公開課：角的平分線的性質(zhì)

現(xiàn)在有一張用紙做的角，怎樣不利用其他工具把它平分？對(duì)折之后的折痕和這個(gè)角有什么關(guān)系？如果是木板不能對(duì)折，該怎么平分？動(dòng)腦想一想如圖是一個(gè)平分角的儀器，其中AB=AD，BC=DC，將點(diǎn)A放在角的頂點(diǎn)，AB和AD沿著角的兩邊放下，則AC所在直線就是這個(gè)角的平分線。你能說(shuō)明這是為什么嗎？動(dòng)腦想一想證明：在△ADC和△ABC中AB=AD（已知）AC=AC（公共邊相等）DC=BC（已知）∴△ADC≌△ABC(SSS)∴∠DAC=∠BAC（對(duì)應(yīng)角相等）即AE平分∠BAD動(dòng)腦想一想通過(guò)剛才的啟發(fā)，你能想到怎樣畫出下面的角的平分線嗎？動(dòng)腦想一想BAO僅用尺規(guī)作圖，已知∠AOB，求作∠AOB的平分線尺規(guī)法畫角平分線BAO以點(diǎn)O為圓心，任意適當(dāng)長(zhǎng)度為半徑畫弧，交OA于點(diǎn)M，交OB于點(diǎn)NMN尺規(guī)法畫角平分線BAO分別以點(diǎn)M，N為圓心，大于?MN的長(zhǎng)度為半徑畫弧，兩弧在∠AOB的內(nèi)部交于點(diǎn)CMNC尺規(guī)法畫角平分線BAO畫射線OC，即為∠AOB的角平分線MNC思考和交流在你剛才畫好的角平分線OC上任意取一點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)P畫出OA和OB的垂線段，分別記垂足為D，E。PD和PE的長(zhǎng)度有什么關(guān)系？在OC上再取幾個(gè)點(diǎn)試一下，并和你的伙伴交流結(jié)論，你們發(fā)現(xiàn)角平分線有什么性質(zhì)？思考和交流經(jīng)過(guò)測(cè)量，PD=PE總成立。經(jīng)過(guò)討論，我們猜想：角分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等。你能用全等三角形證明嗎？給出圖形和數(shù)學(xué)語(yǔ)言如圖，已知∠AOC=∠BOC，點(diǎn)P在OC上，且PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分別為D，E。求證：PD=PE。證明過(guò)程角的平分線的性質(zhì)角分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等EDOABPC∵OC平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB∴PD=PEP到OA的距離P到OB的距離角平分線上的點(diǎn)知識(shí)回顧幾何語(yǔ)言：∵OC平分∠AOB，且PD⊥OA，PE⊥OB∴PD=PE角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等。角平分線的性質(zhì)：不必再證全等ODEPACBOABED思考：如圖所示OC是∠AOB的平分線,P是OC上任意一點(diǎn),問PE=PD?為什么?CPPD,PE沒有垂直O(jiān)A,OB,它們不是角平分線上任一點(diǎn)這個(gè)角兩邊的距離,所以不一定相等△ABC中,∠C=900,AD平分∠CAB,且BC=8,BD=5,求點(diǎn)D到AB的距離是多少？ABCDE（點(diǎn)D到AB的距離是3）如圖所示，在△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的平分線交BC于D，BC=15，且CD：DB=1：2，則點(diǎn)D到AB的距離為_________。

如圖：在△ABC中，∠C=90°AD是∠BAC的平分線，DE⊥AB于E，F(xiàn)在AC上，BD=DF；求證：CF=EBACDEBF實(shí)踐應(yīng)用(1)

分析:要證CF=EB,首先我們想到的是要證它們所在的兩個(gè)三角形全等,即Rt△CDF≌

Rt△EDB.

現(xiàn)已有一個(gè)條件BD=DF(斜邊相等),還需要我們找什么條件DC=DE(因?yàn)榻堑钠椒志€的性質(zhì))再用HL證明.試試自己寫證明。你一定行！動(dòng)筆練一練證明：∵AD平分∠CAB且DE⊥AB，∠C＝90°（已知）∴CD＝DE在Rt△CDF和Rt△EDB中,CD=DE（已證）DF=DB（已知）∴Rt△CDF≌Rt△EDB(HL)∴CF=EBAEFCDB例3：在△OAB中，OE是∠

AOB的角平分線，且EA=EB，EC、ED分別垂直O(jiān)A，OB，垂足為C，D，求證：AC=BD。OABECD例題講解OABECDOABECD2.如圖,在△ABC中，AC⊥BC，AD為∠BAC的平分線，DE⊥AB，AB＝7㎝，AC＝3㎝，求BE的長(zhǎng)。EDCBA動(dòng)腦想一想如圖，要在S區(qū)建一個(gè)集貿(mào)中心，使它到鐵路、公路的距離相等，并且離公路與鐵路的交叉處500m，這個(gè)集貿(mào)中心應(yīng)建在哪里？如圖，為了促進(jìn)當(dāng)?shù)芈糜伟l(fā)展，某地要在三條公路圍成的一塊平地上修建一個(gè)度假村.要使這個(gè)度假村到三條公路的距離相等,應(yīng)在何處修建？思考題角分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等。到角的兩邊的距離相等的點(diǎn)是否也在角的平分線上呢？動(dòng)腦想一想畫出幾何圖形，寫出已知和求證，證明這個(gè)猜想。給出圖形和數(shù)學(xué)語(yǔ)言如圖，P是∠AOB上的一點(diǎn)，PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，且PD=PE。求證：OP是∠AOB的平分線。證明過(guò)程角的平分線的判定角的內(nèi)部到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上EDOABP∵P是∠AOB內(nèi)的一點(diǎn)，PD⊥OA，PE⊥OB，且PD=PE∴OP是∠AOB的平分線PC

角的內(nèi)部到角的兩邊的距離相等的點(diǎn)在角的平分線上。∵

PD⊥OA，PE⊥OB，

PD＝PE．∴OP平分∠AOB．用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表示為：角平分線性質(zhì)的逆定理（角平分線的判定）總結(jié)不必再證全等ABCEFD

如圖，△ABC中，D是BC的中點(diǎn)，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別是E、F，且BE＝CF。求證：AD是△ABC的角平分線課堂練習(xí)已知:BD⊥AM于點(diǎn)D,CE⊥AN于點(diǎn)E,BD,CE交點(diǎn)F,CF=BF,求證:點(diǎn)F在∠A的平分線上.AAAAAAADNEBFMCA課堂練習(xí)動(dòng)筆練一練如圖，AD⊥OB于D，BC⊥OA于C，AD與BC相交于點(diǎn)P，若PA=PB，則∠1和∠2的大小關(guān)系是（）∠1=∠2∠1>∠2∠1<∠2無(wú)法確定A我們之間就學(xué)習(xí)了三角形的角分線，之前談到過(guò)，三條角分線一定交于一點(diǎn)，不過(guò)當(dāng)時(shí)我們沒有給出證明，而只是通過(guò)畫圖的方法給出了印證。現(xiàn)在我們學(xué)習(xí)了角分線的性質(zhì)和判定定理，怎樣證明這個(gè)結(jié)論呢？我們先看下面的例題。動(dòng)腦想一想如圖，△ABC的平分線BM，CN相交于點(diǎn)P。求證：點(diǎn)P到三邊AB，BC，CA的距離相等。動(dòng)腦想一想證明：過(guò)點(diǎn)P作PD，PE，PF分別垂直于AB，BC，CA，垂足分別為D，E，F(xiàn)?！連M是△ABC的角平分線，點(diǎn)P在BM上∴PD=PE，同理PE=PF∴PD=PE=PF即點(diǎn)P到三邊AB，BC，CA的距離相等動(dòng)腦想一想根據(jù)PF=PD，且PD⊥AB，PF⊥AC的事實(shí)，你現(xiàn)在能得到什么結(jié)論？點(diǎn)P也在∠A的平分線上，也就是說(shuō)，點(diǎn)A是三角形三條角平分線的交點(diǎn)。動(dòng)腦想一想角的平分線的性質(zhì)圖形已知條件結(jié)論P(yáng)CPCOP平分∠AOBPD⊥OA于DPE⊥OB于EPD=PEOP平分∠AOBPD=PEPD⊥OA于DPE⊥OB于E角的平分線的判定歸納、比較角分線的判定和性質(zhì)點(diǎn)在角平分線上點(diǎn)到角兩邊的距離相等判定性質(zhì)學(xué)完本節(jié)課你應(yīng)該知道角的平分線尺規(guī)畫角的平分線性質(zhì)和判定點(diǎn)在角平分線上點(diǎn)到角兩邊的距離相等判定性質(zhì)會(huì)證明練一練填空：(1).∵∠1=∠2,DC⊥AC,DE⊥AB∴___________(___________________________________________)(1).∵DC⊥AC,DE⊥AB,DC=DE∴__________(_______________________________________________)ACDEB12∠1=∠2DC=DE到一個(gè)角的兩邊的距離相等的點(diǎn)，在這個(gè)角平分線上。在角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等動(dòng)筆練一練如圖，OP平分∠AOB，PA⊥OA于A，PB垂直于OB于B，下列結(jié)論一定成立的是（）PA=PBPO平分∠APBOA=OB以上都一定成立OABPD動(dòng)筆練一練如圖，在CD上求一點(diǎn)P，使它到邊OA，OB的距離相等，則點(diǎn)P是（）線段CD的中點(diǎn)CD與過(guò)點(diǎn)O做CD垂線的交點(diǎn)CD與∠AOB的平分線交點(diǎn)CD上任意一點(diǎn)COABCD3、如圖，△ABC中，∠C=90°，AC=CB，AD為∠BAC的平分線，DE⊥AB于點(diǎn)E。求證：△DBE的周長(zhǎng)等于AB。ABCDE練習(xí)證明：周長(zhǎng)=DE+EB+BD=CD+DB+EB=CB+EB=AC+EB=AE+EB=AB證明：過(guò)點(diǎn)F作FG⊥AE于G，F(xiàn)H⊥AD

于H，F(xiàn)M⊥BC于M，GHM∵點(diǎn)F在∠BCE的平分線上，

FG⊥AE，F(xiàn)M⊥BC，∴FG=FM.又∵點(diǎn)F在∠CBD平分線上，F(xiàn)H⊥AD，F(xiàn)M⊥BC.∴FM=FH.∴FG=FH