橢圓中的定點(diǎn)、定值-2024年新高考數(shù)學(xué)含答案

橢圓中的定點(diǎn)、定值-2024年

新高考數(shù)學(xué)含答案

橢圓中的定點(diǎn)、定值

題目1(2023春?河北石家莊?高二?？奸_學(xué)考試)已知橢圓C：4+多=1,直線Z：y=for+就上＞0)與

橢圓。交于M,N兩點(diǎn),且點(diǎn)M位于第一象限.

(1)若點(diǎn)A是橢圓。的右頂點(diǎn)，當(dāng)門=0時(shí)，證明：直線厶”和AN的斜率之積為定值；

(2)當(dāng)直線Z過橢圓。的右焦點(diǎn)F時(shí)，T軸上是否存在定點(diǎn)P,使點(diǎn)F到直線NP的距離與點(diǎn)尸到直線

的距離相等？若存在，求岀點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在，說明理由.

題目區(qū)(2023?全國(guó)?模擬預(yù)演U)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，A(-2,0),B(2,0),M(-l,0),N(l,0),點(diǎn)P是平

面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且以AB為直徑的圓O與以為直徑的圓。內(nèi)切.

(1)證明\PM\+|PN|為定值，并求點(diǎn)P的軌跡Q的方程.

(2)過點(diǎn)A的直線與軌跡Q交于另一點(diǎn)Q(異于點(diǎn)B)，與直線x=2交于一點(diǎn)G,ZQNB的角平分線與直

線劣=2交于點(diǎn)H,是否存在常數(shù)人使得BH=ABG恒成立？若存在，求出1的值;若不存在，請(qǐng)說明理

由.

題目萬<2023?全國(guó)?高三專題練習(xí))仿射變換是處理圓錐曲線綜合問題中求點(diǎn)軌跡的一類特殊而又及其巧

妙的方法，它充分利用了圓錐曲線與圓之間的關(guān)系，具體解題方法為將+￡=l(a>b>0)由仿射

orb~

變換得：/=丄，？/=9則橢圓父■+￥=i變?yōu)閊+y'2=1，直線的斜率與原斜率的關(guān)系為k'=長(zhǎng)，然后

聯(lián)立圓的方程與直線方程通過計(jì)算韋達(dá)定理算出圓與直線的關(guān)系，最后轉(zhuǎn)換回橢圓即可.已知橢圓。

考■+烏=l(a>b>0)的離心率為造，過右焦點(diǎn)后且垂直于2軸的直線與。相交于AB兩點(diǎn)且AB=

ab5

笆⑤,過橢圓外一點(diǎn)P作橢圓。的兩條切線厶，。且厶丄厶2,切點(diǎn)分別為M，N.

(1)求證：點(diǎn)P的軌跡方程為x2+y2=9；

(2)若原點(diǎn)O到厶,12的距離分別為4,d?,延長(zhǎng)表示距離心,心的兩條直線,與橢圓。交于F,W兩點(diǎn)，過

。作OZ丄yw交yw于z,試求:點(diǎn)z所形成的軌跡與p所形成的軌跡的面積之差是否為定值,若是，

求出此定值;若不是，請(qǐng)求出變化函數(shù).

?2?

I題目］Wj(2023?湖南?湖南碑大府中校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè))在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓W：三+y=1

Q-O

(a>b>0)的離心率為烏，橢圓W上的點(diǎn)與點(diǎn)P?2)的距離的最大值為4.

(1)求橢圓W的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)點(diǎn)3在直線7=4上，點(diǎn)B關(guān)于a;軸的對(duì)稱點(diǎn)為0,直線PB,PB｛分別交橢圓W于CD兩點(diǎn)(不同于

P點(diǎn)).求證:直線8過定點(diǎn).

題目51(2023卷?四川眉山?方二校孝階盤練習(xí))已知橢圓+￥=l(a>b>0)的離心率為空,短軸

a'b'2

長(zhǎng)為2.

(1)求橢圓。的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)點(diǎn)0(4,0),斜率為k的直線I不過點(diǎn)。，且與橢圓。交于A,B兩點(diǎn)，ZADO=NBDO(O為坐標(biāo)原點(diǎn)).

直線，是否過定點(diǎn)？若過定點(diǎn)，求出定點(diǎn)坐標(biāo);若不過定點(diǎn)，說明理由.

?3?

題目6(2023?內(nèi)蒙古赤峰?校取才模楸預(yù)《1)已知橢圓C：皆+著=l(a>b>0)的離心率為/，且經(jīng)過點(diǎn)

(述,2),橢圓。的右頂點(diǎn)到拋物線艮7=2終c(p>0)的準(zhǔn)線的距離為4.

(1)求橢圓。和拋物線E的方程；

(2)設(shè)與兩坐標(biāo)軸都不垂直的直線，與拋物線E相交于4B兩點(diǎn)，與橢圓。相交于M,N兩點(diǎn)，。為坐標(biāo)

原點(diǎn)，若瓦？?厠=—4,則在土軸上是否存在點(diǎn)H,使得工軸平分/MHN?若存在，求出點(diǎn)H的坐標(biāo);若

不存在，請(qǐng)說明理由.

I題目7；(2023.寧夏.六套山為越中學(xué)校才一模)已知橢圓E：岑+4=1(?>6>0)的左、右焦點(diǎn)分別為E,

Q-0~

號(hào)上頂點(diǎn)為B，若△EBE為等邊三角形，且點(diǎn)P(/)在橢圓E上.

(1)求橢圓E的方程；

(2)設(shè)橢圓E的左、右頂點(diǎn)分別為4,42,不過坐標(biāo)原點(diǎn)的直線Z與橢圓E相交于4、B兩點(diǎn)(異于橢圓E

的頂點(diǎn))，直線厶4、氏42與？/軸的交點(diǎn)分別為河、N,若|CW|=3|OM，證明：直線過定點(diǎn),并求該定點(diǎn)的

坐標(biāo).

?4?

I題目8i(2023?江蘇揚(yáng)州儀征中學(xué)校才模擬預(yù)測(cè))已知E(-2,0)，E(2,0)為橢圓￡;：4+￡=l(a>b>0)

a~b~

的左、右焦點(diǎn)，且厶(2,日)為橢圓上的一點(diǎn).

(1)求橢圓E的方程；

2

(2)設(shè)直線y=—2/+1與拋物線y=2PMp>0)相交于P,Q兩點(diǎn),射線FtP,RQ與橢圓E分別相交于M

、N.試探究:是否存在數(shù)集。，對(duì)于任意p€D時(shí),總存在實(shí)數(shù)3使得點(diǎn)￡在以線段MN為直徑的圓內(nèi)？

若存在，求出數(shù)集。并證明你的結(jié)論:若不存在,請(qǐng)說明理由.

I題目9(2023.B川帰MB川看鼻用南山中學(xué)校才模擬預(yù)測(cè))已知橢圓。：孑■+看?=l(a>b>0)的左、右

頂點(diǎn)分別為此、昭,短軸長(zhǎng)為2肉點(diǎn)。上的點(diǎn)P滿足直線、P%的斜率之積為號(hào).

(1)求。的方程；

(2)若過點(diǎn)(1,0)且不與y軸垂直的直線I與。交于A、B兩點(diǎn)，記直線財(cái)A、MB交于點(diǎn)Q.探究:點(diǎn)Q

是否在定直線上，若是，求岀該定直線的方程;若不是，請(qǐng)說明理由.

?5?

題目101(2023?全國(guó)?高三專題練習(xí))如圖，橢圓E：W+g=l(a>b>0)內(nèi)切于矩形/BCD,其中厶B,

a；b~

CD與x軸平行，直線4。，BD的斜率之積為一/，橢圓的焦距為2.

(1)求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)橢圓上的點(diǎn)P,Q滿足直線OP,OQ的斜率之積為-/,其中O為坐標(biāo)原點(diǎn).若河為線段PQ的中點(diǎn),

貝iJ|MCf+|MQ|2是否為定值？如果是，求出該定值;如果不是，說明理由.

16,

I題目1?〕(2023春.湖北裏用.高三裏用五中?？茧A段練習(xí))己知離心率為陰的橢圓。：4+￡=

2a'b'

l(a>b>0)的左焦點(diǎn)為F,左、右頂點(diǎn)分別為4、4,上頂點(diǎn)為B,且ZVliBF的外接圓半徑大小為

(1)求橢圓。方程；

(2)設(shè)斜率存在的直線I交橢圓C于P,Q兩點(diǎn)(P,Q位于X軸的兩側(cè))，記直線4P、AF、4Q、AQ的斜

率分別為自、后、融、心，若均+均=^1?(居+融)，求△人蛇面積的取值范圍.

題目以1(2023?江西南曷看模板預(yù)測(cè))已知4(2,0),3(0,1)是橢圓用興+/=13>6>0)的兩個(gè)頂

點(diǎn).

(1)求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)過點(diǎn)P(2,l)的直線I與橢圓E交于C,D,與直線AB交于點(diǎn)求舞^+的值.

?7?

I題目(2023?江蘇推城.校才三模)已知橢圓。疋+4=l(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為回，取點(diǎn)厶

Q~b~

在。上，當(dāng)月回丄/軸時(shí)，|厶園=］；當(dāng)|厶理=2時(shí)，/用4￡=冬.

(1)求。的方程；

(2)已知斜率為一1的直線I與橢圓C交于M,N兩點(diǎn),與直線①=1交于點(diǎn)Q,且點(diǎn)刊，N在直線2=1的

兩側(cè)，點(diǎn)P(l,。(t>0).若［叱|?WQ|=\MQ\-|MP|,是否存在到直線I的距離d=血的尸點(diǎn)？若存在,

求t的值;若不存在,請(qǐng)說明理由.

題目川(2023?全??高三壽惠練習(xí))已知橢圓。：名+4=l(a>b>0)與橢圓(+苧=1的離心率相

b~a~

同，P(烏,1)為橢圓C上一點(diǎn).

(1)求橢圓。的方程.

(2)若過點(diǎn)Q(/,0)的直線，與橢圓。相交于A,B兩點(diǎn),試問以AB為直徑的圓是否經(jīng)過定點(diǎn)T?若存

在，求出T的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由.

18,

I題目?jī)?2023?廣東廣州?廣州市從化區(qū)從化中學(xué)?？寄０孱A(yù)測(cè))已知雙曲線C：4-￡=l(a>0)的左、

Q~3al

右焦點(diǎn)分別為凡E，且E到。的一條漸近線的距離為心.

(1)求。的方程；

(2)過。的左頂點(diǎn)且不與①軸重合的直線交。的右支于點(diǎn)R,交直線于點(diǎn)P,過E作PE的平行線，

交直線朋于點(diǎn)Q,證明：Q在定圓上.

題目16(2023&湖南常卷高二桂讓縣第一中學(xué)校才開學(xué)才試)如圖，橢圓M：%+q=1(a>b>0)的

a~b

兩頂點(diǎn)4一2,0),。(2,0),離心率6=坐,過曠軸上的點(diǎn)乞(0")(罔〈4,叱0)的直線2與橢圓交于。,。

兩點(diǎn),并與x軸交于點(diǎn)P,直線4。與直線BD交于點(diǎn)Q.

⑴當(dāng)1=24且CD=4時(shí),求直線，的方程；

⑵當(dāng)點(diǎn)P異于力，B兩點(diǎn)時(shí)，設(shè)點(diǎn)尸與點(diǎn)Q橫坐標(biāo)分別為xP,狽,是否存在常數(shù)4使工尸％=久成立，若存

在，求出4的值:若不存在,請(qǐng)說明理由.

?9?

I題目叵)(2023&B川建寧?高?？茧A段練習(xí))已知橢圓C：4+￥=l(a>b>0)過點(diǎn)

a-b~

(1,萼)，且離心率為烏.

(1)求橢圓。的方程：

(2)已知直線Z:?=mc+2與橢圓交于不同的兩點(diǎn)P,Q,那么在立軸上是否存在點(diǎn)M,使MF=MQ且

丄MQ,若存在，求出該直線的方程;若不存在,請(qǐng)說明理由.

22

題目|181(2023春?陜西西安?高二陜西為大附中校才期木)已知橢圓。：%+當(dāng)=l(a>b>0)的左頂點(diǎn)

Q-b'

為)A,P為。上一點(diǎn),O為原點(diǎn)，|PA|=\PO\,/APO=90\4ApO的面積為1.

(1)求橢圓。的方程；

⑵設(shè)B為。的右頂點(diǎn)，過點(diǎn)(1,0)且斜率不為0的直線Z與。交于M,N兩點(diǎn)，證明：3tanZAMB=

ta.nZ.NBA.

■10?

題目國(guó)（2023M川內(nèi)江??？寄０孱A(yù)測(cè)）在平面直角坐標(biāo)系吟/中，動(dòng)圓P與圓G：（2+1尸+才=費(fèi)內(nèi)

切,且與圓G：Q—1）之+娟=：外切，記動(dòng)圓圓心P的軌跡為曲線C

（1）求曲線。的方程；

（2）設(shè)曲線。的左、右兩個(gè)頂點(diǎn)分別為4、厶2，7為直線厶劣=4上的動(dòng)點(diǎn)，且T不在工軸上，直線與C

的另一個(gè)交點(diǎn)為河，直線T4與。的另一個(gè)交點(diǎn)為N,F為曲線。的左焦點(diǎn),求證：AFMN的周長(zhǎng)為定

值.

題目2。（2023.B川峰相.四川看曲用南山中學(xué)?？既＃┮阎獧E圓。的焦點(diǎn)為月（一，^,0）,昌（蓼,0）,且。

過點(diǎn)E（血,1）.

（1）求。的方程；

（2）設(shè)力為橢圓。的右頂點(diǎn)，直線2與橢圓。交于P,Q兩點(diǎn)，且P,Q均不是。的左、右頂點(diǎn)，同為PQ的

中點(diǎn).若黑試探究直線’是否過定點(diǎn)？若過定點(diǎn)，求出該定點(diǎn)坐標(biāo);若不過定點(diǎn)，請(qǐng)說明理由.

■11-

橢圓中的定點(diǎn)、定值

題目]TJ（2023春?河北石案莊?高二M才升學(xué)考誠(chéng)）已知橢圓C：q+年=1,直線厶y=for+就上＞0）與

橢圓。交于M,N兩點(diǎn)，且點(diǎn)M位于第一象限.

（1）若點(diǎn)A是橢圓。的右頂點(diǎn)，當(dāng)門=0時(shí)，證明：直線厶”和AN的斜率之積為定值；

（2）當(dāng)直線Z過橢圓。的右焦點(diǎn)F時(shí)，T軸上是否存在定點(diǎn)P,使點(diǎn)F到直線NP的距離與點(diǎn)尸到直線

的距離相等？若存在，求岀點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在，說明理由.

【答案】（1）見解析；

（2）存在，尸（4,0）.

【分析】（1）聯(lián)立直線方程和橢圓方程得（1+2二）02一8=0,由韋達(dá)定理可得如旳的關(guān)系，再由拈4“?七N=

SL計(jì)笄即可得證;

Xi—2A/2X2-2A/2

⑵由題意可得直線，的方程為^=M；r-2）,聯(lián)立直線方程與橢圓方程得（1+2fc2）x2-8fc2x+8（fc2-l）=

0,由韋達(dá)定理旳，旳之間的關(guān)系，假設(shè)存在滿足題意的點(diǎn)P,設(shè)P（m,0）,由題意可得kPM+kPN=0.代入計(jì)

算，如果m有解，則存在，否則不存在.

【詳解】（1）證明：因?yàn)閚=0,所以直線，：y=kx,

聯(lián)立直線方程和橢圓方程:xW-8=0，得（―。，

設(shè)M（翁，儀）,N（旳,功）,

O

則有為+旳=0,6]/2=（21,

所以期曲=后電旳=—

1:I:Z/以K,

又因?yàn)榱Γ?，2,0）,

所以統(tǒng)"產(chǎn)己安’'員海，

8-8爐

所以如“?人,，=3_______L=________幽________=%如:―1+2/=一1+2従二

x-2V2rr-2V2gg—2口（電+防）+8①逆?+8——+816K

21+2M1+2fc-

8卜2=1

一封一一萬

所以直線4A1和厶N(yùn)的斜率之積為定值一g：

（2）解:假設(shè)存在滿足題意的點(diǎn)P,設(shè)P（m,0）,

因?yàn)闄E圓。的右焦點(diǎn)F（2,0）,所以2k+n=0,即有n=-2k,

所以直線，的方程為y=k（x—2）.

由｛^2^=0，可得（1+2於）弘22+8（標(biāo)一1）=0,

設(shè)M（g，U3），N（g，Ui），

8k2____8(fc2-1)

則有g(shù)+g=T,X3X4一~:

l+2fc21+2k2

因?yàn)辄c(diǎn)F到直線NP的距離與點(diǎn)尸到直線MP的距離相等,

所以PF平分NMPN,

所以^PM+kpN=0.

?1?

Vt,ViMg-2)Mg-2)/C(X-2)(x-m)+k(x-m)(x-2)_

用J---------1------------=--------------1-------------=-------3---------4----------------3-----------4------=

x3-mx-mx3-mxA-m(a;3-m)(x4-m)

fc[2x3x4—(m+2)(g+g)+4m]_0

(x3-m)(g—TH)

又因?yàn)閗>0,

所以2gg—(m+2)(x3+x4)+4m=0,

代入丄一8k2一882—1)

代入g+g=Tz/'旳叫

即有処二單二0,

l+2k2

故0軸上存在定點(diǎn)P(4,0),使得點(diǎn)F到直線NP的距離與點(diǎn)F到直線MP的距離相等.

題目0(2023?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè))在平面直角坐標(biāo)系xOy中，厶(一2,0),R(2,0),M(-l,0),N(l,0)，點(diǎn)P是平

面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn),且以厶R為直徑的圓。與以PM為直徑的圓Oi內(nèi)切.

(1)證明\PM\+\PN\為定值,并求點(diǎn)P的軌跡。的方程.

(2)過點(diǎn)厶的直線與軌跡。交于另一點(diǎn)Q(異于點(diǎn)B),與直線Z=2交于一點(diǎn)G,/QNB的角平分線與直

線式=2交于點(diǎn)H,是否存在常數(shù)人使得BH=4萬苕恒成立？若存在，求出4的值;若不存在，請(qǐng)說明理

由.

【答案】(1)證明見解析,+V*=1

(2)存在

【分析】⑴依題意可得QOJ=2—號(hào)]，連接PN,可得QOi|=，即可得至U\PM\+|PN|為定值，

根據(jù)橢圓的定義得到點(diǎn)P的軌跡是以“，N為焦點(diǎn)的橢圓，且2a=4,c=l,即可求出橢圓方程；

⑵設(shè)Q(班加)，3(2,%)，5(2,仏)，直線AQ的方程為c=S/-2(m#0),即可得到皿=丄，再聯(lián)立直線

幼

與橢圓方程，解出川,從而得到kQN,kNH,設(shè)NBNH=。，再根據(jù)二倍角的正切公式得到方程，即可得到y(tǒng)2

=4%，從而得解；

【詳解】(1)解：如圖，以A8為直徑的圓。與以PM為直徑的圓J內(nèi)切，

則…|OOi|=弓\AB」\一\PM\=2-\PM\

連接PN,因?yàn)辄c(diǎn)。和O1分別是MN和PM的中點(diǎn)，所以|OO]|=號(hào)".

故有f=2一號(hào)紅，即\PN\+\PM\=4,

■2?

又4>2=|MN],所以點(diǎn)P的軌跡是以A/,N為焦點(diǎn)的橢圓.

22

因?yàn)?a=4,c=l,所以h2=a2—c2=3,故。的方程為9+3~=1.

4o

理由如下：設(shè)Q（旳，物），G（2,?。琀（2,g）.顯然劭3>0.

依題意，直線4Q不與坐標(biāo)軸垂直，設(shè)直線4Q的方程為z=7ng—2（7n#0）,

因?yàn)辄c(diǎn)G在這條直線上，所以771%=4,m=

22

聯(lián)立::譽(yù)得(3m+4)y-12m?Z=0的兩根分別為譏和0,

JN十初一12,

12mc6m2—8

則浹：:―-，例=my-2=,

3m2+4Q3m2+4

1277?,

3m2+44m_4^i

所以LQN=.T，向陽=y.

力0-167n2—8_1m2—44一筑2

3m24-4

設(shè)乙BNH=夕，貝“NBNQ=2仇貝“kQN=tan2^,kNH=tan。，

所以tan26==3丁=，整理得（汕一2的）（幼的+2）=0,

1盧-ta％n~61一統(tǒng)4一婚

因?yàn)閥iVi>0,所以y「2yF0,即y2=yyt.

故存在常數(shù)1=0,使得麗=ABG.

題目J（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）仿射變換是處理圓錐曲線綜合問題中求點(diǎn)軌跡的一類特殊而又及其巧

妙的方法，它充分利用了圓錐曲線與圓之間的關(guān)系，具體解題方法為將C：4+￡■=l（a>b>0）由仿射

ab

變換得：/=丄，/=則橢圓4+4=1變?yōu)椴?式2=1,直線的斜率與原斜率的關(guān)系為川=白,然后

聯(lián)立圓的方程與直線方程通過計(jì)算韋達(dá)定理算出圓與直線的關(guān)系，最后轉(zhuǎn)換回橢圓即可.己知橢圓&

4+冬=13>6>0）的離心率為參，過右焦點(diǎn)用且垂直于立軸的直線與C相交于AB兩點(diǎn)且43=

ab~5

?3?

啓⑤,過橢圓外一點(diǎn)P作橢圓。的兩條切線小厶且厶丄厶,，切點(diǎn)分別為M,N.

5

⑴求證:點(diǎn)P的軌跡方程為x2+y2=9；

⑵若原點(diǎn)O到厶，厶2的距離分別為4,距延長(zhǎng)表示距離4,d2的兩條直線,與橢圓。交于匕W兩點(diǎn)，過

。作OZ丄yw交YW于z,試求:點(diǎn)z所形成的軌跡與p所形成的軌跡的面積之差是否為定值,若是，

求出此定值;若不是，請(qǐng)求出變化函數(shù).

【答案】（1）證明見解析

（2）是定值，定值為號(hào)兀

【分析】（1）利用仿射變換將橢圓方程變?yōu)閳A的方程，設(shè)原斜率分別為瓦，居，鼠燈=-1,則變換后斜率k\-k'2

—7心也,設(shè)變換后坐標(biāo)系動(dòng)點(diǎn)QQo.Uo），過點(diǎn)Q（小劭））的直線為l：y—y（）=k（x—xQ），將圓的方程和直線

方程聯(lián)立，利用直線和圓相切結(jié)合韋達(dá)定理求解即可;

⑵由圖中的垂直關(guān)系，利用等面積法標(biāo)e釦和靜+品=

Qy『+Qwf

??，結(jié)合橢圓的性質(zhì)求解即可.

|oy|2|ow|2Qw|2Qy|2

【詳解】（1）由仿射變換御：/=2?，/=￥■,則橢圓名+*=1變?yōu)閐+j/2=1

abab~

設(shè)原斜率存在分別為品，fc2,卜加2=一1,變換后為叢=生機(jī),k：尸牛員,所以卜卜技=色*陷=—4=&-1,

b'bb2"b2

設(shè)變換后的坐標(biāo)系動(dòng)點(diǎn)Q（g,g（））,過點(diǎn)Q（的，窩）的直線為l:y—y（）=k（x—

l:kx—y—（fcx0—?/o）=0到原點(diǎn)距離為d=.吁）」=1,

Vfc%l

即（kg-%）JAr+1n（XQ—1）k~—2x（｝y（）k+y（-l—0,

由韋達(dá)定理得：總同=聾二丄=—g,化簡(jiǎn)得：a2xt+b2y^a2+b2

視一1b2

由于原坐標(biāo)系中x（）=—,y（）=J=>%=ag,g=by［｝

ab

所以在原坐標(biāo)系中軌跡方程為：/+才=?2+匕2,

|e=5=噂［済=5

由（&，解得］，所以點(diǎn)P的軌跡方程為一+/=9,

丄=4V5匕=4

va5

當(dāng)切線斜率不存在時(shí)，由橢圓方程弓—F2-=1易得P點(diǎn)在x1-\-y2=9上.

54

⑵如圖所示延長(zhǎng)oy交。于N,延長(zhǎng)ow交厶于“，

由題意可知NGPM=AOGP=4）HP=1，所以四邊形OGPH為矩形，/丫。W=1,

所以％~/。件。昨斎心岡且淅+冊(cè)=端譚齊瑞翳,

?4?

|YW|*2*84s2111

分子分母同乘|OZ『得2+2

\OW\2\OY\24|OZ|2s2QZ|2|oy|\ow\'

因?yàn)閛y丄ow,當(dāng)直線oy,o卬斜率存在時(shí)，設(shè)iOY-y=上巡，iow-y,

i

由十/一丄=解得點(diǎn):aVMl，所以。力2=嚶普'

"a?成

,y-晩c0~rd必

償+營(yíng)=1

鈕浮2附儲(chǔ)2a2b2aV(l+^)

由解得,.，Vw=,,,,,，所以QW|=52,「，

[y=~ixb2ki2,+a~2b~k§+a2b'k^a

,2

11〃十0竭b%+Q：a2+b2

所以2+a2fe2(l+硝+a262(l+確9,2'

|oy|\ow\|2a'b

當(dāng)斜率不存在時(shí)仍成立，

所以曲=噥'磁3小心舞20

9

所以Z所形成的軌跡與P所形成的軌跡的面積之差=（9一日）兀=?兀是定值.

題目1（2023?湖南?湖南押大附中校展考模根預(yù)測(cè)）在平面直角坐標(biāo)系吟/中，已知橢圓W：Z+4=1

a~b~

（a>b>0）的離心率為券，橢圓W上的點(diǎn)與點(diǎn)P（0,2）的距離的最大值為4.

（1）求橢圓W的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）點(diǎn)3在直線c=4上，點(diǎn)B關(guān)于c軸的對(duì)稱點(diǎn)為3”直線PBP6分別交橢圓W于兩點(diǎn)（不同于

P點(diǎn)）.求證:直線CD過定點(diǎn).

【答案】⑴4+￥=1

84

（2）證明見解析

【分析】（1）根據(jù)離心率可得a=V26=V2c,設(shè)點(diǎn)T（m,7i）結(jié)合橢圓方程整理得\TP\=

丿一（n+2）2+8+2/,根據(jù)題意分類討論求得b=2,即可得結(jié)果：

（2）設(shè)直線8及C,。的坐標(biāo)，根據(jù)題意結(jié)合韋達(dá)定理分析運(yùn)算，注意討論直線。。的斜率是否存在.

【詳解】（1）設(shè)橢圓的半焦距為c,由橢圓W的離心率為際?，得a=，^b=2c,

22

設(shè)點(diǎn)T（m,n）為橢圓上一點(diǎn)，則衛(wèi)J+勺=1,—b&nWb,則m2=2b~—2n2,

2bb~

因?yàn)槭?,2）,所以|7F|=（n-2）2=V2fe2-2n2+n2-4n+4=/一（++2尸+8+2/,

①當(dāng)0VbV2時(shí)，|TP|m==J—（—b+2y+8+2七=4,解得b=2（舍去）;

②當(dāng)b，2時(shí)，|TPQax=丿8+2b?=4,解得b=2:

綜上所述：b=2,則a=2V2,c=2,

故橢圓W的標(biāo)準(zhǔn)方程為名—F=1.

84

⑵①當(dāng)CD斜率不存在時(shí)，設(shè)C（g,譏）,-2V2<gV2A/2且“W0,則。⑶,一譏），

則直線CP為g=—~~—X+2,令0=4,得9=4枷/+2,

gg

即B（4,處父■+2）,

?5?

同理可得Bi（4,-4：L8+2）

???B與B1關(guān)于/軸對(duì)稱,則4y0~8+2+一4妬一8

---4-2=0,

60

解得的=4>2V2,矛盾;

②當(dāng)直線CD的斜率存在時(shí)，設(shè)直線8的方程為？=故+小，山r2,

設(shè)5為期），。（如例），其中劣110且入2、0,

y=kx+m

2

x2￡_，消去g化簡(jiǎn)可得(2庁+1)/+4fcmx+2m-8=0,

{T+T=1

22222

△=16A;W-4(2A:+1)(2m-8)=8(8fc+4-n?)>o,則m<8/c+4,

2病一8

所以xt+x=，為旳=

21+2/？

由P(0,2),可得kpc=近2,3%三2,

C]JCO

所以直線PC的方程為g=—■—―1+2,令1=4,得沙=—―+2,

即（4,實(shí)+2）,

直線PD的方程為g=———X+2,令立=4,得夕=—―+2,

即(4,包*+2),

因?yàn)?和B關(guān)于/軸對(duì)稱，則&二9+2+也二^+2=0,

gx2

,,八、、i1、-4(kxi+m)-8入4(fcx+m)—8八八

扌巴y產(chǎn)kfxi+my=fcx+m代入上式，則--------------F2H----------2--------------1-2=0,

f22X1X-2

整理可得(1+2fc)x1x2+(m—2)(11+/2)=0,則(1+2k)x~+(m-2)x―@吟=0,

???mW2,則小一2Ho，可得(l+2k)x(m+2)-2km=0,

化簡(jiǎn)可得小=一4k一2,

則直線CD的方程為。=k力-4k-2,即g+2=k（力-4）,

所以直線過定點(diǎn)（4,-2）：

綜上所述：直線CD過定點(diǎn)（4,-2）.

【點(diǎn)睛】方法定睛：過定點(diǎn)問題的兩大類型及解法

（1）動(dòng)直線Z過定點(diǎn)問題.解法：設(shè)動(dòng)直線方程（斜率存在）為0=kc+九由題設(shè)條件將力用k表示為力=

mk,得y=k（x+m）,故動(dòng)直線過定點(diǎn)（―m,0）.

16,

(2)動(dòng)曲線。過定點(diǎn)問題.解法：引入?yún)⒆兞拷⑶€C的方程，再根據(jù)其對(duì)參變量恒成立，令其系數(shù)等

于零，得出定點(diǎn).

題目5(2023*M川眉山廣二校才階段練習(xí))已知橢圓。：5+鳥=l(a>b>0)的離心率為空，短軸

ab2

長(zhǎng)為2.

(1)求橢圓。的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)點(diǎn)0(4,0),斜率為k的直線I不過點(diǎn)。，且與橢圓。交于力，B兩點(diǎn)，/4OO=NBDO(O為坐標(biāo)原點(diǎn)).

直線Z是否過定點(diǎn)？若過定點(diǎn)，求出定點(diǎn)坐標(biāo);若不過定點(diǎn)，說明理由.

【答案】⑴〈+才=1：

⑵過定點(diǎn)，(1,0).

【分析】(1)根據(jù)已知條件列方程即可解得a,b值，方程可求解；

(2)設(shè)直線/的方程為y=板+m,聯(lián)立橢圓方程結(jié)合韋達(dá)定理得g,g關(guān)系，又ZADO=4BDO得kAD

+晩0=0,代入坐標(biāo)化簡(jiǎn)即可求解.

26=2

【詳解】(1)由題意可得?￡=烏，解得。2=4,/=1

c2=a2-62

所以橢圓。的標(biāo)準(zhǔn)方程為+y~=1.

4

(2)設(shè)直線Z的方程為y=kx+mfA(xhy^,3(羯佻)

y=kx+m

聯(lián)立

4+y-1

整理得(4k2+l)x2+8k7nx+4m2—4=0,

則△=(8km)2-4(4k2+l)(4zn2_4)>o,即4fc2-m2+l>0

4m2—4

8km=

又X]+X2=—-----------,X\X->—--------

4fc2+l_4fc2+l

因?yàn)閆ADO=ZBDO,所以kAD+kBD=0,

V\,y-2(kah+m)(旳-4)+(kg+m)(為-4)

電一4電一4(Xi-4)(X2-4)

所以2fcrg+(m—4k)(2i+g)—8m=0,

即2k?4+(m—4fc)?(——)—8m=0

4k2+1V4fc2+l>

整理得8k+8m=0,即m=—k,此時(shí)△=3fc2+l>0

則直線2的方程為沙=如一拈,故直線2過定點(diǎn)(1,0).

題目6(2023.內(nèi)蒙古赤峰.校取考模根預(yù)測(cè))已知橢圓C：g+考?=：!(&>b>0)的離心率為J,且經(jīng)過點(diǎn)

cib2

2)，橢圓。的右頂點(diǎn)到拋物線E:y2=20rMp>0)的準(zhǔn)線的距離為4.

(1)求橢圓。和拋物線E的方程；

(2)設(shè)與兩坐標(biāo)軸都不垂直的直線I與拋物線E相交于力，B兩點(diǎn),與橢圓。相交于M,N兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)

原點(diǎn)，若35?9=—4,則在z軸上是否存在點(diǎn)H,使得工軸平分4MHN?若存在，求出點(diǎn)H的坐標(biāo):若

不存在，請(qǐng)說明理由.

?7?

【答案】⑴4+需=1;婿=4刀

丄/J

⑵存在；方墻,0）

【分析】（1）依題意得到方程組，即可求出從而得到橢圓方程，再求出橢圓的右頂點(diǎn)，即可求出P,從

而求出拋物線方程：

⑵設(shè)直線I的方程為n=k"+m,4%％）,仍），聯(lián)立直線與拋物線方程，消元、列出韋達(dá)定理，根

據(jù)OA-OB=-4得到n1=—2阮再假設(shè)在z軸上存在點(diǎn)”（網(wǎng),0）,使得/軸平分NMHN,則直線HM的斜

率與直線HV的斜率之和為0,設(shè)M（g,的），N（g,必），聯(lián)立直線與橢圓方程，消元、列出韋達(dá)定理，由

物+"=0,即可求出竊,從而求出H的坐標(biāo)；

力3一60X4—X0

【詳解】⑴解：由已知得《4+1,二Q2=12,b2=9.

a-b~

〔巒=624-C2

橢圓。的方程為需+r=1.

橢圓。的右頂點(diǎn)為（3,0）.

，3+/=4,解得p=2.

???拋物線E的方程為y2=4x.

（2）解：由題意知直線I的斜率存在且不為0.

設(shè)直線，的方程為y=kx+m,力（如仇）,Bl%%）,

由（“2_+='消去g,得fc2x2+（2fcm—4）rc+m2=0.

/.A]=（2km—4）2—4fc2m2=-16kni+16>0,km<1.

2

/.yiy2=(kXi+m)(kx2+rn)=k2gg+km(g+%2)+m

km(4-2km)4m

=-F—+22m=-?

：.OA-OB=電及+沙田2=簽+華1=-4?

k2k

+2)=0,~~—2.tn-—-2fc，此時(shí)km——2krV1.

'fc'k

.,.直線Z的方程為y=k(rc—2).

假設(shè)在re軸上存在點(diǎn)”(附0)，使得工軸平分乙MHN，

則直線的斜率與直線HV的斜率之和為0,

設(shè)M(g,y3),N(g,g),

[y=fc(.r—2)

由《支_竝一消去y,得(3/?+4)/-12k24+12/-36=0.

E+g=1

/.4=(12fc2)2-4(3fc2+4)(12fc2-36)>0,5fc2+12>0恒成立.

12k2-36

J.X:l+X4—

旳一例g一小

18,

辰*3-2)(費(fèi)一的)+k(g-2)(g-%)=0.

二2旳4L(Co+2)(g+g)+4±o=0.

二攀爰一⑶+2)黑+4為=0.

；?墨善=0.解得。尸小

.?.在z軸上存在點(diǎn)"(3，°)，使得z軸平分NMHN.

【點(diǎn)睛】本題考查直線與圓錐曲線的綜合問題，考查橢圓的方程以及韋達(dá)定理法在圓錐曲線綜合中的應(yīng)

用，屬于難題；在解決直線與橢圓的綜合問題時(shí)，要注意：

(1)注意觀察應(yīng)用題設(shè)中的每一個(gè)條件，明確確定直線、橢圓的條件；

(2)強(qiáng)化有關(guān)直線與橢圓聯(lián)立得出一元二次方程后的運(yùn)算能力，重視根與系數(shù)之間的關(guān)系、弦長(zhǎng)、斜率、三

角形的面積等問題.

題目71(2023?寧夏?六疊山高載中學(xué)校考一模)已知橢圓E:5+￥=l(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為E，

ab-

&上頂點(diǎn)為5,若△EB內(nèi)為等邊三角形，且點(diǎn)叩用在橢圓E上.

(1)求橢圓E的方程：

(2)設(shè)橢圓E的左、右頂點(diǎn)分別為厶1,42,不過坐標(biāo)原點(diǎn)的直線，與橢圓E相交于厶、3兩點(diǎn)(異于橢圓E

的頂點(diǎn))，直線厶4、34與夕軸的交點(diǎn)分別為M、N,若QN|=3|QM|,證明:直線過定點(diǎn),并求該定點(diǎn)的

坐標(biāo).

【答案】⑴與+干=1

(2)點(diǎn)(1,0)或(4,0)

【分析】(1)由已知條件,橢圓的定義及a,b,c的關(guān)系可知a2=4<?和/=3。2,再設(shè)出橢圓的方程，最后將點(diǎn)

代入橢圓的方程即可求解；

(2)設(shè)點(diǎn)厶(g,仇)，B(①出")，由直線44的方程即可求出點(diǎn)河的坐標(biāo)，由BA.,的方程即可求出點(diǎn)N的坐

標(biāo)，由已知條件可知5(電+。2)—2]m2—8=0,分直線AB的斜率存在和直線AB的斜率不存在兩種情況

分別求解，得出直線48的方程，即可判斷出直線恒過定點(diǎn)的坐標(biāo).

【詳解】(1)V△片BE為等邊三角形，且BEI+田內(nèi)|=2a,

:.a=2c,

又?/a2=b2+c2,b2=3c2,

設(shè)橢圓的方程為力H—=1，

4c23c2

將點(diǎn)p(l,y)代入橢圓方程得擊+~~=1,解得c2=1,

所以橢圓E的方程為——F~~—1.

43

(2)由已知得4(—2,0),4(2,0),設(shè)厶(電，偽),8(孫紡),

則直線44的斜率為Tk，直線441的方程為？=一%3+2),

電+2為+2

即點(diǎn)河坐標(biāo)為(o,3r),

\Xi+2/

直線BA；的斜率為丄7r，直線AA,的方程為y=半-2),

力2-2g—2