復(fù)變函數(shù)與積分變換期末考試試卷(A卷)

復(fù)變函數(shù)與積分變換期末考試試卷〔A卷〕

一、單項(xiàng)選擇題（本大題共15小題，每題2分，共30分）

在每題列出的四個(gè)備選項(xiàng)中只有一個(gè)是符合題目要求的，請(qǐng)將其代碼填寫(xiě)在題后的括號(hào)內(nèi)。錯(cuò)選、多項(xiàng)

選擇或未選均無(wú)分。

1.以下復(fù)數(shù)中,位于第四象限的復(fù)數(shù)是1）

A.4+3iB.-3-3iC.-l+3iD.5-3i

2.以下等式中,不成立的等式是（）

A.z-z=Re(z-z)B.arg(-3z)=arg(-f)

3.不等式|z|>3所表示的區(qū)域?yàn)椋ǎ?/p>

A.圓的外部B.上半平面C.角形區(qū)域D.圓的內(nèi)部

2

4.積分—心的值為0

J|z|=3Z—2

A.8力B.2C.D.4M

5.以下函數(shù)中，在整個(gè)復(fù)平面上解析的函數(shù)是（）

6.在復(fù)平面上，以下命題中，錯(cuò)誤的選項(xiàng)是（）

A.cosz是周期函數(shù)B.ez是解析函數(shù)

7.在以下復(fù)數(shù)中，使得e'=0+0，成立的是〔）

設(shè)C為正向圓周|z1=1,那么積分［0生等于1

8.

JccosZ

A.2兀B.2兀iC.0D.—2兀

1

9.設(shè)C為正向圓周|z|=2,那么dz等于（）

c(z-l-z)2

A.—B.OC.2mD.-27ri

2兀i

10.以下關(guān)于級(jí)數(shù)的命題不正確的選項(xiàng)是（）

n00

003+2i（1

A.級(jí)數(shù)ZI是絕對(duì)收斂的B.級(jí)數(shù)Z一十是收斂的

n-07n=2\Tn(n-l))

00"11(-1)"/"001

C.級(jí)數(shù)Z是收斂的D.級(jí)數(shù)X是收斂的

n=0\2"n)n=22"4

11.z3=l+i,那么以下正確的選項(xiàng)是。

12.以下關(guān)于幕級(jí)數(shù)的表達(dá)，不正確的選項(xiàng)是〔）

A.在收斂圓內(nèi)，幕級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂B.在收斂圓外，幕級(jí)數(shù)發(fā)散

C.在收斂圓周上，可能收斂，也可能發(fā)散D.在收斂圓周上，條件收斂

13.z=0是函數(shù)，一的0

zsinz

A.本性奇點(diǎn)B.一級(jí)極點(diǎn)

C.二級(jí)極點(diǎn)D.可去奇點(diǎn)

14.三您三在點(diǎn)z="處的留數(shù)為()

Z-7T

A.-7TB.71C.lD.-1

15.關(guān)于。=lim史二以下命題正確的選項(xiàng)是()

Zf°Z

A.69=OB.口不存在C.啰=—ID.69=1

二、填空題〔本大題共5小題，每題2分，共10分〕

16.復(fù)數(shù)z=sin—+icos—的三角形式為.

33

17./(z)=(x2+ay2+x)+i(bxy+y)在復(fù)平面上可導(dǎo)，那么a+b=.

18.設(shè)函數(shù)f(z)=^3te'dt,那么/(z)等于.

co(

19.基極數(shù)￡—爐的收斂半徑為.

n=in

20.設(shè)Z]=—1+z,Zj=1—A/3z>

三、計(jì)算題〔本大題共4小題，每題7分，共28分〕

21.設(shè)。為從原點(diǎn)到2+3i的直線段，計(jì)算積分/=Jj(x—2川+比對(duì)近

22.設(shè)F(z)=',+cosz.⑴求/(z)的解析區(qū)域，⑵求廣(z).

4-z

1

23.將函數(shù)/(z)在點(diǎn)z=0處展開(kāi)為泰勒級(jí)數(shù).

(z—l)(z—2)

1

24.將函數(shù)/(z)=在圓環(huán)0<|z—1|<8內(nèi)展開(kāi)成洛朗級(jí)數(shù).

四、綜合題〔共4小題，每題8分，共32分〕

25.u(x,y)^x2-y2+2x,求一解析函數(shù)/(2)=”(羽丁)+2(％,>),并使/(0)=21。

26?計(jì)算Ldz

(z-l)2(z+l)(z-3),

-1,-l<Z<0

27.求函數(shù)=<1,0<?<l的傅氏變換。

0,其它

28.求函數(shù)/⑺=cos3/的拉氏變換

復(fù)變函數(shù)與積分變換期末試卷答案

一、選擇題

1.D.2.C.3.A4.D5.B6.D7.A8.C9.B10.Dll.B

12.D13.C14.A15.B

二、填空題

jl.71

16.z=cos—1~isin—,17.1,18.3(z/—/+1),

66

_1_6+(舊

19.1,20.

4

三、計(jì)算題〔本大題共4小題，每題7分，共28分〕

21.設(shè)C為從原點(diǎn)到2+3i的直線段，計(jì)算積分/=「［(%—2y)+時(shí)］dz

解：設(shè)曲線C的參數(shù)方程為C:z=(2+3z>0<?<1.2^

/=Jc[(x-2y)+ixy]dz=￡(2?-6t+6?2z)(2+3i)dt2分

=J；(—4/+6rz)(2+3i)力=(2+3,)(—2/+2力)匕2分

=—10—2z：l分

22.設(shè)/(z)=—^+cosz.⑴求/'(z)的解析區(qū)域，⑵求;"(z).

4-z

解：⑴由方程4-Z2=0^Z=±2,2分

故于(z)的解析區(qū)域?yàn)镃\{2,-2).1分

/zY,

⑵jf'(z)=------+(cosz)l分

14一zJ

"(4—Z?)——'Z(2z)

一sin22分

(j2)2

ez(4-z2+2z)

所以r(z)=-sin2.1分

(4"

1

23.將函數(shù)/(z)=在點(diǎn)z=0處展開(kāi)為泰勒級(jí)數(shù).

(z—l)(z—2)

11

解：/(z)=H----------1分

(z-l)(z-2)(z-2)(1-z)

1

H-1-分-----

(1—Z)

4￡百+/”3分

乙n=0\z7〃=0

oonoo

=Z訶+="1分

n=0乙n=0

|z|<l.l分

1

ez~x

24.將函數(shù)/(z);在圓環(huán)0<|z—1|<00內(nèi)展開(kāi)成洛朗級(jí)數(shù).

(Z—l)2

解:，的泰勒展式為e，

且為函數(shù)的孤立奇點(diǎn),1分

1100-37

故e”的羅朗展式為eK=￡、z—”,2分

n-01

1

所以1分

001

=E分

n+21

n=0n!(z-l)

四、綜合題〔共4小題，每題8分，共32分〕

25.M(X,y)=x2-y2+2x,求一解析函數(shù)/(z)="(x,y)+\(x,y),并使/(0)=2i。

解：由柯西一黎曼方程得

1=-，=2/1分

dxdy

所以v(%,y)=，)2yd%+C(y)=2盯+C(y).2分

—=2x+C'(y)=—=2x+2,2^-

dydx

所以C(y)=『C'(y)公+。=2丁+。.1分

所以v(x,y)=2xy+2y+C.

22

從而f(z)=x-y+2x+(2xy+2y+C)i.

又/(0)=C=2i.所以C=2.1分

所以/(z)=x2-y2+2x+(2xy+2y+2)i.1分

26?計(jì)算Ldz

(Z-1)2(Z+1)(Z-3)-

解：由柯西積分定理得1分

11

(z+l)(z—3)(z—l)2(z—3)

原式=“idz+2mdz2分

(Zf2|z+”=；(z+1)

(1)2M

二17ii+(Z-1)2(Z-3)3分

(z+l)(z—3Tz--l

Z=1

=2m——2/z-網(wǎng)1分

(z+l)2(z—3)2Z=1,16

=-"1分

8

-L-l<?<0

27.求函