人教版八年級數學下冊全冊同步教案 第18章 平行四邊形

18.1平行四邊形

18.1.1平行四邊形的性質

第1課時平行四邊形的邊、角的性質

教學目標

一、基本目標

【知識與技能】

理解平行四邊形和兩條平行線之間的距離的概念，掌握平行四邊形的邊、角的性質.

【過程與方法】

通過生活實例引出平行四邊形的概念，經歷探究活動掌握平行四邊形邊、角的性質.

【情感態(tài)度與價值觀】

經歷“實驗一猜想一驗證一證明”的過程，發(fā)展學生的思維.

二、重難點目標

【教學重點】

理解平行四邊形和兩條平行線之間的距離的概念，掌握平行四邊形的邊、角的性質.

【教學難點】

利用平行四邊形邊、角的性質解決問題.

教學過程

環(huán)節(jié)1自學提綱，生成問題

【5min閱讀】閱讀教材P41?P43的內容，完成下面練習.

[3min反饋】

I.(1)兩組對邊分別平行的四邊形叫做包四邊形.

(2)平行四邊形的對邊相等:平行四邊形的對角相等.

2.如果兩條直線平行，那么一條直線上所有的點到另一條直線的距離都桓簧一兩條平

行線中，一條直線上任意一點到另一條直線的距離，叫做這兩條平行線之間的距離.

3.證明平行四邊形的對邊相等，對角相等.

解：已知：如圖，四邊形ABC。是平行四邊形.

求證：AB^CD,BC=DA,NB=ND,/A=NC

AD

RC

證明：連結4C.

?/四邊形ABCD是平行四邊形,

J.AB∕∕CD,AD//BC,

ΛZ1=Z2,Z3=Z4.

Z1=Z2,

在aA8C和△（7%中，＜AC=CA,

∕3=N4,

二∕?ABC^△CDA（ASA）,

二AB=CZλBC=DA,/B=ND

又；/1=/2,/3=/4,

二/1+/4=/2+/3,

即NBAD=ZDCB.

教師點撥：解決平行四邊形問題可以連結對角線.

環(huán)節(jié)2合作探究，解決問題

活動1小組討論（師生對學）

（一）平行四邊形的邊、角性質

【例1】如圖，點G、E、F分別在平行四邊形ABCD的邊AD、DC和BC上，DG=DC,

CE=CF,點P是射線GC上一點，連結FP、EP.求證：FP=EP.

AGD

T

【互動探索】（引發(fā)學生思考）要證明線段相等可以考慮證明它們所在的兩個三角形全等,

已知條件中有一組邊相等，并且有一組公共邊，只需找它們的夾角相等.

【證明】???四邊形ABC。是平行四邊形，

：.AD//BC,

：.ΛDGC=AGCB.

DG=DC,

???NQGC=NOCG,

：.ZDCG=ZGCB.

?√ZDCG+NECP=I80°,NGC8+ZFCP=180°,

/.ZECP=ZFCP.

CF=CE,

?：??PCF??PCE中，＜NFCP=NECP,

CP=CP9

Λ?PCF^?PCE（SAS）,

：.PF=PE.

【互動總結】（學生總結，老師點評）本題的綜合性比較強，利用平行四邊形的性質，等

腰三角形的性質獲得三角形全等的條件，從而應用全等三南形的性質得到線段相等.

（二）平行線間的距離

【例2】如圖，已知點E、F在∕∣上，點G、”在/2上，試說明aEGO與4F40

的面積相等.

【互動探索】（引發(fā)學生思考）結合平行線間的距離相等和三南形的面積公式即可證明.

【證明】,.?ιl∕∕ι2,

點E、尸到/2之間的距離相等.

設點瓜F到/2的距離相等為力，

則SAEGH=]GH?/?,SAFGH=]G∕∕?∕?,

:,SAEGH=SAFGH,

?'?S^EGH-SΛGOH-SΛFGH-SΔGOH，

:,SAEGO=SAFHO.

【互動總結】（學生總結，老師點評）解題的關鍵是明確三角形的中線把三角形的面積等

分成了相等的兩部分，同底等高的兩個三南形的面積相等.

活動2鞏固練習（學生獨學）

1.已知平行四邊形ABCO中，ZA=IlO0,則NB的度數為（D）

A.IlOoB.100°

C.80oD.70°

2.如圖所示，在平行四邊形ABCQ中，EF/∕BC,GH//AB,EF、G”相交于點。，圖

中共有平行四邊形的個數為2.

3.己知平行四邊形相鄰兩個內角相差40。，則該平行四邊形中較小內角的度數是久以

4.如圖所示，已知直線機〃〃，A、B為直線〃上兩點，C、P為直線m上兩點.

（1）請寫出圖中面積相等的三角形：XABC和△"/＞；XAeP和ABCP;XAoC知ABoP.

（2）如果A、B、C為三個定點，點P在加上移動，那么無論P點移動到任何位置，總有

AABP與XABC的面積相等，理由是同底等高的三角形面積相等.

C

in

AR"

活動3拓展延伸（學生對學）

【例3】如圖，在平行四邊形ABC。中，AB=2AD,M為AB的中點，連結。M、MC,

試問直線DM和MC有何位置關系？請證明.

AMB

【互動探索】由AB=2AD,M是AB的中點，可得出。M、CM分別是NA。C與NBCO

的平分線，又由平行線的性質可得NAOC+NBC￡>=180。，進而可得出OM與MC的位置關

系.

【解答】。M與Me互相垂直.證明如下：

YM是AB的中點，

.?AB=2AM.

^5L"JAB=IAD,

：.AM=AD,

/AOM=ZAMD.

?：四邊形ABCD為平行四邊形，

.?AB∕∕CD,

：.ZAMD=NMDC,

：.NAOM=NMDC,

即NMQC=T/AQC.

同理，NMCD=，BCD.

?/四邊形ABCD為平行四邊形，

：.AD//BC,

.?.∕BCD+∕AOC=I80。，

/.ZΛ∕DC+ZMCD=∣ZBCD+∣ZADC=90o,

/.NDWC=90。，

.?.OΛ∕與MC互相垂直.

【互動總結】（學生總結，老師點評）判斷兩直線的位置關系一般是證明兩直線平行或垂

直，平行就找角相等或互補，垂直就找角互余.

環(huán)節(jié)3課堂小結，當堂達標

(學生總結，老師點評)

1.平行四邊形的定義

兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形.

2.平行四邊形的邊和角的性質

平行四邊形的對邊相等，平行四邊形的對角相等.

3.平行線之間的距離

(1)如果兩條直線平行，那么一條直線上所有的點到另一條直線的距離都相等.

(2)兩條平行線中，一條直線上任意一點到另一條直線的距離，叫做這兩條平行線之間

的距離.

練習設計

請完成本課時對應練習！

第2課時平行四邊形的對角線的性質

教學目標

一、基本目標

【知識與技能】

掌握平行四邊形對角線互相平分的性質.

【過程與方法】

通過探究、猜想、證明平行四邊形的對角線的性質的過程，培養(yǎng)學生合作學習的能力.

【情感態(tài)度與價值觀】

培養(yǎng)學生的推理論證能力和邏輯思維能力，增強學好數學的信心.

二、重難點目標

【教學重點】

掌握平行四邊形的對角線的性質.

【教學難點】

利用平行四邊形對角線互相平分解決有關問題.

教學過程

環(huán)節(jié)1自學提綱，生成問題

【5min閱讀】閱讀教材?P43?P44的內容，完成下面練習.

[3min反饋】

1.平行四邊形的對角線互相平分.

2.完成教材P44的問題：證明平行四邊形對角線互相平分.

已知：如圖，D4BC。的對角線AC、8。相交于點Q

求證：OA=OC,OB=OD.

ΛD

證明：:四邊形ABCO是平行四邊形，.?AD=BC,AD∕∕BC9ΛZ1=Z2,N3=N4.

ΛΔC0B（ASA）,.?OA=OCfOB=OD.

3.如圖，若平行四邊形的兩條對角線長分別為6cm和16cm,則下列長度的線段可作

為平行四邊形邊長的是（B）

A.5cmB.8cm

C.12cmD.16cm

環(huán)節(jié)2合作探究，解決問題

活動1小組討論（師生互學）

［例1］如圖，在O4BC。中，A8=10,AD=S,ACj_BC.求BC、CD、AC.OA的長

以及2BCQ的面積.

【互動探索】（引發(fā)學生思考）根據平行四邊形邊、對角線的長度求所求線段的長，根據

S口ABCD=BCAC求解.

【解答】,??四邊形ABCD是平行四邊形，

：.BC=AD=S.CD=AB=IO.

XVΛC±BC,,ZVLBC是直角三角形，

ΛAC=y∣AB2-BC2=√102-82=6.

又TOA=OC,.?.O4=］AC=3,

S□ABCD=BC?AC=8X6=48.

【互動總結】（學生總結，老師點評）平行四邊形的面積=底X高.利用平行四邊形邊、

對角線的性質是求對應線長度的常用方法.

【例2】如圖，QABC。的周長為60cm,對角線AC、80相交于點0,AAOB的周長

比△力04的周長長5cm,求這個平行四邊形各邊的長.

A-------------斗

【互動探索】（引發(fā)學生思考）平行四邊形周長為60cm,即相鄰兩邊之和為30cm.AA0B

的周長比AOOA的周長長5cm,而Ao為公共邊，08=0,因而由題可知AB比A。長5cm,

進一步解答即可.

【解答】：四邊形ABCD是平行四邊形，

.".OB=OD,AB=CD,AD=BC.

,：∕?AOB的周長比aOOA的周長長5cm,

.,.AB~AD=5cm.

又；UABCD的周長為60cm,

ΛAfi+ΛD=30cm,

,3525

則rιAB=C￡）=丁cm,AD-BC=~γcm.

【互動總結】（學生總結，老師點評）平行四邊形被兩條對角線分成四個小三角形，相鄰

兩個三角形的周長之差等于鄰邊邊長之差.

活動2鞏固練習（學生獨學）

1.平行四邊形具有的特征是（C）

A.四個角都是直角B.對角線相等

C.對角線互相平分D.四邊相等

2.如圖，如果SBCD的周長為40cm,Z?A8C的周長為25cm,則對角線AC的長是

（A）

C.6cmD.16cm

3.在&48C。中，點。是對角線AC、BD的交點，AC垂直于BC,且AB=IOCm,AD

=8cm,貝!]OC=3cm.

A1.____—［）

vC

4.如圖，SBC。中，。為對角線AC和BO的交點，BEA.AC,DFA,AC,垂足分別

為E、F.求證：OE=OF.

W

AR

證明：：四邊形ABCQ是平行四邊形，

.'.OB=OD.

）1."：BELAC,DF±AC,

.?.NOEB=NOFD.

又NBoE=/DOF,

.".?BOE^?DOF.

：.OE=OF.

活動3拓展延伸（學生對學）

【例3】如圖，平行四邊形A8C。的對角線相交于點O,∩,AB≠AD,過。作OEJ_BD,

交BC于點E,若aCDE的周長為10,則平行四邊形ABCD的周長是多少？

AD

BF.C

【互動探索】由平行四邊形的性質得出AB=CD,BC=AD,OB=OD,再根據線段垂

直平分線的性質得出BE=DE,由△€1）￡?的周長得出SC+CD=10,即可求由平行四邊形

ABCD的周長.

【解答】；四邊形ABC。是平行四邊形，

.'.AB=CD,BC=AD,OB=OD.

"：OElBD,

：.BE=DE.

的周長為10,

，DE+CE+CD=BE+CE+CD=BC+CD=IO,

二平行四邊形ABCD的周長=2（2C+CZ））=20.

【互動總結】（學生總結，老師點評）本題考查了平行四邊形的性質、線段垂直平分線的

性質以及三角形、平行四邊形周長的計算；熟練掌握平行四邊形的性質，并能進行推理計算

是解決問題的關鍵.

環(huán)節(jié)3課堂小結，當堂達標

（學生總結，老師點評）

'邊：對邊相等

平行四邊形的性質,角：對角相等

.對角線：對角線互相分

練習設計

請完成本課時對應練習！

18.1平行四邊形

18.1.2平行四邊形的判定

第1課時平行卬邊形的捌定

教學目標

一、基本目標

【知識與技能】

理解平行四邊形的判定定理，會證明這些判定定理.

【過程與方法】

經歷平行四邊形的判定定理的探索過程，在探究活動中發(fā)展學生的合情推理意識.

【情感態(tài)度與價值觀】

在運用平行四邊形的判定定理解決問題的過程中，進一步培養(yǎng)和發(fā)展學生的邏輯思維能

力和推理論證的幾何表達能力.

二、重難點目標

【教學重點】

平行四邊形的判定定理.

【教學難點】

利用平行四邊形的判定定理解決相關問題.

教學過程

環(huán)節(jié)1自學提綱，生成問題

[5min閱讀】閱讀教材P45~P47的內容，完成下面練習.

【3min反饋】

1.平行四邊形的判定定理：

(1)兩組對邊分別拒差的四邊形是平行四邊形.

(2)兩組對角分別也差的四邊形是平行四邊形.

(3)對角線相互上會的四邊形是平行四邊形.

(4)一組對邊平行且擔筌的四邊形是平行四邊形.

2.如圖，在下列四個選項中，能判定四邊形ABCZ)是平行四邊形的是(D)

A.AB=CD,AD//BCB.AB//DC,NA=NB

C.AB//DC,AD=BCD.AB//DC,AB=DC

3.如圖，已知AB〃CD,添加一個條件A8=CQ(答案不唯一),使得四邊形ABCz)為平

行四邊形.

4.已知：E、尸是平行四邊形ABCO對角線AC上的兩點，并且AE=CF.

求證：四邊形BFDE是平行四邊形.

證明：：四邊形ABa）是平行四邊形，

，AO〃BCJ1AD=BC,

：.NEAD=NFCB,

AE=CF,

在△%￡：￡）和ACFB中，＜/EAO=/FCB,

AD=BC,

ΔAED^ΔCFB（SAS）,

IDE=BF.

同理可證，BE=DF,

.?.四邊形BFDE是平行四邊形.

環(huán)節(jié)2合作探究，解決問題

活動1小組討論（師生對學）

【例1】如圖，E、尸是四邊形ABC。的對角線AC上的兩點，AF=CE,DF=BE,DF

//BE,四邊形ABCD是平行四邊形嗎？請說明理由.

【互動探索】（引發(fā)學生思考）證明絲ACEBfAO=C8,乙DAF=乙BCE-ADH

CB,根據“一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形”可證出結論.

【解答】四邊形ABC。是平行四邊形.理由如下：

?.?DF//BE,：.ZAFD=ZCEB.

XVAF=CE,DF=BE,

：.ΔAFD^ACEB（SAS）,

J.AD=^CB,NDAF=NBCE,

.'.AD//CB,

二四邊形ABCD是平行四邊形.

【互動總結】（學生總結，老師點評）此題主要考查了平行四邊形的判定，以及三角形全

等的判定與性質，解題的關鍵是根據條件證出△人萬絲△CEB.

［例2］如圖，AB,CD相交于點0,AC//DB,A0=B0,E、尸分別是OC、OD中點.求

證：

(l)?A<9C^?B0D;

(2)四邊形AFBE是平行四邊形.

【互動探索】(引發(fā)學生思考)(1)利用已知條件和全等三角形的判定方法即可證明440C

絲Z?B0Q;(2)此題已知AO=BO,要證四邊形AFBE是平行四邊形，利用全等三角形的性

質，只需證OE=OF.

【證明】(1)：AC〃B。,

.?.NC=/D

'NAOC=NBOD,

在440C和ABO力中，；NC=ND,

AO=BO,

：.?AOC^?BOD(AAS).

(2)V?AOC^ΔfiOD,

.'.CO=DO.

,：E.F分別是0C、0。的中點，

OE=^OC,OF=2OD,

IEO=FO.

又,：AO=B0,

二四邊形A尸BE是平行四邊形.

【互動總結】(學生總結，老師點評)在應用判定定理判定平行四邊形時，應仔細觀察題

目所給的條件，仔細選擇適合于題目的判定方法進行解答，避免混用判定方法.熟練掌握平

行四邊形的判定定理是解決問題的關鍵.

活動2鞏固練習(學生獨學)

1.如圖，點E、F是28C。對角線上兩點，在條件：①DE=BF;②/AOE=NCBF;

③AF=CE;④NAEB=NCF。中，要使四邊形CEBF是平行四邊形,可添加的條件是(D)

A.①②③B.①②④

C.①③④D.②③④

2.如圖，AO=OC,Bo=I6cm,則當OB=&cm時，四邊形ABC。是平行四邊形.

3.如圖所示，在四邊形ABCO中，AD//CB,且AO>BC,BC=6cm,動點尸、Q分

別從A、C同時出發(fā),P以1cm/s的速度由八向。運動，Q以2cm/s的速度由C向8運動，

則2_秒后，四邊形ABQP為平行四邊形.

4.如圖，四邊形ABCO中，AD//BC,AE_L4。交BZ）于點E,CFLBC交BD于點、F,

且AE=C凡求證：四邊形ABC。是平行四邊形.

T正明：'.,AE±AD,CF±BC,

：.ZEAD=ZFCB=90o.

'：AD//BC,：.ZADE=ZCBF.

在Rt?ΛED和Rt?CFB中,

'NADE=NCBF,

?.?<NEAD=NFCB=90。,

AE^CF,

：.Rt∕?AED^Rt^CFB,

.?AD^BC.

■:又AD//BC,

四邊形ABC。是平行四邊形.

活動3拓展延伸（學生對學）

【例3】如圖，在直角梯形A8C。中，AD//BC,/8=90。，AG〃C。交BC于點G,

點E、F分別為4G、CO的中點，連結￡>E、FG.

⑴求證：四邊形OEG尸是平行四邊形；

（2）如果點G是BC的中點，且BC=I2,DC=IO,求四邊形AGCz）的面積.

【互動探索】（1）證明四邊形AGC。是平行四邊形，推出CZ）=AG,推出EG=O尸，EG

//DF,根據平行四邊形的判定推出即可；(2)由點G是BC的中點，得到BG=CG=TBC,

根據四邊形AGCZ)是平行四邊形可知AG=OC,根據勾股定理求出AB的長，進而求出四邊

形AGCD的面積.

【解答】(1)證明：：AG〃OC,AD//BC,

；?四邊形AGCo是平行四邊形，.?.AG=OC

；E、F分別為AG、OC的中點，

ΛfG=∣AG,DF=^DC,

J.EG=DF.

又，：EG〃DF,

：.四邊形DEGF是平行四邊形.

(2)：點G是BC的中點，BC=12,

ΛBG=CG=∣BC=6.

：四邊形AGCZ)是平行四邊形，Z)C=I0,

AAG=DC=IO.

在RtAABG中，根據勾股定理，得AB=8,

四邊形AGCD的面積為6×8=48.

【互動總結】(學生總結，老師點評)本題考查了平行四邊形的判定和性質，勾股定理，

平行四邊形的面積，掌握定理是解題的關鍵.

環(huán)節(jié)3課堂小結，當堂達標

(學生總結，老師點評)

平行四邊形的判定定理：

(1)兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形.

(2)兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形.

(3)對角線相互平分的四邊形是平行四邊形.

(4)一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形.

練習設計

請完成本課時對應練習！

第2課時三角形的中住線

教學目標

一、基本目標

【知識與技能】

1.理解并掌握三角形的中位線的定義及其性質定理.

2.能夠利用三角形的中位線定理解決有關的問題.

【過程與方法】

經歷探索三角形中位線性質定理的證明過程，體會轉化的思想方法，進一步發(fā)展學生操

作、觀察、歸納、推理的能力.

【情感態(tài)度與價值觀】

培養(yǎng)合情推理能力，體會在證明過程中所運用的歸納、類比、轉化等思想方法，激發(fā)學

習熱情.

二、重難點目標

【教學重點】

三角形中位線的性質定理.

【教學難點】

利用三角形中位線的性質定理解決相關問題.

教學過程

環(huán)節(jié)1自學提綱，生成問題

【5min閱讀】閱讀教材P47~P49的內容，完成下面練習.

[3min反饋】

1.連結三角形兩邊生在的線段叫做三角形的中位線.

2.三角形的中位線定理：三角形的中位線包于三角形的第三邊，并且等于第三邊的

一半.

3.如圖，點。、E分別為BC邊48、AC的中點，求證：DE〃BC且DE=TBC.

證明：如圖，延長。E到F,使EF=DE,連結CE由題易知，ΔADE^ΔCFE,：.AD

//FC,且AO=FC,：.BD〃FC.又^；D是AB的中點,：.AD=BD,.,.BD=FC,，四邊形

BC尸￡)是平行四邊形.C.DF∕∕BC,DF=BC.義:DE=EF,：.DE〃BC且DE=%C.

教師點撥：此方法是證明三角形中位線定理的另一種方法.

環(huán)節(jié)2合作探究，解決問題

活動1小組討論（師生互學）

【例1】如圖，為測量池塘邊上兩點4、B之間的距離，小明在池塘的一側選取一點0,

取OA、OB的中點。、E,測出DE=12米，那么A、B兩點之間的距離是米.

【互動探索】（引發(fā)學生思考）先判斷出三角形的中位線，再利用三角形中位線定理可得

到AB=2DE,即可求得答案.

【分析】E分別為。4、OB的中點,

，OE為aOAB的中位線，

.?.AB=2OE=24米.

即4、B兩點之間的距離是24米.

【答案】24

【互動總結】（學生總結，老師點評）本題主要考查三角形中位線定理，掌握三角形中位

線平行第三邊且等于第三邊的一半是解題的關鍵.

【例2】如圖，在AABC中，Aβ=5,AC=3,點N為BC的中點，AM平分NBAC,

CMlAM,垂足為點M,延長CM交AB于點。，求MN的長.

【互動探索】（引發(fā)學生思考）為證MN為ABC力的中位線，應根據三線合一，得到。M

=MC,即可解決問題.

【解答】TAM平分NBAC,CM±AM,

.?AD=AC=3,DM=CM.

?.'A8=5,.?BD=AB-AD^2.

YN為BC的中點，

：.BN=CN,

JMNgBCD的中位線，

【互動總結】（學生總結，老師點評）當已知三角形的一邊的中點時，要注意分析問題中

是否有隱含的中點.如已知一個三角形一邊上的高又是這邊所對角的平分線時，根據“三線

合一”可知，這實際上是又告訴了我們一個中點.

活動2鞏固練習（學生獨學）

1.如圖，在AABC中，D、E分別為AC、BC的中點，AF平分/C48,交DE于點F.

若DF=3,則4C的長為（C）

3

-3

A.2B.

C.6D.9

2.如圖，C、。分別為E4、EB的中點，NE=30°,/1=110。，則N2的度數為（A）

A.80oB.90°

C.100°D.IlOo

3.如圖所示，UABC。的對角線AC、BO相交于點0,點、E、F分別是線段A0、BO

的中點，若AC+BO=24厘米，Z?OAB的周長是18厘米，則EF=3J≡米.

4.如圖所示，。是AABC內一點，BDlCD,Ao=6,BD=4,CD=3,E、F、G、H

分別是AB、AC、CD、8。的中點，則四邊形EFG”的周長為U.

5.如圖所示，在BC中，BCAC,點。在BC上，3.DC=AC,NACB的平分線

CF交AO于點凡點E是AB的中點，連結EF.求證：EF//BC.

證明：：C/平分NACB,DC=AC,CF是44CZ）的中線，；.點尸是AO的中點.；

點E是AB的中點，C.EF∕∕BD,PpEF//BC.

活動3拓展延伸（學生對學）

【例3】如圖，E為平行四邊形ABCD中OC邊的延長線上一點，且CE=DC,連結AE,

分別交BC、BD于點F、G,連結AC交8。于0,連結OF,判斷AB與OF的位置關系和

大小關系，并證明你的結論.

【互動探索】本題可先證明AAB尸名Z?ECF,從而得出BF=CF,這樣就得出了。尸是

△ABC的中位線，從而利用中位線定理即可得出線段OF與線段AB的關系.

【解答】A8=2OF,且AB〃。尸.證明如下：

四邊形ABCD是平行四邊形，

：.AB=^CD,OA=OC,

：.NBAF=ZCEF,NABF=NECF.

'：CE=DC,CD=AB,/.AB=CE.

.NBAF=NCEF,

：在AABF和aECF中，＜AB=CE,

'NABF=NECF,

：."BFdECF（ASA）,

：.BF=CF.

'：OA=OC,

：.0尸是AABC的中位線，

：.AB=20F,AB//OF.

【互動總結】（學生總結，老師點評）本題綜合的知識點比較多，解答本題的關鍵是判斷

出。尸是4ABC的中位線.

環(huán)節(jié)3課堂小結，當堂達標

（學生總結，老師點評）

1.三角形的中位線

連結三角形兩邊中點的線段叫做三角形的中位線.

2.三角形中位線定理

三角形的中位線平行于三角形的第三邊，并且等于第三邊的一半.

練習設計

請完成本課時對應練習！

18.2特殊的平行四邊形

18.2.1矩形

第1課時矩形的性質

教學目標

一、基本目標

【知識與技能】

1.了解矩形的有關概念，理解并掌握矩形的有關性質.

2.理解并掌握直角三角形斜邊上的中線的性質.

【過程與方法】

經過探索矩形的性質的過程，發(fā)展學生合情推理意識；掌握幾何思維方法.

【情感態(tài)度與價值觀】

經歷觀察、比較和應用等數學活動，感受數學活動充滿了探索性和創(chuàng)造性，體驗發(fā)現的

快樂，并提高應用的意識。

二、重難點目標

【教學重點】

理解并掌握矩形的性質定理.

【教學難點】

會用矩形的性質定理解決相關問題.

教學過程

環(huán)節(jié)1自學提綱，生成問題

【5min閱讀】閱讀教材P52?P53的內容，完成下面練習.

[3min反饋】

1.有一個角是直度的平行四邊形叫做矩形，也就是長方形.

2.矩形是特殊的平行四邊形,具有平行四邊形的所有性質:矩形的也植都是直角；

矩形的對角線相等.

3.直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半.

4.請用所學的知識診斷下面的語句，若正確請在括號里打“”，錯誤打"”.

（1）矩形是特殊的平行四邊形，特殊之處就是有一個角是直角.（）

（2）平行四邊形就是矩形.（）

（3）平行四邊形具有的性質，矩形也具有.（）

環(huán)節(jié)2合作探究，解決問題

活動1小組討論（師生互學）

【例I】求證：矩形的對角線相等.

【互動探索】（引發(fā)學生思考）畫出圖形，寫出已知求證~根據矩形的性質定理1證明三

角形全等f得出結論.

【解答】已知：如圖，四邊形ABC。是矩形，AC與8。是對角線.

求證：AC=BD.

AD

證明：：四邊形A8C￡＞是矩形，

：.AB=DC,ZABC=ZDCB=90o.

又,：BC=CB,

：.XABgADCB,

.?AC^BD,

即矩形的對角線相等.

【互動總結】（學生總結，老師點評）證明兩個三角形全等是證明角相等的常用方法.

【例2】如圖，在RtZ?ABC中，ZBAC=Wo,AO是BC邊上的中線，ED上BC于點D,

交54延長線于點E,若NE=35。，求/8D4的度數.

【互動探索】（引發(fā)學生思考）根據直角三角形的性質得到D4=QB,根據三角形內角和

定理計算即可.

【解答】?.?NE=35°,ED±BC,

：./8=55。.

'：ZBAC=90o,A。是Be邊上的中線，

.?DA=DB,

ΛZB=ZDAB=550,

ΛZBDA=180o-55o-55o=70o.

【互動總結】（學生總結，老師點評）本題考查的是直角三角形的性質，掌握在直角三角

形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半是解題的關鍵.

【例3】如圖，在矩形ABC。中，兩條對角線相交于點O,ZAOD=120°,A8=2.5cm,

求矩形對角線的長.

【互動探索】（引發(fā)學生思考）矩形中含有直南三角形一判斷AB與BD的數量關系一需

確定NOD4的度數.

［證明］：四邊形ABCD是矩形，

."C=BZ）（矩形的對角線相等），

OA-OC=^AC,OB-OD=^BD,

：.OA=OD.

'：ZAOD=120%

.?.ZODA=ZOAD=∣×（180°-120o）=30o.

又YND4B=90。（矩形的四個角都是直角），

ΛBD=2AB=2×2.5=5（cm）.

【互動總結】（學生總結，老師點評）利用矩形的對角線相等及直角三角形的性質是解決

這類問題的關鍵.

活動2鞏固練習（學生獨學）

I.矩形具有一般平行四邊形不具有的性質是（B）

A.對邊相互平行B.對角線相等

C.對角線相互平分D.對角相等

2.如果矩形的兩條對角線所成的鈍角是120。，那么對角線與矩形短邊的長度之比為

（B）

A.3：2B.2：1

C.1.5：1D.1：1

3.如圖，ZXABC中，若乙4CB=90。;，ZB=550,。是AB的中點，則乙ACD=35°.

4.如圖，E、尸分別為矩形4BC。的邊A。和BC上的點，AE=CF,求證：BE=DF.

證明：：四邊形ABCD為矩形，.?AD∕∕BC,Ao=BC.又=AE=CF,：.AD-AE^BC

-CF,即ED=BF.文；ED〃BF,二四邊形BFQE為平行四邊形，；.BE=CF（平行四邊形對

邊相等）.

5.如圖，在AABC中，ZC=90o,。為AB的中點，CD=BC=2,求點。到AC的距

離.

上，

ADB

解：如圖，過Z）作QEJ?AC于點E.YZ?ABC為直角三角形，且。為AB的中點，，CQ

=DB=DA=2又,：CD=BC,；.△￡)BC為等邊三角形，ΛZβ=60o,NA=30°,：.DE=

2AZ）=1,即點D到AC的距離為1.

活動3拓展延伸（學生對學）

【例4】如圖，BD為矩形ABCD的一條對角線，延長BC至E,使CE=BD,連結AE,

若AB=1,ZAEB=15°,求AO的長.

A-____,D

BCE

【互動探索】在RtZ?ABO中，已知A8=l,要求AZ）的長，需先求出BO的長，由矩形

的性質及N4EB=15°,即可求得8。的長.

【解答】連結AC,交BD于點、a

Y四邊形A8CO是矩形，

ΛZACB=90°,DC=AB=1,AC=BD.

?：CE=BD,：.CE=AC

"：ZAEB=15°,

：.∕ACB=2乙4EB=30。.

.?.N。Co=60。.

NDO=CO,

...△￡>C。是等邊三角形.

：.D0=DC=

：.BD=IDO=I.

又,；NBAD=90。,

.".AD=y∣BD2-AB2=y∣3.

【互動總結】（學生總結，老師點評）解決本題的關鍵是應用轉化思想，將CE=BQ轉化

為AC=CE,再結合三角形的外角性質，將NAEB=I5。轉化為NACB=30。.

環(huán)節(jié)3課堂小結，當堂達標

（學生總結，老師點評）

練習設計

請完成本課時對應練習!

第2課時矩形的判定

教學目標

一、基本目標

【知識與技能】

理解并掌握矩形的判定方法.

【過程與方法】

經歷探究矩形的判定方法的過程，使學生能應用矩形定義、判定等知識，解決簡單的證

明題和計算題，進一步培養(yǎng)學生的分析能力.

【情感態(tài)度與價值觀】

鼓勵學生積極參與數學活動，激發(fā)學生的好奇心和求知欲，體驗數學活動中的探索和創(chuàng)

新，感受數學的嚴謹性.

二、重難點目標

【教學重點】

矩形的判定方法.

【教學難點】

利用矩形的判定方法解決有關問題.

教學過程

環(huán)節(jié)1自學提綱，生成問題

[5min閱讀】閱讀教材P53~P55的內容，完成下面練習.

【3min反饋】

I.矩形的定義：有一個角是直魚的平行四邊形是矩形.

2.對角線相差的平行四邊形是矩形.

3.有三個角是直更的四邊形是矩形.

4.能夠判斷一個四邊形是矩形的條件是（C）

A.對角線相等

B.對角線垂直

C.對角線互相平分且相等

D.對角線垂直且相等

5.如圖，直線EF〃MN,PQ交EF、MN于A、C兩點，AB,CB、CD.A。分別是N

EAC.ZMCA,NNCA、NMC的平分線.

P

E-A

⑴判斷：AB//_CD.BC//_AD.

（2）四邊形ABCD是（C）

A.菱形B.平行四邊形

C.矩形D.不能確定

（3）AC和BQ有怎樣的大小關系？為什么？

解：相等.因為矩形的對角線相等.

環(huán)節(jié)2合作探究，解決問題

活動1小組討論（師生互學）

【例1】求證：有三個角是直角的四邊形是矩形.

【互動探索】（引發(fā)學生思考）畫出圖形，寫出已知求證一判定兩對直線平行一判定四邊

形是平行四邊形f根據矩形的定義得證.

【解答】已知：四邊形ABcD中，NA=NB=NC=90。.

求證：四邊形ABCZ）是矩形.

AB

DC

證明：?.?∕A=NB=∕C=90°,

ΛZA+ZB=180o,NB+NC=180°,

.?AD∕∕BC,AB//DC,

.?.四邊形ABC。是平行四邊形.

又?.?∕A=90°,

.?.四邊形ABCO是矩形.

【互動總結】（學生總結，老師點評）證明四邊形是矩形可以先證四邊形為平行四邊形.

【例2】如圖，在四邊形ABCO中，對角線AC、8。相交于點0,AB〃C￡>且4B=C￡>,

NBAC=NBDC,求證：四邊形ABCC是矩形.

【互動探索】（引發(fā)學生思考）由AB〃C。且AB=CDf四邊形ABCD是平行四邊形.結

合NBAC=NBDC,可用對角線相等的平行四邊形是矩形解決問題.

【解答】'：AB//CD3.AB^CD,

，四邊形A8C。是平行四邊形，NABD=NBDC,

"：NBAC=ZBDC,：./ABD=NBAC,

.,.0A=OB,：.AC=BD,

，平行四邊形4BC。是矩形.

【互動總結】（學生總結，老師點評）矩形的判定方法有多種，先證明四邊形是平行四邊

形，再證明平行四邊形是矩形是一種常用的判定方法.

活動2鞏固練習（學生獨學）

1.下列說法錯誤的是（D）

A.有一個內角是直角的平行四邊形是矩形

B.矩形的四個角都是直角，并且對角線相等

C.對角線相等的平行四邊形是矩形

D.有兩個角是直角的四邊形是矩形

2.如圖，在四邊形ABC。中，已知AB〃Z）C,AB=OC在不添加任何輔助線的前提下，

要想使該四邊形成為矩形，只需再加上一個條件是NA=90。（答案不唯一）.（填上你認為正確

的一個答案即可）

AB

3.如圖，在D43C。中，DE±AB,BFLCD,垂足分別為E、E求證：四邊形BFDE

為矩形.

DFC

□

AEB

證明：：四邊形ABCn為平行四邊形，.,.CD∕∕AB,ZCDE+^DEB=180o.,?,D￡±

AB,：.ZDEB=90o,ΛZCDE=90o.VBF±CD,：.ZBFD=90o,：.NCDE=ZDEB=N

BFD=90°.:.四邊形BFDE為矩形.

4.如圖，在矩形ABCI）中，AD=6,對角線4C與8。交于點O,AElBD,垂足為E,

ED=3BE.求AE的長.

解：；四邊形ABC。是矩形，：.AO=BO=DO=^BD,NBAD=90。.；ED=3BE,：.BE

=OE又?.?AE?LBO,.?.A8=AO..?.AB=AO=BO,即4A80是等邊三角形，，NABO=60°,

.?.ZADB=90o-NA8O=30°.在Rt?ΛED中,；ZADB=30o,ΛAE=∣AD=∣×6=3.

活動3拓展延伸（學生對學）

【例3】如圖，在6BCE＞中，對角線AC和8。相交于點O,AABO是等邊三角形,

A8=4.求/34BCQ的面積.

【互動探索】4A30是等邊三角形及已知條件一四邊形ABCD是矩形一求出BC的長,

再由矩形的面積公式即可求解.

【解答】；四邊形ABCQ是平行四邊形,

OA=OC,OB=OD.

：aABO是等邊三角形，

：.OA=OB=AB=4,NB4C=60°,

：.OA=OC=OB=OD=^,

.?.AC=BO=2OA=8,

，四邊形ABCD是矩形（對角線相等的平行四邊形是矩形），

NA8C=90。（矩形的四個角都是直角），

由勾股定理，得BC=NAC2-AB?=45

：.DABCD的面積是βC?AB=4√3×4=16√3.

【互動總結】（學生總結，老師點評）先通過對角線相等證明此平行四邊形為矩形，再通

過矩形的面積公式求解.

環(huán)節(jié)3課堂小結，當堂達標

（學生總結，老師點評）

f定義：有三個角是直角的四邊形是矩形

矩形的判定（

對角線：對角線相等的平行四邊形是矩形

練習設計

請完成本課時對應練習！

18.2特殊的平行四邊形

18.2.2菱形

第1課時菱形的性質

教學目標

一、基本目標

【知識與技能】

了解菱形的有關概念，理解并掌握菱形的有關性質.

【過程與方法】

經過探索菱形的性質的過程，發(fā)展學生合情推理意識；掌握兒何思維方法.

【情感態(tài)度與價值觀】

經歷觀察、比較和應用等數學活動，感受數學活動充滿了探索性和創(chuàng)造性，體驗發(fā)現的

快樂，并提高應用的意識。

二、重難點目標

【教學重點】

理解并掌握菱形的性質.

【教學難點】

用菱形的性質解決問題.

教學過程

環(huán)節(jié)1自學提綱，生成問題

【5min閱讀】閱讀教材P55~P56的內容，完成下面練習.

[3min反饋】

(一)菱形的性質

1.有一組鄰邊相差的平行四邊形叫做菱形.