清單07 雙曲線及其性質(zhì) （11個(gè)考點(diǎn)梳理+題型解讀+提升訓(xùn)練）（解析版）

清單07雙曲線及其性質(zhì)（11個(gè)考點(diǎn)梳理+題型解讀+提升訓(xùn)練）【知識(shí)導(dǎo)圖】【考點(diǎn)分布圖】【知識(shí)清單】知識(shí)點(diǎn)一：雙曲線的定義平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)的距離的差的絕對(duì)值等于常數(shù)（大于零且小于）的點(diǎn)的軌跡叫做雙曲線（這兩個(gè)定點(diǎn)叫雙曲線的焦點(diǎn)）．用集合表示為．注意：（1）若定義式中去掉絕對(duì)值，則曲線僅為雙曲線中的一支．（2）當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的軌跡是以和為端點(diǎn)的兩條射線；當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的軌跡是線段的垂直平分線．（3）時(shí)，點(diǎn)的軌跡不存在．在應(yīng)用定義和標(biāo)準(zhǔn)方程解題時(shí)注意以下兩點(diǎn)：=1\*GB3①條件“”是否成立；=2\*GB3②要先定型（焦點(diǎn)在哪個(gè)軸上），再定量（確定，的值），注意的應(yīng)用．知識(shí)點(diǎn)二：雙曲線的方程、圖形及性質(zhì)雙曲線的方程、圖形及性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程圖形A2A2焦點(diǎn)坐標(biāo)，，對(duì)稱性關(guān)于，軸成軸對(duì)稱，關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱頂點(diǎn)坐標(biāo)，，范圍實(shí)軸、虛軸實(shí)軸長(zhǎng)為，虛軸長(zhǎng)為離心率漸近線方程令，焦點(diǎn)到漸近線的距離為令，焦點(diǎn)到漸近線的距離為點(diǎn)和雙曲線的位置關(guān)系共焦點(diǎn)的雙曲線方程共漸近線的雙曲線方程切線方程為切點(diǎn)為切點(diǎn)切線方程對(duì)于雙曲線上一點(diǎn)所在的切線方程，只需將雙曲線方程中換為，換成便得．切點(diǎn)弦所在直線方程為雙曲線外一點(diǎn)為雙曲線外一點(diǎn)點(diǎn)為雙曲線與兩漸近線之間的點(diǎn)弦長(zhǎng)公式設(shè)直線與雙曲線兩交點(diǎn)為，，．則弦長(zhǎng)，，其中“”是消“”后關(guān)于“”的一元二次方程的“”系數(shù)．通徑通徑（過(guò)焦點(diǎn)且垂直于的弦）是同支中的最短弦，其長(zhǎng)為焦點(diǎn)三角形雙曲線上一點(diǎn)與兩焦點(diǎn)構(gòu)成的成為焦點(diǎn)三角形，設(shè)，，，則，，焦點(diǎn)三角形中一般要用到的關(guān)系是等軸雙曲線等軸雙曲線滿足如下充要條件：雙曲線為等軸雙曲線離心率兩漸近線互相垂直漸近線方程為方程可設(shè)為．【考點(diǎn)精講】考點(diǎn)1：雙曲線的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程例1．（2023·重慶·高二校聯(lián)考期末）如果雙曲線上一點(diǎn)到它的右焦點(diǎn)的距離是，那么點(diǎn)到它的左焦點(diǎn)的距離是（

）A． B． C．或 D．不確定【答案】C【解析】設(shè)雙曲線的左、右焦點(diǎn)為，則；則，由雙曲線定義可得，即，所以或，由于，故點(diǎn)到它的左焦點(diǎn)的距離是或，故選：C例2．（2023·重慶沙坪壩·高二重慶八中?？计谥校┤羟€C上存在點(diǎn)M，使M到平面內(nèi)兩點(diǎn)距離之差的絕對(duì)值為8，則稱曲線C為“好曲線”．以下曲線不是“好曲線”的是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由題意知：M平面內(nèi)兩點(diǎn)，距離之差的絕對(duì)值為8，由雙曲線定義知：M的軌跡以為焦點(diǎn)的雙曲線且，即軌跡方程為：，可知：“好曲線”一定與有交點(diǎn)，結(jié)合各選項(xiàng)方程的曲線知：

所以不是“好曲線”的是.故選：B.例3．（2023·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·高二海拉爾第一中學(xué)?？计谀┰O(shè)橢圓的離心率為，焦點(diǎn)在軸上且長(zhǎng)軸長(zhǎng)為26，若曲線上的點(diǎn)到橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)的距離的差的絕對(duì)值等于8，則曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】在橢圓中，由題知，解得，所以橢圓的焦點(diǎn)為，，因?yàn)榍€上的點(diǎn)到，的距離的差的絕對(duì)值等于8，且，所以曲線是以，為焦點(diǎn)，實(shí)軸長(zhǎng)為8的雙曲線，所以曲線的虛半軸長(zhǎng)為，故的標(biāo)準(zhǔn)方程為：.故選：A.例4．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）如圖所示，B地在A地的正東方向4km處，C地在B地的北偏東30°方向2km處，河流的沿岸PQ（曲線）上任意一點(diǎn)到A的距離比到B的距離遠(yuǎn)2km．現(xiàn)要在曲線PQ上選一處M建一座碼頭，向B，C兩地轉(zhuǎn)運(yùn)貨物．經(jīng)測(cè)算，從M到B，C兩地修建公路的費(fèi)用都是a萬(wàn)元/km，求修建這兩條公路的最低總費(fèi)用．【解析】如圖所示，以AB的中點(diǎn)O為原點(diǎn)，AB所在的直線為x軸，建立平面直坐標(biāo)系xOy，則，，．連接AM，AC．因?yàn)椋渣c(diǎn)M的軌跡是雙曲線的右支．因?yàn)?，?dāng)M，A，C三點(diǎn)共線時(shí)等號(hào)成立，又總費(fèi)用為萬(wàn)元，所以，所以修建這兩條公路的最低總費(fèi)用為萬(wàn)元．例5．（2023·四川成都·高二期末）已知雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為，且過(guò)點(diǎn)．（1）求雙曲線的虛軸長(zhǎng)；（2）求與雙曲線有相同漸近線，且過(guò)點(diǎn)的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．【解析】（1）由題意，易知，，且.在中，.由雙曲線的定義可知，，即.半焦距.又.故雙曲線的虛軸長(zhǎng)為.（2）由（1）知雙曲線的方程為.設(shè)與雙曲線有相同漸近線的雙曲線的方程為.將點(diǎn)的坐標(biāo)代入上述方程，得.故所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.例6．（2023·陜西咸陽(yáng)·高二校考期中）求適合下列條件的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程:(1)一個(gè)焦點(diǎn)為，且離心率為；(2)經(jīng)過(guò)兩點(diǎn).【解析】（1）依題意可知，雙曲線的焦點(diǎn)在軸上，且，又，故其標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）設(shè)雙曲線方程為，把點(diǎn)與點(diǎn)代入，有，解得，故所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：.例7．（2023·河北滄州·高二校聯(lián)考期中）求滿足下列條件的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：(1)雙曲線C的漸近線方程為，焦點(diǎn)在y軸上，兩頂點(diǎn)之間的距離為4；(2)雙曲線E與雙曲線有共同的漸近線，并且經(jīng)過(guò)點(diǎn).【解析】（1）已知雙曲線C的焦點(diǎn)在y軸上，所以可設(shè)C的標(biāo)準(zhǔn)方程為，又C的漸近線方程為，所以，即，由C的兩頂點(diǎn)之間的距離為4，得，所以.故雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）因?yàn)镋與雙曲線有共同的漸近線，所以可設(shè)E為，因?yàn)镋過(guò)點(diǎn)，則，解得，故雙曲線E的標(biāo)準(zhǔn)方程為.考點(diǎn)2：雙曲線方程的充要條件例8．（2023·上?！じ叨虾煷蟾街行？计谥校啊笔恰胺匠瘫硎倦p曲線”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分又不必要條件【答案】B【解析】若，但是取，則不是雙曲線，故不是充分條件，若為雙曲線，則必須異號(hào)，所以，故是必要條件，所以“”是“方程表示雙曲線”的必要不充分條件.故選:.例9．（2023·寧夏銀川·高二銀川二中?？计谥校┤舴匠瘫硎倦p曲線，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】由題意，解得，故選：A.例10．（2023·江蘇常州·高二校聯(lián)考期中）方程表示實(shí)軸在軸上的雙曲線，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由方程表示實(shí)軸在軸上的雙曲線，則，解得，故選：A.例11．（2023·黑龍江哈爾濱·高二哈爾濱市第三十二中學(xué)校?？计谥校┤舴匠趟硎镜那€為，則下面四個(gè)命題中正確的是（

）A．若為橢圓，則B．若為雙曲線，則或C．曲線不可能是圓D．若為橢圓，且長(zhǎng)軸在軸上，則【答案】B【解析】A選項(xiàng)，若為橢圓，則，解得或，A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，若為雙曲線，則，解得或，B正確；C選項(xiàng)，當(dāng)，即時(shí)，方程為，為圓，C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，若為橢圓，且長(zhǎng)軸在軸上，則，解得，D錯(cuò)誤.故選：B例12．（2023·江蘇常州·高二統(tǒng)考期中）若方程表示焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為（

）A． B． C． D．且【答案】A【解析】因方程表示焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線，則有，解得，所以實(shí)數(shù)m的取值范圍為.故選：A考點(diǎn)3：雙曲線中焦點(diǎn)三角形的周長(zhǎng)與面積及其他問(wèn)題例13．（2023·河北石家莊·高二校聯(lián)考期中）設(shè)，分別是雙曲線的下、上焦點(diǎn)，P是該雙曲線上的一點(diǎn)，且，則的面積等于（）A． B． C． D．【答案】D【解析】由題意可知，在中，由余弦定理可知，所以的面積等于.故選：D例14．（2023·內(nèi)蒙古包頭·高二統(tǒng)考期末）、是雙曲線上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)，、是左、右焦點(diǎn)．若，則四邊形的面積是（

）A． B．3 C．4 D．6【答案】D【解析】由可知，，所以，因?yàn)?，是上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)，且，所以四邊形為矩形，設(shè)，，由雙曲線的定義可得，所以，又因?yàn)?，所以，所以，所以四邊形的面積．故選：D．例15．（2023·福建南平·高二?？计谥校┮阎p曲線的左右焦點(diǎn)分別為，若雙曲線上一點(diǎn)P使得，求的面積（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】先根據(jù)雙曲線方程得到，，，設(shè)，，可得，.由，在根據(jù)余弦定理可得:，即可求得答案.，所以，，，在雙曲線上，設(shè)，，①由，在根據(jù)余弦定理可得:故②由①②可得，直角的面積故選：C.例16．（2023·廣東中山·高二中山市華僑中學(xué)?？计谀殡p曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)P在雙曲線上，且，則的面積是（

）A．2 B．4 C．8 D．16【答案】B【解析】先求出雙曲線的a,b,c，再利用中三邊關(guān)系求出，再由直角三角形面積公式即得結(jié)果.由得標(biāo)準(zhǔn)方程為得，.故中，所以.故選：B.例17．（2023·江西鷹潭·高二貴溪市第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）設(shè)點(diǎn)在雙曲線上，若?為雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，且，則的周長(zhǎng)等于（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由題意知，由雙曲線定義知，又，的周長(zhǎng)為：.故選：A.例18．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，過(guò)點(diǎn)的直線與雙曲線的左支交于，兩點(diǎn)，線段的長(zhǎng)為5，若，那么的周長(zhǎng)是（

）A．16 B．18 C．21 D．26【答案】D【解析】∵，，∴，∴，∴的周長(zhǎng)為．故選：D考點(diǎn)4：雙曲線上兩點(diǎn)距離的最值問(wèn)題例19．（2023·貴州銅仁·高二貴州省銅仁第一中學(xué)?？计谀┮阎c(diǎn)，且動(dòng)點(diǎn)滿足，則的最小值是A． B． C． D．【答案】C【解析】設(shè)定點(diǎn)在點(diǎn)的左邊，因?yàn)?，根?jù)雙曲線的定義可知點(diǎn)軌跡是以，為焦點(diǎn)的雙曲線的右支，設(shè)，，當(dāng)在雙曲線的頂點(diǎn)時(shí)，有最小值，最小值為，故選C.例20．（2023·青海玉樹(shù)·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知，為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P是C的右支上的一點(diǎn)，則的最小值為（

）A．16 B．18 C． D．【答案】A【解析】因?yàn)椋瑸殡p曲線的左、右焦點(diǎn)，P是C的右支上的一點(diǎn)，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立；因?yàn)椋?，所以成立，的最小值?6.故選：A.例21．（2023·河南鄭州·統(tǒng)考一模）已知是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，為雙曲線左支上一點(diǎn)，若的最小值為，則該雙曲線的離心率的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由雙曲線定義可得：|PF2|-|PF1|=2a，|PF2|=2a+|PF1|，==+4a+|PF1|≥8a，當(dāng)且僅當(dāng)=|PF1|，即|PF1|=2a時(shí)取得等號(hào).此時(shí)由雙曲線的幾何性質(zhì)可得，，即可，又雙曲線的離心率，∴.故選:C.例22．（2023·廣東韶關(guān)·高二統(tǒng)考期末）已知點(diǎn)，是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P是雙曲線C右支上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)向的角平分線作垂線，垂足為點(diǎn)Q，則點(diǎn)和點(diǎn)Q距離的最大值為（

）A．2 B． C．3 D．4【答案】C【解析】如圖所示，延長(zhǎng)，交于點(diǎn)T，則因?yàn)槠椒?，，所以，，因?yàn)镻在雙曲線上，所以，所以，連接，則，因?yàn)椋?，?dāng)三點(diǎn)共線時(shí)取等號(hào)，即點(diǎn)和點(diǎn)Q距離的最大值為3，故選：C考點(diǎn)5：雙曲線上兩線段的和差最值問(wèn)題例23．（2023·江蘇徐州·高二統(tǒng)考期中）已知等軸雙曲線的焦距為8，左、右焦點(diǎn)在軸上，中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，為雙曲線右支上一動(dòng)點(diǎn)，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因?yàn)榈容S雙曲線的左、右焦點(diǎn)在軸上，中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，所以可設(shè)雙曲線的方程為，又因?yàn)殡p曲線的焦距為8，所以，而，所以，故雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.由雙曲線的定義可知，，由題意可知，，，，所以,故的最大值為，當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線且點(diǎn)位于第一象限時(shí)取得最大值.故選：B

例24．（2023·四川內(nèi)江·高二威遠(yuǎn)中學(xué)校?？计谥校┮阎狥是雙曲線C：的右焦點(diǎn)，P是C的左支上一點(diǎn)，，則的最小值為（

）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】B【解析】由雙曲線方程可知，，，故右焦點(diǎn)，左焦點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)在雙曲線左支上運(yùn)動(dòng)時(shí)，由雙曲線定義知，所以，從而，又為定值，所以，此時(shí)點(diǎn)在線段與雙曲線的交點(diǎn)處（三點(diǎn)共線距離最短），故選：B.例25．（2023·寧夏石嘴山·高二平羅中學(xué)校考階段練習(xí)）已知，雙曲線C：的左焦點(diǎn)為F，P是雙曲線C的右支上的動(dòng)點(diǎn)，則的最大值是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】若C為雙曲線右焦點(diǎn)C(3,0)，則，|AC|=5,而，僅當(dāng)共線且在之間時(shí)等號(hào)成立，所以，當(dāng)共線且在之間時(shí)等號(hào)成立.故選：D例26．（2023·福建福州·高二校聯(lián)考期末）已知，雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)是雙曲線左支上一點(diǎn)，則的最小值為（）A．5 B．7 C．9 D．11【答案】C【解析】由雙曲線，則，即，且，由題意，，當(dāng)且僅當(dāng)共線時(shí)，等號(hào)成立.故選：C.例27．（2023·廣東肇慶·統(tǒng)考二模）已知為雙曲線的左焦點(diǎn)，為其右支上一點(diǎn)，點(diǎn)，則周長(zhǎng)的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)為，由雙曲線的方程可得：，則，所以，且，所以，的周長(zhǎng)為，當(dāng)且僅當(dāng)M，P，A三點(diǎn)共線時(shí)取等號(hào)，則周長(zhǎng)的最小值為．故選：B．例28．（2023·吉林·高二統(tǒng)考期中）已知雙曲線的下焦點(diǎn)為，，是雙曲線上支上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由題意得雙曲線焦點(diǎn)在軸上，，，，所以下焦點(diǎn)，設(shè)上焦點(diǎn)為，則，根據(jù)雙曲線定義：，在上支，，,在中兩邊之差小于第三邊，，,

.故選：D.例29．（2023·安徽滁州·高二統(tǒng)考期末）已知雙曲線與雙曲線有相同的漸近線，過(guò)雙曲線右焦點(diǎn)的直線與雙曲線相交于，兩點(diǎn)，弦的中點(diǎn)為，點(diǎn)是雙曲線右支上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)是以點(diǎn)為圓心，為半徑的圓上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)是圓上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由雙曲線知漸近線方程為，又雙曲線與雙曲線有相同的漸近線，，，雙曲線方程為，設(shè)，，，，，又弦的中點(diǎn)為，，，設(shè)，，解得，，解得，所以雙曲線的方程為，由圓的方程可得，圓心為，半徑為，．當(dāng)且僅當(dāng)，，三點(diǎn)共線時(shí)取等號(hào)．故選：D．考點(diǎn)6：離心率的值及取值范圍例30．（2023·遼寧·高二校聯(lián)考期中）已知雙曲線，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，，為其左、右焦點(diǎn)，若左支上存在一點(diǎn)P，使得的中點(diǎn)M滿足，則雙曲線的離心率e的取值范圍是．【答案】【解析】因?yàn)榉謩e為的中點(diǎn)，所以.又雙曲線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的最小距離為，所以，解得，因此雙曲線的離心率e的取值范圍是．故答案為：．例31．（2023·江蘇南通·高三統(tǒng)考期中）已知雙曲線，過(guò)點(diǎn)作雙曲線的一條漸近線的垂線，垂足為，直線與雙曲線的左支交于點(diǎn)，且，則雙曲線的離心率為．【答案】【解析】不妨設(shè)雙曲線的漸近線為，則直線為，由得，，即，設(shè)點(diǎn)，則，因?yàn)?，所以，解得，即，由點(diǎn)在雙曲線上，代入得，整理得，則，故答案為：．例32．（2023·河北邢臺(tái)·高二校聯(lián)考期中）如圖，，分別是雙曲線C：的左，右焦點(diǎn)，過(guò)的直線l與C的左、右兩個(gè)分支分別交于點(diǎn)B，A，若，則C的離心率為．

【答案】/【解析】如圖，連接，由題意得，又，所以，．

在中，，在中，由，得，得．故答案為：.例33．（2023·浙江溫州·高二校聯(lián)考期中）雙曲線的光學(xué)性質(zhì)為：如圖①，從雙曲線的右焦點(diǎn)發(fā)出的光纖經(jīng)雙曲線鏡面反射，反射光線的反向延長(zhǎng)線經(jīng)過(guò)左焦點(diǎn)．我國(guó)首先研制成功的“雙曲線新聞燈”，就是利用了雙曲線的這個(gè)光學(xué)性質(zhì)．某“雙曲線燈”的軸截面是雙曲線一部分，如圖②，其方程為為其左右焦點(diǎn)，若從由焦點(diǎn)發(fā)出的光線經(jīng)雙曲線上的點(diǎn)A和點(diǎn)B反射后，滿足，則該雙曲線的離心率為．

【答案】【解析】

根據(jù)雙曲線的光學(xué)性質(zhì)可知與三點(diǎn)共線，故，不妨設(shè)，則，由雙曲線的定義可知，兩式相加可得，所以，由勾股定理可知，故.故答案為：.例34．（2023·北京順義·高二牛欄山一中校考期中）已知橢圓：與雙曲線：有共同的焦點(diǎn)，，設(shè)兩曲線的其中一個(gè)交點(diǎn)為P，且，則雙曲線的離心率為．【答案】【解析】由題知，橢圓長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為5，短半軸長(zhǎng)為3，所以，不妨設(shè)交點(diǎn)P在第一象限，記，由橢圓和雙曲線定義知，，解得，又因?yàn)?，所以，由余弦定理可得，解得，所?故答案為：

例35．（2023·江蘇常州·高二統(tǒng)考期中）雙曲線的右頂點(diǎn)為A，點(diǎn)M，N均在C上，且關(guān)于y軸對(duì)稱，若直線，的斜率之積為，則C的離心率為.【答案】【解析】雙曲線的右頂點(diǎn)為，則，又點(diǎn)，均在上，且關(guān)于軸對(duì)稱，設(shè)，，又直線，的斜率之積為，則，即，①又，即，②聯(lián)立①②可得：，即，即．故答案為：例36．（2023·江蘇常州·高二常州市第一中學(xué)?？计谥校┓謩e為雙曲線左右焦點(diǎn)，為雙曲線左支上的任意一點(diǎn)，若最小值為，則雙曲線的離心率的取值范圍是.【答案】【解析】是左、右焦點(diǎn)，為雙曲線左支上的任意一點(diǎn)，所以，代入，得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，即，又點(diǎn)是雙曲線左支上任意一點(diǎn)，所以，即：.故答案為：．例37．（2023·浙江溫州·高二樂(lè)清市知臨中學(xué)?？计谥校┮阎p曲線為雙曲線的右焦點(diǎn)，點(diǎn)在雙曲線的右支上，為關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)，且，若，則雙曲線的離心率為.【答案】【解析】如圖所示，作出左焦點(diǎn)，連接，令，則，由雙曲線定義可知，所以，因?yàn)殛P(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱且關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以四邊形為平行四邊形，又，所以，在直角中，，在直角中，，又，解得，所以，故答案為：例38．（2023·廣西玉林·高二統(tǒng)考期中）已知雙曲線左右焦點(diǎn)分別為，，過(guò)的直線在第一象限與雙曲線相交于點(diǎn)，與軸的負(fù)半軸交于點(diǎn)，且，，則雙曲線的離心率為.【答案】/【解析】因?yàn)榍?，可設(shè)，則，由雙曲線的定義，可得，所以，所以，，，分別在和中，可得，整理得：，所以雙曲線的離心率為.故答案為：.考點(diǎn)7：雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)問(wèn)題例39．（多選題）（2023·浙江金華·高二浙江師范大學(xué)附屬中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知雙曲線的方程：，下列說(shuō)法正確的是（

）A．實(shí)軸長(zhǎng)為6 B．焦距為 C．漸近線方程為 D．離心率為【答案】BC【解析】因?yàn)殡p曲線的方程：，則，所以，實(shí)軸長(zhǎng)為，故A錯(cuò)誤；焦距為，故B正確；漸近線方程為，即，故C正確；離心率為，故D錯(cuò)誤；故選：BC例40．（多選題）（2023·黑龍江大慶·高二鐵人中學(xué)?？计谥校┮阎p曲線，則（

）A．的焦點(diǎn)坐標(biāo)是B．的漸近線方程為C．的虛軸長(zhǎng)為D．的離心率為【答案】CD【解析】由雙曲線方程可知焦點(diǎn)在軸上，易知，所以可得，即的焦點(diǎn)坐標(biāo)是，因此A錯(cuò)誤；由漸近線方程可得，的漸近線方程為，可得B錯(cuò)誤；顯然的虛軸長(zhǎng)為，即C正確；利用離心率公式可得的離心率為，可得D正確.故選：CD例41．（多選題）（2023·江蘇南京·高二南京大學(xué)附屬中學(xué)?？计谀┰谄矫嬷苯亲鴺?biāo)系xOy中，已知雙曲線C：，則（

）A．C的離心率為2 B．C的漸近線方程為C．C的實(shí)軸長(zhǎng)為2 D．C的右焦點(diǎn)到漸近線的距離為【答案】ABD【解析】由雙曲線C：可得，所以，故離心率為長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，故A正確，C錯(cuò)誤，漸近線方程為，故B正確，右焦點(diǎn)為，到漸近線的距離為，故D正確，故選：ABD例42．（多選題）（2023·河北滄州·高二校聯(lián)考期中）已知分別是雙曲線的上、下焦點(diǎn)，以線段為直徑的圓M與雙曲線C的漸近線的一個(gè)交點(diǎn)為P，則（

）A．圓M的方程為 B．雙曲線C的離心率為C．雙曲線C的漸近線方程為 D．的面積為【答案】ABD【解析】由雙曲線方程，得實(shí)半軸長(zhǎng)，虛半軸長(zhǎng)，半焦距，圓M的圓心為，半徑為，方程為，A正確；雙曲線C的離心率，B正確；雙曲線的漸近線方程為，C錯(cuò)誤；由，解得，則點(diǎn)橫坐標(biāo)滿足，而，于是，D正確.

故選：ABD例43．（多選題）（2023·江蘇宿遷·高二泗陽(yáng)縣實(shí)驗(yàn)高級(jí)中學(xué)?？奸_(kāi)學(xué)考試）已知雙曲線C：，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．雙曲線C的實(shí)軸長(zhǎng)為2B．若雙曲線C的兩條漸近線相互垂直，則C．若是雙曲線C的一個(gè)焦點(diǎn)，則D．若，則雙曲線C上的點(diǎn)到焦點(diǎn)距離最小值為2【答案】BC【解析】由雙曲線C：且，則實(shí)軸長(zhǎng)為，A錯(cuò)；由漸近線為，若相互垂直，則，B對(duì)；由為焦點(diǎn)，則，則，C對(duì)；若，則雙曲線C：，故雙曲線C上的點(diǎn)到焦點(diǎn)距離最小值為，D錯(cuò).故選：BC例44．（多選題）（2023·河南焦作·高二統(tǒng)考期中）已知雙曲線，當(dāng)變動(dòng)時(shí)，下列結(jié)論正確的是（

）A．的焦點(diǎn)恒在軸上B．的焦距恒大于4C．的離心率恒大于2D．的一個(gè)焦點(diǎn)到其中一條漸近線的距離不變【答案】ABD【解析】由雙曲線，焦點(diǎn)在x軸上，A對(duì)；，故焦距，B對(duì)；離心率，C錯(cuò)；由漸近線為，即，焦點(diǎn)坐標(biāo)為，所以一個(gè)焦點(diǎn)到其中一條漸近線的距離，D對(duì).故選：ABD考點(diǎn)8：利用第一定義求解軌跡例45．（2023·四川綿陽(yáng)·高二四川省江油市第一中學(xué)?？计谥校┮阎?jiǎng)訄A與圓，圓中的一個(gè)外切?一個(gè)內(nèi)切，求動(dòng)圓圓心的軌跡方程為【答案】【解析】設(shè)動(dòng)圓圓心的坐標(biāo)為，半徑為，由圓，可得圓心，半徑，圓，可得圓心，半徑．根據(jù)題意，可得或，所以或，可得又因?yàn)?，可得，根?jù)雙曲線的定義，可得點(diǎn)的軌跡為以為焦點(diǎn)的雙曲線，且，所以，則，所以所求曲線的軌跡方程為.故答案為：.例46．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知圓，圓，圓與圓、圓外切，則圓心的軌跡方程為．【答案】【解析】設(shè)圓的半徑為，圓的圓心，半徑，圓的圓心，半徑，因?yàn)閳A與圓、圓外切，則，所以，所以點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)的雙曲線的右支，又，則，所以其軌跡方程為．故答案為：．例47．（2023·廣東江門(mén)·高二臺(tái)山市第一中學(xué)?？计谀﹦?dòng)點(diǎn)與點(diǎn)與點(diǎn)滿足，則點(diǎn)的軌跡方程為．【答案】【解析】由知，點(diǎn)的軌跡是以、為焦點(diǎn)的雙曲線下支，得，，，，故動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程是．故答案為：．例48．（2023·福建三明·高二統(tǒng)考期末）已知圓，圓，若動(dòng)圓E與，都外切，則圓心E的軌跡方程為.【答案】【解析】圓的圓心為，半徑；圓的圓心為，半徑，由于動(dòng)圓E與圓，都外切，設(shè)動(dòng)圓E的半徑為，則，所以，所以點(diǎn)的軌跡是以，為焦點(diǎn)的雙曲線的右支，設(shè)方程為，則，所以E的軌跡方程為.故答案為：.例49．（2023·福建三明·高二校聯(lián)考期中）雙曲線：實(shí)軸的兩個(gè)頂點(diǎn)為，，點(diǎn)為雙曲線上除，外的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若，，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程是.【答案】且【解析】設(shè),由雙曲線方程知，實(shí)軸的兩個(gè)頂點(diǎn)，，∵QA⊥PA，∴，可得，同理根據(jù)QB⊥PB，可得，兩式相乘可得∵點(diǎn)為雙曲線M上除A、B外的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，，整理得，，化簡(jiǎn)可得，由點(diǎn)不與重合，知.動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程是且.故答案為：且.例50．（2023·四川樂(lè)山·高二統(tǒng)考期末）從雙曲線上一點(diǎn)作軸的垂線，垂足為，則線段中點(diǎn)的軌跡方程為.【答案】.【解析】由題意，設(shè)，則，則，即，因?yàn)椋瑒t，即的軌跡方程為.例51．（2023·安徽淮北·高二淮北一中校考期中）已知，，在中，，則頂點(diǎn)的軌跡方程為.【答案】，【解析】先設(shè)頂點(diǎn)，由正弦定理，得到，推出，根據(jù)雙曲線的定義，即可得出結(jié)果.因?yàn)?，，所以，設(shè)頂點(diǎn)，由，根據(jù)正弦定理可得，即，由雙曲線的定義，可得點(diǎn)的軌跡是以，為焦點(diǎn)，以為長(zhǎng)軸長(zhǎng)的雙曲線的右支，且點(diǎn)不在軸上，所以，，則，因此頂點(diǎn)的軌跡方程為，.故答案為：，.例52．（2023·上海寶山·高二上海交大附中校考期中）已知，，動(dòng)圓與，均外切，則動(dòng)圓圓心的軌跡方程為.【答案】【解析】求出兩個(gè)圓的圓心與半徑，通過(guò)動(dòng)圓與已知圓的位置關(guān)系列出方程求解即可．已知圓和圓，得圓，圓，設(shè)動(dòng)圓圓心，因?yàn)榕c圓和圓都相切，所以，即，所以點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)的雙曲線的上支，其中，所以點(diǎn)的軌跡方程為.故答案為：.考點(diǎn)9：雙曲線的漸近線例53．（2023·遼寧撫順·高二校聯(lián)考期中）已知A，B為雙曲線E：（，）的左、右頂點(diǎn)，M為E上一點(diǎn)，若點(diǎn)M到x軸的距離為2，，，則E的漸近線方程為．【答案】【解析】設(shè)，則，即，可得，則，即，所以E的漸近線方程為．故答案為：.例54．（2023·浙江寧波·高二校聯(lián)考期中）已知雙曲線的方程是，則該雙曲線的漸近線方程為.【答案】【解析】由，令，即雙曲線的漸近線方程為.故答案為：.例55．（2023·浙江·高二校聯(lián)考期中）與雙曲線有公共漸近線，且過(guò)點(diǎn)的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.【答案】【解析】設(shè)所求的雙曲線方程為，因?yàn)殡p曲線過(guò)點(diǎn)，所以，解得，所以，，化為標(biāo)準(zhǔn)方程得，即.故答案為：.例56．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知某雙曲線的漸近線方程為，且該雙曲線過(guò)點(diǎn)，則該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為．【答案】【解析】因?yàn)殡p曲線的漸近線方程為，所以該雙曲線的方程可設(shè)為，將點(diǎn)代入雙曲線方程得，，所以：該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為．故答案為：.例57．（2023·江蘇鹽城·高二鹽城市大豐區(qū)新豐中學(xué)校聯(lián)考期中）雙曲線的右焦點(diǎn)為，點(diǎn)在的一條漸近線上，為坐標(biāo)原點(diǎn)，若，則的面積為.【答案】【解析】由雙曲線，則，漸近線方程為，所以，又，所以是以為底的等腰直角三角形，所以，所以，故答案為：.例58．（2023·黑龍江雞西·高二校考期中）若雙曲線的一條漸近線與直線平行，則雙曲線的右焦點(diǎn)到一條漸近線的距離是．【答案】2【解析】雙曲線的漸近線方程為，又因?yàn)殡p曲線的一條漸近線與直線平行，所以，則雙曲線的方程為，右焦點(diǎn)坐標(biāo)為，其中一條漸近線方程為，則雙曲線的右焦點(diǎn)到直線的距離是.故答案為：.例59．（2023·陜西商洛·高二?？计谀┤鐖D1，北京冬奧會(huì)火種臺(tái)以“承天載物”為設(shè)計(jì)理念，創(chuàng)意靈感來(lái)自中國(guó)傳統(tǒng)青銅禮器一尊的曲線造型，基座沉穩(wěn)，象征“地載萬(wàn)物”，頂部舒展開(kāi)闊，寓意迎接純潔的奧林匹克火種．如圖2，一種尊的外形近似為某雙曲線的一部分繞著虛軸旋轉(zhuǎn)所成的曲面，尊高63cm，上口直徑為40cm，底部直徑為26cm，最小直徑為24cm，則該雙曲線的漸近線與實(shí)軸所成銳角的正切值為．

【答案】【解析】如圖所示，設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，因?yàn)樽钚≈睆綖椋傻?，即，又因?yàn)樽鸶?，上口直徑為，底部直徑為，設(shè)點(diǎn)，所以且，解得，即，可得雙曲線的漸近線為，所以漸近線與實(shí)軸所成銳角的正切值為.故答案為：.考點(diǎn)10：共焦點(diǎn)的橢圓與雙曲線例60．（2023·河南洛陽(yáng)·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知F是橢圓：（）的右焦點(diǎn)，A為橢圓的下頂點(diǎn)，雙曲線：（，）與橢圓共焦點(diǎn)，若直線與雙曲線的一條漸近線平行，，的離心率分別為，，則的最小值為．【答案】【解析】設(shè)的半焦距為c（），則，又，所以，又直線與的一條漸近線平行，所以，所以，所以，所以，所以，又，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)等號(hào)成立，即的最小值為．故答案為：例61．（2023·湖北·高二華中師大一附中校考期中）已知橢圓與雙曲線共焦點(diǎn)，F(xiàn)1、F2分別為左、右焦點(diǎn)，曲線與在第一象限交點(diǎn)為，且離心率之積為1.若，則該雙曲線的離心率為.【答案】【解析】設(shè)焦距為2c在三角形PF1F2中，根據(jù)正弦定理可得因?yàn)椋肟傻茫栽跈E圓中，在雙曲線中，所以即所以因?yàn)闄E圓與雙曲線的離心率乘積為1即，即所以化簡(jiǎn)得，等號(hào)兩邊同時(shí)除以得，因?yàn)榧礊殡p曲線離心率所以若雙曲線離心率為e，則上式可化為由一元二次方程求根公式可求得因?yàn)殡p曲線中所以例62．（2023·浙江·高二杭州市蕭山區(qū)第五高級(jí)中學(xué)校聯(lián)考期中）已知橢圓：和雙曲線：的焦點(diǎn)相同，，分別為左、右焦點(diǎn)，M是橢圓和雙曲線在第一象限的交點(diǎn).已知，雙曲線的離心率為2，則橢圓的離心率為.【答案】/【解析】設(shè)半焦距為，由橢圓的定義和雙曲線的定義可得，故，由余弦定理可得，整理得到，所以，因?yàn)殡p曲線的離心率為2，故，故，所以，故，故答案為：.例63．（2023·浙江·高二校聯(lián)考期中）已知橢圓和雙曲線的焦點(diǎn)相同，分別為左?右焦點(diǎn)，是橢圓和雙曲線在第一象限的交點(diǎn)，若軸，則橢圓和雙曲線的離心率之積為.【答案】【解析】設(shè)，由題可知，，因?yàn)檩S，所以，所以橢圓和雙曲線的離心率之積為.故答案為：1.例64．（2023·山東青島·高二?？计谥校┪覀儼呀裹c(diǎn)相同且離心率互為倒數(shù)的橢圓和雙曲線稱為一對(duì)“相關(guān)曲線”．已知，是一對(duì)相關(guān)曲線的焦點(diǎn)，，分別是橢圓和雙曲線的離心率，若P為它們?cè)诘谝幌笙薜慕稽c(diǎn)，，則雙曲線的離心率．【答案】．【解析】設(shè)，，橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為a，雙曲線的實(shí)半軸長(zhǎng)為m，可得，，可得，，由余弦定理可得，即有，由離心率公式可得，，即有，由，解得．故答案為：例65．（2023·浙江寧波·高二統(tǒng)考期末）已知橢圓和雙曲線有相同焦點(diǎn)，且它們的離心率分別為，設(shè)點(diǎn)是與的一個(gè)公共點(diǎn)，若，則的最小值為.【答案】【解析】設(shè)橢圓方程是,雙曲線方程是,由橢圓和雙曲線定義可得:,求出,利用余弦定理,化簡(jiǎn)的表達(dá)式,利用柯西不等式,即可求得答案.設(shè)橢圓方程是,雙曲線方程是由橢圓和雙曲線定義可得:即可求得:在中由余弦定理可得:即利用柯西不等式即即可得,故,當(dāng)且僅當(dāng)取等號(hào).的最小值為故答案為:.考點(diǎn)11：直線與雙曲線的位置關(guān)系例66．（2023·上海徐匯·高二上海中學(xué)?？计谀┮阎本€與雙曲線，則為何值時(shí)，直線與雙曲線有一個(gè)公共點(diǎn)？【解析】由得，因?yàn)橹本€與雙曲線有一個(gè)公共點(diǎn)，所以或，解得或．例67．（2023·上海浦東新·高三上海市建平中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知雙曲線的方程為，離心率為2，右頂點(diǎn)為.(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過(guò)的直線與雙曲線的一支交于、兩點(diǎn)，求的取值范圍.【解析】（1）由離心率又,所以，又右頂點(diǎn)為，所以，所以，故雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）設(shè)直線的方程為，設(shè)，則由得，因?yàn)橹本€與雙曲線一支交于、兩點(diǎn)，所以，解得，因此，因?yàn)椋?，所以，所以，?例68．（2023·黑龍江大興安嶺地·高二大興安嶺實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？计谥校┮阎p曲線的漸近線為，焦點(diǎn)到漸近線的距離是．(1)求雙曲線的方程；(2)已知直線與雙曲線交于不同的兩點(diǎn)A、B，且線段的中點(diǎn)在圓上，求實(shí)數(shù)的值．【解析】（1）由題知，，設(shè)右焦點(diǎn)，取一條漸近線，則焦點(diǎn)到漸近線的距離，，從而，所以雙曲線的方程為.（2）設(shè)，，由，得，則，，所以，則中點(diǎn)坐標(biāo)為，代入圓，得，所以．例69．（2023·四川瀘州·高二校考期中）已知雙曲線（，）中，離心率，實(shí)軸長(zhǎng)為4(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)已知直線：與雙曲線交于，兩點(diǎn)，且在雙曲線存在點(diǎn)，使得，求的值.【解析】（1）因?yàn)殡p曲線的離心率，實(shí)軸長(zhǎng)為4，，解得，因?yàn)樗噪p曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（2）將直線與曲線聯(lián)立得，設(shè)，，則，，設(shè)，由得，即，又因?yàn)?，解得，所以?例70．（2023·重慶九龍坡·高二重慶市育才中學(xué)?？计谥校┮阎c(diǎn)，動(dòng)點(diǎn).直線MA，MB的斜率之積為.(1)求點(diǎn)的軌跡方程:(2)直線與點(diǎn)的軌跡的交點(diǎn)為C，求的面積（為坐標(biāo)原點(diǎn)）.【解析】（1），化簡(jiǎn)得，所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程是．（2）聯(lián)立直線與曲線的方程，消元得，解得或，由于，所以這組解舍去，故，由于在軸上，所以例71．（2023·重慶·高二統(tǒng)考期末）雙曲線的離心率為，虛軸的長(zhǎng)為4.(1)求的值及雙曲線的漸近線方程；(2)直線與雙曲線相交于互異兩點(diǎn)，求的取值范圍.【解析】（1）因?yàn)殡p曲線的離心率為，所以有，而該雙曲線的虛軸的長(zhǎng)為4，所以，所以，因此雙曲線的浙近線方程為：或；（2）由（1）可知：，，所以該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：，與直線聯(lián)立得：，因?yàn)橹本€與雙曲線相交于互異兩點(diǎn)，所以有：且，所以的取值范圍為：.例72．（2023·寧夏銀川·高二六盤(pán)山高級(jí)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為，一個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)為-.（1）求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程;（2）已知斜率為的直線與雙曲線交于，兩點(diǎn)，且，求直線的方程.【解析】（1）由得，又，則，故雙曲線的方程為．（2）設(shè)直線的方程為，代入雙曲線方程可得，設(shè)，，，，則，．因?yàn)?，所以，解得，所以直線的方程為．例73．（2023·陜西西安·高二校考期末）已知雙曲線及直線．（1）若與有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．（2）若與交于，兩點(diǎn)，且線段中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，求線段的長(zhǎng)．【解析】（1）聯(lián)立y=2可得．∵與有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，．且，且．（2）設(shè)，．由（1）可知，．又中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為．，，或．又由（1）可知，為與有兩個(gè)不同交點(diǎn)時(shí)，．．．【提升練習(xí)】一、單選題1．（2023·天津·高二天津市第一百中學(xué)校聯(lián)考期中）與橢圓C：共焦點(diǎn)且過(guò)點(diǎn)的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因?yàn)闄E圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，即，所以，記，所以，所以，所以，所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，故選：C.2．（2023·四川成都·高三統(tǒng)考期中）已知雙曲線的左?右焦點(diǎn)分別為，過(guò)斜率為的直線與的右支交于點(diǎn)，若線段與軸的交點(diǎn)恰為的中點(diǎn)，則的離心率為（

）A． B． C．2 D．3【答案】D【解析】由于線段與軸的交點(diǎn)恰為的中點(diǎn)，且是的中點(diǎn)，所以，由解得，則，而，所以，，兩邊除以得，解得或（舍去）.故選：D3．（2023·浙江·高二校聯(lián)考期中）過(guò)雙曲線的右焦點(diǎn)作其漸近線的垂線，垂足為點(diǎn)，交雙曲線的左支于點(diǎn)，若，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C．3 D．5【答案】B【解析】將點(diǎn)與雙曲線的左焦點(diǎn)連接，從而得到，如下圖所示，因?yàn)榈狡湟粭l漸近線：的距離：，因?yàn)椋?，所以得：點(diǎn)為中點(diǎn)，且，，又因?yàn)樵c(diǎn)為的中點(diǎn)，所以得：為的中位線，所以得：，由雙曲線的定義得：，化簡(jiǎn)得：，因?yàn)殡p曲線的離心率：，所以得：，故B項(xiàng)正確.故選：B.4．（2023·河北·高二校聯(lián)考期中）雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，直線過(guò)且與雙曲線右支交于點(diǎn)，原點(diǎn)到直線的距離為，且，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C．2 D．【答案】D【解析】如圖：由題意得：，故，由雙曲線定義得，所以，在中，由余弦定理得:，化簡(jiǎn)得:，又，所以，方程兩邊同時(shí)除以得:，解得:，所以離心率.故選：D.5．（2023·浙江·高二校聯(lián)考期中）已知雙曲線的離心率為2，右焦點(diǎn)為，動(dòng)點(diǎn)在雙曲線右支上，點(diǎn)，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因?yàn)殡p曲線的離心率為2，所以，解得，則左焦點(diǎn)，由雙曲線的定義得，因?yàn)椋串?dāng)，，三點(diǎn)共線時(shí)最大，所以.故選：B.6．（2023·江蘇鹽城·高二江蘇省響水中學(xué)?？计谥校┮阎獙?shí)數(shù)，滿足，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】當(dāng)時(shí)，，雙曲線第一象限部分，當(dāng)時(shí)，，橢圓第四象限部分，當(dāng)時(shí)，，雙曲線第三象限部分，當(dāng)時(shí)，，不存在；其圖像如下：又的幾何意義是曲線上的點(diǎn)到直線的距離的2倍，兩條雙曲線的漸近線相同且與平行，此時(shí)兩平行線距離為，由圖可知直線與橢圓在第四象限的部分相切時(shí)，距離取得最大，設(shè)切線為，聯(lián)立，可得，，解得，（舍去），所以最大值為，則的取值范圍是.故選：D.7．（2023·河北邯鄲·高二校聯(lián)考期中）已知直線與雙曲線無(wú)公共交點(diǎn)，則C的離心率的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】雙曲線的一條漸近線方程為，因?yàn)橹本€與C無(wú)公共點(diǎn)，所以，即，所以，又，所以C的離心率的取值范圍為.故選：D.8．（2023·江蘇徐州·高二統(tǒng)考期中）設(shè)，分別為橢圓與雙曲線的公共焦點(diǎn)，它們?cè)诘谝幌笙迌?nèi)交于點(diǎn)，，若橢圓的離心率，則雙曲線的離心率的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】根據(jù)橢圓以及雙曲線的定義可得，，所以，.在中，由余弦定理可得，整理可得，，兩邊同時(shí)除以可得，.又，，所以有，所以，.因?yàn)?，所以，所以，所以，，，所以?兩邊同時(shí)開(kāi)方可得，.根據(jù)不等式的性質(zhì)，兩邊同時(shí)取倒數(shù)可得，.故選：D.二、多選題9．（2023·江蘇常州·高二常州市第一中學(xué)校考期中）已知曲線，以下說(shuō)法正確的是（

）A．若，則是橢圓，其焦點(diǎn)在軸上B．若，則是兩條直線C．若，則是雙曲線，其漸近線方程為D．若，則是圓，其半徑為【答案】BC【解析】對(duì)于A，若，則化為，則，則是橢圓，其焦點(diǎn)在x軸上，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，若，即為，即，即是兩條直線，B正確；對(duì)于C，若，不妨設(shè)，則化為，則表示焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線，，故其漸近線方程為；同理當(dāng)，則化為，則表示焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線，，故其漸近線方程為；綜合知是雙曲線，其漸近線方程為，C正確；對(duì)于D，若，則即為，則是圓，其半徑為或，D錯(cuò)誤，故選：BC10．（2023·黑龍江哈爾濱·高二哈爾濱市第四中學(xué)校校考階段練習(xí)）已知，同時(shí)為橢圓：與雙曲線：的左右焦點(diǎn)，設(shè)橢圓與雙曲線在第一象限內(nèi)交于點(diǎn)，橢圓與雙曲線的離心率分別為，，為坐標(biāo)原點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．B．若，則C．若，則D．若，則為定值【答案】BCD【解析】對(duì)于A項(xiàng)，由已知橢圓與雙曲線共焦點(diǎn)可得，，故A項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于B項(xiàng)，根據(jù)橢圓以及雙曲線的定義可得，所以，.在中，由余弦定理可得，即，整理可得，.所以有，即，故B項(xiàng)正確；對(duì)于C項(xiàng)，若，則為直角三角形，所以，，即，整理可得，，兩邊同時(shí)除以可得，，即，故C項(xiàng)正確；對(duì)于D項(xiàng)，由已知可得,,故D項(xiàng)正確；故選：BCD.11．（2023·重慶沙坪壩·高二重慶南開(kāi)中學(xué)?？计谥校┮阎p曲線：的左、右焦點(diǎn)分別為、，過(guò)向的一條漸近線作垂線，垂足為，交另一條漸近線于，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．為線段的中點(diǎn) B．點(diǎn)在直線上C． D．【答案】BCD【解析】因?yàn)殡p曲線：，所以，，，則，，根據(jù)雙曲線的對(duì)稱性，不妨取漸近線方程，選項(xiàng)A：由題意，故A錯(cuò)誤；選項(xiàng)B：直線的斜率為，直線方程為，聯(lián)立得，所以正確；選項(xiàng)C：由，，，則，，故，故C正確；選項(xiàng)D：，故D正確，故選：BCD12．（2023·廣西玉林·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知橢圓與雙曲線，點(diǎn)，，是它們的左、右焦點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．過(guò)原點(diǎn)與點(diǎn)的直線與雙曲線的左、右兩支各有一個(gè)交點(diǎn)B．若在橢圓上，的最大值為5C．若在橢圓上，的最大值為D．若在雙曲線上，，則【答案】BCD【解析】對(duì)于A,過(guò)原點(diǎn)與點(diǎn)的直線方程為，將其代入雙曲線方程中得，此方程無(wú)解，故直線與雙曲線沒(méi)有交點(diǎn)，A錯(cuò)誤，對(duì)于B，在橢圓上，的最大值為，故B正確，對(duì)于C，,當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，且在的兩側(cè)時(shí)，等號(hào)成立，故C正確，對(duì)于D，由可得，由雙曲線的定義可得，由余弦定理可得,故，所以，故，故D正確，故選：BCD三、填空題13．（2023·上海浦東新·高二華師大二附中?？计谥校┤鐖D，從雙曲線的左焦點(diǎn)F引圓的切線FP交雙曲線右支于點(diǎn)P，T為切點(diǎn)，M為線段FP的中點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則．【答案】【解析】由題意得，，故，，因?yàn)門(mén)為切點(diǎn)，由勾股定理得，由雙曲線定義可知，因?yàn)镸為線段FP的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，所以，其中，故.故答案為：14．（2023·河北保定·高二校聯(lián)考期中）已知雙曲線的漸近線與圓相切，則雙曲線的離心率為.【答案】【解析】圓即，圓心為，半徑，雙曲線的漸近線方程為，依題意，即，又，所以，所以離心率.故答案為：15．（2023·重慶·高二重慶一中?？计谥校┪覀儼研稳绲暮瘮?shù)稱為類雙勾函數(shù)，這類函數(shù)有兩條漸近線和，它的函數(shù)圖像是對(duì)稱軸不在坐標(biāo)軸上雙曲線．現(xiàn)將函數(shù)的圖像繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定的角度得到焦點(diǎn)位于x軸上的雙曲線C，則該雙曲線C的離心率是．【答案】【解析】由題意可知，以y軸和為漸近線，其夾角為，故旋轉(zhuǎn)后雙曲線的一條漸近線傾斜角為，.故雙曲線離心率．故答案為:.16．（2023·江蘇鹽城·高二鹽城市大豐區(qū)新豐中學(xué)校聯(lián)考期中）如圖，過(guò)雙曲線的左焦點(diǎn)引圓的切線，切點(diǎn)為，延長(zhǎng)交雙曲線右支于點(diǎn)，為線段的中點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，若，則雙曲線的離心率為