2023年高考數(shù)學(xué)試卷及答案(新課標(biāo)全國(guó)Ⅱ卷)

2023年新課標(biāo)全國(guó)II卷數(shù)學(xué)真題

一、單選題

1.在復(fù)平面內(nèi)，(1+犯(3-i)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于().

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

答案：A

解析：(l+3i)(3-i)=3-i+9i-3i2=6+8i,所以該復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為(6,8),位于第一象限.

2.設(shè)集合A={0,—α},B={l,a-2,2α—2},若AgB,貝∣Jα=().

A.2B.1C.ID.-1

答案：B

解析：觀察發(fā)現(xiàn)集合A中有元素0,故只需考慮B中的哪個(gè)元素是0。

因?yàn)镺∈A,A?B.所以0∈8,故α-2=0或加一2=0,解得：α=2或1,

注意OwB不能保證Aq8,故還需代回集合檢驗(yàn)，

若a=2,則4={0,-2},B={1,0,2),不滿足A13,不合題意；

若α=l,則A={0,-1},B={l,-l,0},滿足A=8.故選B.

3.某學(xué)校為了解學(xué)生參加體育運(yùn)動(dòng)的情況，用比例分配的分層隨機(jī)抽樣方法作抽樣調(diào)查，擬從初中部和高中部?jī)?/p>

層共抽取60名學(xué)生，已知該校初中部和高中部分別有400名和200名學(xué)生，則不同的抽樣結(jié)果共有().

A?C<?C短種B.C羔?C品種

C?C%C北種D?Cy?C2種

答案：D

解析：應(yīng)先找到兩層中各抽多少人，因?yàn)槭潜壤峙涞姆謱映槿。矢鲗拥某槿÷识嫉扔诳傮w的抽取率，

設(shè)初中部抽取X人，則上=———，解得：x=4O,所以初中部抽40人，高中部抽20人，

400400+200

故不同的抽樣結(jié)果共有C北?c禽種.

O-I

4.若/(x)=(x+a)lnr∣^為偶函數(shù)，則〃=().

A.-1B.0C.?D.1

答案：B

解法1：偶函數(shù)可抓住定義/(\)/")來(lái)建立方程求參，

一?Y-1?γ—1

因?yàn)閒(x)為偶函數(shù)，所以/(一X)=/0)，即(-x+4)In—:=(X+α)Inr-----①，

-2x+l2x÷l

?.—2x—12x+12x—1J2x—1小-公用/.2x-12x-l

lfz?jIn---------=In--------=ln(--------)=-ln-------，代入λ①得：(-x+6zx)z(-ln--------)=(κ+α)ln--------,

-2x+12x-l2x+l2x÷l2x+l2x+l

化簡(jiǎn)得：X-a=X+a,所以q=O?

?>

5.已知橢圓C:三+V=I的左、右焦點(diǎn)分別為F-6，直線y=x+帆與C交于A,B兩點(diǎn)，若4-4B面積是

3

面積的2倍，則〃?=().

A.-B.變C.一變D.--

?333

答案：C

解析：如圖，觀察發(fā)現(xiàn)兩個(gè)三角形有公共的底邊A8,故只需分析高的關(guān)系，

s1∣AB∣?∣FJG∣

作耳GJ.AB于點(diǎn)G,∕V?LAB于點(diǎn)/,設(shè)AB與X軸交于點(diǎn)K,由題意，*1=^-------------=2,

S"Bl∣Aβ∣?∣^Z∣

所以叫=2,由圖可知MKGSAKK/,所以口=曾=2,故田K∣=2∣EtK∣,

?F'21??F2K??F2,?

又橢圓的半焦距C=Jr5=0,所以IK周=2c=2√∑,從而怩K∣=;忻用=與，

故IOKl=IO用-忻Kl=,所以K(jg,O),代入y=x+,"可得O=］，+"?,解得：，"=-］，.

6.已知函數(shù)"x)="e'-InX在區(qū)間(1,2)上單調(diào)遞增，則。的最小值為().

2

A./B.eC.e^'D.e^

答案：C

解析：/")的解析式較復(fù)雜，不易直接分析單調(diào)性，故求導(dǎo)，

由題意，f(x)=aex--,因?yàn)?(X)在(1,2)上/,所以/'(x)≥0在(1,2)上恒成立，即"e'-LNO①,

XX

觀察發(fā)現(xiàn)參數(shù)α容易全分離，故將其分離出來(lái)再看，不等式①等價(jià)于α≥-L,令g(x)=xe%l<x<2),

Xe

貝1Jg'(x)=(x+l)e'>0，所以g(x)在(1,2)上，/，又g⑴=e,g(2)=2e?,所以g(x)∈(e,2e?)，

故」一=「—€(」一)，因?yàn)棣痢?L在(1,2)上恒成立，所以α≥!=eτ,故。的最小值為e!

g(x)Xe2e-exexe

7.已知口為銳角，coSa=匕"，則SinW=（）.

42

?3-?-1÷?/?―3—5/5D.土正

8844

答案：D

2?,r-、.？al+χ∕5.2a3-√f5

斛71析：cosa=1l-2sιn—=--------=Snr-=---------,

2428

此式要開(kāi)根號(hào)，不妨上下同乘以2,將分母化為4',

所以41?4="2、'2=（'5：1）2,故Sinq=土坯二1,

2164224

又α為銳角，所以里€（0,工），故Sina=避二L

2424

8.記S“為等比數(shù)列｛α,,｝的前〃項(xiàng)和，若Si,=-5,S6=21S2,貝”$=().

A.120B.85C.-85D.-120

答案：C

解法1：觀察發(fā)現(xiàn)反，Sj,S,，黑的下標(biāo)都是2的整數(shù)倍，故可考慮片段和性質(zhì)，先考慮q是否為-1,

若｛4｝的公比q=T,則S,=咕二二=0,與題意不符，所以qw-l,

故&，Sf,S6-S4,Sg-Se成等比數(shù)列①，條件中有S,,=21邑，不妨由此設(shè)個(gè)未知數(shù)，

設(shè)邑="，則$6=21〃?，所以S4-S2=-5-m，56-54=21m+5,由①可得⑸-S?)?=S2&-S?),

所以(-5-m)2=WJ(21W+5),解得：加=一1或』，

4

若利=—1,則S2=-l,S4-S2=-A,S6-S4=-16,所以Sil-Sf=-64,故\=$6-64=21〃?-64=-85；

到此結(jié)合選項(xiàng)已可確定選C,另一種情況我也算一下，

若則。，而S4/+%+.-%+*+謂=(4+%)(∣+d)=S0+d),

所以Sit與邑同號(hào)，故邑>0,與題意不符；

綜上所述，"7只能取T,此時(shí)Sg=-85.

二、多選題

9.已知圓錐的頂點(diǎn)為P,底面圓心為O,AB為底面直徑，ZAPB=UOo,抬=2,點(diǎn)C在底面圓周上，且二面角

P-AC-O為45。，貝IJ().

A.該圓錐的體積為兀B.該圓錐的側(cè)面積為4石兀

C.AC=2√2D.Z?PAC的面積為6

答案：AC

解析：A項(xiàng)，因?yàn)镽4=2,ZAPB=I20。，所以NAPo=60",OP=APcosZAPO=I,

QA=AP?sinNApO=G，從而圓錐的體積V=gs∕z=gχ萬(wàn)*(百))χl=萬(wàn)，故A項(xiàng)正確；

B項(xiàng)，圓錐的側(cè)面枳S=Ir/=IXV5X2=2Λ∕^Γ,故B項(xiàng)錯(cuò)誤；

C項(xiàng)，要求AC的長(zhǎng)，條件中的二面角P-AC-O還沒(méi)用，觀察發(fā)現(xiàn)APAC和AOAC都是等腰三角形，故取底邊中

點(diǎn)即可構(gòu)造棱的垂線，作出二面角的平面角，

取AC中點(diǎn)Q,連接PQ,OQ,因?yàn)?4=OC,PA=PC,所以ACjLOQ,AClPQ,

故/PQO即為二面角P-AC-O的平面角，由題意，NPQO=45",所以O(shè)Q=OP=1,

故AQ=JOA2_OQ2=夜,所以4C=24Q=2√Σ,故C項(xiàng)正確；

21

D項(xiàng)，PQ=^OP+OQ=√2,所以SAwC=；AC-P0=gx2&*0=2,故D項(xiàng)錯(cuò)誤.

10.設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線y=-K(X-I)過(guò)拋物線C：V=2px(p>0)的焦點(diǎn)，且與C交于M,N兩點(diǎn)，/為C的

準(zhǔn)線，則().

Q

A.p=2B.IMNI=§

C.以MN為直徑的圓與/相切D.OMV為等腰三角形

答案：AC

解析：A項(xiàng)，在y=-0(X-I)中令y=0可得x=l,由題意，拋物線的焦點(diǎn)為P(1,0),所以5=1,

從而p=2,故A項(xiàng)正確;

B項(xiàng)，此處可以由直線MN的斜率求得NMFO,再代角版焦點(diǎn)弦公式IMNI=上L求MN,但觀察發(fā)現(xiàn)后續(xù)選項(xiàng)

sina

可能需要用M,N的坐標(biāo)，所以直接聯(lián)立直線與拋物線，用坐標(biāo)版焦點(diǎn)弦公式來(lái)算，

設(shè)M(X”y),N(X2,%)，將?y=-6(x-l)代入V=4x消去)，整理得：3X2-10X+3=0,解得：X=；或3,

對(duì)應(yīng)的y分別為W和-26,所以圖中M(3,-2揚(yáng)，N(g，￥),從而IMM=Xl+々+P=g+3+2=與，

故B項(xiàng)錯(cuò)誤；

C項(xiàng)，判斷直線與圓的位置關(guān)系，只需將圓心到直線的距離d和半徑比較，

三土三=9nMN的中點(diǎn)。到準(zhǔn)線Lx=T的距離d=S=』MN|,

從而以MN為直徑的圓與準(zhǔn)線/相切，故C項(xiàng)正確；

D項(xiàng)，M,N的坐標(biāo)都有了，算出IaW,?0N即可判斷，

∣OM∣=√32+(-2√3)2=√2i,IoM=Jq)2+(￥)2=半，

所以IOMI,IOM,IMM均不相等，故D項(xiàng)錯(cuò)誤.

11.若函數(shù)f(x)=αlnx+g+W(a≠O)既有極大值也有極小值，則().

A.bc>OB.ab>OC./+8αc>0D.ac<O

答案：BCD

5H。b2cax2-bx-2c八、

解析：由咸意，f(x)=-----7—γ----------?--------z(x>0)?

XXXX

函數(shù)/(X)既有極大值，又有極小值，所以r(x)在(0,÷∞)上有2個(gè)變號(hào)零點(diǎn)，

故方程加-笈-2c=0在(0,+∞)上有兩個(gè)不相等實(shí)根，

Δ=(-?)2-46Z(-2C)>0①(俁肝彳

所以IX聲2=-”>0②(保證兩根同號(hào))，由①可得6+8的>0,故C項(xiàng)正確;

a

X+x=->0③(保證兩根只能同正)

12a

由②可得￡<0，所以α,C異號(hào)，從而αc<O,故D項(xiàng)正確；

a

由③可得α,b同號(hào)，所以必>0,故B項(xiàng)正確；

因?yàn)椤?，C異號(hào)，a,6同號(hào)，所以4C異號(hào),從而歷<0，故A項(xiàng)錯(cuò)誤.

12.在信道內(nèi)傳輸O,1信號(hào)，信號(hào)的傳輸相互獨(dú)立.發(fā)送O時(shí)，收到1的概率為α(0<α<l),收到O的概率為1-a；

發(fā)送1時(shí)，收到O的概率為4(0<6<l),收到1的概率為I-Z?.考慮兩種傳輸方案：?jiǎn)未蝹鬏敽腿蝹鬏?單次傳

輸是指每個(gè)信號(hào)只發(fā)送1次，三次傳輸是指每個(gè)信號(hào)重復(fù)發(fā)送3次.收到的信號(hào)需要譯碼，譯碼規(guī)則如下：?jiǎn)未?/p>

傳輸時(shí)，收到的信號(hào)即為譯碼；三次傳輸時(shí)，收到的信號(hào)中出現(xiàn)次數(shù)多的即為譯碼(例如，若依次收到1,0,1,

則譯碼為1).

A.采用單次傳輸方案，若依次發(fā)送1,0,1,則依次收到1,0,1的概率為(l-α)(l-6)2

B.采用三次傳輸方案，若發(fā)送1,則依次收到1,0,I的概率為"1-夕尸

C.采用三次傳輸方案，若發(fā)送1,則譯碼為1的概率為以1-外+(1-￡)3

D.當(dāng)0<α<05時(shí)，若發(fā)送0,則采用三次傳輸方案譯碼為0的概率大于采用單次傳輸方案譯碼為0的概率

答案：ABD

解析：A項(xiàng)，由題意，若采用單次傳輸方案，則發(fā)送1收到1的概率為1-夕，發(fā)送0收到0的概率為l-α,

所以依次發(fā)送1,0,1,則依次收到1,0,1的概率為(I-4)(1-α)(l-6)=(1-a)(l-P)?,故A項(xiàng)正確；

B項(xiàng)，采用三次傳輸方案，若發(fā)送1,則需獨(dú)立重復(fù)發(fā)送3次1,依次收到1,0,1的概率為(1-夕)以1-夕)=夕(1-夕)2,

故B項(xiàng)正確；

C項(xiàng)，采用三次傳輸方案，由B項(xiàng)的分析過(guò)程可知若發(fā)送1,則收到1的個(gè)數(shù)X~8(3,1-0,

而譯碼為1需收2個(gè)1,或3個(gè)1,

所以譯碼為1的概率為P(X=2)+P(X=3)=C；(l-If/?+C；(l-1)3=3(1-β)2β+(1-/7)',故C項(xiàng)錯(cuò)誤；

D項(xiàng)，若采用單次傳輸方案，則發(fā)送0譯碼為0的概率為l-a：

若采用三次傳輸方案，則發(fā)送0等同于發(fā)3個(gè)0,收到0的個(gè)數(shù)丫~B(3,l-α),

且譯碼為0的概率為PiY=2)+P(Y=3)=C∣(1-a)2a+C；(I-ɑ)?=3(l-α)2α+(l-a)3,

要比較上述兩個(gè)概率的大小，可作差來(lái)看，

3(l-α)2α+(l-a)3-(1-α)=(1-<z)[3(l-a)a+(1-a)2-1]=(1-a)(l-2a)a,

因?yàn)镺Va<0.5,所以3(1—ct)^a+(1—ɑ)'—(1—α)=(1—C)(I-1cc)cx>0,

從而3(1—α),α+(l-α)3>l-α,故D項(xiàng)正確.

三、填空題

13.已知向量α,b滿足卜-W=百，,+.=|20-可，則W=.

答案：√3

解析：條件涉及兩個(gè)模的等式，想到把它們平方來(lái)看，

由題意，∣α-fe∣^=a~+b'-2a?b=3①，

X∣α+?∣=∣2α-?∣,所以∣α+同~=∣2α，j?ai+b1+2ah=4α2+b2-4a?b,整理得：a2-2a-b=0,

代入①可得從=3,即時(shí)=3,所以同=TL

14.底面邊長(zhǎng)為4的正四棱錐被平行于其底面的平面所截，截去一個(gè)底面邊長(zhǎng)為2,高為3的正四棱錐，所得棱臺(tái)

的體積為.

答案：28

解析：如圖，四棱錐P-ABea與P-A8C7)相似，它們的體積之比等于邊長(zhǎng)之比的立方，故只需求四棱錐

p-A4GA的體積，

純L=Z=In上空四=d)3=!,所以匕fB8=8MpYBCA,故所求四棱臺(tái)的體積K=7%yβιcA,

√4842V.28r-Λoc∕√廠一個(gè)巧LJS

由題意，VflslGDl=]X2-X3=4,所以V=7x4=28.

O

15.已知直線Lx-my+l=0與(C:(X-Iy+丁=4交于A,B兩點(diǎn)，寫出滿足''1√WC面積為的機(jī)的一個(gè)值

答案：2(答案不唯一，也可填一2或,或

22

解析：如圖，設(shè)圓心C(LO)到直線A8的距離為d(d>0),則SAABC=JAM

注意到∣A∕ψ也可用d表示，故先由又W=B求d,再將d用，"表示，建立關(guān)于，"的方程,

222

乂M用=2/2—屋=2"一屋,所以SMZJC=→2√4-^/-J=√(4-J)rf,

由題意，SMJC=I，所以J(4-儲(chǔ))建=g,結(jié)合〃>0解得："=爰或?qū)＃?/p>

,所以r?2==22或2-4解得：加=±2或±L1

√1W√5√1W√52

16.已知函數(shù)/(x)=sin(5+e),如圖A二是直線y=g與曲線y=∕(x)的兩個(gè)交點(diǎn),若IM=,則〃兀)=

答案:一日

解法1:|人冏=；這個(gè)條件怎么翻譯？可用、;求4,8橫坐標(biāo)的通解，得到|八8|,從而建立方程求“,

i冗、冗

不妨設(shè)0>0，令sin(tyχ+0)=-可得0x+0=2Z乃+—或2%乃+—,其中Z∈Z,

266

JT5冗ryrr2π

由圖知公％+9=22〃+—,ωx+φ=2kπ+——，兩式作差得：G(X§-XA)=——，故/一XA=

6β633ω

X∣AB∣=xβ-XA=—,所以網(wǎng)=工，解得：。=4,則f(x)=Sin(4%+。)，

63ω6

再求0,由圖知：丁是零點(diǎn)，可代入解析式，注意，是增區(qū)間上的零點(diǎn)，且V=SinA的增區(qū)間上的零點(diǎn)是2〃乃,

故應(yīng)按它來(lái)求?的通解，

8%

8萬(wàn),故f(x)=sin(4x÷2nπ-牛)=sin(4x--?),

所以與■+夕=2nπ{n∈Z),從而(P=2nπ

3

所以f(π)=Sin(4乃一,)=sin(-g)=-Sin斗=√3

~2

四、解答題

17.記“4?C的內(nèi)角A8,C的對(duì)邊分別為a,。,c,已知A3C的面積為√5,。為BC中點(diǎn)，且4)=1.

TT

⑴若ZADC=—,求tan8；

⑵若。2+02=8,求Ac.

解：(1)如圖，因?yàn)镹AoC=工，所以NADB=」，

33

(要求tan8,可到A4BD中來(lái)分析，所給面積怎么用？可以用它求出Sw從而得到80)

因?yàn)榱κ荁C中點(diǎn)，所以SM(C=2SAzww,又SMBC=B所以&AW,=*，

由圖可知SΔAM>=；AOBO?sinZAO8=gxlxBDXSin,=手8。，所以EBD=今,故BD=2,

(此時(shí)M8/)已知兩邊及夾角，可先用余弦定理求第三邊A8,再用正弦定理求角8)

在中，由余弦定理，AB2=AO2+BD2-2Ar>?BD?cosZADB=I2+22-2×l×2×(-∣)=7,所以AB=S，

1w

由正弦定理，一絲一=里，所以SinB=A".Sin/?/)'==

sinZΛDBsinBAB√72√7

由NAQB=女可知B為銳角，從而CoSB=JI-Siι√B=/=，故tanB=坐老=立.

32√7cosB5

(2)(已有關(guān)于。C的一個(gè)方程，若再建立一個(gè)方程，就能求。和c,故把面積和中線都用4C表示)

由題意，SMM=g機(jī)?sinA=75,所以aSinA=①，

(中線Az)怎樣用b,C表示？可用向量處理)

因?yàn)?。為BC中點(diǎn)，所以AD=g(AB+AC),

從而2AO=A8+AC,故4A￡>=AB+AC+2ABAC,

所以C?+從+2c?cosA=4,

將。'+C2=8代入上式化簡(jiǎn)得becosA=—2②，

(我們希望找的是〃，。的方程，故由①②消去A，平方相加即可)

由①②得。2c?sin?A+A%?cos?A=16,所以λ>c=4③，

由匕2+￠2=8可得S+cf-2歷=8,

所以/+c=√2Λc+8=4,結(jié)合式③可得6=c=2.

18?已知⑷為等差數(shù)列，4叔湍數(shù)

記S,,4分別為數(shù)列｛4｝,｛2｝的前"項(xiàng)和,S4=32,4=16.

(1)求｛?！埃耐?xiàng)公式;

(2)證明：當(dāng)〃>5時(shí),Tn>Sn.

解：(1)(給出了兩個(gè)條件，把它們用q和d翻譯出來(lái)，即可建立方程組求解q和d)

由題意，S4=4tz1+6J=32①，

T3=bx+?2+?3=(Λ1—6)÷2a2÷(%-6)=C/-6+2(“+J)÷aA+2J-6=4al+4√-12=16②，

由①②解得：4=5,d=2,所以q=q+(〃一l)d=2"+3.

(2)由(1)可得S/I=幽+%)="(5+2〃+3)=**4〃,

π22

(要證結(jié)論，還需求7：,由于/)按奇偶分段，故求7也應(yīng)分奇偶討論，先考慮〃為偶數(shù)的情形)

當(dāng)n(n>5)為偶數(shù)時(shí)，Tιl=bl+b2+---+bn

=(q-6)+2a2+(%-6)+2a44----F(ΛΠ-∣—6)÷2att

=(4÷Cl^H-----F)-6×—÷2(W+6Z4+…+?！?③>

因?yàn)?，%,…和/S,…M〃分別也構(gòu)成等差數(shù)列，

2(4+""T)_〃(5+In+1)_π2+3n

所以q+fl?H-----F

2-4-—2~

2(2?〃(7+2幾+3)n2+5n

+%+…+&=--------------=------------------=----------

“242

代入③化簡(jiǎn)得：Tn=七口—3〃+2X忙魚=3〃一+7〃,

222

（要由此證7；>S“，可作差比較）

所以K-5,,=生產(chǎn)一面+4〃）=T>0,故7>S∕

（對(duì)于〃為奇數(shù)的情形，可以重復(fù)上述計(jì)算過(guò)程，但更簡(jiǎn)單的做法是補(bǔ)1項(xiàng)湊成偶數(shù)項(xiàng)，再減掉補(bǔ)的那項(xiàng)）

當(dāng)”（〃>5）為奇數(shù)時(shí)，T11=Tπ+t-%=_

2

3(/7÷I)+7(72+1)_2(2〃+5)=立1?；IZjO

2?！?1

2

所以1-5?=??；々0_(/+4,j)

〃2-3〃-10(/?+2)(n-5)

>0,故<>配；

22

綜上所述，當(dāng)〃>5時(shí)，總有<>S".

19.某研究小組經(jīng)過(guò)研究發(fā)現(xiàn)某種疾病的患病者與未患病者的某項(xiàng)醫(yī)學(xué)指標(biāo)有明顯差異，經(jīng)過(guò)大量調(diào)查，得到如下

利用該指標(biāo)制定一個(gè)檢測(cè)標(biāo)準(zhǔn)，需要確定臨界值C,將該指標(biāo)大于C的人判定為陽(yáng)性，小于或等于C的人判定為陰

性.此檢測(cè)標(biāo)準(zhǔn)的漏診率是將患病者判定為陰性的概率，記為P(C);誤診率是將未患病者判定為陽(yáng)性的概率，記為

4(c).假設(shè)數(shù)據(jù)在組內(nèi)均勻分布，以事件發(fā)生的頻率作為相應(yīng)事件發(fā)生的概率.

(1)當(dāng)漏診率MC)=O$%時(shí)，求臨界值C和誤診率4(c)；

⑵設(shè)函數(shù)〃C)=P(C)+4?，當(dāng)c∈［95,105］時(shí),求〃c)的解析式，并求F(C)在區(qū)間［95,105］的最小值.

解：(1)(給的是漏診率，故先看患病者的圖，漏診率為0.5%即小于或等于C的頻率為0.5%,可由此求C)由患病

者的圖可知，［95,100)這組的頻率為5x0.002=0.01>0.005,所以c在［95,100)內(nèi)，

且(c-95)x0.002=0.005,解得：c=97.5;

(要求，/(，)，再來(lái)看未患病者的圖，/。是誤診率，也即未患病者判定為陽(yáng)性(指標(biāo)大于￠)的概率)

由未患病者的圖可知指標(biāo)大于97.5的概率為(Ioo-97.5)x0.01+5XQOo2=0.035,所以q(c)=3.5%.

(2)([95,1()5∣包含兩個(gè)分組,故應(yīng)分類討論)當(dāng)95≤c<100時(shí)，P(C)=(C-95)x0.002,

式C)=(Ioo-C)Xo.01+5X0.002，所以/(c)=P(C)+q(c)=-0.008c+0.82,

故/(c)>-0.008X100+0.82=0.02①；

當(dāng)100≤c≤105時(shí)，P(C)=5x0.002+(C-IOo)XO.012,冢C)=(IO5-c)x0.002，

所以/(C)=P(C)+q(c)=0.0Ic-0.98,故F(C)≥f(100)=OOlx100—0.98=0.02②；

-0.008c+0.82,95Wc<100

所以/(C)=且由①②可得/(c)=0.02.

0.01c-0.98,100≤c≤105min

20.如圖，三棱錐4一8CZ)中，DA=DB=DC,BDLCD,ZADB=ZADC=60,E為BC網(wǎng)`點(diǎn)、.

(1)證明：BClDAi

(2)點(diǎn)產(chǎn)滿足EF=D4，求二面角O-AB-廣的正弦值.

解：(1)(BC和QA是異面直線,要證垂直,需找線面垂直,可用逆推法,假設(shè)ΛCJDl,注意到條件中還有DBDC,

所以8CJ_L>E,二者結(jié)合可得到8C一面ADE,故可通過(guò)證此線面垂直來(lái)證BeJ.D4)

因?yàn)镈4=D8=DC,ZAZ)B=ZAr>C=60。，所以ΔAD5和ΔADC是全等的正三角形，故AB=AC,

又E為BC中點(diǎn)，所以BCJBCA.DE,因?yàn)锳E,DEU平面ADE,AEr^］DE=E,

所以8C_L平面AOE,又DAU平面AoE,所以BCJ_D4.

(2)(由圖可猜想/亞面BCD,若能證出這一結(jié)果，就能建系處理，故先嘗試證明)

不妨設(shè)β4=f>8=E>C=2,則AB=AC=2,

因?yàn)?D，CD,所以8C=J旅+QC'=2夜,

故DE=CE=BE=LBC=叵,AE=y∣AC2-CE2=√2,

2

所以4層+?！?=4=4￡)2,故所以以，EB,E￡>兩兩垂直，

以E為原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則A(O,O,√Σ),D(√2,0,0),B(0,√2,0),

所以DA=(-0,0,及)，AB=(0,√2,-√2),由E尸=D4可知四邊形A。EF是平行四邊形，所以E4=EQ=(√Iθ,O),

設(shè)平面DAB和平面ABF的法向量分別為，〃=(芭,X,z∣),n=(x2,y2,z2),

κιjm-DA=-√2xl+√2zl=O^令則PI=∣,所以力=(1,1,1)是平面D4B的一個(gè)法向量,

m?AB=y∕2yi-√2z1=0IZl=I

n?AB=√2y-√2z=0,[無(wú)=0-T.S人、」，…

?L07，令必=1，則(“一所以"=(OJl)是平面AB尸的一個(gè)法I可量，

z=

n?FA=?∣2X2=0[2?

從而cos<孫">=與二=7?=逅，故二面角?！狝B—f的正弦值為Jl-(Y?=苴.

∣∕n∣?∣M∣√3×√23V33

21.已知雙曲線C的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，左焦點(diǎn)為(-2石,0),離心率為逐.

(1)求C的方程；

(2)記C的左、右頂點(diǎn)分別為A,A2,過(guò)點(diǎn)(T,0)的直線與C的左支交于M,N兩點(diǎn),例在第二象限，直線MA與M%

交于點(diǎn)P.證明:點(diǎn)P在定直線上.

22

解：(1)設(shè)雙曲線方程為崇■-表?=l(α>0,8>0),由焦點(diǎn)坐標(biāo)可知c=26，

則由e=￡=石可得。=2,b=?∣c2-a1=4，

a

22

雙曲線方程為工r-Lv=I.

416

由⑴可得)()設(shè)“

(2)A(-2,0,42,0,(XPM),N(Λ2,%),

顯然直線的斜率不為0,所以設(shè)直線MN的方程為X=Wy-4,且-g<w<g,

22

與千-V=I聯(lián)立可得(W-l)y2-32〃沙+48=0,且△=64(4??+3)>0,

直線MA1的方程為y=-?(x+2),直線NA2的方程為y=^-[x-2),

Λ,∣+ZX，2—L

聯(lián)立直線MA1與直線NA2的方程可得:

X+2=丫2(與+2)=%(陽(yáng)I-2)=y2-2(%+%)+2%

x-2X(X2-2)yl(∕nγ2-6)∕nγly2-6yl

48C32m.-?6mC

m-----5-----2------Z——+2y.—5—+2y,

4〃/一14"-1《小一1?

^T8—48/77X3

InX——?------6y.-3------6?

W-I1W-I,

x+21

由匚=一上可得x=7,即%>=—1,

x-23

據(jù)此可得點(diǎn)P在定直線工二-1上運(yùn)動(dòng).

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛:求雙曲線方程的定直線問(wèn)題，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力，轉(zhuǎn)化能力和綜合應(yīng)用能力，其中根據(jù)

設(shè)而不求的思想，利用韋達(dá)定理得到根與系數(shù)的關(guān)系可以簡(jiǎn)化運(yùn)算，是解題的關(guān)鍵.

22.(1)證明：當(dāng)OVXVl時(shí)?，X-X2<sinx<x;

(2)已知函數(shù)"x)=CoSar-In(I-X2),若X=O是〃x)的極大值點(diǎn)，求。的取值范圍.

解