第05講6.2.4向量的數(shù)量積（原卷版）

第05講向量的數(shù)量積課程標準學習目標①了解向量數(shù)量積的物理背景，即物體在力F的作用下產(chǎn)生位移s所做的功。②掌握向量數(shù)量積的定義及投影向量。③會計算平面向量的數(shù)量積。④會利用向量數(shù)量積的有關運算律進行計算或證明。1.通過閱讀課本在向量前面知識學習的基礎上進一步了解向量數(shù)量積的物理背景，即物體在力F的作用下產(chǎn)生位移s所做的功；2.理解和掌握向量數(shù)量積的定義與投影向量的概念與意義；3.在認真學習的基礎上，深刻掌握平面向量數(shù)量積的意義，為后續(xù)學習空間向量數(shù)量積打好基礎；4.平面向量是數(shù)量積運算是平面向量運算的核心，對于提升數(shù)學運算能力，和邏輯推理能力有著十分重要的作用；5.熟練運用會利用向量數(shù)量積的有關運算律進行計算或證明，以及實際應用有著十分重要的作用.知識點01：平面向量數(shù)列積的物理背景如圖,一個物體在力F的作用下產(chǎn)生了位移s,且力F與位移s的夾角為，那么力F所做的功.其中是F在物體位移方向上的分量的數(shù)量,也就是力F在物體位移方向上正投影的數(shù)量.從物理角度來看數(shù)量積的意義,有利于理解數(shù)量積的概念,兩個向量的數(shù)量積可以運算,其結果是一個數(shù)量.知識點02：向量的夾角(1)定義：已知兩個非零向量,,是平面上的任意一點,作,,則叫做向量與的夾角.(2)向量的夾角范圍.(3)特殊情況：①，與同向；②，與垂直，記作；③，與反向.【即學即練1】（2023下·甘肅蘭州·高一統(tǒng)考期末）等邊三角形中，與的夾角為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】解：延長到，則為與的夾角，所以，與的夾角為．故選：C．知識點03：平面向量數(shù)量積的概念（1）平面向量數(shù)量積的定義已知兩個非零向量與,它們的夾角為,我們把數(shù)量叫做向量與的數(shù)量積(或內(nèi)積).記作：，即.規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積為0特別提醒:（1）“·”是數(shù)量積的運算符號,既不能省略不寫,也不能寫成“×”；(2)數(shù)量積的結果為數(shù)量,不再是向量；(3)向量數(shù)量積的正負由兩個向量的夾角決定:當是銳角時,數(shù)量積為正；當是鈍角時,數(shù)量積為負；當是直角時,數(shù)量積等于零.【即學即練2】（2023上·陜西漢中·高三校聯(lián)考階段練習）在中，，，則.【答案】【詳解】根據(jù)題意易得為等腰直角三角形，,則，故答案為：（2）投影如圖,設,是兩個非零向量,,,作如下變換:過的起點和終點,分別作所在直線的垂線,垂足分別為,,得到,我們稱上述變換為向量向向量投影,叫做向量在向量上的投影向量.特別提醒:①為向量在上的投影的數(shù)量；②為向量在上的投影的數(shù)量；③投影的數(shù)量（）是一個值，不是向量.【即學即練3】（2023下·甘肅天水·高一天水市第一中學?？茧A段練習）已知，，且，則向量在向量上的投影數(shù)量為.【答案】【詳解】因為，所以，又因為，，所以，所以向量在向量上的投影數(shù)量為，故答案為：.知識點4：平面向量數(shù)量積的性質(zhì)設,是非零向量,它們的夾角是,是與方向相同的單位向量,則①.

②.③當與同向時,；④當與反向時,；⑤或；⑥；⑦.知識點5：向量數(shù)量積的運算律①交換律：②對數(shù)乘的結合律：③分配律：④⑤題型01平面向量數(shù)量積有關的定義及辨析【典例1】（2022上·河北邯鄲·高二校考期中）若均為非零向量，則是與共線的（

）A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充分必要條件D．既不充分又不必要條件【典例2】（多選）（2023上·四川成都·高二成都七中校考期中）下列說法正確的是（

）A．對任意向量，都有B．若且，則C．對任意向量，都有D．對任意向量，都有【變式1】（2023下·上海黃浦·高一上海市敬業(yè)中學?？茧A段練習）已知平面上有三個點A，B，C，則命題“A，B，C可以構成一個A為鈍角的鈍角三角形”是“”的（

）A．充分非必要條件 B．必要非充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【變式2】（多選）（2023下·四川樂山·高一期末）已知平面向量，，，則下列說法正確的是（

）A． B．C．若，，則 D．，則題型02平面向量數(shù)量積的幾何意義【典例1】（2022下·河南南陽·高一?？茧A段練習）已知是邊長為2的正三角形，則向量在上的投影數(shù)量是．【典例2】（2023·山西·校考模擬預測）美術課對于陶冶人的情操?發(fā)展學生的藝術興趣和愛好?培養(yǎng)學生的藝術特長?提高學生的審美素養(yǎng)具有積極作用.如圖，這是某學生關于“杯子”的聯(lián)想創(chuàng)意圖，它是由一個正方形和三個半圓組成的，其中，是正方形的兩個頂點，是三段圓弧上的動點，若，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【變式1】（2023下·山東青島·高一統(tǒng)考期中）已知點是邊長為2的正的內(nèi)部（不包括邊界）的一個點，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．題型03用定義法求向量數(shù)量積【典例1】（2023上·山西·高二統(tǒng)考學業(yè)考試）已知等邊三角形的邊長為1，則（

）A． B． C． D．【典例2】（2023上·上海楊浦·高三上海市控江中學?？计谥校┤鐖D所示，兩塊斜邊長均等于的直角三角板拼在一起，則的值為.【變式1】（2023上·山東濰坊·高三?？计谥校┮阎瑒t（

）A． B．24 C． D．16【變式2】（2023上·浙江·高二校聯(lián)考階段練習）已知，，，則.題型04已知數(shù)量積求?！镜淅?】（2023·四川涼山·統(tǒng)考一模）已知平面向量，滿足，，則（

）A． B． C．3 D．【典例2】（2023上·廣東佛山·高三?？茧A段練習）已知向量，滿足，，與的夾角為，則．【變式1】（2023上·湖北·高二湖北省紅安縣第一中學校聯(lián)考階段練習）已知，，，的夾角為，則（

）A．1 B． C．2 D．4【變式2】（2023上·湖北·高三校聯(lián)考階段練習）已知向量，滿足，且，則（

）A．1 B．2 C． D．題型05向量夾角問題【典例1】（2023上·北京海淀·高三北大附中?？茧A段練習）已知向量，，滿足，且，則（

）A． B． C． D．【典例2】（2024上·貴州黔東南·高三天柱民族中學校考階段練習）已知向量，，，則.【典例3】（2023上·北京·高三101中學?？茧A段練習）已知，，，若與的夾角為銳角，則實數(shù)t的取值范圍是．【變式1】（2024上·江西·高三校聯(lián)考階段練習）已知平面向量、滿足，若，則與的夾角為（

）A． B． C． D．【變式2】（2023·河北邯鄲·統(tǒng)考模擬預測）已知非零向量滿足，則向量夾角的余弦值為．【變式3】（2023上·北京懷柔·高三北京市懷柔區(qū)第一中學校考階段練習）已知平面向量，滿足，與的夾角為，若與的夾角為鈍角，則一個滿足條件的的值可以為．題型06向量垂直關系【典例1】（2024上·浙江·高三舟山中學校聯(lián)考開學考試）已知向量，，，，與的夾角為120°，若，則（

）A． B． C． D．【典例2】（2023下·河南省直轄縣級單位·高一河南省濟源第一中學?？茧A段練習）已知，，與的夾角是.(1)計算；(2)當k為何值時，？【變式1】（2023上·河南·高三校聯(lián)考階段練習）已知平面向量為單位向量，且，則在方向上的投影向量的坐標為.【變式2】（2023上·云南昆明·高三昆明一中校考階段練習）已知是非零向量，，，在方向上的投影向量為，則．題型07已知模求數(shù)量積【典例1】（2022上·陜西安康·高二?？计谀┰O向量，滿足，，則（

）A．1 B．2 C．3 D．5【典例2】（2023上·云南曲靖·高三曲靖一中?？茧A段練習）已知向量、滿足，，且與夾角的余弦值為，則（

）A． B． C． D．12【變式1】（2023上·安徽·高三校聯(lián)考階段練習）已知向量滿足，且，則的值為（

）A．2 B． C．1 D．【變式2】（2023上·安徽·高三校聯(lián)考階段練習）設向量和滿足，，則的值為.題型08已知模求參數(shù)【典例1】（2023·四川成都·石室中學?？寄M預測）已知平面向量，，的夾角為，，則實數(shù)（

）A． B．1 C． D．【典例2】（2022·福建·高三專題練習）已知，，且關于的方程有實根，則與的夾角的取值范圍是（）A． B．C． D．【變式1】（2023下·廣東揭陽·高一校聯(lián)考期中）已知向量，若與的夾角為；若與的夾角為鈍角，則取值范圍為（

）A． B．C． D．【變式2】（2023·全國·模擬預測）已知平面向量滿足，則實數(shù)的值為．題型09向量的投影【典例1】（2023上·陜西西安·高二高新一中?？茧A段練習）已知向量不共線，滿足，則在方向上的投影向量為（

）A． B． C． D．【典例2】（2023上·江蘇無錫·高三校聯(lián)考階段練習）已知向量，在方向上的投影向量為，則.【典例3】（2023上·河北滄州·高三校聯(lián)考階段練習）已知的外接圓圓心為，且，則向量在向量上的投影向量為（

）A． B． C． D．【變式1】（2023上·浙江·高二校聯(lián)考期中）已知向量與單位向量的夾角為，且，則在方向上的投影向量為（

）A． B． C． D．【變式2】（2023上·江蘇淮安·高三校聯(lián)考期中）若向量，滿足，，且在上的投影向量為，則.【變式3】（2023·貴州六盤水·統(tǒng)考模擬預測）已知是相互垂直的單位向量.若向量，，則向量在向量上的投影向量為（）A． B．C． D．題型10利用平面向量數(shù)量積求最值【典例1】（2023上·陜西榆林·高三榆林市第一中學校聯(lián)考階段練習）已知非零向量，滿足，且，則的最小值為（

）A．2 B． C． D．1【典例2】（2023上·福建莆田·高三莆田第十中學校考期中）如圖，在等腰直角三角形中，斜邊，為線段上的動點（包含端點），為的中點．將線段繞著點旋轉(zhuǎn)得到線段，則的最小值為（

）A． B． C． D．【典例3】（2023上·天津·高三校聯(lián)考期中）折扇又名“撒扇”、“紙扇”，是一種用竹木或象牙做扇骨，韌紙或綾絹做扇面的能折疊的扇子，如圖1．其展開幾何圖是如圖2的扇形，其中，，，點在上（包含端點），則的取值范圍是．【典例4】（2023·上海崇明·統(tǒng)考一模）已知不平行的兩個向量滿足，．若對任意的，都有成立，則的最小值等于．【變式1】（2023下·寧夏石嘴山·高一石嘴山市第三中學校考期末）已知向量滿足，在方向上的投影向量為，則的最小值為【變式2】（2023上·江蘇揚州·高三統(tǒng)考階段練習）已知在中，，，，為線段上任意一點，則的取值范圍是．【變式3】（2023上·北京順義·高三?？茧A段練習）已知向量，，，與的夾角為，則，當?shù)闹底钚r，實數(shù)x的值為．【變式4】（2023上·福建·高三校聯(lián)考期中）如圖，AB是圓O的一條直徑，且．C，D是圓O上的任意兩點，．點P在線段CD上，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．A夯實基礎B能力提升C綜合素養(yǎng)A夯實基礎一、單選題1．（2023上·河北廊坊·高三河北省文安縣第一中學校聯(lián)考期中）已知單位向量滿足，則（

）A． B． C． D．2．（2023上·廣東東莞·高二東莞市東華高級中學?？计谥校┮阎臻g向量，滿足，，，則的值為（

）A．1 B． C．2 D．43．（2023上·陜西榆林·高三校考期中）若平面向量，滿足，，且，則向量與夾角的大小是（

）A． B． C． D．4．（2023上·江西·高三校聯(lián)考階段練習）已知為單位向量，向量與向量的夾角為，則向量在向量上的投影向量為（

）A． B． C． D．5．（2023·安徽·校聯(lián)考一模）在三角形中，，，，則（

）A．10 B．12 C． D．6．（2023上·河南·高三安陽縣高級中學校聯(lián)考階段練習）已知非零向量滿足，且，則的夾角為（

）A． B． C． D．7．（2024·全國·高三專題練習）設點，，在上，若，則（

）A． B． C． D．8．（2023·江西景德鎮(zhèn)·統(tǒng)考一模）人們把蜂房譽為自然界最奇異的建筑，蜂房是由許許多多的正六棱柱組成，一個挨著一個，緊密地排列，沒有一點空隙.人們一直疑問，蜜蜂為什么不讓其巢室呈三角形、正方形或其他形狀呢？雖然蜂窩是一個三維體建筑，但每一個蜂巢都是六面柱體，而蜂蠟墻的總面積僅與蜂巢的截面有關.由此引出一個數(shù)學問題，即尋找面積最大、周長最小的平面圖形.1943年，匈牙利數(shù)學家陶斯（Laszlo

Fejes

Toth）證明了，在所有首尾相連的正多邊形中，正六邊形的周長是最小的.1999年，黑爾斯證明了周邊是曲線時，無論曲線是向外凸還是向內(nèi)凹，由正六邊形組成的圖形周長都是最小的.如圖是一個邊長為2的正六邊形ABCDEF，則（

）A．4 B． C． D．二、多選題9．（2023上·四川成都·高二成都七中?？计谥校┫铝姓f法正確的是（

）A．對任意向量，都有B．若且，則C．對任意向量，都有D．對任意向量，都有10．（2023·全國·高三專題練習）下列說法錯誤的是（

）A．在等腰直角三角形ABC中，若A為直角，則的夾角為45°.B．由可得或.C．向量在向量上的投影向量是一個向量，而向量在向量上的投影是一個數(shù)量.D．對于非零向量，，“”是“與的夾角為銳角”的充分不必要條件．三、填空題11．（2023上·北京海淀·高三中關村中學校考階段練習）已知向量滿足與的夾角為，則，若，則實數(shù)．12．（2023上·重慶·高三西南大學附中校考期中）已知向量，，，，與的夾角為，則的值最小時，實數(shù)的值為.四、解答題13．（2023下·江蘇鎮(zhèn)江·高一校聯(lián)考階段練習）已知在中，N是邊AB的中點，且，設AM與CN交于點P.記，.(1)用，表示向量，；(2)若，，求的余弦值.14．（2023上·天津河西·高三統(tǒng)考期中）如圖，中，是的中點，與交于點.(1)用表示；(2)設，求的值；(3)若，求的最大值.B能力提升1．（2023·全國·