2023年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí) ?？紤?yīng)用綜合-最值、最優(yōu)方案問(wèn)題（五大類(lèi)型）（解析版）

沖刺中考數(shù)學(xué)壓軸之滿(mǎn)分集訓(xùn)

專(zhuān)題06?？紤?yīng)用綜合-最值、最優(yōu)方案問(wèn)題(五大類(lèi))

【典例今折】

【類(lèi)型一：方程(組)+不等式(組)】

【典例1】(2021?呼和浩特)為了促進(jìn)學(xué)生加強(qiáng)體育鍛煉，某中學(xué)從去年開(kāi)始，

每周除體育課外，又開(kāi)展了“足球俱樂(lè)部1小時(shí)”活動(dòng).去年學(xué)校通過(guò)采購(gòu)

平臺(tái)在某體育用品店購(gòu)買(mǎi)A品牌足球共花費(fèi)2880元，B品牌足球共花費(fèi)2400

元，且購(gòu)買(mǎi)A品牌足球數(shù)量是B品牌數(shù)量的1.5倍，每個(gè)足球的售價(jià)，A品

牌比3品牌便宜12元.今年由于參加俱樂(lè)部人數(shù)增加，需要從該店再購(gòu)買(mǎi)A、

8兩種足球共50個(gè)，已知該店對(duì)每個(gè)足球的售價(jià)，今年進(jìn)行了調(diào)整，A品牌

比去年提高了5%,8品牌比去年降低了10%,如果今年購(gòu)買(mǎi)A、8兩種足球

的總費(fèi)用不超過(guò)去年總費(fèi)用的一半，那么學(xué)校最多可購(gòu)買(mǎi)多少個(gè)B品牌足

球？

【解答】解：設(shè)去年A足球售價(jià)為x元/個(gè)，則B足球售價(jià)為(x+12)元/個(gè).

由題意得：2880總2400,即典=120,

x2x+12xx+12

A96(x+12)=120%,

/?x—48.

經(jīng)檢驗(yàn)，x=48是原分式方程的解且符合題意.

足球售價(jià)為48元/個(gè)，B足球售價(jià)為60元/個(gè).

設(shè)今年購(gòu)進(jìn)B足球的個(gè)數(shù)為a個(gè)，則有：

(50-a)X48X(l+5%)+aX60X(1-10%)<(2880+2400)X-1-

.*.50,4X50-50.4a+54a<2640.

.?.3.6220,

?/100

個(gè)3

最多可購(gòu)進(jìn)33個(gè)B足球.

【變式1-1](2023?市南區(qū)一模)2020年臘月，某商家根據(jù)天氣預(yù)報(bào)預(yù)測(cè)羽絨

服將暢銷(xiāo)，就用26400元采購(gòu)了一批羽絨服，后來(lái)羽絨服供不應(yīng)求.商家又

用57600元購(gòu)進(jìn)了一批同樣的羽絨服，第二次所購(gòu)數(shù)量是第一次所購(gòu)數(shù)量的2

倍，第二次購(gòu)進(jìn)的單價(jià)比第一次購(gòu)進(jìn)的單價(jià)貴了10元.

(1)該商家第一次購(gòu)進(jìn)的羽絨服有多少件？

(2)若兩次購(gòu)進(jìn)的羽絨服銷(xiāo)售時(shí)標(biāo)價(jià)都相同，最后剩下50件按6折優(yōu)惠賣(mài)

出，若兩批羽絨服全部售完后利潤(rùn)率不低于25%(不考慮其他因素)，則每

件羽絨服的標(biāo)價(jià)至少為多少元？

【解答】解：(1)設(shè)該商家第一次購(gòu)進(jìn)的羽絨服有x件，則第二次購(gòu)進(jìn)的羽

絨服有2x件.

由題意得：26400=57600

x2x

解得x=240.

經(jīng)檢驗(yàn)，x=240是原方程的解.

答：該商家第一次購(gòu)進(jìn)的羽絨服有240件；

(2)設(shè)每件羽絨服的標(biāo)價(jià)為a元.

由題意得：0.6?X50+(240+240X2-50)a-(26400+57600)2(26400+57

600)X25%,

解得a2150.

答：每件羽絨服的標(biāo)價(jià)至少為150元.

【變式1-2](2022?荷澤)某健身器材店計(jì)劃購(gòu)買(mǎi)一批籃球和排球，已知每個(gè)籃

球進(jìn)價(jià)是每個(gè)排球進(jìn)價(jià)的1.5倍，若用3600元購(gòu)進(jìn)籃球的數(shù)量比用3200元購(gòu)

進(jìn)排球的數(shù)量少10個(gè).

(1)籃球、排球的進(jìn)價(jià)分別為每個(gè)多少元？

(2)該健身器材店決定用不多于28000元購(gòu)進(jìn)籃球和排球共300個(gè)進(jìn)行銷(xiāo)售,

最多可以購(gòu)買(mǎi)多少個(gè)籃球？

【解答】解：(D設(shè)排球的進(jìn)價(jià)為每個(gè)x元，則籃球的進(jìn)價(jià)為每個(gè)1.5x元,

依題意得：3200__3600_=10,

x1.5x

解得:x=80,

經(jīng)檢驗(yàn)，x=80是方程的解，

1.5%=1.5X80=120.

答：籃球的進(jìn)價(jià)為每個(gè)120元，排球的進(jìn)價(jià)為每個(gè)80元；

(2)設(shè)購(gòu)買(mǎi)加個(gè)籃球，則購(gòu)買(mǎi)(300-m)個(gè)排球，

依題意得：120M+80（300-/7?）<28000,

解得：〃W100,

答：最多可以購(gòu)買(mǎi)100個(gè)籃球.

【變式1-3]（2021?煙臺(tái)）直播購(gòu)物逐漸走進(jìn)了人們的生活.某電商在抖音

上對(duì)一款成本價(jià)為40元的小商品進(jìn)行直播銷(xiāo)售，如果按每件60元銷(xiāo)售，每

天可賣(mài)出20件.通過(guò)市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，每件小商品售價(jià)每降低5元，日銷(xiāo)售量

增加10件.

（1）若日利潤(rùn)保持不變，商家想盡快銷(xiāo)售完該款商品，每件售價(jià)應(yīng)定為多少

元？

（2）小明的線(xiàn)下實(shí)體商店也銷(xiāo)售同款小商品，標(biāo)價(jià)為每件62.5元.為提高市

場(chǎng)競(jìng)爭(zhēng)力，促進(jìn)線(xiàn)下銷(xiāo)售，小明決定對(duì)該商品實(shí)行打折銷(xiāo)售，使其銷(xiāo)售價(jià)格

不超過(guò)（1）中的售價(jià)，則該商品至少需打幾折銷(xiāo)售？

【解答】解：（1）設(shè)售價(jià)應(yīng)定為九元，則每件的利潤(rùn)為（x-40）元，日銷(xiāo)售

量為20+1°（60-x）=（140-2x）件，

5

依題意，得：（x-40）（140-2x）=（60-40）X20,

整理，得：x2-110x+3000=0,

解得：xi=50,X2=60（舍去）.

答：售價(jià)應(yīng)定為50元；

（2）該商品需要打。折銷(xiāo)售，

由題意，得，62.5義—_<50,

10

解得：aW8,

答：該商品至少需打8折銷(xiāo)售.

【類(lèi)型二：方程（組）+不等式（組）-----次函數(shù)模型】

【典例2】（2022?濟(jì)南）為增加校園綠化面積，某校計(jì)劃購(gòu)買(mǎi)甲、乙兩種樹(shù)苗.已

知購(gòu)買(mǎi)20棵甲種樹(shù)苗和16棵乙種樹(shù)苗共花費(fèi)1280元，購(gòu)買(mǎi)1棵甲種樹(shù)苗比

1棵乙種樹(shù)苗多花費(fèi)10元.

（1）求甲、乙兩種樹(shù)苗每棵的價(jià)格分別是多少元？

（2）若購(gòu)買(mǎi)甲、乙兩種樹(shù)苗共100棵，且購(gòu)買(mǎi)乙種樹(shù)苗的數(shù)量不超過(guò)甲種樹(shù)

苗的3倍.則購(gòu)買(mǎi)甲、乙兩種樹(shù)苗各多少棵時(shí)花費(fèi)最少？請(qǐng)說(shuō)明理由.

【解答】解：（1）設(shè)甲種樹(shù)苗每棵的價(jià)格是x元，乙種樹(shù)苗每棵的價(jià)格是>?

元，

根據(jù)題意得：（20x+16y=1280,

Ix-y=10

解得卜=40,

ly=30

答：甲種樹(shù)苗每棵的價(jià)格是40元，乙種樹(shù)苗每棵的價(jià)格是30元；

（2）購(gòu)買(mǎi)甲種樹(shù)苗25棵，乙種樹(shù)苗75棵，花費(fèi)最少，理由如下：

設(shè)購(gòu)買(mǎi)兩種樹(shù)苗共花費(fèi)w元，購(gòu)買(mǎi)甲種樹(shù)苗m棵，則購(gòu)買(mǎi)乙種樹(shù)苗（100-m）

棵，

?.?購(gòu)買(mǎi)乙種樹(shù)苗的數(shù)量不超過(guò)甲種樹(shù)苗的3倍，

100-

解得〃?225,

根據(jù)題意：w=40加+30（100-zn）=10/?+3000,

V10>0,

，卬隨m的增大而增大，

...■=25時(shí),w取最小值，最小值為10X25+3000=3250（元），

此時(shí)100-7/1=75,

答：購(gòu)買(mǎi)甲種樹(shù)苗25棵，乙種樹(shù)苗75棵，花費(fèi)最少.

【變式2-1］（2022?桐梓縣模擬）某社會(huì)團(tuán)體準(zhǔn)備購(gòu)進(jìn)甲、乙兩種防護(hù)服捐給一

線(xiàn)抗疫人員，經(jīng)了解，購(gòu)進(jìn)5件甲種防護(hù)服和4件乙種防護(hù)服需要2萬(wàn)元，

購(gòu)進(jìn)10件甲種防護(hù)服和3件乙種防護(hù)服需要3萬(wàn)元.

（1）甲種防護(hù)服和乙種防護(hù)服每件各多少元？

（2）實(shí)際購(gòu)買(mǎi)時(shí)，發(fā)現(xiàn)廠(chǎng)家有兩種優(yōu)惠方案，方案一：購(gòu)買(mǎi)甲種防護(hù)服超過(guò)

20件時(shí)，超過(guò)的部分按原價(jià)的8折付款，乙種防護(hù)服沒(méi)有優(yōu)惠；方案二：兩

種防護(hù)服都按原價(jià)的9折付款，該社會(huì)團(tuán)體決定購(gòu)買(mǎi)x（x>20）件甲種防護(hù)

服和30件乙種防護(hù)服.

①求兩種方案的費(fèi)用y與件數(shù)x的函數(shù)解析式；

②請(qǐng)你幫該社會(huì)團(tuán)體決定選擇哪種方案更合算.

【解答】解：（1）設(shè)甲種防護(hù)服每件x元，乙種防護(hù)服每件y元，

根據(jù)題意得：(5x+4y=20000,解得卜=2400,

I10x+3y=30000ly=2000

答：甲種防護(hù)服每件2400元，乙種防護(hù)服每件2000元；

(2)①方案一:y1=2400X20+2400X0.8X(%-20)+2000X30=1920x+69600；

方案二：*=(2400.r+2000X30)X0.9=2160^+54000.

②當(dāng)yi="時(shí)，1920.r+69600=2160x+54000,

解得x=65；

當(dāng)yi>”時(shí)，即1920%+69600>2160x+54000,

解得:x<65；

當(dāng)yiV"時(shí)，即1920x+69600V2160x+54000,

解得x>65.

二當(dāng)購(gòu)買(mǎi)甲種防護(hù)服65件時(shí)，兩種方案一樣；

當(dāng)購(gòu)買(mǎi)甲種防護(hù)服的件數(shù)超過(guò)20件而少于65件時(shí)，選擇方案二更合算；

當(dāng)購(gòu)買(mǎi)甲種防護(hù)服多于65件時(shí)，選擇方案一更合算.

【變式2-2](2022?黔西南州)某鄉(xiāng)鎮(zhèn)新打造的“田園風(fēng)光”景區(qū)今年計(jì)劃改造

一片綠化地，種植A、3兩種花卉，已知3盆A種花卉和4盆3種花卉的種

植費(fèi)用為330元，4盆A種花卉和3盆B種花卉的種植費(fèi)用為300元.

(1)每盆A種花卉和每盆B種花卉的種植費(fèi)用各是多少元？

(2)若該景區(qū)今年計(jì)劃種植A、8兩種花卉共400盆，相關(guān)資料表明：A、B

兩種花卉的成活率分別為70%和90%,景區(qū)明年要將枯死的花卉補(bǔ)上相同的

新花卉，但這兩種花卉在明年共補(bǔ)的盆數(shù)不多于80盆，應(yīng)如何安排這兩種花

卉的種植數(shù)量，才能使今年該項(xiàng)的種植費(fèi)用最低？并求出最低費(fèi)用.

【解答】解：(1)設(shè)每盆A種花卉種植費(fèi)用為龍?jiān)?，每?種花卉種植費(fèi)用

為y元，根據(jù)題意，

得：px+4y=330,

|4x+3y=300

解得：卜=30.

ly=60

答：每盆A種花卉種植費(fèi)用為30元，每盆3種花卉種植費(fèi)用為60元；

(2)設(shè)種植A種花卉的數(shù)量為加盆，則種植8種花卉的數(shù)量為(400-m)

盆，種植兩種花卉的總費(fèi)用為卬元，

根據(jù)題意，得：（1-70%）m+（1-90%）（400-m）^80,

解得：〃W200,

卬=30m+60（400-m）=-30m+24000,

-30<0,

二w隨m的增大而減小，

當(dāng)〃?=200時(shí)，卬的最小值=-30X200+24000=18000,

答：種植A、8兩種花卉各200盆，能使今年該項(xiàng)的種植費(fèi)用最低，最低費(fèi)用

為18000元.

【變式2-3］（2022?天津模擬）抗疫期間，社會(huì)各界眾志成城，某乳品公司向疫

區(qū)捐獻(xiàn)牛奶，若由鐵路運(yùn)輸每千克需運(yùn)費(fèi)0.58元；若由公路運(yùn)輸每千克需運(yùn)

費(fèi)0.28元，并且還需其他費(fèi)用600元.

（1）若該公司運(yùn)輸?shù)谝慌Ｄ坦灿?jì)8000千克，分別由鐵路和公路運(yùn)輸，費(fèi)

用共計(jì)4340元，請(qǐng)問(wèn)鐵路和公路各運(yùn)輸了多少千克牛奶？

（2）設(shè)該公司運(yùn)輸?shù)诙Ｄ蘹（千克），選擇鐵路運(yùn)輸時(shí)，所需費(fèi)用為y

（元），選擇公路運(yùn)輸時(shí)，所需費(fèi)用”（元），請(qǐng)分別寫(xiě)出yi（元），"（元）

與x（千克）之間的關(guān)系式；

（3）運(yùn)輸?shù)诙Ｄ虝r(shí)公司決定只選擇一種運(yùn)輸方式，請(qǐng)問(wèn)隨著x（千克）

的變化，怎樣選擇運(yùn)輸方式所需費(fèi)用較少？

【解答】解：（1）設(shè)鐵路和公路分別運(yùn)輸牛奶小y千克，

由題意可得：產(chǎn).8°0°,

10.58x+0.28y+600=434C

解得：卜=5。00,

|y=3000

答：鐵路和公路分別運(yùn)輸牛奶5000千克和3000千克；

（2）由題意可得:yi=0.58x,j,2=0.28x+600；

（3）當(dāng)時(shí)，0.58x=0.28x+600,

解得x=2000,

當(dāng)運(yùn)輸2000千克時(shí)，兩種方式均可，

當(dāng)yiV"時(shí)，0.58x<0.28x+600,

解得XV2000,

，當(dāng)運(yùn)輸少于2000千克時(shí)，鐵路劃算,

當(dāng)V>>2時(shí)，0.58x=0.28x+600,

解得x>2000,

二當(dāng)運(yùn)輸超過(guò)2000千克時(shí)，公路劃算.

【變式2-4］（2021?銅仁市）某快遞公司為了提高工作效率，計(jì)劃購(gòu)買(mǎi)A、B兩

種型號(hào)的機(jī)器人來(lái)搬運(yùn)貨物，已知每臺(tái)A型機(jī)器人比每臺(tái)B型機(jī)器人每天多

搬運(yùn)20噸，并且3臺(tái)A型機(jī)器人和2臺(tái)B型機(jī)器人每天共搬運(yùn)貨物460噸.

（1）求每臺(tái)A型機(jī)器人和每臺(tái)B型機(jī)器人每天分別搬運(yùn)貨物多少?lài)崳?/p>

（2）每臺(tái)A型機(jī)器人售價(jià)3萬(wàn)元，每臺(tái)8型機(jī)器人售價(jià)2萬(wàn)元，該公司計(jì)劃

采購(gòu)A、8兩種型號(hào)的機(jī)器人共20臺(tái)，必須滿(mǎn)足每天搬運(yùn)的貨物不低于1800

噸，請(qǐng)根據(jù)以上要求，求出A、8兩種機(jī)器人分別采購(gòu)多少臺(tái)時(shí)，所需費(fèi)用最

低？最低費(fèi)用是多少？

【解答】（1）解：設(shè)每臺(tái)A型機(jī)器人每天搬運(yùn)貨物大噸，每臺(tái)8型機(jī)器人每

天搬運(yùn)貨物y噸，

Jx-y=20

l3x+2y=460，

解得卜=100,

|y=80

,每臺(tái)A型機(jī)器人每天搬運(yùn)貨物100噸，每臺(tái)6型機(jī)器人每天搬運(yùn)貨物80噸；

（2）設(shè)：A種機(jī)器人采購(gòu)〃？臺(tái)，8種機(jī)器人采購(gòu)（20-相）臺(tái)，總費(fèi)用為卬

（萬(wàn)元），

100m+80（20-m）21800.

解得：〃?210.

w—3m+2（20-m）

="?+40.

Vl>0,

...w隨著“的減少而減少.

.,.當(dāng)〃?=10時(shí)，w有最小值，掖小=10+40=50.

.二A、B兩種機(jī)器人分別采購(gòu)10臺(tái)，10臺(tái)時(shí)，所需費(fèi)用最低，最低費(fèi)用是50

萬(wàn)元.

【變式2-5］（2021?恩施州）“互聯(lián)網(wǎng)+”讓我國(guó)經(jīng)濟(jì)更具活力，直播助銷(xiāo)就是

運(yùn)用“互聯(lián)網(wǎng)+”的生機(jī)勃勃的銷(xiāo)售方式，讓大山深處的農(nóng)產(chǎn)品遠(yuǎn)銷(xiāo)全國(guó)各

地.甲為當(dāng)?shù)靥厣ㄉc茶葉兩種產(chǎn)品助銷(xiāo).已知每千克花生的售價(jià)比每千

克茶葉的售價(jià)低40元，銷(xiāo)售50千克花生與銷(xiāo)售10千克茶葉的總售價(jià)相同.

（1）求每千克花生、茶葉的售價(jià)；

（2）已知花生的成本為6元/千克，茶葉的成本為36元/千克，甲計(jì)劃兩種產(chǎn)

品共助銷(xiāo)60千克，總成本不高于1260元，且花生的數(shù)量不高于茶葉數(shù)量的2

倍.則花生、茶葉各銷(xiāo)售多少千克可獲得最大利潤(rùn)？最大利潤(rùn)是多少？

【解答】解：（1）設(shè)每千克花生x元，每千克茶葉（40+x）元，

根據(jù)題意得：50x=10（40+x）,

解得：x=10,

40+x=40+10=50（元），

答：每千克花生10元，每千克茶葉50元；

（2）設(shè)花生銷(xiāo)售加千克，茶葉銷(xiāo)售（60-加）千克獲利最大，利潤(rùn)卬元，

由題意得:r6m+36（60-m）<1260f

Int<2（60-m）

解得:30WmW40,

w=（10-6）m+（50-36）（60-m）=4zn+840-14m=-lO/w+840,

V-10<0,

二卬隨"？的增大而減小，

.?.當(dāng)加=30時(shí)，利潤(rùn)最大，

此時(shí)花生銷(xiāo)售30千克，茶葉銷(xiāo)售60-30=30千克，

卬球人=-10X30+840=540（元），

，當(dāng)花生銷(xiāo)售30千克，茶葉銷(xiāo)售30千克時(shí)利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)為540元.

【變式2-6】“桂花糕”是中國(guó)特色傳統(tǒng)小吃，用糯米粉、糖和桂花蜜為原料制

作而成，歷史悠久，種類(lèi)多樣.小李在某糕點(diǎn)生產(chǎn)廠(chǎng)家選中A,8兩款不同包

裝的“桂花糕”，決定從該廠(chǎng)家進(jìn)貨并銷(xiāo)售.兩款“桂花糕”的進(jìn)貨價(jià)和銷(xiāo)

售價(jià)如表：

類(lèi)別A款8款

價(jià)格

進(jìn)貨價(jià)（元/盒）4030

銷(xiāo)售價(jià)（元/盒）5645

（1）若小李用2000元購(gòu)進(jìn)了A,8兩款“桂花糕”，其中A款“桂花糕”購(gòu)

進(jìn)了35盒，求B款“桂花糕”購(gòu)進(jìn)多少盒？

（2）若小李計(jì)劃A款“桂花糕”進(jìn)貨數(shù)量不超過(guò)8款“桂花糕”進(jìn)貨數(shù)量的

一半，且計(jì)劃購(gòu)進(jìn)兩款“桂花糕”共60盒，小李應(yīng)該如何設(shè)計(jì)進(jìn)貨方案才能

獲得最大利潤(rùn)，最大利潤(rùn)是多少？

【解答】解：（1）設(shè)8款“桂花糕”購(gòu)進(jìn)x盒，

根據(jù)題意得：35X40+30x=2000,

解得x=20,

答：B款“桂花糕”購(gòu)進(jìn)20盒；

（2）設(shè)購(gòu)進(jìn)A款“桂花糕”〃?盒，銷(xiāo)售利潤(rùn)為W元，則購(gòu)進(jìn)3款“桂花糕”

（60-m）盒，

??.A款“桂花糕”進(jìn)貨數(shù)量不超過(guò)8款“桂花糕”進(jìn)貨數(shù)量的一半，

（60-m）,

2

解得wW20,

根據(jù)題意得W=（56-40）m+（45-30）（60-m）=加+900,

Vl>0,

...W隨機(jī)的增大而增大，

...〃?=20時(shí)，W取最大值，最大值為20+900=920（元），

此時(shí)60-加=60-20=40,

答：購(gòu)進(jìn)A款“桂花糕”20盒，購(gòu)進(jìn)B款“桂花糕”40盒，獲得最大利潤(rùn),

最大利潤(rùn)是920元

【類(lèi)型三：方程（組）+不等式（組）一一二次函數(shù)模型】

【典例3】（2021?遂寧）某服裝店以每件30元的價(jià)格購(gòu)進(jìn)一批T恤，如果以每

件40元出售，那么一個(gè)月內(nèi)能售出300件，根據(jù)以往銷(xiāo)售經(jīng)驗(yàn)，銷(xiāo)售單價(jià)每

提高1元，銷(xiāo)售量就會(huì)減少10件，設(shè)T恤的銷(xiāo)售單價(jià)提高x元.

（1）服裝店希望一個(gè)月內(nèi)銷(xiāo)售該種T恤能獲得利潤(rùn)3360元，并且盡可能減

少庫(kù)存，問(wèn)T恤的銷(xiāo)售單價(jià)應(yīng)提高多少元？

（2）當(dāng)銷(xiāo)售單價(jià)定為多少元時(shí)，該服裝店一個(gè)月內(nèi)銷(xiāo)售這種T恤獲得的利潤(rùn)

最大？最大利潤(rùn)是多少元？

【解答】解：(1)設(shè)T恤的銷(xiāo)售單價(jià)提高x元，

由題意列方程得：(x+40-30)(300-10x)=3360,

解得：Xi=2或82=18,

???要盡可能減少庫(kù)存，

；.X2=18不合題意,應(yīng)舍去.

...T恤的銷(xiāo)售單價(jià)應(yīng)提高2元，

答：T恤的銷(xiāo)售單價(jià)應(yīng)提高2元；

(2)設(shè)利潤(rùn)為W元，由題意可得：

M=(x+40-30)(300-10x),

=-10f+200x+3000,

=-10(x-10)2+4000,

,當(dāng)x=10時(shí)，M最大值=4000元，

,銷(xiāo)售單價(jià)：40+10=50(元)，

答：當(dāng)服裝店將銷(xiāo)售單價(jià)定為50元時(shí)，得到最大利潤(rùn)是4000元.

【變式3-1](2023?蜀山區(qū)校級(jí)一模)隨著我國(guó)經(jīng)濟(jì)、科技的進(jìn)一步發(fā)展，我國(guó)

的農(nóng)業(yè)生產(chǎn)的機(jī)械化程度越來(lái)越高，過(guò)去的包產(chǎn)到戶(hù)就不太適合機(jī)械化的種

植，現(xiàn)在很多地區(qū)就出現(xiàn)了一種新的生產(chǎn)模式，很多農(nóng)民把自己的承包地轉(zhuǎn)

租給種糧大戶(hù)或者新型農(nóng)村合作社，出現(xiàn)了大農(nóng)田，這些農(nóng)民則成為合作社

里的工人，這樣更有利于機(jī)械化種植.某地某種糧大戶(hù)，去年種植優(yōu)質(zhì)水稻

200畝，平均每畝收益480元.計(jì)劃今年多承包一些土地，已知每增加一畝,

每畝平均收益比去年每畝平均收益減少2元.

(1)該大戶(hù)今年應(yīng)承租多少畝土地，才能使今年總收益達(dá)到96600元？

(2)該大戶(hù)今年應(yīng)承租多少畝土地，可以使今年總收益最大，最大收益是多

少？

【解答】解：(1)設(shè)該大戶(hù)今年應(yīng)承租x畝土地，才能使今年總收益達(dá)到96600

元，

由題意得x[480-2(x-200)]=96600,

解得x2-440A+48300=0,

解得x=230或x=210,

.??該大戶(hù)今年應(yīng)承租210畝或230畝土地，才能使今年總收益達(dá)到96600元；

（2）設(shè)該大戶(hù)今年應(yīng)承租加畝土地，收益為W元，

由題意得W=m[480-2（w-200）]=-2m2+880/n=-2Cm-220）2+96800,

Y-2<0,

.?.當(dāng)m=220時(shí),W最大，最大為96800,

.??大戶(hù)今年應(yīng)承租220畝土地，可以使今年總收益最大，最大收益是96800

元.

【變式3-2】某文具店最近有A,B兩款紀(jì)念冊(cè)比較暢銷(xiāo).該店購(gòu)進(jìn)A款紀(jì)念冊(cè)

5本和B款紀(jì)念冊(cè)4本共需156元，購(gòu)進(jìn)A款紀(jì)念冊(cè)3本和B款紀(jì)念冊(cè)5本

共需130元.在銷(xiāo)售中發(fā)現(xiàn)：A款紀(jì)念冊(cè)售價(jià)為32元/本時(shí)，每天的銷(xiāo)售量為

40本，每降低1元可多售出2本；B款紀(jì)念冊(cè)售價(jià)為22元/本時(shí)，每天的銷(xiāo)

售量為80本，B款紀(jì)念冊(cè)每天的銷(xiāo)售量與售價(jià)之間滿(mǎn)足一次函數(shù)關(guān)系，其部

分對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)如下表所示：

售價(jià)（元/本）.......22232425.......

每天銷(xiāo)售量.......80787674.......

（本）

（1）求A,B兩款紀(jì)念冊(cè)每本的進(jìn)價(jià)分別為多少元；

（2）該店準(zhǔn)備降低每本A款紀(jì)念冊(cè)的利潤(rùn)，同時(shí)提高每本8款紀(jì)念冊(cè)的利潤(rùn)，

且這兩款紀(jì)念冊(cè)每天銷(xiāo)售總數(shù)不變，設(shè)A款紀(jì)念冊(cè)每本降價(jià)加元；

①直接寫(xiě)出8款紀(jì)念冊(cè)每天的銷(xiāo)售量（用含〃?的代數(shù)式表示）；

②當(dāng)A款紀(jì)念冊(cè)售價(jià)為多少元時(shí)，該店每天所獲利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是多少？

【解答】解：（1）設(shè)A款紀(jì)念冊(cè)每本的進(jìn)價(jià)為。元，B款紀(jì)念冊(cè)每本的進(jìn)價(jià)

為b元，

根據(jù)題意得：[5a+4b=156,

I3a+5b=130

解得卜=20,

lb=14

答：A款紀(jì)念冊(cè)每本的進(jìn)價(jià)為20元，8款紀(jì)念冊(cè)每本的進(jìn)價(jià)為14元；

（2）①根據(jù)題意，A款紀(jì)念冊(cè)每本降價(jià)加元，可多售出2〃?本A款紀(jì)念冊(cè)，

?.?兩款紀(jì)念冊(cè)每天銷(xiāo)售總數(shù)不變，

...8款紀(jì)念冊(cè)每天的銷(xiāo)售量為（80-2〃?）本；

②設(shè)B款紀(jì)念冊(cè)每天的銷(xiāo)售量與售價(jià)之間滿(mǎn)足的一次函數(shù)關(guān)系是y=kx+b',

根據(jù)表格可得：f°=22k+b',

l78=23k+b,

解得心=-2,

lb'=124

.?.y=-2x+124,

當(dāng)y=80-2加時(shí)，x=22+m,

即B款紀(jì)念冊(cè)每天的銷(xiāo)售量為（80-2〃?）本時(shí)，每本售價(jià)是（22+加）元，

設(shè)該店每天所獲利潤(rùn)是w元，

由已知可得vv=（32-m-20）（40+2m）+（22+m-14）（80-2m）=-

4加+48〃z+1120=-4（w-6）2+1264,

?；-4<0,

；.〃?=6時(shí)，w取最大值，最大值為1264元，

此時(shí)A款紀(jì)念冊(cè)售價(jià)為32-加=32-6=26（元），

答：當(dāng)A款紀(jì)念冊(cè)售價(jià)為26元時(shí)，該店每天所獲利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是1264

元.

【變式3-3]（2022秋?中原區(qū)校級(jí)期中）黨的“二十大”期間，某網(wǎng)店直接從

工廠(chǎng)購(gòu)進(jìn)A、B兩款紀(jì)念“二十大”的鑰匙扣，進(jìn)貨價(jià)和銷(xiāo)售價(jià)如下表：（注：

利潤(rùn)=銷(xiāo)售價(jià)-進(jìn)貨價(jià)）

類(lèi)別A款鑰匙扣8款鑰匙扣

價(jià)格

進(jìn)貨價(jià)（元/3025

件）

銷(xiāo)售價(jià)（元/4537

件）

（1）網(wǎng)店第一次用8500元購(gòu)進(jìn)A、B兩款鑰匙扣共300件，求兩款鑰匙扣分

別購(gòu)進(jìn)的件數(shù)；

（2）第一次購(gòu)進(jìn)的兩款鑰匙扣售完后，該網(wǎng)店計(jì)劃再次購(gòu)進(jìn)A、8兩款鑰匙

扣共800件（進(jìn)貨價(jià)和銷(xiāo)售價(jià)都不變），且進(jìn)貨總價(jià)不高于22000元.應(yīng)如

何設(shè)計(jì)進(jìn)貨方案，才能獲得最大銷(xiāo)售利潤(rùn)，最大銷(xiāo)售利潤(rùn)是多少？

(3)“二十大”臨近結(jié)束時(shí)，8款鑰匙扣還有大量剩余，網(wǎng)店打算把8款鑰

匙扣調(diào)價(jià)銷(xiāo)售.如果按照原價(jià)銷(xiāo)售，平均每天可售4件.經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，每降

價(jià)1元，平均每天可多售2件，為了盡快減少庫(kù)存，將銷(xiāo)售價(jià)定為每件多少

元時(shí)，才能使B款鑰匙扣平均每天銷(xiāo)售利潤(rùn)為90元？

【解答】解：(1)設(shè)購(gòu)進(jìn)A款鑰匙扣x件，8款鑰匙扣)，件，

根據(jù)題意得：卜刁=30°，

l30x+25y=8500

解得：卜=200.

(y=100

答：購(gòu)進(jìn)A款鑰匙扣200件，8款鑰匙扣100件.

(2)設(shè)購(gòu)進(jìn)機(jī)件A款鑰匙扣，則購(gòu)進(jìn)(800-m)件B款鑰匙扣，

根據(jù)題意得：307n+25(800-m)<22000,

解得：〃?W400.

設(shè)再次購(gòu)進(jìn)的A、8兩款鑰匙扣全部售出后獲得的總利潤(rùn)為vv元，則卬=(45

-30)m+(37-25)(800-zn)=3m+9600.

V3>0,

隨機(jī)的增大而增大，

.?.當(dāng)加=400時(shí),w取得最大值,最大值=3X400+9600=10800,此時(shí)800-

"7=800-400=400.

答：當(dāng)購(gòu)進(jìn)400件A款鑰匙扣，400件B款鑰匙扣時(shí)，才能獲得最大銷(xiāo)售利

潤(rùn)，最大銷(xiāo)售利潤(rùn)是10800元.

(3)設(shè)8款鑰匙扣的售價(jià)定為。元，則每件的銷(xiāo)售利潤(rùn)為(a-25)元，平

均每天可售出4+2(37-a)=(78-2a)件，

根據(jù)題意得：(a-25)(78-2a)=90,

整理得:a2-64a+1020=0,

解得：ai=30,02=34.

又???要盡快減少庫(kù)存，

."=30.

答：8款鑰匙扣的售價(jià)應(yīng)定為30元.

【變式3-4](2020?鄂州)一大型商場(chǎng)經(jīng)營(yíng)某種品牌商品，該商品的進(jìn)價(jià)為每件

3元，根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，該商品每周的銷(xiāo)售量y（件）與售價(jià)x（元/件）（x

為正整數(shù)）之間滿(mǎn)足一次函數(shù)關(guān)系，下表記錄的是某三周的有關(guān)數(shù)據(jù)：

x（元/件）456

y（件）1000095009000

（1）求y與x的函數(shù)關(guān)系式（不求自變量的取值范圍）；

（2）在銷(xiāo)售過(guò)程中要求銷(xiāo)售單價(jià)不低于成本價(jià)，且不高于15元/件.若某一

周該商品的銷(xiāo)售量不少于6000件，求這一周該商場(chǎng)銷(xiāo)售這種商品獲得的最大

利潤(rùn)和售價(jià)分別為多少元？

（3）抗疫期間，該商場(chǎng)這種商品售價(jià)不大于15元/件時(shí)，每銷(xiāo)售一件商品便

向某慈善機(jī)構(gòu)捐贈(zèng)〃z元（1W〃ZW6）,捐贈(zèng)后發(fā)現(xiàn)，該商場(chǎng)每周銷(xiāo)售這種商品

的利潤(rùn)仍隨售價(jià)的增大而增大.請(qǐng)直接寫(xiě)出m的取值范圍.

【解答】解：（1）設(shè)y與x的函數(shù)關(guān)系式為：>=履+。（女#0）,

把x=4,y=10000和x=5,y=9500代入得，

<f4k+b=100001

15k+b=9500

解得，［k=-500,

lb=12000

-500x+12000；

（2）根據(jù)“在銷(xiāo)售過(guò)程中耍求銷(xiāo)售單價(jià)不低于成本價(jià)，且不高于15元/件.若

某一周該商品的銷(xiāo)售量不少于6000件，”得，

'x>3

,x415?

-500x+12000>600C

解得，3WxW12,

設(shè)利潤(rùn)為卬元，根據(jù)題意得，

w=G-3）y=（x-3）（-500A-+12000）=-500A-+13500^-36000=-500

（x-13.5）2+55125,

；-500<0,

...當(dāng)“V13.5時(shí),卬隨x的增大而增大，

?；3WxW12,且x為正整數(shù)

.?.當(dāng)x=12時(shí)，w取最大值為:-500X（12-13.5）2+55125=54000,

答：這一周該商場(chǎng)銷(xiāo)售這種商品獲得的最大利潤(rùn)為54000元，售價(jià)為12元;

(3)根據(jù)題意得,卬=(x-3-〃力(-500X+12000)=-500^+(13500+500m)

x-36000-12000/??,

.,?對(duì)稱(chēng)軸為尤=-135Q0+500m=13.5+0.5/??,

-1000

,:-500<0,

...當(dāng)xV13.5+O.5m時(shí)，w隨x的增大而增大，

???該商場(chǎng)這種商品售價(jià)不大于15元/件時(shí)，捐贈(zèng)后發(fā)現(xiàn)，該商場(chǎng)每周銷(xiāo)售這種

商品的利潤(rùn)仍隨售價(jià)的增大而增大.

又為整數(shù)，

...對(duì)稱(chēng)軸在x=14.5的右側(cè)時(shí)，當(dāng)xW15(尤為整數(shù))時(shí)，卬都隨x的增大而增

大，

.1.14.5<13.5+0.5m,解得加>2,

*.*1WmW6,

-W6

【類(lèi)型四：確定取值范圍】

【典例4](2022?新昌縣二模)如圖，是一種單肩包，其背帶由雙層部分、單

層部分和調(diào)節(jié)扣構(gòu)成.小文購(gòu)買(mǎi)時(shí)，售貨員演示通過(guò)調(diào)節(jié)扣加長(zhǎng)或縮短單層

部分的長(zhǎng)度，可以使背帶的長(zhǎng)度(單層部分與雙層部分長(zhǎng)度的和，其中調(diào)節(jié)

扣所占長(zhǎng)度忽略不計(jì))加長(zhǎng)或縮短，設(shè)雙層部分的長(zhǎng)度為x(c〃力，單層部

分的長(zhǎng)度為y(cm).經(jīng)測(cè)量，得到表中數(shù)據(jù).

雙層部分長(zhǎng)度281420

x(cm)

單層部分長(zhǎng)度148136124112

y{cm)

(1)根據(jù)表中數(shù)據(jù)規(guī)伸，求出y與x的函數(shù)關(guān)系式.(不必寫(xiě)出自變量取值

范圍)

(2)設(shè)背帶的長(zhǎng)度為L(zhǎng)(cm),即L=x+y.

①按小文的身高和習(xí)慣，L=130(cm)時(shí)為最佳背帶長(zhǎng)度.請(qǐng)計(jì)算此時(shí)雙層

部分的長(zhǎng)度.

②求L的取值范圍.

雙層部分

調(diào)節(jié)扣

【解答】解：(1)由表格數(shù)據(jù)規(guī)律可知y與x的函數(shù)關(guān)系為一次函數(shù)，設(shè)y

與x的函數(shù)關(guān)系式為(AWO),

由題知，148=2k+b,

I136=8k+b

解得產(chǎn)-2,

lb=152

與尤的函數(shù)關(guān)系式為y=-2r+152；

(2)①根據(jù)題意知卜3=130,

ly=-2x+152

解得(x=22，

]y=108

雙層部分的長(zhǎng)度為22CT??；

②由題知，當(dāng)x=O時(shí)，y=152,

當(dāng)y=O時(shí)，x=76,

...76WLW152.

【變式4-1】(2021?衡陽(yáng))如圖是一種單肩包，其背帶由雙層部分、單層部分和

調(diào)節(jié)扣構(gòu)成.小文購(gòu)買(mǎi)時(shí)，售貨員演示通過(guò)調(diào)節(jié)扣加長(zhǎng)或縮短單層部分的長(zhǎng)

度，可以使背帶的長(zhǎng)度(單層部分與雙層部分長(zhǎng)度的和，其中調(diào)節(jié)扣所占長(zhǎng)

度忽略不計(jì))加長(zhǎng)或縮短，設(shè)雙層部分的長(zhǎng)度為xcm,單層部分的長(zhǎng)度為

ycm.經(jīng)測(cè)量，得到表中數(shù)據(jù).

雙層部分長(zhǎng)度尤(cm)281420

單層部分長(zhǎng)度y(cm)148136124112

(1)根據(jù)表中數(shù)據(jù)規(guī)律，求出y與x的函數(shù)關(guān)系式；

(2)按小文的身高和習(xí)慣，背帶的長(zhǎng)度調(diào)為130cm時(shí)為最佳背帶長(zhǎng).請(qǐng)計(jì)算

此時(shí)雙層部分的長(zhǎng)度;

（3）設(shè)背帶長(zhǎng)度為L(zhǎng)em,求L的取值范圍.

【解答】解：（1）由表格數(shù)據(jù)規(guī)律可知y與x的函數(shù)關(guān)系為一次函數(shù)，設(shè)y

與x的函數(shù)關(guān)系式為（AWO）,

由題知,148=2k+b,

解得（kT,

lb=152

與x的函數(shù)關(guān)系式為>'=-2x+152；

（2）根據(jù)題意知卜切口回，

|y=-2x+152

解得卜=22,

ly=108

雙層部分的長(zhǎng)度為22CT??；

（3）由題知，當(dāng)尤=0時(shí)，y=152,

當(dāng)y=0時(shí)，x=76,

.?.76WLW152.

【變式4-2］（2021?十堰）某商貿(mào)公司購(gòu)進(jìn)某種商品的成本為20元/依，經(jīng)過(guò)市

場(chǎng)調(diào)研發(fā)現(xiàn)，這種商品在未來(lái)40天的銷(xiāo)售單價(jià)y（元/依）與時(shí)間九（天）之

間的函數(shù)關(guān)系式為：y=（0-25x+3°g<x<2：y整數(shù)），且日銷(xiāo)量加（必）

135（20<x<40且x為整數(shù)）

與時(shí)間x（天）之間的變化規(guī)律符合一次函數(shù)關(guān)系，如下表：

時(shí)間X（天）13610???

日銷(xiāo)量m142138132124???

（依）

（1）填空：〃?與x的函數(shù)關(guān)系為m=-2x+144（1WxW40且x為整數(shù)）

（2）哪一天的銷(xiāo)售利潤(rùn)最大？最大日銷(xiāo)售利潤(rùn)是多少？

(3)在實(shí)際銷(xiāo)售的前20天中，公司決定每銷(xiāo)售1依商品就捐贈(zèng)〃元利潤(rùn)(〃

<4)給當(dāng)?shù)馗＠?，后發(fā)現(xiàn)：在前20天中，每天扣除捐贈(zèng)后的日銷(xiāo)售利潤(rùn)

隨時(shí)間x的增大而增大，求〃的取值范圍.

【解答】解：(1)由題意可設(shè)日銷(xiāo)量m(kg)與時(shí)間x(天)之間的一次函

數(shù)關(guān)系式為：m=kx+b(&W0),

將(1,142)和(3,138)代入加=日+。，有：(142=k+b,

I138=3k+b

解得左=-2,8=144,

故m與x的函數(shù)關(guān)系為：m=-2x+144(1WXW40且x為整數(shù))；

(2)設(shè)日銷(xiāo)售利潤(rùn)為W元，根據(jù)題意可得：

當(dāng)lWx〈20且x為整數(shù)時(shí)，W=(0.25x+30-20)(-2x+144)=-

0.5X2+16X+1440=-0.5(x-16)2+1568,

此時(shí)當(dāng)x=16時(shí)，取得最大日銷(xiāo)售利潤(rùn)為1568元，

當(dāng)20Vx<40且尤為整數(shù)時(shí)，W=(35-20)(-2尤+144)=-30x+2160,

此時(shí)當(dāng)x=21時(shí)，取得最大日銷(xiāo)售利潤(rùn)W=-30X21+2160=1530(元)，

綜上所述，第16天的銷(xiāo)售利潤(rùn)最大，最大日銷(xiāo)售利潤(rùn)為1568元；

(3)設(shè)每天扣除捐贈(zèng)后的日銷(xiāo)售利潤(rùn)為P,根據(jù)題意可得：

P=-0.5/+16x+1440-〃(-2x+144)=-0.5/+(16+2〃)x+1440-144〃，其

對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)x=16+2〃，

?.?在前20天中，每天扣除捐贈(zèng)后的日銷(xiāo)售利潤(rùn)隨時(shí)間x的增大而增大，旦x

只能取整數(shù)，故只要第20天的利潤(rùn)高于第19天，即對(duì)稱(chēng)軸要大于19.5

，16+2〃>19.5,求得〃>1.75,

又，尺%

的取值范圍是：1.75</<4,

答：〃的取值范圍是1.75<?<4,

【變式4-3](2022?黃岡模擬)某商貿(mào)公司購(gòu)進(jìn)某種商品的成本為20元/千克，

經(jīng)過(guò)市場(chǎng)調(diào)研發(fā)現(xiàn)，這種商品在未來(lái)40天的銷(xiāo)售單價(jià)y(元/千克)與時(shí)間尤

(天)之間的函數(shù)關(guān)系式為：y=1S25x+,g<x<20),且尤為整數(shù)，且日

[35(20<x<40)

銷(xiāo)量機(jī)(千克)與時(shí)間x(天)之間的變化規(guī)律符合一次函數(shù)關(guān)系，如表：

時(shí)間x(天)13610…

日銷(xiāo)量加:千142138132124…

克）

（1）求機(jī)與x的函數(shù)關(guān)系式；

（2）當(dāng)1WXW20時(shí)，最大日銷(xiāo)售利潤(rùn)是多少？

（3）求：在未來(lái)40天中，有多少天銷(xiāo)售利潤(rùn)不低于1550元？

【解答】解：（1）由題意可設(shè)日銷(xiāo)量m（kg）與時(shí)間x（天）之間的一次函

數(shù)關(guān)系式為：m=kx+h（攵W0）,

將（1,142）和（3,138）代入加=日+4有：（142=k+b，

I138=3k+b

解得人=-2,6=144,

故，”與x的函數(shù)關(guān)系為：加=-2x+144（1或無(wú)或40且%為整數(shù)）；

（2）設(shè)日銷(xiāo)售利潤(rùn)為W元，根據(jù)題意可得：

當(dāng)1WxW20且x為整數(shù)時(shí)，W=（0.25x+30-20）（-2x+144）=-

0.5^+16%+1440=-0.5（x-16）2+1568,

此時(shí)當(dāng)x=16時(shí)，取得最大日銷(xiāo)售利潤(rùn)為1568元，

.,.第16天的銷(xiāo)售利潤(rùn)最大,最大日銷(xiāo)售利潤(rùn)為1568元；

（3）由（2）得，當(dāng)1〈JCW20且x為整數(shù)時(shí)，W=-0.5（x-16）2+156,

令卬=1550,得1550=-0.5（%-16）2+1568,

解得：xi=10,也=22.

V-1<0,對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)x=16,10WxW20,共11天.

2

當(dāng)20VxW40且尤為整數(shù)時(shí)，W=（35-20）（-2x+144）=-30x+2160,

令W=1550,得1550=-30A+2160,

解得：x=K

3

：-30<0,

.-.20<x<ll,無(wú)整數(shù)解，即0天.

3

綜上所述，在未來(lái)40天中，有11天銷(xiāo)售利潤(rùn)不低于1550元.

【變式4-4］（2021?河北）如圖是某機(jī)場(chǎng)監(jiān)控屏顯示兩飛機(jī)的飛行圖象，1號(hào)指

揮機(jī)（看成點(diǎn)P）始終以3km/min的速度在離地面5km高的上空勻速向右飛

行，2號(hào)試飛機(jī)（看成點(diǎn)。）一直保持在1號(hào)機(jī)P的正下方.2號(hào)機(jī)從原點(diǎn)。

處沿45°仰角爬升，到4km高的A處便立刻轉(zhuǎn)為水平飛行，再過(guò)lmi〃到達(dá)B

處開(kāi)始沿直線(xiàn)3C降落，要求1機(jī)山后到達(dá)C(10,3)處.

(1)求OA的"關(guān)于s的函數(shù)解析式，并直接寫(xiě)出2號(hào)機(jī)的爬升速度;

(2)求BC的〃關(guān)于s的函數(shù)解析式，并預(yù)計(jì)2號(hào)機(jī)著陸點(diǎn)的坐標(biāo)；

(3)通過(guò)計(jì)算說(shuō)明兩機(jī)距離PQ不超過(guò)3km的時(shí)長(zhǎng)是多少.

：.OA上的點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)相同.

(4,4).

設(shè)。A的解析式為：h=ks,

4k=4.

：.k=l.

.??Q4的解析式為：h=s.

???2號(hào)試飛機(jī)一直保持在1號(hào)機(jī)的正下方，

...它們的飛行的時(shí)間和飛行的水平距離相同.

???2號(hào)機(jī)在爬升到A處時(shí)水平方向上移動(dòng)了4km,飛行的距離為4&加,

又1號(hào)機(jī)的飛行速度為3km/min,

.".2號(hào)機(jī)的爬升速度為：4近+生=3近km/min.

3

(2)設(shè)3c的解析式為h=ms+n,

由題意：B(7,4),

..(7m+n=4

110m+n=3

1

m-石

解得：

19

.??8C的解析式為/?=」s包

33

令h=0,則s=19.

，預(yù)計(jì)2號(hào)機(jī)著陸點(diǎn)的坐標(biāo)為（19,0）.

（3）解法-：?.?P。不超過(guò)3切?，

.*.5-但3.

‘5-s43（04s44）

：.PQ=，1（4<S<7）,

5-<3（74s419）

解得:24W13.

???兩機(jī)距離PQ不超過(guò)3k%的時(shí)長(zhǎng)為：（13-2）~?3=旦（m%）.

3

解法二：當(dāng)尸。=36時(shí)，力=5-3=2（km）,

???〃=$,

/?5=2.

由2=卷$吟■得：s=13，

二?兩機(jī)距離PQ不超過(guò)女機(jī)的時(shí)長(zhǎng)為：,13;21（加〃）.

33

【變式4-5]（2021?揚(yáng)州）甲、乙兩汽車(chē)出租公司均有50輛汽車(chē)對(duì)外出租，下

面是兩公司經(jīng)理的一段對(duì)話(huà)：

甲公司經(jīng)理：如果我公司每輛汽車(chē)月租費(fèi)3000元，那么50輛汽車(chē)可以全部

租出.如果每輛汽車(chē)的月租費(fèi)每增加50元，那么將少租出1輛汽車(chē).另外，

公司為每輛租出的汽車(chē)支付月維護(hù)費(fèi)200元.

乙公司經(jīng)理：我公司每輛汽車(chē)月租費(fèi)3500元，無(wú)論是否租出汽車(chē)，公司均需

一次性支付月維護(hù)費(fèi)共計(jì)1850元.

說(shuō)明：①汽車(chē)數(shù)量為整數(shù)；②月利潤(rùn)=月租車(chē)費(fèi)-月維護(hù)費(fèi)；③兩公司月利

潤(rùn)差=月利潤(rùn)較高公司的利潤(rùn)-月利潤(rùn)較低公司的利潤(rùn).

在兩公司租出的汽車(chē)數(shù)量相等的條件下，根據(jù)上述信息，解決下列問(wèn)題：

（1）當(dāng)每個(gè)公司租出的汽車(chē)為10輛時(shí)，甲公司的月利潤(rùn)是48000元；

當(dāng)每個(gè)公司租出的汽車(chē)為37輛時(shí),兩公司的月利潤(rùn)相等；

(2)求兩公司月利潤(rùn)差的最大值；

(3)甲公司熱心公益事業(yè)，每租出1輛汽車(chē)捐出a元(?>0)給慈善機(jī)構(gòu),

如果捐款后甲公司剩余的月利潤(rùn)仍高于乙公司月利潤(rùn)，且當(dāng)兩公司租出的汽

車(chē)均為17輛時(shí)，甲公司剩余的月利潤(rùn)與乙公司月利潤(rùn)之差最大，求a的取值

范圍.

【解答】解：(1)[(50-10)X50+3000]X10-200X10=480007G,

當(dāng)每個(gè)公司租出的汽車(chē)為10輛時(shí)，甲公司的月利潤(rùn)是48000元；

設(shè)每個(gè)公司租出的汽車(chē)為x輛，

由題意可得：[(50-x)X50+3000]%-200A-=3500A--1850,

解得：彳=37或%=-1(舍)，

當(dāng)每個(gè)公司租出的汽車(chē)為37輛時(shí)，兩公司的月利潤(rùn)相等；

(2)設(shè)兩公司的月利潤(rùn)分別為y甲，丁乙，月利潤(rùn)差為y,

則y甲=[(50-x)X50+3000]%-200^,

y乙=35O(k-1850,

當(dāng)甲公司的利潤(rùn)大于乙公司時(shí)，0VxV37,

y=y甲-y乙=[(50-x)X5O+3OOOU-200x-(3500%-1850)

=-50^+1800%+1850,

當(dāng)x=-1800=18時(shí),利潤(rùn)差最大，且為18050元；

-50X2

當(dāng)乙公司的利潤(rùn)大于甲公司時(shí)，37<xW50,

y=y乙-y巾=3500x-1850-[(50-x)X50+3000]x+200x

=50^-1800A-1850,

,對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)二=「180°=18,50>0,

50X2

.?.當(dāng)37VxW50時(shí)，y隨x的增大而增大，

.?.當(dāng)x=50時(shí)，利潤(rùn)差最大，且為33150元,

綜上：兩公司月利潤(rùn)差的最大值為33150元；

(3)..?捐款后甲公司剩余的月利潤(rùn)仍高于乙公司月利潤(rùn)，

則利潤(rùn)差為y=-50x2+1800^+1850-ar=-50/+(1800-a)x+1850,

對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)x=1800。,

100

只能取整數(shù)，且當(dāng)兩公司租出的汽車(chē)均為17輛時(shí)，月利潤(rùn)之差最大，

A16,5<18QQ-a<17.5,

100

解得：50<a<150

【類(lèi)型五：拱形問(wèn)題】

【典例5](2022?陜西)現(xiàn)要修建一條隧道，其截面為拋物線(xiàn)型，如圖所示，

線(xiàn)段OE表示水平的路面，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以O(shè)E所在直線(xiàn)為x軸，以過(guò)

點(diǎn)。垂直于x軸的直線(xiàn)為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系.根據(jù)設(shè)計(jì)要求：OE=

10m,該拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)P到OE的距離為9m.

(1)求滿(mǎn)足設(shè)計(jì)要求的拋物線(xiàn)的函數(shù)表達(dá)式；

(2)現(xiàn)需在這一隧道內(nèi)壁上安裝照明燈，如圖所示，即在該拋物線(xiàn)上的點(diǎn)A、

B處分別安裝照明燈.已知點(diǎn)A、B到OE的距離均為6m,求點(diǎn)A、B的坐標(biāo).

【解答】解：(1)由題意拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)P(5,9),

,可以假設(shè)拋物線(xiàn)的解析式為y=a(x-5)2+9,

把(0,0)代入，可得a=--t，

25

.?.拋物線(xiàn)的解析式為曠=-言(x-5)2+9；

(2)令y=6,得-_叢(x-5)?+9=6,

25

解得xi=5愿+5,%2=-包巨+5,

33

(5--5^1,6),B(5+^Zl,6).

33

【變式5-1](2022?柯城區(qū)校級(jí)三模)如圖，隧道的截面由拋物線(xiàn)OEC和矩形

ABC。構(gòu)成，矩形的長(zhǎng)AB為4加，寬BC為3m,以0c所在的直線(xiàn)為x軸，

線(xiàn)段8的中垂線(xiàn)為〉軸，建立平面直角坐標(biāo)系.y軸是拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸，最

高點(diǎn)E到地面距離為4米.

(1)求出拋物線(xiàn)的解析式.

(2)在距離地面莖?米高處，隧道的寬度是多少？

4

(3)如果該隧道內(nèi)設(shè)單行道(只能朝一個(gè)方向行駛)，現(xiàn)有一輛貨運(yùn)卡車(chē)高

3.6米，寬2.4米，這輛貨運(yùn)卡車(chē)能否通過(guò)該隧道？通過(guò)計(jì)算說(shuō)明你的結(jié)論.

【解答】解：(1)根據(jù)題意得：。(-2,0),C(2,0),E((0,1),

設(shè)拋物線(xiàn)的解析式為y=o?+i(“wo),

把。(-2,0)代入得：4a+l=0,

解得“=-工，

4

...拋物線(xiàn)的解析式為了=-/2+1；

(2)在y=-工『+1中，令^=衛(wèi)-3=>1得:

444

A=-Jbr+L

44

解得x=土巡，

距離地面區(qū)米高處，隧道的寬度是2愿〃?；

4

(3)這輛貨運(yùn)卡車(chē)能通過(guò)該隧道，理由如下:

在、=-匕2+1中，令y=3.6-3=0.6得：

4

0.6=-Aj?+l,

4_

解得x=±2叵，

5

，|2x|=4百^=2.53（w）,

5

V2.53>2,4,

...這輛貨運(yùn)卡車(chē)能通過(guò)該隧道.

【變式5-2］（2022?諸暨市模擬）如圖1,一個(gè)移動(dòng)噴灌架?chē)娚涑龅乃骺梢越?/p>

似地看成拋物線(xiàn).圖2是噴灌架為一坡地草坪噴水的平面示意圖，噴水頭的

高度（噴水頭距噴灌架底部的距離）是1米，當(dāng)噴射出的水流與噴灌架的水

平距離為10米時(shí)，達(dá)到最大高度6米，現(xiàn)將噴灌架置于坡地底部點(diǎn)。處，草

坡上距離。的水平距離為15米處有一棵高度為1.2米的小樹(shù)AB,AB垂直水

平地面且A點(diǎn)到水平地面的距離為3米.

（1）計(jì)算說(shuō)明水流能否澆灌到小樹(shù)后面的草地.

（2）記水流的高度為yi,斜坡的高度為"，求的最大值.

（3）如果要使水流恰好噴射到小樹(shù)頂端的點(diǎn)B,那么噴射架應(yīng)向后平移多少

米？

【解答】解：（1）由題可知：拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)為（10,6）,

設(shè)水流形成的拋物線(xiàn)為y=a（A-10）2+6,

將點(diǎn)（0,1）代入可得。=」，

20

?..拋物線(xiàn)為y=W（X-10）2+6，

當(dāng)x=15時(shí)，y=-AX25+6=4.75>4.2,

20

答：能澆灌到小樹(shù)后面的草坪；

（2）由題可知A點(diǎn)坐標(biāo)為（15,3）,

則直線(xiàn)。4為片1^，

.?"「丫2=擊―10）2+6冬=*2春+1=_擊&8）2等

答：yi-”的最大值為譽(yù)；

（3）設(shè)噴射架向后平移了加米，

則平移后的拋物線(xiàn)可表示為y=^（X-10.）2+6，

將點(diǎn)8（15,4.2）代入得：加=1或加=-11（舍去），

答：噴射架應(yīng)向后移動(dòng)1米.

【變式5-3]（2022?臺(tái)州）如圖1,灌溉車(chē)沿著平行于綠化帶底部邊線(xiàn)/的方向

行駛，為綠化帶澆水.噴水口“離地豎直高度為。（單位：m）.如圖2,可

以把灌溉車(chē)噴出水的上、下邊緣抽象為平面直角坐標(biāo)系中兩條拋物線(xiàn)的部分

圖象；把綠化帶橫截面抽象為矩形OEFG,其水平寬度?！?3加，豎直高度為

EF的長(zhǎng).下邊緣拋物線(xiàn)是由上邊緣拋物線(xiàn)向左平移得到，上邊緣拋物線(xiàn)最高

點(diǎn)A離噴水口的水平距離為2m，高出噴水口05”，灌溉車(chē)到/的距離0。為

d（單位：機(jī)）.

（1）若仁1.5,EF=0.5m.

①求上邊緣拋物線(xiàn)的函數(shù)解析式，并求噴出水的最大射程O(píng)C；

②求下邊緣拋物線(xiàn)與x軸的正半軸交點(diǎn)B的坐標(biāo)；

③要使灌溉車(chē)行駛時(shí)噴出的水能澆灌到整個(gè)綠化帶，求d的取值范圍.

（2）若EF=\m.要使灌溉車(chē)行駛時(shí)噴出的水能澆灌到整個(gè)綠化帶，請(qǐng)直接

寫(xiě)出的最小值.

A

圖I圖2

【解答】解：（1）①如圖1，由題意得A（2,2）是上邊