新高考新教材一輪復(fù)習(xí)人教版第九章第2講磁場對運(yùn)動電荷的作用學(xué)案

第2講磁場對運(yùn)動電荷的作用

j必備知識新學(xué)法基礎(chǔ)落實;

［主干知識?填一填］

一、洛倫茲力

1.定義：磁場對運(yùn)動電荷的作用力.

2.大?。寒?dāng)時，F(xiàn)=gvB;當(dāng)。〃B時，F(xiàn)=O.

3.方向：用左至定則來判斷.

4.通電導(dǎo)體所受的安培力是導(dǎo)體內(nèi)所有運(yùn)動電荷所受的洛倫茲力的宏觀表現(xiàn).

二、帶電粒子在勻強(qiáng)磁場中（不計重力）的運(yùn)動

1.若帶電粒子以入射速度0做勻速直線運(yùn)動.

2.若。，B,帶電粒子在垂直于磁感線的平面內(nèi)，以入射速度。做勻速圓周運(yùn)動.

3.基本公式

⑴軌跡半徑公式：r=函

八-UE2nr2”.1Bq2πBq

（2）周期么式：T=-^-^-?,尸〒=2"，〃；（U=亍=2n/=m.

［規(guī)律結(jié)論?記一記］

1.安培力是洛倫茲力的宏觀表現(xiàn)，洛倫茲力是安培力的微觀解釋.

2.洛倫茲力的方向始終與速度垂直，故洛倫茲力永不做功.

3.洛倫茲力廠為零時，8不一定為零；電場力F為零時，電場強(qiáng)度一定為零.

4.應(yīng)用帶電粒子在磁場中做勻速圓周運(yùn)動時的半徑和周期公式時，一定要進(jìn)行推導(dǎo)，不

能直接應(yīng)用.

5.解決帶電粒子在磁場中運(yùn)動的基本思路：圓心的確定一半徑的確定和計算一運(yùn)動時間

的確定.

6.由周期公式可以看出，周期與粒子的速率及軌道半徑無關(guān)，只由粒子的比荷和磁感應(yīng)

強(qiáng)度共同決定.

［必刷小題?測一測］

一、易混易錯判斷

1.運(yùn)動的電荷在磁場中一定會受到磁場力的作用?（X）

2.洛倫茲力的方向在特殊情況下可能與帶電粒子的速度方向不垂直.（X）

2πr

3.公式7=一1說明帶電粒子在勻強(qiáng)磁場中的運(yùn)動周期T與。成反比?（X）

4.由于安培力是洛倫茲力的宏觀表現(xiàn)，所以洛倫茲力可能做功.（X）

5.帶電粒子在勻強(qiáng)磁場中做勻速圓周運(yùn)動時，其運(yùn)動半徑與帶電粒子的比荷有關(guān)?（J）

6.荷蘭物理學(xué)家洛倫茲提出磁場對運(yùn)動電荷有作用力的觀點.（J）

7.英國物理學(xué)家湯姆孫發(fā)現(xiàn)電子，并指出：陰極射線是高速運(yùn)動的電子流.（J）

二、經(jīng)典小題速練

1.（人教版選擇性必修第二冊POT2改編）下列各圖中，運(yùn)動電荷的速度方向、磁感應(yīng)強(qiáng)

度方向和電荷的受力方向之間的關(guān)系正確的是（

×××XF

十

XXXX

解析：B根據(jù)左手定則可知，選項A中F方向應(yīng)為豎直向上，選項A錯誤；根據(jù)左手

定則可知，選項B正確；選項C與選項D中電荷運(yùn)動方向與磁感應(yīng)強(qiáng)度方向平行，運(yùn)動電

荷不受洛倫茲力，選項C、D錯誤.

2.（魯科版選擇性必修第二冊P∣5T3）（多選）在同一勻強(qiáng)磁場中，兩帶電量相等的粒子，僅

受磁場力作用，做勻速圓周運(yùn)動.下列說法正確的是（）

A.若速率相等，則半徑必相等

B.若質(zhì)量相等，則周期必相等

C.若動量大小相等，則半徑必相等

D.若動能相等，則周期必相等

解析：BC帶電粒子在勻強(qiáng)磁場中做勻速圓周運(yùn)動，根據(jù)洛倫茲力提供向心力，qvB=

V2-.,cmv_2∏m__,_.

〃反，可得R=”，又T=市^,可知B、C正確.

3.（人教版選擇性必修第二冊P20T6）質(zhì)子和α粒子在同一勻強(qiáng)磁場中做半徑相同的勻速

圓周運(yùn)動.求質(zhì)子的動能與a粒子的動能之比.

解析：由洛倫茲力提供向心力可得：

動能Ek=產(chǎn)。2=2m

2

UrCfEk質(zhì)fn.1e1

所以U一e"""—e""^""?^"2-1

答案：1：1

區(qū)運(yùn)三六三季三關(guān)鍵能力新探究思維拓展m至連?

命題點一對洛倫茲力和半徑周期公式的理解和應(yīng)用（自主學(xué)習(xí)）

［核心整合］

1.洛倫茲力的特點

（1）利用左手定則判斷洛倫茲力的方向，注意區(qū)分正、負(fù)電荷.

（2）當(dāng)電荷運(yùn)動方向發(fā)生變化時，洛倫茲力的方向也隨之變化.

（3）運(yùn)動電荷在磁場中不一定受洛倫茲力作用?

（4）洛倫茲力一定不做功.

2.洛倫茲力與安培力的聯(lián)系及區(qū)別

（1）安培力是洛倫茲力的宏觀表現(xiàn)，二者性質(zhì)相同，都是磁場力.

（2）安培力可以做功，而洛倫茲力對運(yùn)動電荷不做功.

3.洛倫茲力與電場力的比較

洛倫茲力電場力

產(chǎn)生條件OWO且0不與B平行電荷處在電場中

大小F=qz>B(VLB)F=qE

正電荷受力與電場方向相同，負(fù)電荷受力與電場方向

方向F_LB且

相反

做功情況任何情況下都不做功可能做正功，可能做負(fù)功，也可能不做功

I題組突破］

1.（洛倫茲力的理解）下列說法正確的是（）

A.運(yùn)動電荷在磁感應(yīng)強(qiáng)度不為零的地方，一定受到洛倫茲力的作用

B.運(yùn)動電荷在某處不受洛倫茲力作用，則該處的磁感應(yīng)強(qiáng)度一定為零

C.洛倫茲力既不能改變帶電粒子的動能，也不能改變帶電粒子的速度

D.洛倫茲力對帶電粒子不做功

解析：D運(yùn)動電荷速度方向與磁場方向平行時，不受洛倫茲力；洛倫茲力只改變帶電

粒子的速度方向，不改變帶電粒子的速度大??；洛倫茲力對帶電粒子不做功.故D正確.

2.（洛倫茲力的方向）圖中4、b、C、d為四根與紙面垂直的長直導(dǎo)線，效α

其橫截面位于正方形的四個頂點上，導(dǎo)線中通有大小相同的電流，方向如

d??006

圖所示.一帶正電的粒子從正方形中心。點沿垂直于紙面的方向向外運(yùn)

動，它所受洛倫茲力的方向是（）豆

A.向上B.向下

C.向左D.向右

解析：B據(jù)題意，由安培定則可知，氏d兩通電直導(dǎo)線在。點產(chǎn)生的磁場相抵消，心

C兩通電直導(dǎo)線在O點產(chǎn)生的磁場方向均向左，所以四條通電直導(dǎo)線在。點產(chǎn)生的合磁場方

向向左.由左手定則可判斷帶電粒子所受洛倫茲力的方向向下，B正確.

3.（半徑、周期公式的應(yīng)用）在同一勻強(qiáng)磁場中，α粒子GHe）和質(zhì)子（IH）做勻速圓周運(yùn)動,

若它們的動量大小相等，則α粒子和質(zhì)子（）

A.運(yùn)動半徑之比是2：1

B.運(yùn)動周期之比是2：1

C.運(yùn)動速度大小之比是4：1

D.受到的洛倫茲力之比是2：1

解析：B。粒子GHe）和質(zhì)子（IH）的質(zhì)量之比嘉=/動量大小相等，即〃「Ou=WH0H,

運(yùn)動速度大小之比"=優(yōu)=；,選項C錯誤；根據(jù)WB=〃9,得r=瑞,所以運(yùn)動半徑

之比。="=：,選項A錯誤；由T=M產(chǎn)知，運(yùn)動周期之比?="選項B

ΓHq<χ2qB∕∏qa2\1

正確；根據(jù)F=W8,洛倫茲力之比?=中^?選項D錯誤.

ΓHQwVw142

命題點二帶電粒子在勻強(qiáng)磁場中的運(yùn)動（多維探究）

帶電粒子在勻強(qiáng)磁場中運(yùn)動圓心、半徑及時間的確定方法.

（1）圓心的確定

①已知入射點、出射點、入射方向和出射方向時，可通過入射點和出射點分別作垂直于

入射方向和出射方向的直線，兩條直線的交點就是圓弧軌道的圓心（如圖甲所示，尸為入射點,

M為出射點）.

②已知入射方向、入射點和出射點的位置時，可以通過入射點作入射方向的垂線，連接

入射點和出射點，作其垂直平分線，這兩條垂線的交點就是圓弧軌跡的圓心（如圖乙所示，P

為入射點，M為出射點）.

（2）半徑的確定

可利用物理學(xué)公式或幾何知識（勾股定理、三角函數(shù)等）求出半徑大小.

（3）運(yùn)動時間的確定

由運(yùn)動弧長計算：旺（/為弧長）.

由旋轉(zhuǎn)角度計算：f=就或，=言，?

第1維度：直線邊界問題.............................

粒子進(jìn)出直線邊界勻強(qiáng)磁場時具有對稱性（如圖所示）.

(a)(b)(c)

EEI（多選）如圖所示，在直角坐標(biāo)系XOy中，x>0空間內(nèi)

y'XXXXX

充滿方向垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場（其他區(qū)域無磁場）,在y軸上有到DxXXXX

原點。的距離均為L的C、D兩點.帶電粒子P（不計重力）從C點.XXXXX

×××××

以速率。沿X軸正方向射入磁場，并恰好從。點射出磁場；與粒子CM"XXXX

P相同的粒子。從C點以速率4v沿紙面射入磁場，并恰好從D點

射出磁場，則（）

A.粒子P帶正電

B.粒子P在磁場中運(yùn)動的時間為替

3πL

C.粒子。在磁場中運(yùn)動的時間可能為喋丁

2πL

D.粒子。在磁場中運(yùn)動的路程可能為丁

解析：ABD粒子尸從C點沿X軸正向進(jìn)入磁場，受洛倫茲

力而向上偏轉(zhuǎn)過。點，由左手定則知帶正電，故A正確；據(jù)題意

可知P粒子在磁場中做半個圓周運(yùn)動，則半徑為Λι=∣,運(yùn)動時

間為A=平=器，故B正確；Q粒子與P粒子相同，而速度為

4v,由R=直可知∕?=4R∣=2L,而CQ距離為2L,故。粒子不可能沿X軸正向進(jìn)入磁場，

設(shè)與y軸的夾角為仇分別有兩種情況從C點進(jìn)從O點出，軌跡如圖所示，由幾何關(guān)系可知

π

??2L弘L

6=30°,兩種軌跡的圓心角為60°和300°,則粒子。的運(yùn)動時間為：亥=F—=/或

5π

一5一?2L$jl￡π$Ji

，2=石=6。，圓周的弧長為S=W^?2L或s=""^一?2L,故C錯誤，D正確.

第2維度：平行邊界問題

粒子進(jìn)出平行邊界勻強(qiáng)磁場時存在臨界條件（如圖所示）.

EEI（2022?遼寧沈陽市第一次質(zhì)檢）（多選）兩個帶等量異種

電荷的粒子分別以速度?！昂汀鄙淙雱驈?qiáng)磁場，兩粒子的入射方向

與磁場邊界的夾角分別為60°和30°,磁場寬度為4,兩粒子同時由A點出發(fā)，同時到達(dá)3

點，如圖所示，則（）

A.α粒子帶正電，。粒子帶負(fù)電

B.兩粒子的軌道半徑之比Ra:Rb=?。?

C.兩粒子的質(zhì)量之比tna'?mh=I:2

D.兩粒子的質(zhì)量之比，如：mb—21

解析：BD由左手定則可得：“粒子帶負(fù)電，6粒子帶正電，II

×××

故A錯誤；粒子做勻速圓周運(yùn)動，運(yùn)動軌跡如圖所示.故Ra=星臀、A

—一o∏o—=d,Rb=~—GO=?d,所以，Ra:Rb=：1,故B正?×；彳

sin30sin60?Y∣\，∣

r?\/

確；由幾何關(guān)系可得：從A運(yùn)動到B,Q粒子轉(zhuǎn)過的圓心角為60。，ɑ\：/

ψ

o1

人粒子轉(zhuǎn)過的圓心角為120,Za=?=fe=?則Ta:Th=2：1,再0

O?

根據(jù)洛倫茲力提供向心力可得：BVq=%,所以，運(yùn)動周期為：T=誓=譚；根據(jù)。、b

粒子電荷量相等可得恤：，∕?=7L：。=2：1,故C錯誤，D正確.

第3維度：圓形邊界問題

帶電粒子在圓形邊界的磁場中運(yùn)動的兩個特點：

（1）若粒子沿著邊界圓的某一半徑方向射入磁場，則粒子一定沿著另一半徑方向射出磁場

（或者說粒子射出磁場的速度的反向延長線一定過磁場區(qū)域的圓心），如圖甲所示.

（2）若粒子射入磁場時速度方向與入射點對應(yīng)半徑夾角為仇則粒子射出磁場時速度方向

與出射點對應(yīng)半徑夾角一定也為仇如圖乙所示.

EB如圖所示為一粒子速度選擇器的原理示意圖.半徑為IOCm

的圓柱形桶內(nèi)有一勻強(qiáng)磁場，XlO-4T,方向平行于軸線向外，圓桶的

某直徑兩端開有小孔，有一粒子源發(fā)射出速度連續(xù)分布、比荷為X10”

C/kg的帶正電粒子，若某粒子出射的速度大小為2√5xi06m∕s,粒子間

相互作用及重力均不計，則該粒子的入射角e為（）

A.30°B.45°

C.53oD.60o

7）2YYlT）

解析：B由牛頓第二定律得：Bw=my,解得：r=不=也X

10lm=10√2cm,過入射速度和出射速度方向作垂線，得到軌跡的

圓心O,畫出軌跡如圖，粒子從小孔“射入磁場，與<?方向的夾

角為仇則粒子從小孔匕離開磁場時速度與6?的夾角也為仇由幾

何知識得到軌跡所對應(yīng)的圓心角為2仇則有：sin。=，=坐，解

得：6*=45°,故B正確，ACD錯誤.

第4維度：矩形邊界問題

EB（2019?全國卷∏）如圖，邊長為/的正方形Hcd內(nèi)存在勻強(qiáng)磁

場，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B,方向垂直于紙面（HCd所在平面）向外.外邊中

點有一電子發(fā)射源0,可向磁場內(nèi)沿垂直于H邊的方向發(fā)射電子.已知

電子的比荷為女.則從。、"兩點射出的電子的速度大小分別為（）

A±kBl,半%B∕B.；kBI,AkBl

C.^kBl,當(dāng)kBlD.^kBl,IkBI

解析：B若電子從ɑ點射出，運(yùn)動軌跡如圖線①，有qVaB=信,Ra=解得Va="F

I?（lLTIfl

=喘=學(xué)若電子從d點射出，運(yùn)動軌跡如圖線②，有眄B=〃堵，*（RL分+修，解

qBRd5qBI5kBl

Vd=m=4〃？=丁'選項B正確.

第5維度：三角形邊界問題

EE如圖所示，在直角三角形αbc區(qū)域中，有垂直紙面

的勻強(qiáng)磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度為R三個電荷量為q（q>0）、質(zhì)量為m

的同種粒子，從b點沿兒方向分別以速度5、。2、。3射入磁場，

在磁場中運(yùn)動的時間分別為小dti,且d：B：?=3：3：Za

=45°,αc=L不計粒子的重力，下列說法正確的是（）

A.粒子的比荷A=房

B.三個速度的大小關(guān)系一定是Ol=O2<。3

、2支

以速度力射入的粒子運(yùn)動的時間玄==濟(jì)

C.3qb

D.運(yùn)動時間為/3的粒子，其速度S=誓

解析：D根據(jù)題述，從b點沿兒方向分別以速度5、。2、。3射入磁場，在磁場中運(yùn)動

的時間分別為人、，2、t3,且人：￡2：/3=3：3：I,根據(jù)幾何知識分析可畫出它們對應(yīng)的運(yùn)動

軌跡所對的圓心角分別為90°,90。，30。，根據(jù)粒子在勻強(qiáng)磁場中運(yùn)動周期公式T=空,

qB

『9=款，解得粒子的比荷匕=高，選項A錯誤；由洛倫茲力提供向心力，qvB=

4ZqHITlZ.Dl\婚K

O2

Ox

由軌跡圖中幾何關(guān)系可知，R3=2L,R3>R2>Rl,所以。3>O2>0,選項B錯誤；以速

度02射入的粒子運(yùn)動的時間亥=￡fa=薪,選項C錯誤；運(yùn)動時間為辦的粒子，其速度V=瞥

TLJ/〃

=誓，選項D正確.

第6維度：多邊形邊界問題.............................

EE如圖所示，正六邊形必C時區(qū)域內(nèi)有垂直于紙面的勻強(qiáng)磁?

場.一帶正電的粒子從F點沿川方向射入磁場區(qū)域，當(dāng)速度大小為%時，+?；/

從匕點離開磁場，在磁場中運(yùn)動的時間為的當(dāng)速度大小為女時，從C點;“

離開磁場，在磁場中運(yùn)動的時間為%不計粒子重力.則（）

A.Vb:Vc=I-2,Ib:〃=2：1

B.Vb?Vc=2：1,tb?七=1：2

C.Vb:Vc=2：1,tb：L=2：1

D.Vb:Vc=??2,tb'Zc=I:2

解析：A如圖所示，設(shè)正六邊形的邊長為/,當(dāng)帶電粒子的速度為W

2

時，其圓心在α點，軌道半徑n=/,轉(zhuǎn)過的圓心角叫=1"，當(dāng)帶電粒子

的速率為8時，其圓心在。點（即力、仍延長線的交點），故軌道半徑r2=

2/,轉(zhuǎn)過的圓心角。2=卓根據(jù)/B=*，得0=警，故r=4=3?由于7=胃/得T=W券

0th6?I2

所以兩粒子在磁場中做圓周運(yùn)動的周期相等，又'=三T,所以注=M=T.故選項A正確，選

項B、C、D錯誤.

I總結(jié)提升I

帶電粒子在磁場中做勻速圓周運(yùn)動的分析方法

畫軌跡確定圓心.

①軌道半徑與磁感應(yīng)強(qiáng)度、運(yùn)動速度相聯(lián)

系，即R=笳.

②由幾何方法------般由數(shù)學(xué)知識（勾股定

找聯(lián)系

理、三角函數(shù)等）計算來確定半徑.

③偏轉(zhuǎn)角度與圓心角、運(yùn)動時間相聯(lián)系.

L④粒子在磁場中運(yùn)動時間與周期相聯(lián)系.

/牛頓第二定律和圓周運(yùn)動的規(guī)律等，特別是

用規(guī)律\周期公式、半徑公式.

命題點三帶電粒子在磁場中運(yùn)動的臨界、極值問題（師生互動）

I核心整合］

一是以定理、定律為依據(jù)，首先求出所研究問題的一般規(guī)律和一般解的形式，然

兩種

后分析、討論處于臨界條件時的特殊規(guī)律和特殊解

思路

二是直接分析、討論臨界狀態(tài)，找出臨界條件，從而通過臨界條件求出臨界值

物理

1）利用臨界條件求極值；（2）利用邊界條件求極值；（3）利用矢量圖求極值

兩種方法

方法~WΓ（1）用三角函數(shù)求極值；（2）用二次方程的判別式求極值；（3）用不等式的

方法性質(zhì)求極值；（4）圖像法等

從關(guān)

許多臨界問題，題干中常用“恰好”“最大”“至少”“不相撞”“不脫離”等

鍵詞

詞語對臨界狀態(tài)給以暗示，審題時，一定要抓住這些特定的詞語挖掘其隱藏的規(guī)

找突

律，找出臨界條件

破口

EEI如圖所示，勻強(qiáng)磁場的邊界為直角三角形abc,一束帶正

電的相同粒子以不同的速度。沿歷方向從〃點射入磁場，不計粒子的×'×?

重力，關(guān)于粒子在磁場中的運(yùn)動情況，下列說法正確的是（）XXx:

^L×..×..×.×?

A.入射速度越大的粒子，其在磁場中的運(yùn)動時間越長bc

B.入射速度越大的粒子，其在磁場中的運(yùn)動軌跡越長

C.從外邊出射的粒子在磁場中的運(yùn)動時間都相等

D.從ac邊出射的粒子在磁場中的運(yùn)動時間都相等

解析：C帶電粒子進(jìn)入磁場做勻速圓周運(yùn)動，軌跡半徑，=淺，速度越大，半徑越大,

θ

從OC邊出射的粒子，速度越大，運(yùn)動軌跡越短，對應(yīng)的圓心角。越小，根據(jù)/=京丁和T=

2Jim

B可知，其在磁場中的運(yùn)動時間越短，選項A、B,D均錯誤；從油邊出射的粒子速度的

θ

偏向角都相同，而粒子在磁場中做圓周運(yùn)動的軌跡所對的圓心角等于速度的偏向角，由，=右

T可知粒子在磁場中的運(yùn)動時間相等，選項C正確.

［題組突破］

1.（帶電粒子運(yùn)動的極值問題）（2020?全國卷ΠI）

真空中有一勻強(qiáng)磁場，磁場邊界為兩個半徑分別為。和3“的同軸圓

柱面，磁場的方向與圓柱軸線平行，其橫截面如圖所示.一速率為。的

電子從圓心沿半徑方向進(jìn)入磁場.已知電子質(zhì)量為〃?，電荷量為e,忽

略重力.為使該電子的運(yùn)動被限制在圖中實線圓圍成的區(qū)域內(nèi)，磁場的

磁感應(yīng)強(qiáng)度最小為（）

解析：C磁感應(yīng)強(qiáng)度取最小值時對應(yīng)的臨界狀態(tài)如圖所示,

設(shè)電子在磁場中做圓周運(yùn)動的半徑為r,由幾何關(guān)系得/+F=（3α

一，）2,根據(jù)牛頓第二定律和圓周運(yùn)動知識得如8=〃7,聯(lián)立解得

2.（帶電粒子運(yùn)動的臨界問題）（多選）長為/的水平極板間有垂直紙面向

里的勻強(qiáng)磁場，如圖所示.磁感應(yīng)強(qiáng)度為B,板間距離也為/,極板不帶X

電.現(xiàn)有質(zhì)量為加、電荷量為q的帶正電粒子（不計重力），從左邊極板間+q一

XBXX

中點處垂直磁感線以速度。水平射入磁場，欲使粒子不打在極板上，可采

用的辦法是（）

A.使粒子的速度。（駕

B.使粒子的速度膂

C.使粒子的速度當(dāng)

m

D.使粒子的速度駕密

解析：AB若帶電粒子剛好打在極板右邊緣，有H=Gl—9一+凡又因為n=常，解

得S=舞；若粒子剛好打在極板左邊緣時，有「2=:=鷺，解得。2=智，故A、B正確.

X/X

XXX

命題點四帶電粒子在磁場中運(yùn)動的多解問題（師生互動）

［核心整合］

帶電粒子在洛倫茲力作用下做勻速圓周運(yùn)動，由于多種因素的影響，使問題形成多解.多

解形成原因一般包含4個方面：

1.帶電粒子電性不確定

受洛倫茲力作用的帶電粒子，可能帶正電荷，也可能帶負(fù)電荷，在相同的初速度下，正、

負(fù)粒子在磁場中運(yùn)動軌跡不同，形成多解.

2.磁場方向不確定

在只知道磁感應(yīng)強(qiáng)度大小，而未具體指出磁感應(yīng)強(qiáng)度方向，此時必須要考慮磁感應(yīng)強(qiáng)度

方向不確定而形成多解.

3.帶電粒子速度不確定形成多解

有些題目只告訴了帶電粒子的電性，但未具體指出速度的大小或方向，此時必須要考慮

由于速度的不確定而形成的多解.

4.帶電粒子運(yùn)動的周期性形成多解

空間中存在周期性變化的磁場，帶電粒子在空間運(yùn)動時，運(yùn)動往往具有周期性，因而形

成多解.

EE如圖甲所示，M、N為豎直放置彼此平行的兩塊平板，板間距離為d,兩極中央

各有一個小孔。、0,正對，在兩板間有垂直于紙面方向的磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度隨時間的變化如

圖乙所示.有一群正離子在/=0時垂直于M板從小孔。射入磁場.已知正離子質(zhì)量為小、

帶電荷量為正離子在磁場中做勻速圓周運(yùn)動的周期與磁感應(yīng)強(qiáng)度變化的周期都為n,不

考慮由于磁場變化而產(chǎn)生的電場的影響，不計離子所受重力.求：

MN

⑴磁感應(yīng)強(qiáng)度治的大??；

(2)要使正離子從0,垂直于N板射出磁場，正離子射入磁場時的速度3的可能值.

解析：設(shè)垂直于紙面向里的磁場方向為正方向.

(1)正離子射入磁場，洛倫茲力提供向心力

,mvn

BOqVo=~^~

做勻速圓周運(yùn)動的周期Tb=孚.

UO

2Ji

由以上兩式得磁感應(yīng)強(qiáng)度8o=?y^

ql<>

(2)要使正離子從。，孔垂直于N板射出磁場，如的方向應(yīng)如圖所,廠、

示，兩板之間正離子只運(yùn)動一個周期即Tb時，有R=爭當(dāng)兩板之間OU二二代

正離子運(yùn)動〃個周期即時,

有R=梟〃=1,2,3,…).

聯(lián)立求解，得正離子的速度的可能值為

BnqR∏d__

v3…）

0~m一萬元("—1'2,>

小&2πw∏d

答案：（I）Nr⑵赤;（〃=1，2,3,…）

［題組突破］

1.（磁場方向不確定形成的多解問題）（多選）一質(zhì)量為加、電荷量為q的負(fù)電荷在磁感應(yīng)

強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場中繞固定的正電荷沿固定的光滑軌道做勻速圓周運(yùn)動，若磁場方向垂直

于它的運(yùn)動平面，且作用在負(fù)電荷的電場力恰好是磁場力的三倍，則負(fù)電荷做圓周運(yùn)動的角

速度可能是（）

解析：AC依題中條件“磁場方向垂直于它的運(yùn)動平面”，磁場方向有兩種可能，且這

兩種可能方向相反.在方向相反的兩個勻強(qiáng)磁場中，由左手定則可知負(fù)電荷所受的洛倫茲力

的方向也是相反的.當(dāng)負(fù)電荷所受的洛倫茲力與電場力方向相同時，根據(jù)牛頓第二定律可知

4Bqu=扇得。=筆，此種情況下，負(fù)電荷運(yùn)動的角速度為。=宗=華；當(dāng)負(fù)電荷所受

的洛倫茲力與電場力方向相反時，有2Bqv=睚,V=駕,此種情況下，負(fù)電荷運(yùn)動的角

速度為SW=個、故A、C正確.

2.（帶電粒子速度不確定形成多解）（多選）如圖所示，一束電子以大小不；-

同的速率沿圖示方向垂直飛入橫截面是一正方形的勻強(qiáng)磁場區(qū)域，下列判Γτ??√-.J

J,;、、'、、、、

斷正確的是（）1,''',U?

A.電子在磁場中運(yùn)動時間越長，其軌跡線越長W…一

B.電子在磁場中運(yùn)動時間越長，其軌跡線所對應(yīng)的圓心角越大

C.在磁場中運(yùn)動時間相同的電子，其軌跡線不一定重合

D.電子的速率不同，它們在磁場中運(yùn)動時間一定不相同

解析：BC由周期公式T=*知，周期與電子的速率無關(guān)，所以電子在磁場中的運(yùn)動

θ

周期相同，由r=壽7知，電子在磁場中運(yùn)動時間與軌跡對應(yīng)的圓心角成正比，所以電子在

磁場中運(yùn)動的時間越長，其軌跡線所對應(yīng)的圓心角6越大，弧長s=2,運(yùn)動時間越長，圓心

角越大，但半徑不一定大，可知電子在磁場中運(yùn)動時間越長，軌跡線不一定越長，故A錯誤,

B正確；若它們在磁場中運(yùn)動時間相同，但軌跡不一定重合，比如：軌跡3、4與5,它們的

運(yùn)動時間相同，但它們的軌跡對應(yīng)的半徑不同，即它們的速率不同，故C正確，D錯誤.

3.（粒子電性不確定引起的多解問題）（多選）如圖，寬度為d的有界勻強(qiáng)磁場，

磁感應(yīng)強(qiáng)度為8,MM'和NM是它的兩條邊界線，現(xiàn)有質(zhì)量為相、電荷量為q

的帶電粒子沿圖示方向垂直磁場射入.要使粒子不能從邊界NM射出，粒子入

射速率V的最大可能是（）

qBd（2+Λ∕^）qBd

A.B?

min

（2—也）qBd

'2mD.m

解析：BD題目中只給出粒子“電荷量為,未說明是帶哪種

V

電荷，所以分情況討論.

若帶電粒子帶正電荷，軌跡是圖中與NM相切的（圓瓠,

則軌跡半徑R=蜀

又"=R-Rsin45°

解得。=q±?Bqd,

3

若帶電粒子帶負(fù)電荷，軌跡是圖中與NM相切的W圓弧,

則軌跡半徑R=號-

又d=R'+R'sin450

解得0，=..（2一呼）,的眩,故選項B、D正確.

:核心素養(yǎng)新導(dǎo)向?qū)W科培優(yōu)

素養(yǎng)培優(yōu)27三類典型的“動態(tài)圓”模型

模型一“放縮圓”模型的應(yīng)用

粒子源發(fā)射速度方向一定，大小不同的帶電粒子進(jìn)入勻強(qiáng)磁

速度方向一定，大

場時，這些帶電粒子在磁場中做勻速圓周運(yùn)動的軌跡半徑隨

小不同

適用速度的變化而變化

條件如圖所示（圖中只畫出粒子帶正電的情境），速度。越大，運(yùn)

軌跡圓圓心共線動半徑也越大.可以發(fā)現(xiàn)這些帶電粒子射入磁場后，它們運(yùn)

動軌跡的圓心在垂直初速度方向的直線PP'上

XXP,X××X

X*∕?×--?×'XX

/\?'

×∕×毛一聲：、乂*X

×：X：X

,

。,、k

×××××X

以入射點P為定點，圓心位于尸產(chǎn)直線上，將半徑放縮作軌跡圓，從而探索出臨

界定方法

界條件，這種方法稱為“放縮圓”法

典例1(多選)如圖所示，垂直于紙面向里的勻強(qiáng)磁場分布在正

方形HW區(qū)域內(nèi)，。點是〃邊的中點.一個帶正電的粒子僅在洛倫

茲力的作用下，從O點沿紙面以垂直于Cd邊的速度射入正方形內(nèi)，

經(jīng)過時間燈后剛好從C點射出磁場.現(xiàn)設(shè)法使該帶電粒子從O點沿紙

面以與Od成30°角的方向，以大小不同的速率射入正方形內(nèi)，那么下列說法中正確的是

()

A.若該帶電粒子在磁場中經(jīng)歷的時間是|如則它一定從W邊射出磁場

B.若該帶電粒子在磁場中經(jīng)歷的時間是彳。，則它一定從αd邊射出磁場

C.若該帶電粒子在磁場中經(jīng)歷的時間是a0,則它一定從兒邊射出磁場

D.若該帶電粒子在磁場中經(jīng)歷的時間是如則它一定從外邊射出磁場

解析：AC如圖所示，做出剛好從邊射出的軌跡①、剛好從c

be邊射出的軌跡②、從〃邊射出的軌跡③和剛好從ad邊射出的軌跡

④.由從。點沿紙面以垂直于Cd邊的速度射入正方形內(nèi)，經(jīng)過時間to。

后剛好從C點射出磁場可知，帶電粒子在磁場中做圓周運(yùn)動的周期是j

2h由圖及周期可知，從ad邊射出磁場經(jīng)歷的時間一定小于∕o,Zkab

邊射出磁場經(jīng)歷的時間一定大于等于京0,且小于∣fo,從6c邊射出磁場經(jīng)歷的時間一定大于

545

等于永且小于芻0,從Cd邊射出磁場經(jīng)歷的時間一定是孤選項A、C正確.

o?3

模型二“旋轉(zhuǎn)圓”模型的應(yīng)用

粒子源發(fā)射速度大小一定、方向不同的帶電粒子進(jìn)入勻強(qiáng)

適用速度大小一定，方磁場時，它們在磁場中做勻速圓周運(yùn)動的半徑相同，若射

方法向不同

入初速度為。0,則圓周運(yùn)動半徑為R=喏.如圖所示

qb

P

帶電粒子在磁場中做勻速圓周運(yùn)動的圓心在以入射點P為

軌跡圓圓心共圓

圓心、半徑R=黃的圓上____________________________

界定方將一半徑為“翳的圓以入射點為圓心進(jìn)行旋轉(zhuǎn)，從而探索粒子的臨界條件，

法

這種方法稱為“旋轉(zhuǎn)圓”法

典例2如圖所示，圓形區(qū)域有一勻強(qiáng)磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度為2,方

向垂直紙面向里，邊界跟y軸相切于坐標(biāo)原點0.0點處有一放射源，沿

紙面向各方向射出速率均為V的某種帶電粒子，帶電粒子在磁場中做圓。

周運(yùn)動的半徑是圓形磁場區(qū)域半徑的兩倍.已知該帶電粒子的質(zhì)量為根、

電荷量為q，不考慮帶電粒子的重力.

(1)推導(dǎo)帶電粒子在磁場空間做圓周運(yùn)動的軌跡半徑；

(2)求帶電粒子通過磁場空間的最大偏轉(zhuǎn)角.

解析：(1)帶電粒子進(jìn)入磁場后，受洛倫茲力作用，由牛頓第二定律得8卯=〃”,解得

mv

r=西

(2)粒子的速率均相同，因此粒子軌跡圓的半徑均相同，但粒子射入磁場的速度方向不確

定，故可以保持圓的大小不變，只改變圓的位置，畫出“動態(tài)圓”，如圖甲所示，通過“動

態(tài)圓”可以觀察到粒子運(yùn)動軌跡均為劣弧，對于劣弧而言，瓠越長，弧所對應(yīng)的圓心角越大,

偏轉(zhuǎn)角越大，則運(yùn)動時間越長，當(dāng)粒子的軌跡圓的弦長等于磁場直徑時，粒子在磁場空間的

偏轉(zhuǎn)角最大，如圖乙所示，則Sin等=，=；,即仰IaX=60°.

―rιiΛ∕C

答案：⑴行(2)60°

模型三''平移圓”模型的應(yīng)用

粒子源發(fā)射速度大小、方向一定，入射點不同但

速度大小一定，方在同一直線的帶電粒子進(jìn)入勻強(qiáng)磁場時，它們做

向一定，勻速圓周運(yùn)動的半徑相同，若入射速度大小為。0,

但入射點則半徑R=嘿，如圖所示

適用qB

在同一直

條件×××××××

線上×↑∕×∣∕×?、、X

帶電粒子在磁場中做勻速圓周運(yùn)動的圓心在同一

軌跡圓圓心共線

直線，該直線與入射點的連線平行

將半徑為“翳的圓進(jìn)行平移，從而探索粒子的臨界條件，這種方法

界定方法

叫“平移圓”法

典例3（2022?河南高三測試）如圖所示，三角形ABC內(nèi)有垂直于三

角形平面向外的勻強(qiáng)磁場，AB邊長為L,∕A=30°,/8=90°,D是

A8邊的中點.現(xiàn)在。8段上向磁場內(nèi)射入速度大小相同、方向平行于BC

的同種粒子（不考慮粒子間的相互作用和粒子重力），若從D點射入的粒子

恰好能垂直AC邊射出磁場，則AC邊上有粒子射出的區(qū)域長度為（）

小一1

c??iiD.~L

解析：C從。點射入和從8點射入的粒子的運(yùn)動軌跡如圖所示，設(shè)兩

個粒子在AC邊上的出射點分別為￡、尸點，由于從D點射入的粒子恰好能

垂直AC邊射出磁場，所以A點為該粒子做圓周運(yùn)動的圓心，則粒子做圓周

運(yùn)動的半徑為R=TL,則有AE=因為。點是A8的中點，所以。點是

從B點射出的粒子做圓周運(yùn)動的圓心，所以有AO=OF,則根據(jù)幾何知識有

AF=2×^L?cos300=田與所以有粒子射出的區(qū)域長度為EF=AF—AE="^^?,故A、

B、D錯誤，C正確.

限時規(guī)范訓(xùn)練

［基礎(chǔ)鞏固］

1.如圖所示，從太陽或其他星體上放射出的宇宙射線中都含有大量的高能帶電粒子，這

些高能帶電粒子到達(dá)地球會對地球上的生命帶來危害，但是由于地球周圍存在地磁場，地磁

場能改變宇宙射線中帶電粒子的運(yùn)動方向，對地球上的生命起到保護(hù)作用，那么（）

A.宇宙射線受到地磁場施加的與運(yùn)動方向相反的排斥力

B.垂直射向地球表面的帶電粒子在兩極處受磁場的偏轉(zhuǎn)作用最強(qiáng)

C.帶正電的離子垂直射向赤道時會向東偏轉(zhuǎn)

D.帶負(fù)電的離子垂直射向赤道時會向南極偏轉(zhuǎn)

解析：C宇宙射線受到地磁場施加的力與運(yùn)動方向垂直，當(dāng)宇宙射線的運(yùn)動方向與磁

感應(yīng)強(qiáng)度方向平行時，此時受到的洛倫茲力為零，A錯誤；垂直射向地球表面的帶電粒子在

兩極處運(yùn)動方向與磁場方向平行，故不受洛倫茲力，B錯誤：由左手定則可知，垂直射向赤

道的正離子受到的洛倫茲力向東，故向東偏轉(zhuǎn)，C正確；由左手定則可知，垂直射向赤道的

負(fù)離子受到的洛倫茲力向西，故向西偏轉(zhuǎn)，D錯誤.

2.如圖所示，勻強(qiáng)磁場中有一個帶電荷量為q的粒子自α點沿箭

頭方向運(yùn)動.當(dāng)它運(yùn)動到6點時I突然吸收了附近的若干個電子，接

著沿另一圓軌道運(yùn)動到與4、匕在一條直線上的C點.已知m=56,

電子電荷量為e,電子質(zhì)量不計.由此可知，粒子吸收的電子個數(shù)為

解析：D由粒子的運(yùn)動軌跡和左手定則可知，粒子帶正電，依據(jù)《，B=V可得，粒子

在磁場中做勻速圓周運(yùn)動的軌道半徑為r=寫，已知ac=Lh,所以兩次圓周運(yùn)動的半徑比

CJDZ

mv,ci

為八：/"2=2：3,又應(yīng)=萬不變，由此可知rq=∕?2（＜L"e）,解得〃=之，故D正確.

.真空中豎直放置一通電長直細(xì)導(dǎo)線，俯視圖如圖所示.以導(dǎo)線

3/、、、

為圓心作圓，光滑絕緣管"水平放置，兩端恰好落在圓周上.半徑略/λ6

小于絕緣管半徑的帶正電小球自〃端以速度。O向6端運(yùn)動過程中，下；?\

列說法正確的是（）?