2024年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)（全國(guó)版）專題23 圖形的相似與位似【十四大題型】（舉一反三）（解析版）

專題23圖形的相似與位似【十四大題型】TOC\o"1-3"\h\u【題型1利用比例的性質(zhì)求值】 4【題型2黃金分割】 5【題型3由平行線分線段成比例判斷式子正誤】 9【題型4平行線分線段成比例（A型）】 12【題型5平行線分線段成比例（X型）】 16【題型6平行線分線段成比例（AX型）】 19【題型7平行線分線段成比例的常用輔助線之平行線】 22【題型8平行線分線段成比例的常用輔助線之垂線】 27【題型9相似多邊形的性質(zhì)】 34【題型10畫已知圖形放大或縮小n倍后的位似圖形】 39【題型11求位似圖形的坐標(biāo)】 44【題型12求位似圖形的線段長(zhǎng)度】 47【題型13坐標(biāo)系中求位似圖形的周長(zhǎng)】 50【題型14求位似圖形的面積】 53【知識(shí)點(diǎn)圖形的相似與位似】1.比例線段的概念與性質(zhì)線段的比的定義：兩條線段的比是兩條線段的長(zhǎng)度之比．比例線段的定義：對(duì)于四條線段a、b、c、d，如果其中兩條線段的比（即它們的長(zhǎng)度的比)與另兩條線段的比相等，如ab=cd（即ad=bc），我們就說(shuō)這四段線段是成比例線段，簡(jiǎn)稱比例線段.其中a、b、c、d叫組成比例的項(xiàng)；a、d叫比的外項(xiàng)，【補(bǔ)充】當(dāng)比的內(nèi)項(xiàng)相等時(shí)，即ab=bd或a：b=b：d，線段b叫做線段a【解題思路】1）判斷四條線段是否成比例，需要將這四條線段從小到大依次排列，再判斷前兩條線段的比與后兩條線段的比是否相等即可；2）成比例的線段是有順序的，比如：a、b、c、d是成比例的線段，則成比例線段只能寫成ab=cd（即：比例的性質(zhì)：1）基本性質(zhì)：ab=2）變形：ab=c3）合、分比性質(zhì)：a【補(bǔ)充】實(shí)際上，比例的合比性質(zhì)可擴(kuò)展為：比例式中等號(hào)左右兩個(gè)比的前項(xiàng)，后項(xiàng)之間發(fā)生同樣和差變化比例仍成立．如：a4）等比性質(zhì)：如果ab=cd=【補(bǔ)充】根據(jù)等比的性質(zhì)可推出，如果ab=c5）黃金分割：點(diǎn)C把線段AB分割成AC和CB兩段,如果ACAB=BCAC,那么線段AB被點(diǎn)C黃金分割，點(diǎn)C叫做線段AB的黃金分割點(diǎn)，AC【注意】1）AC=5-12AB≈0.648AB(52）一條線段的黃金分割點(diǎn)有兩個(gè).【擴(kuò)展】作一條線段的黃金分割點(diǎn)：如圖，已知線段AB，按照如下方法作圖：①經(jīng)過(guò)點(diǎn)B作BD⊥AB，使BD=12②連接AD，在DA上截取DE=DB.③在AB上截取AC=AE.則點(diǎn)C為線段AB的黃金分割點(diǎn).6）平行線分線段成比例定理平行線分線段成比例定理:三條平行線截兩條直線,所截得的對(duì)應(yīng)線段成比例.①已知l3∥l4∥l5,可得ABBC①把平行線分線段成比例的定理運(yùn)用到三角形中，會(huì)出現(xiàn)下面的兩種情況：

推論：平行于三角形一邊的直線截其它兩邊（或兩邊的延長(zhǎng)線）所得的對(duì)應(yīng)線段成比例．2.相似多邊形的性質(zhì)：1）相似多邊形的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例.2)相似多邊形的周長(zhǎng)比等于相似比，相似三角形的面積比等于相似比的平方.3.位似圖形位似圖形的定義:如果兩個(gè)圖形不僅是相似圖形,且對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線相交于一點(diǎn),對(duì)應(yīng)線段相互平行,那么這樣的兩個(gè)圖形叫做位似圖形,位似圖形對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線的交點(diǎn)是位似中心.常見(jiàn)的位似圖形：畫位似圖形的方法：兩個(gè)位似圖形可能位于位似中心的兩側(cè)，也可能位于位似中心的同側(cè).（即畫位似圖形時(shí)，注意關(guān)于某點(diǎn)的位似圖形有兩個(gè).）判斷位似圖形的方法：首先看這兩個(gè)圖形是否相似，再看對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線是否經(jīng)過(guò)位似中心.位似圖形的性質(zhì)：1)位似圖形的對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的連線所在直線相交與一點(diǎn)；2）位似圖形的對(duì)應(yīng)邊互相平行或者共線.3)位似圖形上任意一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)到位似中心的距離之比等于相似比.4)在平面直角坐標(biāo)系中，如果位似變換是以原點(diǎn)為中心，相似比為k，那么位似圖形對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)的比等于k或–k.畫位似圖形的步驟：1）確定位似中心,找原圖形的關(guān)鍵點(diǎn).2）確定位似比.3）以位似中心為端點(diǎn)向各關(guān)鍵點(diǎn)作射線.【題型1利用比例的性質(zhì)求值】【例1】（2023·浙江·統(tǒng)考中考真題）小慧同學(xué)在學(xué)習(xí)了九年級(jí)上冊(cè)“4.1比例線段”3節(jié)課后，發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)內(nèi)容是一個(gè)逐步特殊化的過(guò)程，請(qǐng)?jiān)跈M線上填寫適當(dāng)?shù)臄?shù)值，感受這種特殊化的學(xué)習(xí)過(guò)程．圖中橫線處應(yīng)填

【答案】2【分析】根據(jù)題意得出a=【詳解】解：∵a∴a∴ac故答案為：2．【點(diǎn)睛】本題考查了比例的性質(zhì)，熟練掌握比例的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式1-1】（2023·四川甘孜·統(tǒng)考中考真題）若xy=2，則x【答案】1【分析】根據(jù)比例的性質(zhì)解答即可．【詳解】解：∵xy∴x-故答案為：1．【點(diǎn)睛】本題考查了比例的性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是掌握比例的性質(zhì)．【變式1-2】（2023·湖南岳陽(yáng)·?？家荒＃┮阎獂2=y3=z5【答案】4【分析】設(shè)x2=y3=z5=k，再用k表示x【詳解】解：設(shè)x2則x=2k，y=3那么3x解得，k=2則x=4故答案為：4【點(diǎn)睛】本題考查了比例的性質(zhì)，解答關(guān)鍵是用k表示x、y、z，構(gòu)造方程求解．【變式1-3】（2023·浙江·模擬預(yù)測(cè)）用“▲”，“●”，“◆”分別表示三種物體的重量，若▲●=●-◆▲=◆●A．2:3:4 B．2:4:3 C．3:4:5 D．3:5:4【答案】B【分析】可設(shè)▲●=●-◆▲=◆●+▲=k，利用等比性質(zhì)可得k的值，設(shè)▲為x，●為y，【詳解】解：設(shè)▲●=●-◆▲=◆●+▲=k，∴k=∴x=∴y=2∴▲，●，◆這三種物體的重量比為2:4:3．故選：B．【點(diǎn)睛】考查比例性質(zhì)的應(yīng)用；利用等比性質(zhì)得到所給比值的確定值是解決本題的關(guān)鍵．【題型2黃金分割】【例2】（2023·廣東云浮·統(tǒng)考一模）如圖，在△ABC中，∠A=36°，AB=AC，以點(diǎn)B為圓心任意長(zhǎng)為半徑畫弧，分別交AB，BC于點(diǎn)M，N，再分別以點(diǎn)M，N為圓心，大于12MN的長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)A．5-1 B．3-5 C．5【答案】B【分析】證AD=BD=BC，再證△BDC∽△ABC，得BCAC=【詳解】解：∵∠A∴∠ABC由題意得：BD平分∠ABC∴∠ABD∴∠ABD∴AD∵∠CBD=∠∴△BDC∴BCAC∴ADAC∴點(diǎn)D是AC的黃金分割點(diǎn)，AD>∵AB=2∴AD∴CD故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了黃金分割、等腰三角形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)和相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式2-1】（2023·上海楊浦·統(tǒng)考一模）已知P是線段AB的黃金分割點(diǎn)，且AP>BP，那么下列等式能成立的是（A．ABAP=APC．APBP=5【答案】A【分析】本題考查黃金分割點(diǎn)，根據(jù)黃金分割點(diǎn)的定義得出線段比例關(guān)系，選出正確選項(xiàng)，解題的關(guān)鍵是掌握黃金分割點(diǎn)的性質(zhì)．【詳解】解：如圖，∵點(diǎn)P是線段AB的黃金分割點(diǎn)，且AP>∴APAB故選：A．【變式2-2】（2023·四川達(dá)州·統(tǒng)考中考真題）如圖，樂(lè)器上的一根弦AB=80cm，兩個(gè)端點(diǎn)A,B固定在樂(lè)器板面上，支撐點(diǎn)C是靠近點(diǎn)B的黃金分割點(diǎn)，支撐點(diǎn)D是靠近點(diǎn)A的黃金分割點(diǎn)，【答案】(80【分析】黃金分割點(diǎn)是指把一條線段分割為兩部分，使其中一部分與全長(zhǎng)之比等于另一部分與這部分之比．其比值是一個(gè)無(wú)理數(shù)，用分?jǐn)?shù)表示為5-【詳解】解：弦AB=80cm，點(diǎn)C是靠近點(diǎn)B的黃金分割點(diǎn)，設(shè)BC=∴80-x80=點(diǎn)D是靠近點(diǎn)A的黃金分割點(diǎn)，設(shè)AD=y，則∴80-y80=∴C,D之間的距離為故答案為：(805【點(diǎn)睛】本題主要考查線段成比例，掌握線段成比例，黃金分割點(diǎn)的定義是解題的關(guān)鍵．【變式2-3】（2023·安徽·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，AB為半圓O的直徑，點(diǎn)O為圓心，點(diǎn)C是弧上的一點(diǎn)，沿CB為折痕折疊BC交AB于點(diǎn)M，連接CM，若點(diǎn)M為AB的黃金分割點(diǎn)（BM>AM），則

A．5-12 B．5+12 C【答案】A【分析】過(guò)點(diǎn)M作MD⊥CB，垂足為D，延長(zhǎng)MD交半⊙O于點(diǎn)M'，連接CM'，BM'，根據(jù)折疊的性質(zhì)可得：∠CMB=∠CM'B，BC⊥MM'，從而可得∠BDM=90°【詳解】解：過(guò)點(diǎn)M作MD⊥CB，垂足為D，延長(zhǎng)MD交半⊙O于點(diǎn)M'，連接

由折疊得：∠CMB=∠CM∴∠BDM∵點(diǎn)M為AB的黃金分割點(diǎn)（BM>∴BMAB∵AB為半圓O的直徑，∴∠ACB∴∠ACB∵∠DBM∴△DBM∴DMAC∵四邊形ACM'B是半∴∠A∵∠AMC+∠CMB∴∠A∴CA=在Rt△CDM中，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，黃金分割，解直角三角形，翻折變換（折疊問(wèn)題），圓周角定理，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．【題型3由平行線分線段成比例判斷式子正誤】【例3】（2023·青海西寧·統(tǒng)考中考真題）如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，分別以點(diǎn)A和點(diǎn)C為圓心，大于12AC的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧相交于P，Q兩點(diǎn)，作直線PQ交AB，AC于點(diǎn)D，E

A．直線PQ是AC的垂直平分線 B．CDC．DE=12【答案】D【分析】根據(jù)直線PQ是AC的垂直平分線、平行線分線段成比例、三角形中位線定理、相似三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，分別進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：A．由作圖過(guò)程可知，直線PQ是AC的垂直平分線，故選項(xiàng)正確，不符合題意；B．由作圖過(guò)程可知，直線PQ是AC的垂直平分線，∴點(diǎn)E是AC的中點(diǎn)，AD=在△ABC中，∠∴DE∥∴ADBD即點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，∴CD=故選項(xiàng)正確，不符合題意；C．∵點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)E是AC的中點(diǎn)，∴DE是△ABC∴DE=故選項(xiàng)正確，不符合題意；D．∵DE∥∴△ADE∴S△∴S△故選項(xiàng)錯(cuò)誤，符合題意．故選：D．【點(diǎn)睛】此題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)、平行線分線段成比例定理、垂直平分線的性質(zhì)、三角形中位線定理等知識(shí)，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)、平行線分線段成比例定理是解題的關(guān)鍵．【變式3-1】（2023·黑龍江哈爾濱·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，在△ABC中，D、E分別為AB、AC邊的中點(diǎn)，連接DE，點(diǎn)F為BC邊上一點(diǎn)，BF=2FC，連接AF

A．ANAF=12 B．DNDE=2【答案】C【分析】根據(jù)平行線分線段成比例定理，可推出AN=NF【詳解】解：∵D、E分別為AB、∴DE∥∴AD∴ANAF=12∴NEFC∵BF=2∴DN=2∴DNDE所以，A,B,D正確，C錯(cuò)誤；故選：C【點(diǎn)睛】本題考查平行線分線段成比例定理，中位線定理；由平行線的位置關(guān)系得到線段間數(shù)量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．【變式3-2】（2023·黑龍江哈爾濱·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，△ABC中，D是AB邊上一點(diǎn)，DE∥BC交AC于點(diǎn)E，連接BE，DF∥BE交AC于點(diǎn)F

A．ADBD=AEEC B．AFAE=【答案】D【分析】由平行線分線段成比例定理和相似三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)論．【詳解】解：∵DE∥BC，∴ADBD=AEEC，△ADE∴DEBC=AD∴AEEC=AF∴選項(xiàng)A、B、C正確，選項(xiàng)D錯(cuò)誤；故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線分線段成比例定理、相似三角形的判定與性質(zhì)；熟練掌握平行線分線段成比例定理、相似三角形的判定與性質(zhì)是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．【變式3-3】（2023·黑龍江哈爾濱·哈爾濱德強(qiáng)學(xué)校?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，在平行四邊形ABCD中，E、F分別是AD、CD邊上的點(diǎn)，連接BE、AF，它們相交于點(diǎn)G，延長(zhǎng)BE交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（

）A．AEED=BEEH B．EHEB=【答案】C【分析】由平行四邊形的性質(zhì)得出AB∥CD，AD∥BC，證出△ABE∽△DHE，△【詳解】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，∴△ABE∽△DHE，△∴AEED=BE∴選項(xiàng)A、B、D正確，C錯(cuò)誤；故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、平行線分線段成比例定理；熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．【題型4平行線分線段成比例（A型）】【例4】（2023·湖北恩施·統(tǒng)考中考真題）如圖，在△ABC中，DE∥BC分別交AC，AB于點(diǎn)D，E，EF∥AC交BC于點(diǎn)F

A．165 B．167 C．2 D【答案】A【分析】先證得四邊形DEFC是平行四邊形，得到DE=FC，再利用平行線截線段成比例列式求出【詳解】∵DE∥BC，∴四邊形DEFC是平行四邊形，∴DE=∵EF∥∴FCBF∵BF=8∴FC=∴DE=故選：A．【點(diǎn)睛】此題考查了平行四邊形的判定和性質(zhì)，平行線截線段成比例，正確理解平行線截線段成比例是解題的關(guān)鍵．【變式4-1】（2023·遼寧沈陽(yáng)·校考一模）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D、E分別在AB、AC上，連接DE，DE∥BC，AE

A．1.5 B．2 C．3 D．2【答案】A【分析】根據(jù)平行線分線段成比例定理列出比例式，把已知數(shù)據(jù)代入計(jì)算即可．【詳解】解：∵DE∴AD∵AE=4，∴3解得：BD=1.5故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查的是平行線分線段成比例定理，靈活運(yùn)用定理、找準(zhǔn)對(duì)應(yīng)關(guān)系是解題的關(guān)鍵．【變式4-2】（2023·湖北武漢·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，某一時(shí)刻太陽(yáng)光從窗戶射入房間內(nèi)，與地面的夾角∠DPC=30°，已知窗戶的高度AF=2m，窗外水平遮陽(yáng)篷的寬AD=0.8m，則灑在地面上光線EP的寬度為

【答案】2.7【分析】設(shè)AC,DP交于點(diǎn)Q，解Rt△ADQ，求得【詳解】解：如圖所示，

設(shè)AC,DP交于點(diǎn)依題意，AD∴∠∴AQ=∴QF∵DP∴∠FEC∴CF∵DP∴QF∴EP故答案為：2.7．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，平行線分線段成比例，熟練掌握平行線分線段成比例是解題的關(guān)鍵．【變式4-3】（2023·全國(guó)·一模）剪紙是中國(guó)的傳統(tǒng)文化之一．如圖1，將長(zhǎng)為12cm，寬為5cm的矩形紙片剪成4張小紙片、分別記為“①，②，③，④”．若這四張小紙片恰好能拼成如圖2所示的矩形，則在“小紙片①”中，較長(zhǎng)直角邊=cm．

【答案】607/【分析】如圖，設(shè)CD=xcm,DE=y【詳解】如圖，設(shè)CD=xcm∵DE∥∴DEAB∴y5∴y=又∵x=∴x=∴x=∴較長(zhǎng)直角邊為607故答案為：607

【點(diǎn)睛】本題考查圖形的拼剪，正方形的性質(zhì)，平行線分線段成比例定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意，學(xué)會(huì)利用參數(shù)構(gòu)建方程組解決問(wèn)題．【題型5平行線分線段成比例（X型）】【例5】（2023·廣西貴港·統(tǒng)考一模）如圖，F(xiàn)是矩形ABCD的邊CD上一點(diǎn)，射線BF交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，已知DE=2BC=4，CD=6，求A．22 B．3 C．13 D．【答案】A【分析】根據(jù)平行線分線段成比例結(jié)合已知條件可知CP=2=BC，在根據(jù)勾股定理求出BC即可；【詳解】解：∵四邊形ABCD為矩形，∴AD//BC，∴又∵DE=2∴DP=2又∵CD=6∴CP=2；在Rt△BCP中，∠CBP=故選：A【點(diǎn)睛】本題主要考查平行線分線段成比例及勾股定理，利用平行線分線段成比例求得CF=2是解題的關(guān)鍵．【變式5-1】（2023·北京·統(tǒng)考中考真題）如圖，直線AD，BC交于點(diǎn)O，AB∥EF∥CD.若AO=2，OF=1，F(xiàn)D

【答案】3【分析】由平行線分線段成比例可得，BOOE=AOOF=21，OE【詳解】∵AB∥EF∥CD，∴BO∴BO∵OE∴EC∴BE故答案為：32【點(diǎn)睛】本題考查了平行線分線段成比例的知識(shí)點(diǎn)，根據(jù)平行線分線段成比例找出線段之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵.【變式5-2】（2023·安徽滁州·統(tǒng)考二模）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D、E分別在邊AB、AC的反向延長(zhǎng)線上，且DE∥BC．若AE【答案】52/【分析】根據(jù)平行線分線段成比例定理列比例式ADAB【詳解】解：∵DE∥∴ADAB∵AE=2,AC=4∴AD5∴AD=故答案為：52【點(diǎn)睛】本題考查平行線分線段成比例定理，會(huì)利用平行線分線段成比例定理正確列出比例式是解答的關(guān)鍵．【變式5-3】（2023·重慶渝中·統(tǒng)考一模）已知?ABCD，點(diǎn)E是BA延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，CE與AD，BD分別相交于點(diǎn)G，F(xiàn)．求證：C

【答案】見(jiàn)解析【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得AD∥BC，AB∥CD，再根據(jù)平行線分線段成比例定理得到CFEF【詳解】∵?ABCD∴AB∥CD，∴CFEF=DF∴CFEF即CF【點(diǎn)睛】本題考查了平行線分線段成比例定理：平行于三角形一邊的直線截其他兩邊（或兩邊的延長(zhǎng)線），所得的對(duì)應(yīng)線段成比例．也考查了平行四邊形的性質(zhì)．【題型6平行線分線段成比例與三角形中位線綜合】【例6】（2023·安徽滁州·統(tǒng)考二模）如圖，G為△ABC的重心，AG=12，則AD=．【答案】18【分析】連接CG并延長(zhǎng)交AB于點(diǎn)E，連接DE，根據(jù)題意，可以得到DE時(shí)△ABC的中位線，從而可以得到DE∥AC且DE=12AC，然后即可得到△DEG∽△ACG，由相似三角形的性質(zhì)得到DG和AG的比值，求出然后DG【詳解】解：如圖，連接CG并延長(zhǎng)交AB于點(diǎn)E，連接DE，∵點(diǎn)G是△ABC的重心，∴點(diǎn)E和點(diǎn)D分別是AB和BC的中點(diǎn)，∴DE是△ABC的中位線，∴DE∥AC且DE=12AC∴△DEG∽△ACG，∴DEAC∵AG=12，∴DG=6，∴AD=AG+GD=18．故答案為：18．【點(diǎn)睛】本題考查三角形的重心、三角形的中位線、三角形相似，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．【變式6-1】（2023·湖南湘潭·模擬預(yù)測(cè)）如圖，平行四邊形ABCD的對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，OE∥AB交AD于點(diǎn)E．若OA=2，△AOE周長(zhǎng)為A．16 B．32 C．36 D．40【答案】B【分析】由平行四邊形的性質(zhì)得AB=CD，AD=BC，OB=OD，證OE是△ABD的中位線，則AB【詳解】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB=CD，AD=∵OE∥∴DEAE∴AE=∴OE是△ABD∴AB=2OE，∵△AOE的周長(zhǎng)等于10∴OA+∴AE+∴AB+∴?ABCD的周長(zhǎng)=2×故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、平行線分線段成比例、三角形中位線定理等知識(shí)；熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)和三角形中位線定理，求出AB+【變式6-2】（2023·寧夏銀川·?？家荒＃┤鐖D，在?ABCD中，AB=5，BC=8.E是邊BC的中點(diǎn)，F(xiàn)是?ABCD內(nèi)一點(diǎn)，且∠BFC=90°.連接AF并延長(zhǎng)，交CD于點(diǎn)GA．52 B．32 C．3 D【答案】D【分析】依據(jù)直角三角形斜邊上中線的性質(zhì)，即可得到EF的長(zhǎng)，再得到CG的長(zhǎng)，進(jìn)而得出DG的長(zhǎng)．【詳解】解：∵E是邊BC的中點(diǎn)，且∠∴Rt△BCF中，∵EF∥AB，AB∥CG∴F是AG可得EF=∴CG又∵CD∴DG故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)、平行線分線段成比例定理、梯形的中位線定理、直角三角形斜邊上中線的性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握相關(guān)定理是解題的關(guān)鍵．【變式6-3】（2023·山東聊城·統(tǒng)考二模）如圖，在正方形ABCD中，按如下步驟作圖：①連接AC，BD相交于A點(diǎn)O；②分別以點(diǎn)B，C為圓心、大于12BC的長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧相交于點(diǎn)E；③連接OE交BC于點(diǎn)F；④連接AF交BO于點(diǎn)G．若AD=4

A．1 B．2 C．43 D．【答案】C【分析】證明OF∥AB，OF=【詳解】解：∵四邊形ABCD是正方形，∴AB=AD=BC=∴BD=∴OB=由作圖可知OE垂直平分線段BC，∴BF=CF，又∴OF∥AB，∴OGGB=OFAB故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查線段垂直平分線的判定與性質(zhì)、正方形的性質(zhì)，三角形中位線定理，平行線分線段成比例，勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題．【題型7平行線分線段成比例的常用輔助線之平行線】【例7】（2023·湖北武漢·?？寄M預(yù)測(cè)）△ABC中，∠BAC=90°，D、E分別是AB、AC上的點(diǎn)，CE=2，CA=5，AD=4，BD

【答案】5【分析】過(guò)B作DC的平行線交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，過(guò)E作EN⊥BM，由平行線分線段成比例可得ADDB=ACCM，進(jìn)而求得CM=258，由勾股定理可得BM=A【詳解】解：過(guò)B作DC的平行線交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，過(guò)E作EN⊥

∵DC∥∴ADDB=AC∵CE=2，CA=5，AD=4∴AC=5，AB∴CM=∴ME=在Rt△ABM中，∵∠EMN=∠BMA∴△MNE∴MEMB∴NE=在Rt△ABE中，∴sin∠故答案為：55【點(diǎn)睛】本題考查了平行線分線段成比例，解直角三角形以及三角形相似，關(guān)鍵是構(gòu)造直角三角形并能將更多的已知線段集中．【變式7-1】（2023·廣東深圳·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，在△ABC中，D為BC邊的中點(diǎn)，點(diǎn)E在線段AD上，BE的延長(zhǎng)線交AC邊于點(diǎn)F，若AE：ED＝1：3，

【答案】12【分析】過(guò)點(diǎn)D作DG∥BF于點(diǎn)G,由平行線分線段成比例定理得AEED=AF【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)D作DG∥BF于點(diǎn)則AEED而AEED=1∴FG∵D為BC∴GF∴CF故答案為：12．

【點(diǎn)睛】本題考查平行線分線段成比例定理，正確構(gòu)造平行線是解決此題的關(guān)鍵．【變式7-2】（2023·安徽宿州·校考一模）如圖，在△ABC中，CG平分∠ACB，過(guò)點(diǎn)A作AH⊥CG交BC于點(diǎn)H，且H是BC的中點(diǎn)．若AH=4，CG

【答案】15【分析】作HK∥CG交AB于點(diǎn)K，由平行線分線段成比例定理可證AG=KG=【詳解】解：作HK∥CG交AB于點(diǎn)

∴BKKG=BH∵H是BC∴BH∴BK∴HK=∵AH∴∠ANC∵CG平分∠∴∠ACN∵CN在△ACN與△∠ACN∴△ACN∴AN∴AG∴AG∵HK∥∴∠KHA∴AK=∴AG=∴AB=故答案為：152【點(diǎn)睛】本題考查了平行線分線段成比例定理，三角形的中位線，全等三角形的判定與性質(zhì)，以及勾股定理等知識(shí)，證明AG=KG=BG是解答本題的關(guān)鍵．【變式7-3】（2023·黑龍江哈爾濱·哈爾濱市第六十九中學(xué)校?？既＃┤鐖D，在△ABC中，AB=9，∠B=2∠C，AD⊥BC，AE

【答案】4.5【分析】首先過(guò)E點(diǎn)作ME∥AD，交AC于M，連接BM，易證得△MAB∽△BAC【詳解】解：過(guò)E點(diǎn)作ME∥AD，交AC于M，連接

∴AD∴ME∵AE是BC∴BM∴∠C又∵∠B∴∠MBA又∵∠CAB∴△MAB∴ABAM∵M(jìn)E∥∴CECM∵CE∴BCCM∴ABAM∴AB∵AB∴DE故答案為：4.5．【點(diǎn)睛】此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)以及平行線分線段成比例定理．注意正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．【題型8平行線分線段成比例的常用輔助線之垂線】【例8】（2023·浙江·一模）如圖，菱形ABCD中，點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)，EF垂直AB交AB延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，若BGCG=13，EF=2

A．35 B．1455 C．5【答案】D【分析】過(guò)C作CM⊥AB延長(zhǎng)線于M，根據(jù)BGCG=13，設(shè)【詳解】解：過(guò)C作CM⊥AB延長(zhǎng)線于

∵BGCG∴設(shè)BG=∴DC=∵點(diǎn)E是邊CD的中點(diǎn)，∴CE=∵菱形ABCD，∴CE∥∵EF⊥AB，∴EF∥∴四邊形EFMC是矩形，∴CM=EF=2∵GF∥∴BFFM=BG∴BF=∴BM=在Rt△BCM中，∴83x2+2∴CD=4故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)、矩形的判定與性質(zhì)、勾股定理，關(guān)鍵在于熟悉各個(gè)知識(shí)點(diǎn)在本題的靈活運(yùn)用．屬于拔高題．【變式8-1】（2023·黑龍江哈爾濱·哈爾濱市第四十九中學(xué)校?？家荒＃┰凇鰽BC中，∠ABC=45°，AK⊥BC于點(diǎn)K，點(diǎn)M在AK上，CK=KM，tan∠KAC=34，N【答案】5【分析】如圖：過(guò)N作ND⊥BC，過(guò)G作GE⊥BC，過(guò)N作NF⊥GE，則四邊形DEFN是矩形；再說(shuō)明△ABK是等腰三角形可得AK=BK；然后再證ΔBKM?ΔAKC(SAS)可得BM=AC；再根據(jù)正切的定義結(jié)合BC=14【詳解】解：如圖：過(guò)N作ND⊥BC，過(guò)G作GE⊥BC，過(guò)∴四邊形DEFN是矩形，∵∠ABC=45°∴△ABK∴AK=在△BKM和△BK∴Δ∴BM∵tan∠∴設(shè)CK=3x，則∴BC=3x∴CK=∵ND⊥BC∴DN∥∴BDDK=BN∵N為BM的中點(diǎn)，G為AC的中點(diǎn)，∴BD=DK，∴DN,EG為∴DN=12KM=3∴EF∴NF∴NG=故答案為52【點(diǎn)睛】本題主要考查了矩形的判定與性質(zhì)、三角形中位線的判定與性質(zhì)、平行線分線段成比例定理、勾股定理、正切的定義等知識(shí)點(diǎn)，正切作出輔助線、構(gòu)造三角形中位線是解答本題的關(guān)鍵．【變式8-2】（2023·河南商丘·校考二模）如圖，Rt△ABC中，∠A=90°，AC=5，AB=12，將△ABC繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α°0°<α°<90°，得到△DEC，點(diǎn)A，B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為D，E，射線ED分別交【答案】1或26【分析】分兩種情況討論，當(dāng)BF=BM時(shí)，得到EF=EC=13，求得DF=EF-DE=1，在Rt△CDF中，利用勾股定理求解；當(dāng)BF=FM時(shí)，則【詳解】解：∵∠A=90°，AC=5∴BC=由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，AC=CD=5，AB=ED=12，當(dāng)BF=∴∠BFM∵∠B∴∠ECF∴EF=∴DF=在Rt△CDF中，∴BM=∴AM=當(dāng)BF=FM時(shí)，則∠B=∠FMB∵∠CFE由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，∠B∴FC=設(shè)FC=FE=x，則在Rt△CDF中，CF解得x=16924，即FC∵FN⊥AB，∴FN∥∴BFBC=BN∴BN=∵BF=FM，∴MN=∴AM=12-2×綜上，AM的長(zhǎng)為1或26-故答案為：1或26-【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，勾股定理，平行線分線段成比例定理，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問(wèn)題，學(xué)會(huì)用分類討論的思想思考問(wèn)題．【變式8-3】（2023·黑龍江綏化·校考模擬預(yù)測(cè)）如圖，點(diǎn)P是△ABC內(nèi)部一點(diǎn)，且PA=PB=PC，∠ABC=45°，點(diǎn)D在AC上，連接DP并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)E，若CD=3

【答案】2【分析】如圖所示，過(guò)點(diǎn)P作PH⊥AC于點(diǎn)H，過(guò)點(diǎn)E作EM⊥AC于點(diǎn)M，設(shè)∠ABP=α，∠【詳解】解：如圖所示，過(guò)點(diǎn)P作PH⊥AC于點(diǎn)H，過(guò)點(diǎn)E作EM⊥AC于點(diǎn)M，設(shè)

∴α+∵PA=∴∠BAP=∠ABP∴∠PAC∴△APC∵∠APD=∠CBP∴∠EDC=∠APD∴∠EDC∴CE=CD，即設(shè)AD=∴CD=3∴AC=∵PA=∴AH=∵CE=∴DM=∴HM=∵PH∥EM，∴PDPE=DH∴PD=2故答案為：27【點(diǎn)睛】本題主要考查等腰三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)、平行線分線段成比例的綜合，掌握以上知識(shí)的綜合運(yùn)用是解題的關(guān)鍵．【題型9相似多邊形的性質(zhì)】【例9】（2023·上海虹口·統(tǒng)考一模）如圖，四邊形的頂點(diǎn)在方格紙的格點(diǎn)上，下列方格紙中的四邊形與已知四邊形相似的是（

）A． B． C．D．【答案】D【分析】本題考查了相似多邊形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，如果兩個(gè)四邊形的四條邊對(duì)應(yīng)成比例，且四個(gè)角對(duì)應(yīng)相等，那么這兩個(gè)四邊形相似，據(jù)此求解即可．【詳解】解：設(shè)每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1，則已知四邊形的四條邊分別為1，2，2，5．選項(xiàng)A中的四邊形的四條邊分別為2，2，2，10，兩個(gè)四邊形的四條邊對(duì)應(yīng)不成比例，不符合題意；選項(xiàng)B中的四邊形的四條邊分別為2，5，13，4，兩個(gè)四邊形的四條邊不是對(duì)應(yīng)成比例，故選項(xiàng)B中的四邊形與已知四邊形不相似，不符合題意；選項(xiàng)C中的四邊形的四條邊分別為2，5，13，4，兩個(gè)四邊形的四條邊不是對(duì)應(yīng)成比例，故選項(xiàng)C中的四邊形與已知四邊形不相似，不符合題意；選項(xiàng)D中的四邊形的四條邊分別為2，22，4，2將已知四邊形表示為四邊形ABCD，將選項(xiàng)D中的四邊形表示為EFGH．如圖，連接AC、EG，則AC=5，在△ABC與△∵ABEF∴△ABC∴∠BAC=∠FEG，∠在△ADC與△∵ADEH∴△ADC∴∠DAC=∠HEG，∠∴∠BAD=∠FEH，∠B=∠又∵ABEF∴四邊形ABCD∽四邊形EFGH故選：D．【變式9-1】（2023·浙江寧波·校聯(lián)考三模）如圖，?ABCD∽?EFGH，AB∥EF，記四邊形ABFE、四邊形BCGF、四邊形CDHG、四邊形DAEH的面積分別S1，S2，S3，S4，若已知?ABCD和?EFGH的面積，則不用測(cè)量就可知的區(qū)域的面積為（）A．S1﹣S2 B．S1+S3 C．S4﹣S2 D．S3+S4【答案】B【分析】作CK⊥AB于K，GN⊥EF于N，F(xiàn)M⊥AB于M，HJ⊥CD于J，得出CK＝FM+GN+HJ，四邊形AEFB和四邊形CDHG都是梯形，由?ABCD∽?EFGH，得出EFAB＝HGCD＝GNCK，設(shè)EFAB＝HGCD＝GNCK＝a，則EF＝HG＝aAB，GN＝aCK，求出12S平行四邊形ABCD﹣12S平行四邊形EFGH＝12（1﹣a2）AB?CK，S1+S3＝12【詳解】解：作CK⊥AB于K，GN⊥EF于N，F(xiàn)M⊥AB于M，HJ⊥CD于J，∵四邊形ABCD和四邊形EFGH都是平行四邊形，AB∥EF，∴CK＝FM+GN+HJ，四邊形AEFB和四邊形CDHG都是梯形，∵?ABCD∽?EFGH，∴EFAB＝HGCD＝設(shè)EFAB=∵AB＝CD，EF＝HG，∴EF＝HG＝aAB，GN＝aCK，S1＝12（EF+AB）MF＝12（a+1）AB?S3＝12（GH+CD）HJ＝12（a+1）AB?12S平行四邊形ABCD﹣12S平行四邊形EFGH＝12AB?CK﹣12EF?GN＝12（AB?CK﹣a?AB?a?CK）＝12（1﹣aS1+S3＝12（a+1）AB?MF+12（a+1）AB?HJ＝12（a+1）AB（MF+HJ）＝12（a+1）AB（CK﹣GN）＝12（a+1）AB（1﹣a）CK＝12（1﹣a∴S1+S3＝12S平行四邊形ABCD﹣12S平行四邊形故選B．【點(diǎn)睛】本題考查了相似多邊形的性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)、梯形面積與三角形面積以及平行四邊形面積的計(jì)算等知識(shí)；通過(guò)作輔助線得出大平行四邊形AB邊與小平行四邊形EF邊上高的差等于S1、S2的高的和是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．【變式9-2】（2023·河北衡水·統(tǒng)考一模）在研究相似問(wèn)題時(shí)，甲、乙兩同學(xué)的觀點(diǎn)如下：甲：將邊長(zhǎng)為4的菱形按圖1的方式向外擴(kuò)張，得到新菱形，它們的對(duì)應(yīng)邊間距為1，則新菱形與原菱形相似．乙：將邊長(zhǎng)為4的菱形按圖2方式向外擴(kuò)張，得到新菱形，每條對(duì)角線向其延長(zhǎng)線兩個(gè)方向各延伸1，則新菱形與原菱形相似；對(duì)于兩人的觀點(diǎn)，下列說(shuō)法正確的是（

）．A．兩人都對(duì) B．兩人都不對(duì) C．甲對(duì)，乙不對(duì) D．甲不對(duì)，乙對(duì)【答案】C【分析】根據(jù)相似多邊形的對(duì)應(yīng)邊成比例、對(duì)應(yīng)角相等進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：甲：將邊長(zhǎng)為4的菱形按圖1的方式向外擴(kuò)張，得到新菱形，各邊與原菱形邊平行，因此各角與原菱形角對(duì)應(yīng)相等，平移后四條邊依然相等，即新菱形與原菱形相似；乙：將邊長(zhǎng)為4的菱形按圖2方式向外擴(kuò)張，得到新菱形，各邊與原菱形邊不平行，因此各角與原菱形角不相等，即新菱形與原菱形不相似．所以甲對(duì)，乙不對(duì)，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了相似多邊形的判定．此題難度不大，熟練應(yīng)用相似多邊形的判定方法是解題關(guān)鍵．【變式9-3】（2023·河北石家莊·統(tǒng)考三模）對(duì)于題目：“在長(zhǎng)為6，寬為2的矩形內(nèi)，分別剪下兩個(gè)小矩形，使得剪下的兩個(gè)矩形均與原矩形相似，請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)剪下的兩個(gè)矩形周長(zhǎng)和為最大值時(shí)的方案，并求出這個(gè)最大值．”甲、乙兩個(gè)同學(xué)設(shè)計(jì)了自認(rèn)為滿足條件的方案，并求出了周長(zhǎng)和的最大值．甲方案：如圖1所示，最大值為16；乙方案：如圖2所示，最大值為16．下列選項(xiàng)中說(shuō)法正確的是（

）A．甲方案正確，周長(zhǎng)和的最大值錯(cuò)誤B．乙方案錯(cuò)誤，周長(zhǎng)和的最大值正確C．甲、乙方案均正確，周長(zhǎng)和的最大值正確D．甲、乙方案均錯(cuò)誤，周長(zhǎng)和的最大值錯(cuò)誤【答案】D【分析】根據(jù)相似多邊形對(duì)應(yīng)邊的比相等的性質(zhì)分別求出兩個(gè)小矩形紙片的長(zhǎng)與寬，進(jìn)而求解即可．【詳解】解：∵6：2=3：1，∴三個(gè)矩形的長(zhǎng)寬比為3：1，甲方案：如圖1所示，3a+3b=6，∴a+b=2，周長(zhǎng)和為2(3b+b)+2(3a+a)=8(a+b)=16；乙方案：如圖2所示，a+b=2，周長(zhǎng)和為2(3b+b)+2(3a+a)=8(a+b)=16；如圖3所示，矩形①的長(zhǎng)為2，則寬為2÷3=23則矩形②的長(zhǎng)為6-23=163，寬為163∴矩形①和矩形②的周長(zhǎng)和為2(2+23)+2(163+169∵1769>∴周長(zhǎng)和的最大值為1769故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了相似多邊形的性質(zhì)，分別求出所剪得的兩個(gè)小矩形紙片的長(zhǎng)與寬是解題的關(guān)鍵．【題型10畫已知圖形放大或縮小n倍后的位似圖形】【例10】（2023·安徽蕪湖·統(tǒng)考一模）如圖，△ABC的頂點(diǎn)都在網(wǎng)格點(diǎn)上，點(diǎn)B的坐標(biāo)(-2

(1)以點(diǎn)O為位似中心，把△ABC按2:1放大在y軸的左側(cè)，畫出放大后的△(2)點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)D的坐標(biāo)是；(3)S△ABO:【答案】(1)見(jiàn)解析(2)(-2(3)1:3【分析】本題主要考查位似的知識(shí)，掌握位似的定義，性質(zhì)，相似三角形的面積比等于相似比的平方是解題的關(guān)鍵．（1）位似中心為點(diǎn)O，根據(jù)位似比，連接AO，BO，（2）根據(jù)題意求出點(diǎn)A的坐標(biāo)，再根據(jù)位似比，即可求解；（3）由題意可知相似比為2:1，可求出S△ABO:【詳解】（1）如圖所示，△DEF

（2）點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)D的坐標(biāo)是(-2，故答案為：(-2，（3）由題可得AB∥∴△ABO又∵位似比為2:1，∴S∴S故答案為:1:3．【變式10-1】（2023·廣西防城港·統(tǒng)考三模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，每個(gè)小正方格的邊長(zhǎng)都是1個(gè)單位長(zhǎng)度，已知\△ABC的頂點(diǎn)坐標(biāo)為A

(1)畫出△ABC沿著x軸向右平移5個(gè)單位長(zhǎng)度得到的△(2)以原點(diǎn)O為位似中心，將△ABC縮小為原來(lái)的12，請(qǐng)?jiān)谖凰浦行耐瑐?cè)畫出縮小后的(3)直接寫出線段C1【答案】(1)見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析(3)10【分析】（1）直接利用平移的性質(zhì)得出A、B、C對(duì)應(yīng)點(diǎn)A1、B（2）利用位似圖形的性質(zhì)得出A、B、C對(duì)應(yīng)點(diǎn)A2、B（3）根據(jù)（1）（2）所求得到C1【詳解】（1）解：如圖所示，△A（2）解：如圖所示，△A

（3）解：由（1）（2）可知C1∴C1【點(diǎn)睛】本題主要考查了坐標(biāo)與圖形變化——平移和位似，勾股定理，正確找到對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置是解題的關(guān)鍵．【變式10-2】（2023·安徽合肥·統(tǒng)考二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為-4,3，-3,-1(1)以點(diǎn)O為對(duì)稱中心，畫出△ABC關(guān)于原點(diǎn)O成中心對(duì)稱的圖形△A1B1C1（其中A與A1，(2)以點(diǎn)D-2,1為位似中心，將△ABC放大2倍得到△A2B2C2（其中A與A2，【答案】(1)見(jiàn)解析(2)A2【分析】（1）先確定點(diǎn)A,B,C關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的對(duì)應(yīng)點(diǎn)（2）根據(jù)位似比確定A2,B2,【詳解】（1）解：如圖，△A（2）如上圖，△A2點(diǎn)A2的坐標(biāo)為-【點(diǎn)睛】本題考查作中心對(duì)稱圖形以及位似圖形．熟練掌握成中心對(duì)稱圖形的特征，以及位似圖形的定義和性質(zhì)，是解題的關(guān)鍵．【變式10-3】（2023·廣西桂林·統(tǒng)考一模）如圖，△ABC在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)三頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A-1,2，B(1)畫出△ABC關(guān)于y軸對(duì)稱的△(2)以點(diǎn)B為位似中心，在點(diǎn)B的下方畫出△A2B2C2，使(3)直接寫出點(diǎn)A1，C【答案】(1)見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析(3)A11,2【分析】（1）根據(jù)軸對(duì)稱變換：關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)是原來(lái)相反數(shù)的性質(zhì)找出對(duì)應(yīng)點(diǎn)，再一次連接即可；（2）根據(jù)位似變換的性質(zhì)：位似圖形的對(duì)應(yīng)點(diǎn)到位似中心的距離之比為相似比，找出對(duì)應(yīng)點(diǎn)即可，再一次連接即可；（3）根據(jù)關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)的特征，即可寫出A1的坐標(biāo)，根據(jù)位似圖形的性質(zhì)，即可寫出C【詳解】（1）解：如圖所示，△A（2）如圖所示，△A（3）由圖可知：∵A-∴A1∵C-3,1，∴MC=1,∵△A2B2∴NC∴C2綜上：A11,2，【點(diǎn)睛】本題考查了利用軸對(duì)稱變換作圖，利用位似變換作圖，根據(jù)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)的特點(diǎn)，準(zhǔn)確找出對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置是解題的關(guān)鍵．【題型11求位似圖形的坐標(biāo)】【例11】（2023·山東日照·?？既＃┤鐖D，在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC的頂點(diǎn)A在第二象限，點(diǎn)B坐標(biāo)為-2，0，點(diǎn)C坐標(biāo)為-1，0，以點(diǎn)C為位似中心，在x軸的下方作△ABC的位似圖形△A'B'C．若點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A

A．3,-2 B．-2,32 C．-【答案】C【分析】作AE⊥x軸，A'F⊥【詳解】解：作AE⊥x軸，

∵B-2，0，C-1∴OB=2，OC=OB∴BC=1，B'∵由題意可得：△∴AC∵∠ACE=∠∴△∴AE∴AE=1∴OE∴點(diǎn)A坐標(biāo)為-故選：C【點(diǎn)睛】此題考查了位似的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握位似圖形的性質(zhì)．【變式11-1】（2023·浙江嘉興·統(tǒng)考中考真題）如圖，在直角坐標(biāo)系中，△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)分別為A1,2,B2,1,C3,2，現(xiàn)以原點(diǎn)O為位似中心，在第一象限內(nèi)作與

A．2,4 B．4,2 C．6,4 D．5,4【答案】C【分析】直接根據(jù)位似圖形的性質(zhì)即可得．【詳解】解：∵△ABC的位似比為2的位似圖形是△A'∴C'2×3,2×2故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了坐標(biāo)與位似圖形，熟練掌握位似圖形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．【變式11-2】（2023·遼寧盤錦·統(tǒng)考中考真題）如圖，△ABO的頂點(diǎn)坐標(biāo)是A2,6，B3,1，O0,0，以點(diǎn)O為位似中心，將△ABO縮小為原來(lái)的13，得到

【答案】23,2或-23【分析】根據(jù)位似變換的性質(zhì)、坐標(biāo)與圖形性質(zhì)計(jì)算．【詳解】解：∵以點(diǎn)O為位似中心，將△ABO縮小為原來(lái)的13，得到△A∴當(dāng)△A'B'O在第一象限時(shí)，點(diǎn)A當(dāng)△A'B'O在第三象限時(shí)，點(diǎn)A綜上可知，點(diǎn)A'的坐標(biāo)為23,2故答案為：23,2或【點(diǎn)睛】本題考查圖標(biāo)與圖形、位似變換，解題的關(guān)鍵是掌握位似變換的性質(zhì)，注意分情況計(jì)算．【變式11-3】（2023·江蘇鹽城·統(tǒng)考二模）如圖，以點(diǎn)C(0,1)為位似中心，將△ABC按相似比1:2縮小，得到△DEC，則點(diǎn)A(2,-1)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)

【答案】(-1,2)【分析】通過(guò)把位似中心平移到原點(diǎn)，利用關(guān)于以原點(diǎn)為位似中心的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)規(guī)律求解．【詳解】如下圖．

把△ABC向下平移1個(gè)單位得到A點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為A1(2，-2)，點(diǎn)A1(2，-2)以原點(diǎn)O為位似中心，在位似中心兩側(cè)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為D1-2，故答案為-1,2【點(diǎn)睛】此題主要考查了位似變換中對(duì)應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)問(wèn)題，利用平移規(guī)律將位似中心移到原點(diǎn)是解題關(guān)鍵．【題型12求位似圖形的線段長(zhǎng)度】【例12】（2023·廣東湛江·嶺師附中校聯(lián)考三模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC與△DEF是以坐標(biāo)原點(diǎn)O為位似中心的位似圖形，若A-2，0，D3A．22 B．32 C．42【答案】B【分析】本題考查的是位似變換的概念和性質(zhì)，根據(jù)位似圖形的概念得到△ABC【詳解】解：∵△ABC與△DEF是以坐標(biāo)原點(diǎn)∴△ABC∵A(-2,0)，∴OA=2，∴△ABC與△DEF的相似比為∴DF∵AC∴DF故選：B．【變式12-1】（2023·河南周口·校聯(lián)考二模）如圖，在Rt△ABO中，∠B=90°，AB=2，BO=23，以點(diǎn)O為位似中心，將△AOB縮小為原圖形的

A．2 B．3 C．2.5 D．3.5【答案】A【分析】直接利用勾股定理求得OA的長(zhǎng)度，然后利用位似圖形的性質(zhì)以及結(jié)合△AOB縮小為原圖形的1【詳解】在Rt△ABO中，∠B=90°，則：AO=∵將△AOB縮小為原圖形的12，得到∴OC故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了位似變換和勾股定理，正確把握位似圖形的性質(zhì)時(shí)解題關(guān)鍵．【變式12-2】（2023·江蘇南京·統(tǒng)考二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是A2,2，B4,2，C4,4，以原點(diǎn)為位似中心，在原點(diǎn)的異側(cè)畫△DEF，使△DEF與△ABCA．2 B．2 C．22 D．【答案】A【分析】根據(jù)勾股定理求出AC，再根據(jù)位似變換的性質(zhì)計(jì)算，得到答案．【詳解】解：∵A（2，2），B（4，2），C（4，4），∴AB＝2，BC＝2，由勾股定理得：AC＝AB2+∵以原點(diǎn)為位似中心，在原點(diǎn)的異側(cè)畫△DEF，使△DEF與△ABC成位似圖形，相似比為1：2，∴線段DF的長(zhǎng)度為12AC＝2故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查的是位似變換的概念和性質(zhì)，在平面直角坐標(biāo)系中，如果位似變換是以原點(diǎn)為位似中心，相似比為k，那么位似圖形對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)的比等于k或﹣k．【變式12-3】（2023上·吉林長(zhǎng)春·九年級(jí)?？计谀┤鐖D，在平面直角坐標(biāo)系中，△OAB的頂點(diǎn)為O0，0，A4，3，B3，【答案】103/【分析】過(guò)點(diǎn)A作AH⊥x軸于H，根據(jù)勾股定理求出【詳解】解：過(guò)點(diǎn)A作AH⊥x軸于∵A4，3∴BH=4-3=1，AH由勾股定理得：AB=∵△OCD與△OAB位似，且位似比為∴CD=故答案為：103【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理，位似圖形的性質(zhì)，根據(jù)勾股定理和位似比計(jì)算邊長(zhǎng)是解題的關(guān)鍵．【題型13求位似圖形的周長(zhǎng)】【例13】（2023·山東菏澤·統(tǒng)考三模）如圖，△ABC和△DEF是以點(diǎn)O為位似中心的位似圖形．若OA:AD=2:3

A．4:9 B．2:3 C．2:5 D．4:25【答案】C【分析】先根據(jù)位似的性質(zhì)得到△ABC與△DEF的位似比為OA:【詳解】解：∵△ABC與△DEF是位似圖形，點(diǎn)