正弦定理和余弦定理的應(yīng)用 高頻考點(diǎn)-精練（解析版）-高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)

正弦定理和余弦定理的應(yīng)用（精練）

A夯實(shí)基礎(chǔ)

一、單選題

1.（2022?四川省綿陽南山中學(xué)高二開學(xué)考試）在ABC中，42,C的對邊分別是a,6,c,

若，則ABC的形狀是（）

A.銳角三角形B.直角三角形C.鈍角三角形D.銳角或直角三角形

【答案】C

【詳解】三角形ABC中，cosC=a2+b2~C~<0,所以C為鈍角，

2ab

三角形為鈍角三角形.

故選：C.

2.（2022?福建?上杭縣第二中學(xué)高二階段練習(xí)）如圖所示，某登山隊(duì)在山腳A處測得山頂8

的仰角NC鉆=45°,沿傾斜角為30。的斜坡前進(jìn)1000米后到達(dá)S處，又測得山頂?shù)难鼋?/p>

ZDSB=75°,則山高BC為（）

B.1000米

C.500（6+1）米D.500（指+及）米

【答案】B

【詳解】ZSAB=45°-30°=15°

ZSBA=ZABC-NSBC=45°-（90°-75°）=30°

4c-1”。1000x^^_

在中，AB=A5，Sin135=——-^-=10005/2

sin301

2

BC=ABsin45°=100072x—=1000m

2

故選：B

3.（2022?甘肅武威?高一期末）“寶塔有灣灣有塔，瓊花無觀觀無花”，這寶塔即為文峰寶塔，

文峰塔是水陸交通進(jìn)出揚(yáng)州的標(biāo)志，此塔最宜登高遠(yuǎn)眺，俯觀塔下殿宇靜謐安詳，運(yùn)河流淌，

形成動(dòng)靜對比.某個(gè)學(xué)生想要測量塔的高度，選取與塔底。在同一個(gè)水平面內(nèi)的兩個(gè)測量基

點(diǎn)A與8,現(xiàn)測得NDW=75。，/ABD=45。，AB=96米，在點(diǎn)A處測得塔頂C的仰角為30。，

則塔高8為（）米.

A.32cB.yV3C.3276D.3272

【答案】D

【詳解】在三角形ABD中：ZADB=180°-75°-45°=60°,

AryAn96X----

2

由正弦定理得=A。=—7=-=32A/61

sin45°sin60°43

T

在RtAACZ）中，CD=AD-tan30°=32遙x且=320米.

3

故選：D

4.（2022?全國?高三專題練習(xí)）如圖所示，為了測量某湖泊兩側(cè)A,5間的距離，李寧同學(xué)

首先選定了與A,5不共線的一點(diǎn)C,然后給出了三種測量方案（ABC的角A,B,C所對

的邊分別記為。，b,c）.

①測量A,B,b；②測量。，b,C；③測量A,B,a.

則一定能確定A,3間距離的所有方案的個(gè)數(shù)為（）

A.3B.2

C.1D.0

【答案】A

【詳解】對于①，利用內(nèi)角和定理先求出C=?-A-3,再利用正弦定理上==二一解出

smBsinC

c?

對于②，直接利用余弦定理/=儲+廿-2"cosC即可解出。;

對于③，先利用內(nèi)角和定理求出。=萬-A-3,再利用正弦定理一工=’二解出c.

smAsinC

故選：A.

5.（2022?全國?高三專題練習(xí)）兩座燈塔A和8與海岸觀察站C的距離相等，燈塔A在觀察

站北偏東40，燈塔5在觀察站南偏東60,則燈塔A在燈塔5的（）

A.北偏東10B.北偏西10

C.南偏東10D.南偏西10

【答案】B

【詳解】燈塔A,B的相對位置如圖所示，

A

由已知得NACB=80,?CAB?CBA50°,則a=60°-50°=10°,

即北偏西10.

故選：B.

6.（2022,浙江?高一期中）一海輪從A處出發(fā)，以每小時(shí)40海里的速度沿南偏東35。的方

向直線航行，30分鐘后到達(dá)8處，在C處有一座燈塔，海輪在A處觀察燈塔，其方向是南

偏東65。，在B處觀察燈塔，其方向是北偏東70。，那么8,C兩點(diǎn)間的距離是（）

A.10君海里B.20西海里C.10a海里D.20夜海里

【答案】C

【詳解】解：如圖，作出aABC，由題意可知，

A3=20海里，4=3023=105。,則C=45。，

因?yàn)樯?磊

20x-

所以BC=Q^=1()0海里,

即2,C兩點(diǎn)間的距離是10&海里.

故選：C.

7.（2022?河南?高三階段練習(xí)（文））釋迦塔全稱佛宮寺釋迦塔、位于山西省朔州市應(yīng)縣城

西北佛宮寺內(nèi)，俗稱應(yīng)縣木塔、建于遼清寧二年（宋至和三年公元1056年），金明昌六年（南

宋慶元一年公元1195年）增修完畢，是世界上現(xiàn)存唯一最古老最高大之木塔，為了測量釋

迦塔的高度，某同學(xué)在點(diǎn)A處測得塔頂。的仰角為45。，然后沿點(diǎn)A向塔的正前方走了50m

到達(dá)點(diǎn)〃處，此時(shí)測得塔頂。的仰角為75,據(jù)此可估計(jì)釋迦塔的高度約為（）

D

A.65.8mB.68.3mC.68.9mD.69.1m

【答案】B

【詳解】根據(jù)題意，將實(shí)際問題抽象成數(shù)學(xué)模型，如圖所示，因?yàn)?45，/DMB=15,

AMDM

所以NADW=30,在△AD似中，由正弦定理可知

smZADM~smZDAM

即任一=衛(wèi)"-解得DM=70.7m.在Rt中,

sin30sin45

BD=DMs,ml5a70.7x近±368.3m.

4

所以釋迦塔的高度約為68.3m,

8.（2022?四川省德陽中學(xué)校高一階段練習(xí)（理））己知輪船A和輪船B同時(shí)從C島出發(fā),

A船沿北偏東30。的方向航行，8船沿正北方向航行（如圖）.若A船的航行速度為

4072nmile/h,lh后，B船測得A船位于B船的北偏東45。的方向上，則此時(shí)A,3兩船

相距（）nmile.

/

A.40A/2B.40C.20A/2D.4073

【答案】B

【詳解】解：由圖所示：由題意可知：ZCBA=135°,ZBCA=30°,AC=40后xl=40四,

ACAB

由正弦定理可知:

sinZABC-sinZBCA

t-40>/2x-

所以也［=，2，所以AB=~方2=4°，

sin135sin30避_

F

即此時(shí)A,8兩船相距40nmile；

故選：B

二、多選題

9.（2022?安徽池州?高一期末）如圖所示，為了測量A,8處島嶼的距離，小明在。處觀測，

A,8分別在。處的北偏西15。、北偏東45。方向，再往正東方向行駛30海里至C處，觀測

2在C處的正北方向，A在C處的北偏西60。方向，則下列結(jié)論正確的是（）

A.ACAD=60°

B.A、。之間的距離為15JI海里

C.A、8兩處島嶼間的距離為15#海里

D.B、。之間的距離為306海里

【答案】BC

【詳解】解：由題意可知CE>=30,ZADC=90°+15°=105°,NBDC=45°,ZBCD=90°,

ZACD=90°-ZBCA=90°-60°=30°,

所以ZCAD=180°-ZADC-ZACD=180°-105°-30°=45°w60。，故A錯(cuò)誤；

ZADJ5=15°+45°=60°,

在..ACD中，由正弦定理得上臬=二^,得AD=30-s）：0°=15逝（海里）,故B正確；

sin30sin45sin45

在RtBCD中，因?yàn)?BDC=45。，/BCD=90°,所以3D=&CD=30&片30/（海里），

故D錯(cuò)誤；

在中，由余弦定理得，

AB=VAD2+BD2-2AD-BDcosZADB=^450+1800-2x15^2x30五x1=15&（海里）,故

C正確.

故選：BC.

10.（2022?黑龍江?哈爾濱三中高二開學(xué)考試）某貨輪在A處看燈塔B在貨輪北偏東75。，

距離為12#nmile；在A處看燈塔C在貨輪的北偏西30。，距離為8/"加能.貨輪由A處向正

北航行到。處時(shí)，再看燈塔8在南偏東60。，則下列說法正確的是（）

A.A處與。處之間的距離是24nmileB.燈塔C與。處之間的距離是8島mile

C.燈塔C在。處的西偏南60。D.O在燈塔5的北偏西30。

【答案】ABC

【詳解】在△ABD中，由已知得NAZ）B=60。，ZZMB=75°,

北

貝l]NB=45,AB=125

12小

由正弦定理得A八翟啜2=24,

2

所以A處與。處之間的距離為24〃機(jī),故A正確;

在;ADC中，由余弦定理得,

CD2=AD2+AC2-2AD-ACcos30,

又AC=8

解得CD=80

所以燈塔C與。處之間的距離為8百〃根淞，故B正確，

AC=CD=8事!，

:.ZCDA=ZCAD=30°,

燈塔C在。處的西偏南60。，故C正確；

「燈塔B在。的南偏東60。，

二。在燈塔B的北偏西60。，故D錯(cuò)誤；

故選：ABC.

三、填空題

1L（2022?江西九江?高一期末）某人在C點(diǎn)測得某直塔在南偏西80。，塔頂A的仰角為45。，

此人沿南偏東40。方向前進(jìn)10m到測得塔頂A的仰角為30。，D,C與塔底。在同一水

平面上，則塔高為.

【答案】10m

【詳解】由題意作出圖形，如下圖所示，設(shè)塔高為AO=/z,在RtA4OC中，NACO=45。，

貝i」OC=6M=/z,在RtAAOD中，ZADO=30。，貝

在，OCD中，ZOCD=120°,CD=10,

由余弦定理得Oh+CD2-2OC-CDcosZOCD,

即（也/I）?=h2+102-2/;X10Xcos120°,

整理得7?—5/?—50=0,解得/z=10或力=—5（舍去）.

故答案為：10m.

12.（2022?河南河南?模擬預(yù)測（理））微型航空遙感技術(shù)以無人機(jī)為空中遙感平臺，為城

市經(jīng)濟(jì)和文化建設(shè)提供了有效的技術(shù)服務(wù)手段.如圖所示，有一架無人機(jī)在空中P處進(jìn)行航

拍，水平地面上甲、乙兩人分別在A2處觀察該無人機(jī)（兩人的身高忽略不計(jì)），C為無人

機(jī)在水平地面上的正投影.已知甲乙兩人相距100m,甲觀察無人機(jī)的仰角為45°,若再測量

兩個(gè)角的大小就可以確定無人機(jī)的飛行高度尸C,則這兩個(gè)角可以是.（寫出所有符合

要求的編號）

p

①Nfl4c和NABC；②Nfi4c和NPAB;

③ZE4B和NPBA；④445和ZABC.

【答案】①③④

【詳解】①：當(dāng)已知za4c和NABC時(shí)，在sABC利用內(nèi)角和定理和正弦定理可得AC,然

后在Rt△上4c中，由三角函數(shù)定義可得PC,故①正確；

②：當(dāng)已知Zfi4c和NE4B時(shí)，在sABCE,知一角一邊，在△PAB中已知一角一邊，顯然無

法求解，故②錯(cuò)誤；

③：當(dāng)已知NE4B和NPBA時(shí)，在ARAB中已知兩角一邊，可解出PA,然后在RtARAC中，

由三角函數(shù)定義可得PC,故③正確；

④：當(dāng)已知NftW和NABC時(shí)，可先由最小角定理求得的C,然后解11ABe可得AC,最

后在Rt^PAC中，由三角函數(shù)定義可得PC,故④正確.

故答案為：①③④

四、解答題

13.(2022?山東省臨沂第一中學(xué)高一開學(xué)考試)2022年北京冬奧會的成功舉辦激發(fā)了人們

對冰雪運(yùn)動(dòng)的熱情.如圖是某滑雪場的橫截面示意圖，雪道分為四3C兩部分，小明同學(xué)

在C點(diǎn)測得雪道BC的坡度i=1:2.4,在A點(diǎn)測得8點(diǎn)的俯角=30。.若雪道AB長為

270m,雪道2C長為260m.

(1)求該滑雪場的高度任

⑵據(jù)了解，該滑雪場要用兩種不同的造雪設(shè)備來滿足對于雪量和雪質(zhì)的不同要求，其中甲

設(shè)備每小時(shí)造雪量比乙設(shè)備少35m3,且甲設(shè)備造雪150m3所用的時(shí)間與乙設(shè)備造雪500m3

所用的時(shí)間相等.求甲、乙兩種設(shè)備每小時(shí)的造雪量.

【答案】⑴235m

(2)甲種設(shè)備每小時(shí)的造雪量是15m3,乙種設(shè)備每小時(shí)的造雪量是500?.

(1)解：過8作AD,過A作AF_LAD,兩直線交于產(chǎn)，過8作BE垂直地面交地面于

E,如圖：

根據(jù)題知NABF=NZMB=30°,A尸=：A3=135(m).

BC的坡度i=1:2.4,二BE:CE=1:2A.

設(shè)3E=/m,則CE=2.4ftn,/BE1+CE1=BC2,Z2+(2.4r)2=2602,

解得f=100(負(fù)值已舍去)，，〃=AF+BE=235(m),

所以，該滑雪場的高度/?為235m.

(2)解：設(shè)甲種設(shè)備每小時(shí)的造雪量是xnf,則乙種設(shè)備每小時(shí)的造雪量是(x+35)m3,

根據(jù)題意得：—=^-,解得x=15,

經(jīng)檢驗(yàn)，x=15是原分式方程的解，也符合題意，,x+35=50.

所以，甲種設(shè)備每小時(shí)的造雪量是15m3,乙種設(shè)備每小時(shí)的造雪量是50m3.

14.(2022?全國?高一)“綠水青山就是金山銀山”是時(shí)任浙江省委書記習(xí)近平于2005年8月

在浙江湖州安吉考察時(shí)提出的科學(xué)論斷，隨著生態(tài)環(huán)境治理的不斷加強(qiáng)，園林局美化城市的

功能日益凸顯.時(shí)值中國共產(chǎn)黨成立100周年之際，某市園林局計(jì)劃把一塊形狀為等邊三角

形的邊角地開辟為特種花草栽種基地，如圖，邊角地是邊長為100米的等邊三角形，

根據(jù)實(shí)際情況，需在基地修一條直行道路MMM在邊OP上，N在邊OR上.

(1)若A/N把基地分成周長相等的兩部分，設(shè)3/的長為x米，試把一OMV的面積表示為x的

函數(shù)〃尤)，并求出的定義域及〃元)的最大值；

(2)若把基地分為面積相等的兩部分，當(dāng)取多長時(shí)，道路最短.

【答案】⑴〃尤）=￥（-尤2+150x）;定義域?yàn)椋?0,100］；盤/力=些芋（平方米）

(2)50拒米

(1)由題知：/(x)=^-x(150-x)=-^-(-x2+150x),

0<x<100

因?yàn)閚504x4100,

04150—尤4100

所以函數(shù)的定義域?yàn)椋?0,100］.

當(dāng)15時(shí)，f（x）取得最大值，

所以盤,（同=/75）=色芋（平方米）.

（2）設(shè)ON的長為尤米

由題意S^OMN=^,^-1002=；x|ON|一日，

所以|0囚|=理

X

0<x<100

由題意"<5000<100n50?xW100,

、x

50002

MN92=OM2+ON92-2OM?ONcos60°=x92+--——5000>

x

2A/50002-5000=5000

當(dāng)且僅當(dāng)f=鱉匕，即苫=而麗=50應(yīng)€[50/00]時(shí)取等號.

X

所以，當(dāng)OM取50點(diǎn)米時(shí)，道路MN最短.

B能力提升

15.（2022,全國?高一課時(shí)練習(xí)）康平滕龍閣，位于康平縣中央公園中心，建在有"敖包朝霞"

之稱的敖包山舊址上，是老百姓心中的祥瑞之地.如圖，小明同學(xué)為測量滕龍閣的高度，在

滕龍閣的正東方向找到一座建筑物A8,高為8米，在地面上的點(diǎn)M（3,M,。三點(diǎn)共線）

測得樓頂A，滕龍閣頂部C的仰角分別為15。和60。,在樓頂A處測得閣頂部C的仰角為30。，

試替小明求滕龍閣的高度？（精確到0Q1米）

【答案】37.86米

【詳解】解：由題意得，在Rt中，AM=-^~,

sin15

在AACM中，ZG4M=30o+15°=45°,ZAMC=180°-15°-60°=105°,

AMCM

所以NACM=30。，由正弦定理

sinZACMsinZCAM

sinZCAM…y/2AB

得CM--------------AM=--------

sinZACMsin15°

又sinl5=皿45。一30。)=爭￥一%IF，

Vrn人>Cr>=CMsin6C>o=跖鉆=―8兇L=24+8—。37.86

在RtZ\CDM中，2sinl