】（1）解：因為Rt_ABC中ZB=30°AZA=60°

NE=30°NEQC=ZAQM=60°

AMQ為等邊三角形

過點M作MN±AQ,垂足為點N.

D

在RtABC中，AC=b,3C=ACtanA=3

二EF=BC=3

根據(jù)題意可知CF=x

：.CE=EF—CF=3—x

Ce=CE-tanE=y-(3-x)

AQ=AC-CQ=j3-^-(3-x)=^-x

：.AM^AQ=^-x

而MN=AM-sinA=—x

2

?01ACST1V3162

,,S——AQ,MN——x—x—x——x

MAAQn223212

(2)解：由(1)知BF=CE=3—x

PF=BFtanB=^-(3-x)

???S重疊=SABC—S^-SBPF=^ACBC-^AQMN-^BFPF

--x3xV3-—X2--(3-X)—(3-x)

21223

=-^X2+A/3X=-^(X-2)2+73

所以當(dāng)x=2時，重疊部分面積最大，最大面積是如

【解析】【分析】(1)解直角三角形ABC求得EF=BC=3,設(shè)CF=x,可求

AQ=^-x,MN=-x,根據(jù)三角形面積公式即可求出結(jié)論；

32

（）根據(jù)“重疊=”列出函數(shù)關(guān)系式，通過配方求解即可.

2SsABC-SAMQ-sBPF

9.【答案】（1）證明：連接OB、OD,

VAB是。O的切線，JZOBD=90°

VOB=OC,OD=OD,BD=CD,

???△OBD^AOCD(SSS),

.,.ZOCD=ZOBD=90°,

1?DC是。O的切線；

(2)解：?.?DB=DC,AD=2BD,CD=2,

???DB=2,ADM,

???AB=BD+AD=6,AD=2CD,

VCDXOC,ADC±AC,

???NA=30。，

AO=AB：cosA=6：=4.

2

【解析】【分析】（1）連接OB、OD,由切線的性質(zhì)可得NOBD=90。，證明

△OBD^AOCD（SSS）,可得NOCD=NOBD=90。，根據(jù)切線的判定即證；

（2）由題意可求出AD=2CD,從而求出NA=30。，由AO=AB：cosA即可求出結(jié)論.

10.【答案】（1）解：?.?房屋的側(cè)面示意圖是軸對稱圖形，AB所在直線是對稱軸,

EF//CB,

：.AG±EF,EG=-EF=6,ZAEG^ZACB=35°.

2

在RtAAGE中，ZAGE=90°ZAEG=35°,

VtanZAEG=—EG=6,tan350?0.7

EG

AAG=6tan35°?42（米）

答：屋頂?shù)綑M梁的距離AG約是4.2米.

（2）解：過點E作EHLCB于點H,設(shè)EH=x,

在RtAEDH中，NEHD=90。,ZEDH=60°，

FHx

VtanZEDH=——：.DH=

DHtan60°

在RtAECH中，Z￡HC=90°,NECH=35°,

FHx

VtanZECH=——CH=

CHtan35°

：CH—DH=CD=8，

?-x

*"tan35°tan60°'

Vtan35°?0.7,百5sl.7,

解得xa9.52.

二AB=AG+5G=4.2+9.52=13.72。14（米）

答：房屋的高AB約是14米.

【解析】【分析】（1）EF//CB可得ZAEG=ZACB=35°,在RtAAGE中由

AQ

tanZAEG=—即可求AG；（2）設(shè)EH=x，利用三角函數(shù)由x表示DH、CH,

EG

由DH-CH=8列方程即可求解.

1L【答案】（1）解：如圖，作AE±x軸于點E

4/71

tanZA(9C=—=—,

OE3

設(shè)AE-x,OE—3x,

貝UOA=ylAE-+OE2=V1O%=2V1O，

:.x=2,

點A的坐標(biāo)為（-6,2）

代入y=±,得：左=—12，

X

12

則反比例函數(shù)解析式為y=—-，

x

當(dāng)x=-3時，y=4,

.??點B的坐標(biāo)為(-3,4),

-6m+n=2

將點A(—6,2)、3(—3,4)代入y=mx+n，得：

-3m+n=4

一2

m~—

解得：＜3,

n=6

2

直線AB的解析式為y=-x+6；

3

2

(2)解：在直線y=—x+6中，

3

當(dāng)x=0時，y=6,即點0(0,6),

2

當(dāng)y=0時，-x+6=0,解得x=-9,即點C(-9,0),

??UAOB-uCOD°AOC°BOD

=—x9x6——x9x2——x6x3

222

=9.

AE1

【解析】【分析】(1)作AEJ_x軸于點E,由tanZAOC=----二—,設(shè)AE=x、OE

OE3

=3x,結(jié)合0A=2M利用勾股定理求得x的值，即可得出點A的坐標(biāo)，從而求得

反比例函數(shù)解析式，進一步求得點B的坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法求得直線AB的解析

式；

(2)先求得直線AB與x、y軸的交點C,D坐標(biāo)，再根據(jù)

SAOB=SCOD-SAOC-SBOD可得答案一

12.【答案】(1)解：04=16x1.5=24,03=12x1.5=18,AB=30,

.-.O^+OB-=AB2,

AOB是直角三角形，

:.ZAOB^90°,

,“遠航”號沿東北方向航行，

\ZAON=45°,

?.ZBON=90°—45°=45°,

.?“海天”號沿西北方向航行；

(2)解：過點F作FD1PE于D,

ZNOF=60°,

ZFOD=90°-60°=30°,

.-.FD=-OF=-x32=16,

22

.?.16+80=0.2(小時)，

0.2<0.5,

???能在半小時內(nèi)回到海岸線.

【解析】【分析】(1)由題意可得OA=16xl.5=24,OB=12xl.5=18,AB=30,結(jié)合勾股

定理逆定理知△AOB是直角三角形且NAOB=90。，根據(jù)余角的性質(zhì)求出NBON的度

數(shù)，據(jù)此解答；

(2)過點F作FDLPE于D,則OF=16x2=32,ZFOD=30°,根據(jù)含30。角的直角

三角形的性質(zhì)可得FD=-OF=16,利用FD的值除以速度求出時間，然后與0.5進行比

2

較即可判斷.

13.【答案】(1)解：在RtOAC中，ZOAC=60°,04=100,

tanZ<MC=—,

OA

OC=OA-tanZOAC=100xtan60°=100百，

答：電視塔OC的高度為100小米；

(2)解：如圖，過點P作PFA.OC,垂足為F,過點P作PBLOA,垂足為

B,

則四邊形PBOF是矩形，

:.PF=OB（矩形對邊相等）.

由z=l:2,設(shè)PB=x米，貝ijAB=2x,

.-.PF=0B=100+2x,CF=100A/3-%,

在RtPCF中，由NCPF=45。,

/.APCF是的等腰直角三角形，

PF=CF,即100+2x=100百-x>

100A/3-100

/.X=----------------------?

3

即pB=ioo^-ioo%243米，

3

答：此人所在位置點P的鉛直高度約為24.3米.

【解析】【分析】（1）根據(jù)RtOAC、NQ4c=60°,04=100,由三角函數(shù)可以

求解出電視塔OC的高度；（2）構(gòu)造矩形PBOF,把求人所在位置點P的鉛直高度

轉(zhuǎn)化成求矩形OF的邊長，通過假設(shè)PB的長度，得到含未知數(shù)的方程式進而求解

14.【答案】（1）解：?.?在RAM中，AM=9,ZANM=37°

(2)解：:在RABMN中,ZBNM=70°

/.BM=MN.tan70°=12tan70°

；.BM=33

【解析】【分析】（1）在RAM中，由AM的長及/ANM的度數(shù)，利用解直角三角

形，就可求出MN的長。

（2）利用仰角的定義可知NBNM的度數(shù)，再利用解直角三角形，就可求出BM的

長。

15.【答案】（1）解：方法一：?.?四邊形A3CD是平行四邊形,

ADBC

，ZEAC=ZACF,ZAEF=Z.CFE.

又：所垂直平分AC,

AOA^OC.EA=EC.

AAOE0ACOF.

：.OE=OF.

.??四邊形AECF是平行四邊形.

?；EA=EC

.??四邊形AECF是菱形.

方法二*,:四邊形A3CD是平行四邊形,

ADBC.

：.ZEAC=ZACF,ZAEF=ZCFE.

又：E尸垂直平分AC,

AOA^OC.EF±AC.

：.AAOE0ACOF.

：.OE=OF.

.??四邊形AECF是平行四邊形.

?；EFLAC,

.??四邊形AECF是菱形.

方法三：...E尸垂直平分AC,

AOA=OC,EA=EC,FA=FC.

■：四邊形A3CD是平行四邊形，

/.ADBC.

：.ZEAC=ZACF,ZAEF=ZCFE.

：.AAOE0ACOF.

：.AE=CF.

EA=EC=FC=FA

.??四邊形AEb是菱形.

(2)解：如圖，過A作AF/，5c于//,

H卜.

四邊形尸是菱形.

:.AC±EF,OE=OF,OA=OC,

CF=5,sinZACF=—,

5

—,則OF=&EF=2底

CF5

;.OC=CF-cosNACF=5又當(dāng)~=2底AC=4底

-ACEF=CFAH,

2

AB63

【解析】【分析】（1）由線段垂直平分線的性質(zhì)可得OA=OC,EA=EC,再證明AAOE

^ACOF,得至！JOE=OF,則四邊形AECF是平行四邊形，然后由EAEC,即可得出結(jié)

論;

(2)過4作AH,3c于根據(jù)sinNACE=@,CF=5,A3=6,求出

5

OF=y/5,EF=2底,再求出AH的長，最后利用正弦的定義求解即可。

16.【答案】（1）證明：?.?四邊形ABCD是平行四邊形

.\OA=OC,OB=OD

X'/OA=OB,

.\OA=OB=OC=OD,

，AC=BD,

OABCD是矩形

（2）解：?.?四邊形ABCD是矩形,

.\ZBAD=ZADC=90o,

.,.ZBAC+ZCAD=90°,

VBEXAC,

.\ZBAC+ZABE=90°,

/.ZCAD=ZABE,

AD2J5

在RtAACD中，AD=2,cosZCAD=——=cosZABE=

AC5

，AC=5

【解析】【分析】（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到OA=OC,OB=OD,求得AC=BD,

于是得到結(jié)論；

（2）根據(jù)矩形的性質(zhì)得到NBAD=NADC=90。，求得/CAD=NABE,解直角三角形

即可得出結(jié)論。

17.【答案】（1）解：在.ABCD中，AD=BC,AD〃:BC。

VBE=DF,；.AF=CE。

又：AF〃CE,

.??四邊形AECF為平行四邊形

（2）解：?.,四邊形AECF為平行四邊形，AZAEC=ZAFC=120°

四邊形AECF為菱形,：.AE=CE

VZAEC=120°,

.,,ZAEB=60°.

；BE=CE=AE,

AABE為等邊三角形。

過點A作AHLBC,垂足為H,

VBC=2BE=8,

....ABCD面積為8x2百=1673

【解析】【分析】（1）利用平行四邊形的對邊平行且相等可證得AD=BC,AD〃:BC,結(jié)

合已知條件可得到AF=CE,然后根據(jù)有一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，

可證得結(jié)論。

（2）利用菱形的和平行四邊形的性質(zhì)，可證得BE=CE=AE,可得△ABE是等邊三角

形，過點A作AHLBC,垂足為H,利用解直角三角形求出AH的長，從而可得到BC

的長，然后利用平行四邊形的面積公式可求解。

18.【答案】（1）證明：如圖，連接0B,

FD

\//"6、、、、\/

AV-------------~/B

「AC為。。的直徑，

，NABC=90°,

.?.ZBAC+ZACB=90°,

VZCBD=ZBAC,

AZCBD+ZACB=90°,

VOB=OC,

/.ZOBC=ZACB,

.?.ZCBD+ZOBC=90°,

.*.ZOBD=90o,

OBLBD,

：OB是。。的半徑，

???BD是OO的切線；

（2）解：,:BD=36，OA=3,

.*.03=04=3,AC=2CM=6,

由（1）知NOBD=90。，

在RtAOBD中，tan/BOC="=型~=5

OB3

.,.ZBOC=60°,

又?:OB=OC=3,

OBC是等邊三角形，

/.ZOCB=60°,

?.,點E為OC中點，

BELOC,

即AC_LBF,

「AC是的直徑

/.AC垂直平分BF,

，AF=AB,

在R3ABC中，sinZOCB=——,

AC

/.AB^AC-sinZOCB=6xL=3居

2

/?AF=AB=3瓜

【解析】【分析】（1）連接OB,由AC為O。的直徑，可推出NBAC+NACB=90。，

由OB=OC,可得NOBC=NACB,從而得出/OBD=NCBD+/OBC=90。，根據(jù)切線

的判定定理即證；

（2）由加〃/30。=些=述=6可得/：6（^=60。，從而證AOBC是等邊三角

OB3

形，利用等腰三角形扇形合一的性質(zhì)可得BELOC,由垂徑定理可得AC垂直平分

AB

BF,可得AF=AB,在RSABC中，由s沅NOCB=——求出AB,即得結(jié)論.

AC

19.【答案】（1）解：由題意得：ZA=-ZC,而ZA+ZC=180，

2

..ZA=60°；

（2）解：①如圖1,連接DO并延長交圓于E點，連接BE，

E

圖1

貝INE=NA=60。，

DE為直徑，DE=10,貝UZDBE=9Q°,

???BD=EDsinE=5y/3;

②10

（3）解：如圖3,延長BC和AD交于點H,

AC是直徑，貝ijZABC=ZADC=90°,而ZBAD^60°,

貝（JZH=3Q0,

則CH=2CD,

BHBC+CHBC+2CD°。r-

tan/B7nAATHT==------------=---------------=tan60=J3,

ABABAB

故：BC+2CD=43AB

【解析】【解答】解：⑵②如圖2：連接BD,

圖2

由（1）得：連NR4￡>=60°,ZBCD=120°,

CA平分ZBCD,

:.ZACB^ZACD=60°,

ZABD=ZACD^60°,ZADB=ZACB60°,

則AABD為等邊三角形，延長CB到E,使得BE=CD,

又AB=AD,NEBA=/CDA,

:uACD%AEB,

..NE=ZACD=60°,ZEAB^ZDAC,

ZEAC=NEAB+ABAC=ABAC+ZZMC=60°

AACE為等邊三角形，

則BC+CD=CE,則AC=CE=BC+CD,

A為定點，而C為弧BD上的動點，AC要最長,

則AC為圓的直徑，故BC+CD=AC=直徑=10；

故答案為：10；

【分析】（1）利用圓美四邊形的定義可證=,再利用圓內(nèi)接四邊形的對角

2

互補，可求出/A的度數(shù)；

（2）①連接OD并延長交圓于點E,連接BE,利用同弧所對的圓周角相等，可求出

NE的度數(shù)及DE的長，利用圓周角定理可證得NDBE=90。，利用解直角三角形求出

BD的長；

②接BD,利用圓內(nèi)接四邊形的對角互補，可求出NBCD的度數(shù)，利用角平分線的定

義和圓周角定理可得到NNABD=/ACD=NADB=NACB=60。，可推出△ABD是等邊

三角形，延長CB,使BE=CD,利用SAS證明△ACD且AAEB,利用全等三角形的性

質(zhì)可證得NE=NACD,ZEBA=ZCDA；再證明△ACE是等邊三角形，由此可推出

AC=CE=BC+CD,A為定點，而C為弧BD上的動點，AC要最長即可求出

BC+CD的最大值；

（3）延長BC,AD交于點H,利用圓周角定理可證得NABC=90。，同時可求出

ZBAD=60°,利用30。角所對的直角邊等于斜邊的一半，可得至l」CH=2CD,利用銳角

三角函數(shù)的定義可得到AB,BC,CD之間的數(shù)量關(guān)系.

20.【答案】（1）解：如圖1,過點A作ADLBC于點D,

1

在RtAABD中，AD=ABsin450=4A/2X—=4.

2

（2）解：①如圖2,

A

VAAEF^APEF,

，AE=EP.

又：AE=BE,

.\BE=EP,

.?./EPB=NB=45°,

ZAEP=90°.

②如圖3,

由（1）可知：在RtAADC中，AC=AD

sin6003

VPF±AC,

.,.ZPFA=90°,

AEF四△PEF,

.?.ZAFE=ZPFE=45°,則/AFE=NB.

又：ZEAF=ZCAB,

/.△EAF^ACAB,

2V2

AFAEnnAF

---=----9即廣8百，

ABAC4V2

"V

AF=25/3,

在R3AFP中，AF=PF,則AP=?AF=276.

【解析】【分析】（1）如圖1中，過點A作ADLBC于D.解直角三角形求出AD即

可.

（2）①證明BE=EP,可得NEPB=NB=45。解決問題.

②如圖3中，由（1）可知：AC=AD,證明AAEFS/^ACB,推出

sin6003

ApAU

—=—,由此求出AF即可解決問題.

ABAC

21.【答案】（1）解：設(shè)對稱軸交x軸于點E,直線AC交拋物線對稱軸于點D,

點C為AD的中點，則點A(-1,0),

將點A的坐標(biāo)代入拋物線表達式并解得：m=-3,

(2)解：tanZABQ=3,點B(3,0),

則AQ所在的直線為：y=±3(x-3)…②，

聯(lián)立①②并解得：x=-4或3(舍去)或2,

故點Q(-4,21)或(2,-3)；

(3)解：不存在，理由：

△QBP^ACOA,則NQBP=90。

①當(dāng)點Q(2,-3)時，

則BP的表達式為：y=-1(x-3)…③，

4413

聯(lián)立①③并解得：x=3(舍去)或-1,故點P(--,—

此時BP：PQ^OA：AC,故點P不存在；

②當(dāng)點Q(-4,21)時，

211

同理可得：點P(—-,—),

39

此時BP：PQWOA：OB,故點P不存在；

綜上，點P不存在.

【解析】【分析】(1)函數(shù)的對稱軸為：x=l,點C為AD的中點，則點A(-1,0),

即可求解；(2)tan/ABQ=3,點B(3,0),則AQ所在的直線為：y=±3x(x-3),即

可求解；(3)分點Q(2,-3)、點Q(-4,21)兩種情況，分別求解即可.

22.【答案】(1)解：過點A作AH±BC交于點H，

BM|AC,ZPBA=ZBAC=a=ZAQC,

/g]

tanZABC=2^2=tana>則sina=—，cosa=—,

33

設(shè)：BH=a,貝I]AH=V8a，貝UAB2=AH2+BH2，

即：36=a2+8a2，解得：a=2,即BH=2，AH=732

CH=VAC2-AH2=2，則BC=BH+CH=9=AC，

AZABC=ZBAC=a,

S=|AH-BC=1X^/32X9=18A/2

(2)解：過點A作AG±PA交于點G,

VZPBA=ZCBA=a,AH±BC,

，BG=BH=2,AG=AH=^32,

PG=x-2,AP=JAG?+PG?=Jx?-4x+36，

ZQAC+ZPAB=180-a,ZPAB+ZAPB=180°-a,

Z.ZQAC=ZAPB,又ZAQC=ZABP,

ABPsCQA,

.ABBP_AP

"CQ-QA-AC，

其中：AB=6，BP=x，QA=y，AP=4x+36AC=9,

CQ=^-,

2AP

9XA/X2-4x+36

y二--------------x>0)

X2-4X+36

(3)解：連接PC,PQC是直角三角形，即ZPCQ=90°

CQ1

cosZPCQ=cosa==-…①,

3i----------------

其中CQ^--,PQ=AP+AQ=y+AP,AP=Vx2-4x+36，

3

把CQ、PA、AP代入①式整理得：5」

x2-4x+36+9x3

解得：x=9,

即BP的長為9.

【解析】【分析】（1）確定/PBA=/BAC=a=/AQC后，用解直角三角形的方法，求

出AH和BC長即可求解；

ABBPAP、

(2)證明AABPs/XCQA,利用,即可求解;

（3）連接PC,APQC是直角三角形，即NPCQ=90。，利用

CQ_1

cos/PQC=cosa

~PQ~3即可求解.

23.【答案】（1）證明：TAG平分NDAF,

AZDAG=ZEAG,

VAE±BD,ZBAD=90°,

JNABE+NBAE=NABE+NADB=90。，

???NBAE=NADB,

JNAGB=NDGH=NADB+NDAG=NBAE+NEAG=/BAG,

???BG=AB.

(2)解：???四邊形ABCD是矩形,

?'?AB=CD,AB〃CD,BOAD,

.*.△ABG^AHDG,

.BG_AB

^~DG~~DH'

???H是CD的中點，

1

???CH=DH二一AB,

2

???BG=2DG,

VBG=AB,

3

???BD二一AB,

2

AD=^BD2-AB2^—AB,

2

VZABF=ZBAD=90°,ZBAF=ZZADB,

.\AABF^ADAB,

.ABBF

"75一法’

AD5

.\CF=BC-BF=—AB,

10

-AB

CH

.?.tanZHFC=7^T丫=也

CF

—AB

10

(3)解：由(2)