2023年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí) 銳角三角函數(shù)壓軸真題訓(xùn)練（解析版）

挑戰(zhàn)2023年中考數(shù)學(xué)解答題壓軸真題匯編

專題02銳角三角函數(shù)壓軸真題訓(xùn)練

一.解直角三角形的應(yīng)用-方向角問題

1.（2022?重慶）如圖，三角形花園ABC緊鄰湖泊，四邊形A3DE是沿湖泊修

建的人行步道.經(jīng)測量，點(diǎn)C在點(diǎn)A的正東方向，AC=200米.點(diǎn)E在點(diǎn)A

的正北方向.點(diǎn)8,。在點(diǎn)C的正北方向，30=100米.點(diǎn)3在點(diǎn)A的北偏

東30°,點(diǎn)。在點(diǎn)E的北偏東45°.

（1）求步道DE的長度（精確到個(gè)位）；

（2）點(diǎn)。處有直飲水，小紅從A出發(fā)沿人行步道去取水，可以經(jīng)過點(diǎn)3到達(dá)

點(diǎn)D,也可以經(jīng)過點(diǎn)E到達(dá)點(diǎn)D請計(jì)算說明他走哪一條路較近？

（參考數(shù)據(jù)：72^1.414,在=1.732）

由已知可得四邊形ACDF是矩形,

.,.DR=AC=200米，

?..點(diǎn)。在點(diǎn)E的北偏東45°,即NDEE=45°,

...△DER是等腰直角三角形，

DE=42DF=200V2^283(米)；

(2)由(1)知△DER是等腰直角三角形，DE=283米，

.,5=。/=200米，

?點(diǎn)5在點(diǎn)A的北偏東30°,即NE4B=30°,

AZABC=3Q°,

VAC=200米，

A6=2AC=400米，BC=A/AB2-AC2=200a米，

,.?8。=100米，

經(jīng)過點(diǎn)B到達(dá)點(diǎn)D路程為45+50=400+100=500米，

CD=BC+BD=(200V3+100)米，

：.AF=CD=(200V3+100)米，

：.AE=AF-EF=(200V3+100)-200=(20073-100)米，

???經(jīng)過點(diǎn)E到達(dá)點(diǎn)D路程為AE+DE=200V3-100+200529米，

V529>500,

經(jīng)過點(diǎn)5到達(dá)點(diǎn)。較近.

2.(2022?資陽)小明學(xué)了《解直角三角形》內(nèi)容后，對一條東西走向的隧道

A3進(jìn)行實(shí)地測量.如圖所示，他在地面上點(diǎn)C處測得隧道一端點(diǎn)A在他的北

偏東15°方向上，他沿西北方向前進(jìn)100?米后到達(dá)點(diǎn)。，此時(shí)測得點(diǎn)A在

他的東北方向上，端點(diǎn)3在他的北偏西60°方向上，(點(diǎn)A、B、C、。在同

一平面內(nèi))

(1)求點(diǎn)。與點(diǎn)A的距離；

(2)求隧道A3的長度.(結(jié)果保留根號)

【解答】解；（1）由題意可知：ZAC￡>=15°+45°=60°,ZADC=180°

-45°-45°=90°,

在RtAADC中，

.**AD=DCXtanZACD=100/3Xtan60°=10073xV3=300（米），

答：點(diǎn)。與點(diǎn)A的距離為300米.

（2）過點(diǎn)。作DELA3于點(diǎn)E,

北

?..AB是東西走向,

ZADE=45°,ZBDE=60°,

在RtAADE中，

?,-DE=AE=ADXsinZADE=300Xsin450=300>^y-=150V2（米），

在RtABDE中,

BE=DEXtanZBDE=15072Xtan600=15072xVs=15oV6（米），

???AB=AE+BE=（150V2+150V6）（米），

答：隧道AB的長為（150/^+150%）米.

3.（2022?錦州）如圖，一艘貨輪在海面上航行，準(zhǔn)備要停靠到碼頭C,貨輪航

行到A處時(shí)，測得碼頭C在北偏東60°方向上.為了躲避A,C之間的暗礁，

這艘貨輪調(diào)整航向，沿著北偏東30°方向繼續(xù)航行，當(dāng)它航行到3處后，又

沿著南偏東70。方向航行20海里到達(dá)碼頭C.求貨輪從A到3航行的距離

（結(jié)果精確到0。海里.參考數(shù)據(jù)：sin50°-0.766,cos50°-0.643,tan50°

^1.192）.

【解答】解：過5作于D,

由題意可知NABE=30°,NA4c=30°,則NC=180°-30°-30°-70°

=50°,

在RtZ^BCD中，ZC=50°,BC=20（海里），

：.BD=BCsin50°^20X0.766=15.32（海里），

在RtZiAB。中，ZBAD=30°,50=15.32（海里）,

.?.AB=2BD=30.64心30.6（海里），

答：貨輪從A到3航行的距離約為30.6海里.

二.解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題

4.（2022?遂寧）數(shù)學(xué)興趣小組到一公園測量塔樓高度.如圖所示，塔樓剖面和

臺階的剖面在同一平面，在臺階底部點(diǎn)A處測得塔樓頂端點(diǎn)E的仰角NGAE

=50.2°,臺階A3長26米，臺階坡面A3的坡度7=5：12,然后在點(diǎn)3處

測得塔樓頂端點(diǎn)E的仰角NE3R=63.4°,則塔頂?shù)降孛娴母叨人s為多少

米.

(參考數(shù)據(jù)：tan50.2°心1.20,tan63.4°心2.00,sin50.2°弋0.77,sin63.4°

=0.89)

【解答】解：如圖，延長交AG于點(diǎn)H,則EHLAG,作3PLAG于點(diǎn)P,

則四邊形是矩形，

由7=5：12,可以假設(shè)BP=5x,AP=12x,

":PB2+B\2=AB2,

(5x)2+(12x)2=262,

，x=2或-2(舍去)，

：.PB=FH=IO,AP=24,

設(shè)米，BF=b米,

,：tanZEBF=^_,

BF

...22,

b

.,.a?2匕①，

VtanZEA^M=EF+HF=EF+BP,

AHAP+PHAP+BF

.?.a+l°=i.2②,

24+b

由①②得。心47,。心23.5,

答：塔頂?shù)降孛娴母叨菶R約為47米.

5.（2022?內(nèi)蒙古）在一次綜合實(shí)踐活動(dòng)中，某小組對一建筑物進(jìn)行測量.如圖，

在山坡坡腳C處測得該建筑物頂端B的仰角為60°,沿山坡向上走20m到達(dá)

D處，測得建筑物頂端B的仰角為30°.已知山坡坡度1=3：4,即tan6=2,

4

請你幫助該小組計(jì)算建筑物的高度AB.

（結(jié)果精確到0」如參考數(shù)據(jù)：73^1.732）

【解答】解：過點(diǎn)。作垂足為E,過點(diǎn)。作垂足為R

EC4

設(shè)DE=3x米，貝ljCE=4x米，

,:DE2+CE2=DC2,

：.(3x)2+(4x)2=400,

，x=4或尤=-4(舍去)，

.,.DE=AF=12米，CE=16米,

設(shè)米，

：.AB=BF+AF=(12+y)米，

在RtZXDBR中，ZBDF=30°,

:,DF=—―。=丁_=y>（米），

tan30°V3

3

.'.AE=DF=<\[3y米，

：.AC=AE-CE=（V3v-16）米，

在RtZWC中，ZACB^60°,

tan60°-AB_12+y_=?,

ACV3y-16

解得：y=6+8在，

經(jīng)檢驗(yàn)：y=6+8次是原方程的根，

AAB=BF+AF=18+873%31.9（米），

建筑物的高度AB約為31.9米.

6.（2022?阜新）如圖，小文在數(shù)學(xué)綜合實(shí)踐活動(dòng)中，利用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識測量

居民樓的高度A3,在居民樓前方有一斜坡，坡長CD=15m,斜坡的傾斜角

為a,cosa小文在C點(diǎn)處測得樓頂端A的仰角為60°,在。點(diǎn)處測得

5

樓頂端A的仰角為30°（點(diǎn)A,B,C,。在同一平面內(nèi)）.

（1）求C,。兩點(diǎn)的高度差；

（2）求居民樓的高度A3.

（結(jié)果精確到1根，參考數(shù)據(jù)：1.7）

A

【解答】解：（1）過點(diǎn)。作DEL5C,交的延長線于點(diǎn)E,

BE

?.?在RtZVDCE中，cosa=A,CD=15m,

5

?*-CE=CD-cosQ=15XA(m).

5=12

DE=VCD2-CE2=V152-122=9(m)?

答：C,。兩點(diǎn)的高度差為9m.

(2)過點(diǎn)。作DR，A3于凡

由題意可得3尸=￡>E,DF=BE,

^AF=xm,

在RtZiA。/中，tanNADP=tan30°="上"1,

DFDF3

解得DF=MX,

在RtZ\ABC中，AB=AF+FB=AF+DE=(x+9)m,BC=BE-CE=DF-CE

=(V3x-12)m,

tan60°=jjl=/+9_=?,

BCV3x-12

解得x=6V3號，

經(jīng)檢驗(yàn)，*=函號是原方程的解且符合題意，

：.AB=673+—+9^24(m).

2

答：居民樓的高度A3約為24%

7.(2022?襄陽)位于睨山的革命烈士紀(jì)念塔是襄陽市的標(biāo)志性建筑，是為紀(jì)念

“襄樊戰(zhàn)役”中犧牲的革命烈士及第一、第二次國內(nèi)革命戰(zhàn)爭時(shí)期為襄陽的

解放事業(yè)獻(xiàn)身的革命烈士而興建的，某校數(shù)學(xué)興趣小組利用無人機(jī)測量烈士

塔的高度.無人機(jī)在點(diǎn)A處測得烈士塔頂部點(diǎn)3的仰角為45°,烈士塔底部

點(diǎn)C的俯角為61°,無人機(jī)與烈士塔的水平距離AD為10m,求烈士塔的高

度.(結(jié)果保留整數(shù).參考數(shù)據(jù)：sin61°^0.87,cos61°心0.48,tan61°a

1.80)

☆

革

D命

烈

士

紀(jì)

念

碑

【解答】解：由題意得，ZBAD=45°,ND4c=61°,

在中，NBAD=45°,AD=10m,

.\BD=AD=lQm,

在Rt2\AC￡>中，ND4c=61。,

tan61°=型0PL80,

AD10

解得CD-18,

.".BC=SD+CD=10+18=28（m）.

???烈士塔的高度約為28m.

8.（2022?鞍山）北京時(shí)間2022年4月16日9時(shí)56分，神舟十三號載人飛船

返回艙成功著陸.為弘揚(yáng)航天精神，某校在教學(xué)樓上懸掛了一幅長為8機(jī)的勵(lì)

志條幅（即GR=8機(jī)）.小亮同學(xué)想知道條幅的底端R到地面的距離，他的

測量過程如下：如圖，首先他站在樓前點(diǎn)5處，在點(diǎn)3正上方點(diǎn)A處測得條

幅頂端G的仰角為37°,然后向教學(xué)樓條幅方向前行12m到達(dá)點(diǎn)。處（樓

底部點(diǎn)E與點(diǎn)3,。在一條直線上），在點(diǎn)。正上方點(diǎn)C處測得條幅底端歹

的仰角為45°,若AB,CD均為1.65機(jī)（即四邊形A3DC為矩形），請你幫

助小亮計(jì)算條幅底端F到地面的距離FE的長度.（結(jié)果精確到0.1m.參考

數(shù)據(jù)：sin37°心0.60,cos37°弋0.80,tan37°^0.75）

G

由題意得：

A3=CD=HE=L65米，AC=3D=12米，ZAHG=90°,

設(shè)CH=x米，

：.AH=AC+CH=(12+x)米，

在中，ZFCH=45°,

：.FH=CHnan45°=龍(米),

：GE=8米，

:.GH=GF+FH=(8+x)米，

在RtZXAHG中，NG4H=37。，

.*.tan37o=31=上電心0.75,

AH12+x

解得：x=4,

經(jīng)檢驗(yàn)：x=4是原方程的根，

:.FE=FH+HE=5.65~5.7(米)，

???條幅底端F到地面的距離FE的長度約為5.7米.

三.解直角三角形的應(yīng)用-坡度坡角問題

9.（2022?郴州）如圖是某水庫大壩的橫截面，壩高CD=20m,背水坡BC的

坡度為h=l：1.為了對水庫大壩進(jìn)行升級加固，降低背水坡的傾斜程度，

設(shè)計(jì)人員準(zhǔn)備把背水坡的坡度改為，2=1：愿，求背水坡新起點(diǎn)A與原起點(diǎn)3

之間的距離.

（參考數(shù)據(jù)：72^1.41,73^1.73.結(jié)果精確到0.1M

【解答】解：在RtZXBCD中，

?.?BC的坡度為ii=l：1,

.?@=1,

BD

.,.CD=BD=20米，

在RtAACD中，

：AC的坡度為，2=1：如,

???CD--1=r-9

ADV3

：.AD=MCD=20如（米），

：.AB=AD-BD=2043~20?^14.6（米），

???背水坡新起點(diǎn)A與原起點(diǎn)B之間的距離約為14.6米.

10.（2022?徐州）如圖，公園內(nèi)有一個(gè)垂直于地面的立柱A3,其旁邊有一個(gè)坡

面CQ，坡角NQCN=30°.在陽光下，小明觀察到AB在地面上的影長為

120cm,在坡面上的影長為180cm.同一時(shí)刻，小明測得直立于地面長60cm

的木桿的影長為9（）52（其影子完全落在地面上）.求立柱A5的高度.

A

【解答】解：延長AD交BN于點(diǎn)E,過點(diǎn)D作DFLBN于點(diǎn)F,

在RtaCDR中，ZCFD=9Q°,ZDCF=3Q°,

則。R=[C￡)=90(cm),CF=CD*cosZDCF=180XXl=90V3(cm),

22

由題意得：DF=60,即典=皎，

EF90EF90

解得:E產(chǎn)=135,

:.BE=BC+CF+EF=(255+90我)cm,

則___蛆___=60,

255+90近90

解得：AB=170+6073，

答：立柱A3的高度為（170+60我）cm.

四.解直角三角形的應(yīng)用（共2小題）

11.（2022?東營）勝利黃河大橋猶如一架巨大的豎琴，凌駕于滔滔黃河之上，

使黃河南北“天塹變通途”.已知主塔A3垂直于橋面于點(diǎn)3,其中兩條

斜拉索AD、AC與橋面3c的夾角分別為60°和45°,兩固定點(diǎn)。、C之間

的距離約為33處求主塔A3的高度（結(jié)果保留整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：&-L41,

73^1.73）

【解答】解：在RtZXADB中，ZADB=60°,tanZADB=^,,

BD

BD=~-=也，

tan600V3

在RtZXABC中，NC=45°,tan/C=膽，

BC

：.BC=-—=AB,

tan450

■:BC-BD=CD=33m,

：.AB-螞=33,

V3_

.,.48=99+33近~78（m）.

2

答：主塔A3的高約為78m.

12.（2022?六盤水）“