整數(shù)裂項完整版本

公差裂項解法對于較長的復(fù)雜算式，單單靠一般的運算順序和計算方法是很難求出結(jié)果的。如果算式中每一項的排列都是有規(guī)律的，那么我們就要利用這個規(guī)律進行巧算和簡算。而裂項法就是一種行之有效的巧算和簡算方法。通常的做法是：把算式中的每一項裂變成兩項的差，而且是每個裂變的后項（或前項）恰好與上個裂變的前項（或后項）相互抵消，從而達到“以短制長”的目的。

下面我們以整數(shù)裂項為例，談?wù)劻秧椃ǖ倪\用，并為整數(shù)裂項法編制一個易用易記的口訣。

例1、計算1×2+2×3+3×4+4×5+……+98×99+99×100

分析：這個算式實際上可以看作是：等差數(shù)列1、2、3、4、5……98、99、100，先將所有的相鄰兩項分別相乘，再求所有乘積的和。算式的特點概括為：數(shù)列公差為1，因數(shù)個數(shù)為2。

1×2=（1×2×3-0×1×2）÷（1×3）

2×3=（2×3×4-1×2×3）÷（1×3）

3×4=（3×4×5-2×3×4）÷（1×3）

4×5=（4×5×6-3×4×5）÷（1×3）

……

98×99=（98×99×100-97×98×99）÷（1×3）

99×100=（99×100×101-98×99×100）÷（1×3）

將以上算式的等號左邊和右邊分別累加，左邊即為所求的算式，右邊括號里面諸多項相互抵消，可以簡化為（99×100×101-0×1×2）÷3。

解：1×2+2×3+3×4+4×5+……+98×99+99×100

=（99×100×101-0×1×2）÷3

=333300例2、計算3×5+5×7+7×9+……+97×99+99×101

分析：這個算式實際上也可以看作是：等差數(shù)列3、5、7、9……97、99、101，先將所有的相鄰兩項分別相乘，再求所有乘積的和。算式的特點概括為：數(shù)列公差為2，因數(shù)個數(shù)為2。

3×5=（3×5×7-1×3×5）÷（2×3）

5×7=（5×7×9-3×5×7）÷（2×3）

7×9=（7×9×11-5×7×9）÷（2×3）

……

97×99=（97×99×101-95×97×99）÷（2×3）

99×101=（99×101×103-97×99×101）÷（2×3）

將等號左右兩邊分別累加，左邊即為所求算式，右邊括號里面許多項可以相互抵消。

解：3×5+5×7+7×9+……+97×99+99×101

=（99×101×103-1×3×5）÷（2×3）

=1029882÷6

=171647

例3、計算1×2×3+2×3×4+3×4×5+……+96×97×98+97×98×99

分析：這個算式實際上可以看作是：等差數(shù)列1、2、3、4、5……98、99、100，先將所有的相鄰三項分別相乘，再求所有乘積的和。算式的特點概括為：數(shù)列公差為1，因數(shù)個數(shù)為3。

1×2×3=（1×2×3×4-0×1×2×3）÷（1×4）

2×3×4=（2×3×4×5-1×2×3×4）÷（1×4）

3×4×5=（3×4×5×6-2×3×4×5）÷（1×4）

……

96×97×98=（96×97×98×99-95×96×97×98）÷（1×4）

97×98×99=（97×98×99×100-96×97×98×99）÷（1×4）

右邊累加，括號內(nèi)相互抵消，整個結(jié)果為（97×98×99×100-0×1×2×3）÷（1×4）。

解：1×2×3+2×3×4+3×4×5+…+96×97×98×+97×98×99

=（97×98×99×100-0×1×2×3）÷（1×4）

=23527350例4、計算10×16×22+16×22×28+……+70×76×82+76×82×88

分析：算式的特點為：數(shù)列公差為6，因數(shù)個數(shù)為3。

解：10×16×22+16×22×28+……+70×76×82+76×82×88

=（76×82×88×94-4×10×16×22）÷（6×4）

=2147376

公差裂項通過以上例題，可以看出這類算式的特點是：從公差一定的數(shù)列中依次取出若干個數(shù)相乘，再把所有的乘積相加。其巧解方法是：

將以上敘述可以概括一個口訣是：等差數(shù)列數(shù)，依次取幾個。所有積之和，裂項來求作。后延減前伸，差數(shù)除以N。N取什么值，兩數(shù)相乘積。公差要乘以，因個加上一。

需要注意的是：按照公差向前伸展時，當(dāng)伸展數(shù)小于0時，可以取負數(shù)，當(dāng)然是積為負數(shù)，減負要加正。對于小學(xué)生，這時候通常是把第一項甩出來，按照口訣先算出后面的結(jié)果再加上第一項的結(jié)果。

此外，有些算式可以先通過變形，使之符合要求，再利用裂項求解。平方數(shù)相加裂項例5、計算1×1+2×2+3×3+……+99×99+100×100

分析：n×n=(n-1)×n+n理解透切并練習(xí)

解：1×1+2×2+3×3+……+99×99+100×100

=1+（1×2+2）+（2×3+3）+……+（98×99+99）+（99×100+100）

=（1×2+2×3+……+98×99+99×100）+（1+2+3+……+99+100）

=99×100×101÷3+（1+100）×100÷2

=333300+5050

=338350平方數(shù)裂項求和等于公差為1因數(shù)個數(shù)為2的公差裂項和+1到N的和。例6、計算1×2+3×4+5×6+……+97×98+99×100

分析：(n-1)×n=(n-2)×n+n

解：1×2+3×4+5×6+7×8+……+97×98+99×100

=2+（2×4+4）+（4×6+6）+（6×8+8）+……+（96×98+98）+（98×100+100）

=（2×4+4×6+6×8+……+96×98+98×100）+（2+4+6+8+……+98+100）

=98×100×102÷6+（2+100）×50÷2

=169150立方數(shù)相加裂項求和例7、計算1×1×1+2×2×2+3×3×3+……+99×99×99+100×100×100

分析：n×n×n=(n-1)×n×(n+1)+n舉例練習(xí)100×100×100=（99×100×101+100）

解：1×1×1+2×2×2+3×3×3+……+99×99×99+100×100×100

=1+（1×2×3+2）+（2×3×4+3）+……+（98×99×100+99）+（99×100×101+100）

=（1×2×3+2×3×4+……+98×99×100+99×100×101）+（1+2+3+……+99+100）

=99×100×101×102÷4+（1+100）×100÷2

=25492400立方數(shù)求和可裂項為公差為1因數(shù)為3個的裂項和+1到N的和。奇乘奇，偶乘偶求和等于奇乘奇裂項和+偶乘偶裂項和例8、計算1×3+2×4+3×5+4×6+……+98×100+99×101

解：1×3+2×4+3×5+4×6+……+98×100+99×101

=（1×3+3×5+……+99×101）+（2×4+4×6+……+98×100）

=（99×101×103-1×3×5）÷6+1×3+98×100×102÷6

=171650+166600

=338250奇乘奇裂項求和等于公差為2，因數(shù)為2的裂項求和偶乘偶裂項求和等于公差為2，因數(shù)為2的裂項求和例9、計算1+（1+2）+（1+2+3）+……+（1+2+3+4+……+100）

先理解等差數(shù)列求和公式項數(shù)×（首項+末項）÷21+2=2×（1+2）÷21+2+3=3×（1+3）÷21+2+3+4=4×（1+4）÷21+2+3+4+……+100=100×（1+100）÷2

解：1+（1+2）+（1+2+3）+……+（1+2+3+4+……+100）

=1×2÷2+2×3÷2+3×4÷2+……+100×101÷2

=（1×2+2×3+3×4+……+100×101）÷2

=（100×101×102÷3）÷2

=171700

將上面的口訣繼續(xù)編寫是：前延比零小，取負就是了。小學(xué)不可為，首項先甩掉。平方和立方，變形再裂項。式長要轉(zhuǎn)化，類比解決它。口訣需熟記，靈活靠練習(xí)。

練習(xí)題：

1、計算1×4+4×7+7×10+……+94×97+97×100

2、計算2×4×6+4×6×8+……+94×96×98+96×98×100

3、計算5×5×5+6×6×6+7×7×7+……+65×65×65

4、計算3+（3+6）+（3+6+9）+……+（3+6+9+12+……+300）計算等差數(shù)列的相關(guān)公式：通項公式：第幾項＝首項＋（項數(shù)－1）×公差項數(shù)公式：項數(shù)＝（末項－首項）÷公差＋1求和公式：總和＝（首項＋末項）×項數(shù)÷2平均數(shù)公式：平均數(shù)＝（首項＋末項）÷2入門題有一個數(shù)列，4、10、16、22……52，這個數(shù)列有多少項？一個等差數(shù)列，首項是3，公差是2，項數(shù)是10。它的末項是多少？求等差數(shù)列1、4、7、10……，這個等差數(shù)列的第30項是多少?6＋7＋8＋9＋……＋74＋75＝（）2＋6＋10＋14＋……＋122＋126＝（）已知數(shù)列2、5、8、11、14……，47應(yīng)該是其中的第幾項？有一個數(shù)列：6、10、14、18、22……，這個數(shù)列前100項的和是多少？練習(xí)題：1、3個連續(xù)整數(shù)的和是120，求這3個數(shù)。2、4個連續(xù)整數(shù)的和是94，求這4個數(shù)。3、在6個連續(xù)偶數(shù)中，第一個數(shù)和最后一個數(shù)的和是78，求這6個連續(xù)偶數(shù)各是多少？4、麗麗學(xué)英語單詞，第一天學(xué)會了6個，以后每天都比前一天多學(xué)會1個，最后一天學(xué)會了16個。麗麗在這些天中共學(xué)會了多少個單詞？5、有80把鎖的鑰匙搞亂了，為了使每把鎖都配上自己的鑰匙，至多要試多少次？6、某班有51個同學(xué)，畢業(yè)時每人都要和其他同學(xué)握一次手，那么這個班共握了多少次手？備選題：1、5個連續(xù)整數(shù)的和是180，求這5個數(shù)。2、6個連續(xù)整數(shù)的和是273，求這6個數(shù)。3、在等差數(shù)列1、5、9、13、17……401中，401是第幾項？第50項是多少？4、1＋2＋3＋4＋……＋2007＋