2023年高考數(shù)學(xué)搶分秘籍（新高考專用）第二章 直線和圓的方程知識總結(jié)

第二章直線和圓的方程單元總結(jié)

一、思維導(dǎo)圖

二、知識記誦

要點(diǎn)1.直線的傾斜角的斜率

令直線的傾斜角為a,斜率為*,

(1)k=tana(a*/),其中aw[0,乃),&eR,當(dāng)a=g時，斜率不存在;

(2)過田弓,%)，2(%,%)的直線斜率憶=三二&(x戶當(dāng))?

X2~X\

要點(diǎn)2.直線方程的幾種形式

(1)點(diǎn)斜式

y-%=z(x-%)

注意：①=幺表示不含幾小,%)才是整條直線方程。

②當(dāng)直線的斜率不存在時，不能用點(diǎn)斜式表示，此時方程為x=x0.

③在解題時若選用點(diǎn)斜式的話，應(yīng)單獨(dú)考慮斜率不存在時的情況.

(2)斜截式

y=kx+b.

注意：在解題時若選用斜截式的話，應(yīng)單獨(dú)考慮斜率不存在時的情況.

(3)兩點(diǎn)式

上九=三"-((必-X)(%-xjw0)

注意：①兩點(diǎn)式方程的條件是玉二/,%二%，即不能表示平行(或重合)于坐標(biāo)軸的直線。

②若把兩點(diǎn)式寫成：(x「xJ(y-x)=(y2-X>(x-xJ,則可適用任何位置的直線.

(4)截距式

—+j-=l(abH0).

注意：①截距是坐標(biāo)而不是長度.

②當(dāng)斜率不存在或?yàn)榱銜r，或直線過原點(diǎn)時，都不能用截距式，因此用截距式時應(yīng)單獨(dú)考慮這幾種情

形.

(5)一般式

Ax+By+C=O(A2+B2#0).

要點(diǎn)3.兩直線的位置關(guān)系

(1)兩直線的位置關(guān)系

TS.lt:y=kjX+b,l2:y=k2x+b2.(.的都存在)

①4與，2相交o々產(chǎn)&，特別地仁義=-1=/1_L4；

②4%0仁=%且4片瓦;

③4與6重合。仁=&且a=與.

設(shè)/,:A|X+BjV+C,=0,/2:4x+B2y+C2=0(4,5,^0,A,S2w0)

①4與4相交oA與寸&用，特別地A4+4員=0oaJ_4；

②4/2。4員=4出且4g二44；

③4與4重合0AB2=A24且AC?=40.

(2)點(diǎn)到直線的距離

設(shè)A(%,%),直線4：Ar+B)，+C=0,點(diǎn)A至恒線/的距離”=與詈能口,特別地，Ae/od=0.

注意：①當(dāng)A(Xo，yo)在/上時，貝ljAr。+8.%+C=0；

②當(dāng)A在/上方，則AXo+gy0+C>O；

③當(dāng)A在/下方，則AXo+By0+C<O.

(3)兩平行線間距離

^/,:Ax+By+C=0,l2:Ax+By+C'=0.

4/,與4間的距離“=!0一01.

yjA2+B2

(4)直線系方程

①平行直線系：y=kx+b(k為常數(shù)，b為變數(shù))，表示一組斜率為上的平行直線。

②共點(diǎn)直線系：y-%=/（x-Xo）［定點(diǎn)為（x。,%）,改為變數(shù)］,表示一■束過定點(diǎn)（七,丫0）的直線（不包括直

線x=%）.

③過直線小4交點(diǎn)的直線系：設(shè)4：Ax+4>+G=04&y+c?=0，則

爾+外，+中（/+與），+。2）=0（；1€均表示一束過4、4交點(diǎn)的直線（不包括4）.

（5）中心對稱和軸對稱

①中心對稱：設(shè)點(diǎn)尸（內(nèi),其）、。（孫必）關(guān)于點(diǎn)M（%，%）對稱，則與="%,%=巧目.

②軸對稱：設(shè)P（X1,yJ、。（兀2，%）關(guān)于直線/：Ar+3y+C=0對稱，則

a.8=0時，有土/=-?,且％=%；

2A

b.4=0時，有U、?-=-",且X］=%；

c.M/O時，有=0且A.山+B.A1A+C=0.

x2-xtA22

要點(diǎn)4.幾個值得注意的問題

（1）關(guān)于五種形式的直線方程及其轉(zhuǎn)化形式要注意：

①直線斜率往往是求直線的關(guān)鍵，若不能判定直線有斜率，必須分兩種情況討論；

②在直線的斜截式或截距式中，其“截距”不等于“距離”；

③當(dāng)斜率不存在時，會正確選擇直線的表示形式，同時注意直線的點(diǎn)斜式、斜截式、兩點(diǎn)式、截距式

表示直線的局限性。

（2）關(guān)于兩條直線的位置關(guān)系要注意：

①判斷垂直或平行時，要考慮兩條直線中一條無斜率或都無斜率的情況；

②區(qū)分“到角”與“夾角”的異同，以及“4到4的角”與N到4的角”的不同；

③利用公式〃=也上坦亡q,要注意將直線方程化為一般形式，利用公式“=隼二且求平行線間的

>JA2+B2>JA2+B2

距離，要注意把“對應(yīng)項(xiàng)的系數(shù)化為相同.

（3）關(guān)于直線傾斜角要注意：

①注意與斜率概念的區(qū)別

直線的斜率是直線傾斜角的正切值，任何一條之下都有傾斜角，但并不是任何一條直線都有斜率，當(dāng)

直線的斜率不存在時，其傾斜角等于90'；

②注意傾斜角的取值范圍

直線傾斜角的取值范圍是［（）,乃），且當(dāng)時，40；當(dāng)1<0（萬時后<0.在通過斜率的范圍求傾

斜角的范圍時，應(yīng)特別注意，否則容易出現(xiàn)錯誤

要點(diǎn)5.圓的方程

（1）標(biāo)準(zhǔn)式：圓心為點(diǎn)（。/），半徑為r的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（x—a）2+（y-?2=/.特別地，當(dāng)圓心在坐

標(biāo)原點(diǎn)時，圓的方程為/+；/=產(chǎn)；

（2）一般式：x2+y2+Dx+Ey+F=Q[D2+E2-4F>0）；

（3）值得關(guān)注的幾個問題

①在二元二次方程中，V和>2的系數(shù)相等摒棄沒有孫項(xiàng)，只是表示圓的必要條件，而不是充分條件.

②如果問題中給出了圓心兩坐標(biāo)之間的關(guān)系或圓心的特殊位置時，一般用標(biāo)準(zhǔn)方程；如果給出圓上的三個

點(diǎn)的坐標(biāo)，一般用一般方程.

③在一般方程中，當(dāng)。？+￡—4/=0時.方程表示一個點(diǎn)當(dāng)。2+爐_4尸<0時，無軌

跡.

④由于圓的方程均含有三個參變（。、b、r或。、E、F）,而確定這三個參數(shù)必須有三個獨(dú)立條件，因

此，三個獨(dú)立條件確定一個圓.

⑤待定系數(shù)是求圓的方程的常用方法.

要點(diǎn)6.點(diǎn)與圓的位置關(guān)系

（1）點(diǎn)在圓上

①如果一個點(diǎn)的坐標(biāo)滿足圓的方程，那么該點(diǎn)在圓上.

②如果點(diǎn)到圓心的距離等于半徑，那么點(diǎn)在圓上.

注意:若P點(diǎn)是圓C為一定點(diǎn)，則該點(diǎn)與圓上的點(diǎn)的最大距離：41ax=|PC|+廣，最小距離：dmin^\PC\-r.

要點(diǎn)7.直線一與圓的位置關(guān)系

（1）直線與圓的位置關(guān)系有相交、相離、相切三種，其判別方法有：

①代數(shù)法：通過解直線方程與圓的方程所組成的方程組，根據(jù)解的個數(shù)來研究.若有兩組不同的實(shí)數(shù)解（即

A>0）,則相交；若有兩組相同實(shí)數(shù)解（即△=（））,則相切；若無實(shí)數(shù)解（A<0）,則相離.

②幾何法：由圓心到直線的距離d與半徑「的大小來判斷.當(dāng)d<r時，直線與圓相交；當(dāng)d=r時，直線

與圓相切；當(dāng)d〉r時，直線與圓相離.

（2）值得關(guān)注的幾個問題

①當(dāng)直線與圓相離時，圓上的點(diǎn)到直線的最大距離=。+廣，最小距離=d—r.其中d為圓心到直線的距

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//\2

②當(dāng)直線與圓相交時，設(shè)弦長為/,弦心距為d,半徑為r,則有1/J+d2=r2.

③當(dāng)直線與圓相交時，設(shè)弦長為AB,則|A8|=+心?區(qū)―41；I,回一詞.

④當(dāng)直線與圓相切時，切線的求法有如下幾種：

a.若點(diǎn)（%0，%）在圓/+V=，上，則切線方程為無0尢+%丫=，.

若點(diǎn)(為,％)在圓(x-a)-+(y-b)2=r2上，則切線方程為小_。)(％_。)+(%-，)3_。)=戶.

b.斜率為人且與圓元2+y2=/相切的切線方程為y=kx+痛+爐.

斜率為人且與圓(x-療+?-與2=,相切的切線方程的求法，可以設(shè)切線為y=Ax+〃z,然后變成一般

式辰-y+/n=O,利用圓心到切線的距離等于半徑列出方程，求m.

C.若點(diǎn)(%,%)在圓(x—a)2+(y-〃)2=，外，則設(shè)切線方程為%)，變成一般式

日-y+%-日o=O因?yàn)橹本€與圓相切，所以有二"匚r.由此解出左，若此方程有一個實(shí)

K"42+1"°L

根，則還有一條斜率不存在的切線，務(wù)必要補(bǔ)上.

要點(diǎn)8.圓與圓的位置關(guān)系

(1)圓與圓的位置關(guān)系共有外離、外切、相交、內(nèi)切、內(nèi)含五種，其判別方法有：

①代數(shù)法：解兩個圓的方程所組成的二元二次方程組.若方程組有兩組不同的實(shí)數(shù)解，則兩圓相交；若方

程組有兩組相同的實(shí)數(shù)解，則兩圓相切(內(nèi)切或外切)；若

無實(shí)數(shù)解，則兩圓外離或內(nèi)含.

②幾何法：設(shè)兩圓半徑分別為兩圓心分別為4、r2,兩圓心分別為G、C2,則

當(dāng)IGG|>《+々時，兩圓相離；

當(dāng)=弓時，兩圓外切；

當(dāng)|GG|=k一目時，兩圓內(nèi)切；

當(dāng)|彳一4<|GG|<h+臼時，兩圓相交;

當(dāng)|GG|<|{—G|時，兩圓內(nèi)含.

(2)值得關(guān)注的幾個問題

共交點(diǎn)圓系：已知兩圓/+>2+。儼+罵y+6=。相交，則與兩圓共交點(diǎn)的圓系方程為

222

x+y+D,x+E{y+F,+A(x+/+D2x+E2y+F2)=0,其中夕為/LH—1的任意常數(shù)，此圓系不包括

第二個圓.

當(dāng)；1=一1時，為根軸方程，即兩圓公共弦所在的直線方程為(R—°)x+(4—七方+伍一周)=0.

三、能力培養(yǎng)

專題一直線的傾斜角與斜率的問題

例1已知坐標(biāo)平面內(nèi)的三點(diǎn)4-1,1),8(1,1),C(2,G+1).

(1)求直線AB,BC,AC的斜率和傾斜角；

(2)若。為八48。的邊他上一動點(diǎn)，求直線8的斜率&的取值范圍.

解：(1)由斜率公式，得砥8=上匚=0,原。="產(chǎn)=6,kG+i-i_上

AB1-(-1)2-(-1)=T

因?yàn)閠an()o=0,所以AB的傾斜角為0。；因?yàn)閠an6()o=6，所以AB的傾斜角為60。：因?yàn)閠an3()o=也，

3

所以45的傾斜角為30。.

(2)如圖3-1,當(dāng)斜率々變化時，直線8繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)，當(dāng)直線CD由C4逆時針旋轉(zhuǎn)CB到過程中，直線

Q與他恒有交點(diǎn)，即〃在△ABC的邊/W上，此時上由增大到心。，所以上的取值范圍是程,6

解后反思：在解答直線的傾斜角和斜率問題時，注意結(jié)合有關(guān)概念和公式，注意斜率不存在時的情況不能

忽略.

專題二直線方程的五種形式

例2求與直線y=gx+g垂直，并且與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為24的直線/的方程.

解：方法1:由直線，與直線y=gx+g垂直，可設(shè)直線方程為y=+6則直線/在x軸,y軸上的截距分別

為七==b.又因?yàn)橹本€與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為24,所以S=3叫為卜24,Rig(網(wǎng)=24,

.44

Z?~=36?解得6=6或。=-6.故所求直線方程為y=-—x+6或y=-—x-6,即3x+4y-24=0或

3x+4y+24=0.

方法2:設(shè)直線/的方程為三+上=1,則直線的斜率％=心.因?yàn)?與直線產(chǎn)3+2垂直，所以無=-2=一3,

aba33a4

即：=又因?yàn)橹本€/與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為24,所以。閾=24,即|回=48.

所以a=8,/?=6或a=-8,6=-6.所以直線/的方程為土+上=1或二+上=1,即3x+4y-24=0或

86—8—6

3x+4y+24=0.

解后反思：直線的方程由五種形式，在求直線方程時要選擇恰當(dāng)?shù)男问剑渲幸渣c(diǎn)斜式、斜截式最為常用，

通常采用待定系數(shù)法求直線的方程.

專題三兩條直線的位置關(guān)系

例3已知點(diǎn)0(0,0),402),3(a,蘇)，若記為直角三角形，則必有()

A.b=aiB.b=a3+-C.(b-a3)(b-a3--)=0D.|/7-a3|+b-a}--=0

aa11a

解析：若以O(shè)為直角頂點(diǎn)，則B在x軸上，則。必為0,此時。,5重合，不符合題意；

若A=90。，則6="二0；若3=90。，根據(jù)斜率關(guān)系可知，。3.3衛(wèi)=一1,所以°(/-刀=一[,即6一/—_[=0,

aa

綜上，只有C滿足條件.故選C.

解后反思：由于直角的位置不確定故而應(yīng)分類討論求解，對于特殊位置不要遺漏.

例4已知兩條直線4:ax-6y+4=0,/,:(a-l)x+y+6=0.求分別滿足下列條件的a,6的值.

(1)直線4過點(diǎn)(-3,-1),并且直線4與直線4垂直；

(2)直線4與直線平行，并且坐標(biāo)原點(diǎn)到〃的距離相等.

解：(1)因?yàn)椤?，勾，所以a(a-D+(-6)J=0，BPa2-a-h=0.①

又因?yàn)辄c(diǎn)(-3,-1)在4上，所以-3a+b+4=0.②

由①②解得a=2,0=2.

(2)因?yàn)橹本€4與直線人平行，且4的斜率為l-a，即6=」一,故4與4的方程可分別表示為

1一〃

ll:(a-l)x+y+^^=0,/2：(a-l)x+y+'=0,因?yàn)樵c(diǎn)至此，4的距離相等，所以40=，

a\-aa\-a

(_0_2

所以〈，c，或〈3.

ib=2

解后反思：考查兩條直線的平行與垂直的關(guān)系時，通常有兩種方式可以選擇：一是直線方程以斜截式給出，

此時可通過斜率和直線在y軸上的截距來處理；二是直線方程以一般式給出，此時可轉(zhuǎn)化為斜率和直線在y

軸上的截距來處理，也可直接利用系數(shù)處理.

專題四距離問題

例5已知44,一3),8(2,-1)和直線/：4x+3y—2=0,求一點(diǎn)P，使|PA|=|叫，且點(diǎn)P到直線I的距離等于2.

解：方法1：設(shè)點(diǎn)尸(x,y),因川尸A|=|PB|,所以J(x-4)2+(y+3)2=J(x-2)2+(y+l)2.①

又因?yàn)辄c(diǎn)P到直線/的距離等于2,所以—+?-2]=2.②

由①②聯(lián)立方程組解得P(1,T)或P(2,-?).

77

方法1：設(shè)點(diǎn)P(x,y),因?yàn)閨P4|=|P四，所以點(diǎn)P在線段AB的垂直平分線上，由題意知砥8=-1,線段

AS的中點(diǎn)為(3,-2),所以線段鉆的垂直平分線的方程是y=x-5.所以可設(shè)點(diǎn)尸(x,x-5).

因?yàn)辄c(diǎn)P到直線/的距離等于2,所以』/+3*5)2|=2,解得工=1或

57

所以尸(1,-4)或尸作用.

解后反思：解決解析幾何問題的主要方法就是利用點(diǎn)的坐標(biāo)反映圖形的位置，所以只要將題目中的幾何條

件用坐標(biāo)表示出來，即可轉(zhuǎn)化為方程的問題，其中方法2是利用了點(diǎn)尸的幾何特征產(chǎn)生的結(jié)果，所以解題

時注意多發(fā)現(xiàn)，多思考.

專題五直線中的最值問題

例6在平面直角坐標(biāo)系中，到點(diǎn)A(l,2),8(1,5),C(3,6),￡>(7,-1)的距離之和最小的點(diǎn)的坐標(biāo)是.

解析：由題意可知，設(shè)P為平面直角坐標(biāo)系的任意一點(diǎn)，則|PA|+|PC|?|AC|,等號成立的條件是點(diǎn)「在線

段AC匕歸耳+|尸。|》怛。|,等號成立的條件是點(diǎn)尸在線段即上，所以到A,B,C,O四點(diǎn)的距離之

和最小的點(diǎn)為4c和B力的交點(diǎn).直線4c的方程為2x-y=0,直線80的方程為x+y-6=0,所以由

I；,。’得til即所求點(diǎn)的坐標(biāo)為Q，4).

答案：(2,4)

解后反思：利用幾何圖形，借助三角形的三邊關(guān)系，將所求點(diǎn)與已知四點(diǎn)之間的距離最小問題轉(zhuǎn)化為兩線

段之和最小的問題，本例充分體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想在解決直線中的最值問題的作用，在學(xué)習(xí)中要注意借鑒.

例7有兩條直線or-2y—2。+4=0和2x_(l-4)y_2-2“2=o,當(dāng)a在區(qū)間(0,2)內(nèi)變化時，求直線與兩

坐標(biāo)軸圍成的四邊形面積的最小值.

解：解方程卜一。-"-)--%』，得卜]所以兩直線的交點(diǎn)為C(2,2),如圖32

ar-2y-2。+4=0U=2

2

在2x-(l-2-2〃=0中，令y=0,W%s=1+a:在ac-2y-2a+4=0中，令x=0,得以=2-a.

+

助以S明四成.080=S.oc+SAOSC=萬y.?*c+]Nc./=力+x0=a—a+3=("—/)?

因?yàn)閍w(0,2),所以當(dāng)a=g時，四邊形498C面積取最小值日.

解后反思：求不規(guī)則四邊形的面積，可以先將四邊形分成若干個小三角形，利用三角形的面積公式來求解.本

題根據(jù)已知條件，結(jié)合圖形可知S四.MBCMSMJC+SAOBC，因此只需要求出兩三個三角形的面積.因?yàn)?/p>

SAAOc=~\^O\-h,,&彌=］忸。|?他，\=xc,h1=yc,\AO\=yA,忸O|=/，所以只需要求出兩直線的交

點(diǎn),以及兩直線與x,y軸的交點(diǎn).根據(jù)S西邊彩230=SAAOC+SAOPC=gy.及ae（0,2）,即可求出

四邊形AOBC的最小面積.

專題六對稱問題

對稱問題包括點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)、點(diǎn)關(guān)于直線、直線關(guān)于點(diǎn)、直線關(guān)于直線以及曲線關(guān)于點(diǎn)、直線的對稱.其

中點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)、點(diǎn)關(guān)于直線對稱式所有對稱中的兩種最基本的對稱，應(yīng)該重點(diǎn)掌握，并能夠把其他對稱都轉(zhuǎn)

化為這兩種對稱.由于對稱問題綜合運(yùn)用了兩直線垂直、平行的判定，點(diǎn)到直線的距離公式等知識點(diǎn)，因

此對稱問題一直是高考考查的重點(diǎn).對稱是圖形的一種幾何特征，如角的平分線，入（反）射光線，在一

條定直線上求一個點(diǎn)到兩個定點(diǎn)的距離之和最小，差的絕對值最大等問題都隱含著對稱關(guān)系，因此，要注

意對稱在解題中的重要作用.

（1）點(diǎn)時（為,%）關(guān)于點(diǎn)Q（a,b）的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)是'（2〃-%,2匕-%）.

（2）點(diǎn)P（a,b）不在直線/：Ar+3y+C=0上，點(diǎn)P關(guān)于直線/的對稱點(diǎn)的求法是利用/垂直平分

線段PP,即《,解出P（x。,%）即可.

A

（3）曲線（直線）關(guān)于點(diǎn)的對稱可以轉(zhuǎn)化為點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對稱.

（4）曲線（直線）關(guān)于直線的對稱可以轉(zhuǎn)化為點(diǎn)關(guān)于直線的對稱.

例8已知直線/：y=3x+3,求：

（1）點(diǎn)P（4,5）關(guān)于直線的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）直線y=x-2關(guān)于直線/的對稱直線的方程；

（3）直線/關(guān)于點(diǎn)A（3,2）的對稱直線的方程.

解：（1）設(shè)點(diǎn)尸關(guān)于直線/的對稱點(diǎn)為P'（x',y'）,則線段PP的中點(diǎn)M在直線/匕且直線尸產(chǎn)垂直于直線

/+5_.x'+4

x'=-2

所以,解得

/-5y=7

x3=-1

x,-4

所以點(diǎn)P的得坐標(biāo)為（-2,7）.

（2）設(shè)直線4：y=x-2關(guān)于直線/對稱的直線為4,則《上任一點(diǎn)4（中凹）關(guān)于/的對稱點(diǎn)鳥（々,%）一定

在與上，反之也成立.

乂+>2_3::芭+占I343V9

一勺+DL%----■*-r--+->2---

故—，解得5把（牛乂）代入y=x-2,整理得7々+必+22=0,

純&3=-1liyl

yXi+i2+

A）-x2I'5-55

所以直線4的方程為7x+y+22=0.

（3）設(shè)直線/關(guān)于點(diǎn)A（3,2）的對稱直線為「，由/〃，可設(shè)，為y'=3x'+人。工3）.

由點(diǎn)到直線的距離公式，得|3：3-2+.*3-2+3],即k+7卜]0解得5=77或匕=3（舍去）.

向+（-1）2a+㈠）?

所以直線/'的方程為），'=3x'-17,即對稱直線的方程為3x-y-17=0.

解后反思：中心對稱問題可分為點(diǎn)的中心對稱與直線的對稱問題；軸對稱是關(guān)于直線的對稱問題.

專題七求圓的方程

求圓的方程，主要是根據(jù)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和一般方程，利用待定系數(shù)法求解.用待定系數(shù)法求圓的方程

的一般步驟：

第一步：選擇圓的方程的某一形式；

第二步：由題意，得a,b,r（或￡）,E,E）的方程（組）；

第三步：解出（或。，旦尸）；

第四步：代入圓的方程.

在高考中單獨(dú)求圓的方程的問題不多，一般在考查直線與圓的位置關(guān)系中間接考查.

例9若圓。經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)和點(diǎn)（4,0）.且與直線y=l相切，則圓C的方程是

解析：因?yàn)閳A的弦的垂直平分線必過圓心，且圓經(jīng)過原點(diǎn)和（4,0）,所以設(shè)圓心為（2,m）.又因?yàn)閳A

與直線y=l相切，所以4-2）-+（0-加）-=|1-m\,所以根2+4=機(jī)2-2〃z+l,解得加=-?,所以圓

2

325

的方程為（x-2『+4=——

24

2

325

答案：（x-2）H--=——

24

解后反思：確定圓的方程關(guān)鍵在于確定圓心和半徑.本例先通過圓經(jīng)過兩點(diǎn)確定圓心的位置，再利用

和圓相切表示出半徑，最后建立方程求解.

例10有一圓與直線/:4x-3)，+6=0相切于點(diǎn)A(3,6),且經(jīng)過點(diǎn)6(5,2),求此圓的方程.

解：方法1：由題意可設(shè)所求圓的方程為(x-3『+(y-6/+/(4x-3y+6)=0,又圓過點(diǎn)(5,2).代

入求得/=-1.故所求圓的方程為V+J-I。X-力+39=0.

方法2：設(shè)圓的方程為(x-a1+(y-/=,，則圓心為eg,。)，ill|C4|=|Cfi|,C4垂直于直線/,

o7c；“一J，

ka-3『+p6)2=(7)-+僅-2)一=尸

解得力

得汐-64

A----1--1.i2

Ia-33

J225

t4

H92_25

故所求圓的方程為(X-51+

2-T

方法3:設(shè)所求圓的方程為爐+；/+6+￡>'+尸=0,圓心為。，由C4垂直于直線/,A(3,6),B(5,2)

i

i

i

1

j3"+6?+3。+6E+F=0i￡)=-10

在圓上，得［52+22+3。+6E+/=0,解得［E=-9.故所求圓的方程為Y+V-io》-9y+39=0.

；?E.件=39

7---oA

方法4：設(shè)圓心為。，則CA垂直于直線/,乂設(shè)C4與圓的另?交點(diǎn)為P，則C4所在直線的方程為

QX1

y-6=--(x-3),即(x-3)3x+4y-33=0.又因?yàn)樵魾=-2,所以原?=-一.所以直線族的

43-52

?3x+4y_33--0\x—^19

方程為2y?1=0.解方程組：,，得；.所以P(7,3).所以圓心為AP的中點(diǎn)(5:)，

jx-2y-1=0jy=32

半徑長為|C4|,故所求圓的方程為(x-5)2+S-|25

T

解后反思：求圓的方程，主要是聯(lián)系圓系方程、圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、圓的一般方程等，利用待定系數(shù)法求

解.

專題八直線與圓的位置關(guān)系

直線與圓的位置關(guān)系是本章的重點(diǎn)內(nèi)容，在處理直線與圓的位置關(guān)系時，常用的方法有幾何法和代數(shù)

法.此部分在高考中也是考查重點(diǎn)，其中切線問題是重點(diǎn)中的重點(diǎn).在處理直線與圓位置關(guān)系時要注意圓

的幾何性質(zhì)的應(yīng)用，以達(dá)到簡化解題過程的目的.

例11已知點(diǎn)在圓0：/+y2=1外，則直線6+刀=1與圓0的位置關(guān)系是()

A.相切B.相交C.相離D.不確定

解析：由題意，知點(diǎn)M在圓外，則圓心到直線的距離d=,I<1,故直線與圓相

交.

答案：B

解后反思：確定直線與圓的位置關(guān)系可用幾何法，也可用代數(shù)法，但代數(shù)法計算較為繁瑣，而幾何法

的關(guān)鍵在于比較圓心到直線的距離與半徑的大小關(guān)系，兒何法應(yīng)熟練掌握.

例12在平面直角坐標(biāo)系直?中，直線x+2y-3=0被圓(x-2『+(y+lp=4截得的弦長為

圖4-1

解析：由圓的方程可知，圓心為(2,-1),半徑為2.如圖4-1所示，設(shè)已知直線被圓截得的弦為AB,

取弦的中點(diǎn)P,連接CP，則CPAAB,圓心到直線中8的距離d='+2勺上W