2022-2023學(xué)年四川省成都市高三年級上冊期中考試?yán)頂?shù)試題及答案

高三

成都2022?2023學(xué)年度（上）高三年級半期考試

數(shù)學(xué)試卷（理科）

（試卷總分:150分,考試時間:120分鐘）

一、選擇題:本大題共12小題,每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有

一項是符合題目要求的.

1.已知全集。={0,123,4,5,6},集合Z={1,2,4},8={1,3,5},則4n&B）=（）

A.{0,6}B.{1,4}

C.{2,4}D.{355}

2.復(fù)數(shù)z=之二衛(wèi)（其中i為虛數(shù)單位）的虛部為（）

2+1

A.-2B.-1C.1D.2

3.青少年視力被社會普遍關(guān)注，為了解他們的視力狀況，經(jīng)統(tǒng)計得到圖中右下角12名

青少年的視力測量值1,2,3,…,12）（五分記錄法）的莖葉圖，其中莖表示個位數(shù)，

葉表示十分位數(shù).如果執(zhí)行如圖所示的算法程序，那么輸出的結(jié)果是（）

A.4B.5C.6D.7

4.拋物線y2=2px（pw0）上的一點P（-9,12）到其焦點尸的距離|尸尸|等于（）

A.17B.15C.13D.11

5.已知一個幾何體的三視圖如圖，則它的表面積為（）

A.3〃B.44C.5乃D.6兀

試題

高三

6.在一丄1的展開式中，X3項的系數(shù)為（）

A.-54B.54C.-24D.24

UULLMULL

7.在平行四邊形力8CQ中，AB=2,AD=l,/以。=60。，E是8C的中點，則力。.力￡二

（）

A.3B.4C.5D.6

8.為第二象限角”是"sina-JJcosa>1”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

9.直線依+如一1=0（。>0,6>0）與圓/+夕2=4相切，則logz^+log2b的最大值

（）

A.3B.2C.-2D.-3

10.關(guān)于函數(shù)/（x）=sinxcos[q）的敘述中，正確的有（）

①〃x）的最小正周期為2萬；

②“X）在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增；

o3

③/卜+。）是偶函數(shù)；

④“X）的圖象關(guān)于點仔,0）對稱.

A.①③B.①④C.②③D.②④

11.攢尖在中國古建筑（如宮殿、壇廟、園林等）中大量存在，攢尖式建筑的屋面在頂

部交匯成寶頂，使整個屋頂呈棱錐或圓錐形狀.始建于1752年的廓如亭（位于北京頤和

園內(nèi)，如圖）是全國最大的攢尖亭宇，八角重檐，蔚為壯觀.其檐平面呈正八邊形，上

檐邊長為a,寶頂?shù)缴祥芷矫娴木嚯x為厶，則攢尖坡度（即屋頂斜面與檐平面所成二面

c.>+屮D.2(&-9

2a2a3aa

試題

_____________________________________

12.如果直線/與兩條曲線都相切，則稱/為這兩條曲線的公切線，如果曲線G：y=lnx

和曲線6號=平（工>0）有且僅有兩條公切線，那么常數(shù)a的取值范圍是（）

A.（-8,0）B.（0,1）C.（l,e）D.（e,+8）

二、填空題:本大題共4小題，每小題5分，共20分.

13.命題“出eN,2、<X2"的否定是.

14.若不等式4'-2"+'+2>0對xeR恒成立，則實數(shù)”的取值范圍是.

v-22

15.已知雙曲線C:=—v4=l（a>0,b>0）的兩個焦點分別為￡、乙，且兩條漸近線互

ab

相垂直，若C上一點p滿足|尸耳|=3|P閶，則/用岑的余弦值為.

16.已知某品牌電子元件的使用壽命X（單位：天）服從正態(tài)分布N（98,64）.

A

K1—□~~?

B

（1）一個該品牌電子元件的使用壽命超過100天的概率為；（2分）

（2）由三個該品牌的電子元件組成的一條電路（如圖所示）在100天后仍能正常工作

（要求K能正常工作，A,8中至少有一個能正常工作，且每個電子元件能否正常工

作相互獨立）的概率為.（3分）

（參考公式：若X~N（〃,cr2）,則尸（〃-0.25<7<*〈〃+0.25<7）=0.2）

三、解答題:解答應(yīng)寫岀文字說明、證明過程或演算步驟.第17?21題為必考題,每個題

目考生都必須作答.第22,23題為選考題,考生根據(jù)要求作答.

（一）必考題:共60分.

17.（12分）已知〃eN*,數(shù)列｛%｝的首項4=1,且滿足下列條件之一：①a?+l=會+￡；

②2〃%=（〃+1”“.（只能從①②中選擇一個作為已知）

⑴求｛?！埃耐椆?；

（2）若｛%｝的前〃項和S?<m,求正整數(shù)m的最小值.

18.（12分）如圖，在直四棱柱Z8CO-48cA中，底面N8CZ）是菱形，E是8c的中

點.

試題

高三

⑴求證：BDJ/平面CQE；

⑵已知N48C=120。，AAi=y12AB,求直線4。與平面CQE所成角的正弦值.

19.（12分）某企業(yè)有甲、乙兩條生產(chǎn)線，其產(chǎn)量之比為4:1.現(xiàn)從兩條生產(chǎn)線上按分

層抽樣的方法得到一個樣本，其部分統(tǒng)計數(shù)據(jù)如表（單位：件），且每件產(chǎn)品都有各自

生產(chǎn)線的標(biāo)記.

產(chǎn)品件數(shù)一等品二等品總計

甲生產(chǎn)線2

乙生產(chǎn)線7

總計50

（1）請將2x2列聯(lián)表補充完整，并根據(jù)獨立性檢驗估計：大約有多大把握認(rèn)為產(chǎn)品的等級

差異與生產(chǎn)線有關(guān)？

（2）為進(jìn)一步了解產(chǎn)品出現(xiàn)等級差異的原因，現(xiàn)將樣本中所有二等品逐個進(jìn)行技術(shù)檢驗

（隨機抽取且不放回）.設(shè)甲生產(chǎn)線的兩個二等品恰好檢驗完畢時，已檢驗乙生產(chǎn)線二

等品的件數(shù)為4,求隨機變量4的分布列及數(shù)學(xué)期望.

2

P(K>kn)0.150.100.050.0250.0100.0050.001

2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

n^ad—hcf

參考公式：片=

(Q+b)(c+d)(〃+c)(b+d)

20.（12分）已知橢圓C:[+/=l（a>/）>0）的短軸長為26，左頂點/到右焦點廠的

距離為3.

試題

高三

（1）求橢圓C的方程

（2）設(shè)直線/與橢圓C交于不同兩點〃，N（不同于4）,且直線/A/和力N的斜率之積

與橢圓的離心率互為相反數(shù)，求尸在/上的射影H的軌跡方程.

21.（12分）已知函數(shù)/（x）=e'-Asinx在區(qū)間（0,1）內(nèi)存在極值點a.

（1）求實數(shù)k的取值范圍；

（2）求證：在區(qū)間（0,7）內(nèi)存在唯一的廠,使〃0=1,并比較尸與2a的大小.

（二）選考題:共10分.請考生在第22,23題中任選一題作答.如果多做,那么按所做的第一題

計分.

22.［選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程］（10分）

在平面直角坐標(biāo)系X。中，伯努利雙紐線C（如圖）的普通方程為卜2+；；2）2=2卜2-/）,

fx=/cosa（不、

直線/的參數(shù)方程為.（其中aw0,g,，為參數(shù)）.

［歹=EsinaI4丿

（1）以。為極點，X軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，求C和/的極坐標(biāo)方程；

（2）設(shè)A,B是C與X軸的交點，M,'是C與/的交點（四點均不同于O）,當(dāng)a變化

時，求四邊形的最大面積.

23.［選修4-5:不等式選講］（10分）

設(shè)“為不等式|x+l|+4邛x-l|的解集.

⑴求〃；

（2）若a,beM,求|若-"可的最大值.

試題

成都2022?2023學(xué)年度（上）半期考試高三數(shù)學(xué)試題

參考答案及評分意見（理科）

一、選擇題：（每小題5分，共60分）CABCBADADCDB

二、填空題：（每小題5分，共20分）

31

13、VxWN,14、（-00,-）；15、-；16、0.4（2分）；0.256（3分）.

23

三、解答題：（共70分）

17、解：（1）若選擇條件①，則由已知得21“用=2"-%+2.（2分）

所以｛2"?,｝是首項為2,公差為2的等差數(shù)列，故2"q=2n.（4分）

于是｛內(nèi)｝的通項公式為%=—（5分）

2〃一］r,?eN,.

或解：若選擇條件①,則由已知得勺“+”手，于是a川—黑=-詣）.

（2分）

1〃

又叫一3=0,所以｛%_臺｝為常數(shù)數(shù)列｛0｝.（4分）

于是可一6=0,故｛飆｝的通項公式為%=（7，”eN”.（5分）

若選擇條件②，則由已知得出!■=丄?&.

（2分）

〃+12n

所以｛a｝是首項為1,公比為工的等比數(shù)歹IJ,故纟=丄1

（4分）

n2nT

于是｛a〃｝的通項公式為=—TT，〃￡N二（5分）

或解：若選擇條件②，則由已知得也=丄?"L

（2分）

*2n

ra?a?,a,1nn-\2,n

于是a——……亠“=----------------4=--（4分）

%%%2"T〃-1〃-212"T

于是｛%｝的通項公式為%=3,NdN*.（5分）

（注:如果選擇兩個條件作答，則以第一個計分；若兩個條件同時使用，則不計分）

/c、OTAL0123M-1n

（2）=-T+-T+—r+---+—r+—r>

"2021222n'22"~'

_,,1123n-\n

er（6分）

22'22232”TT

兩式錯位相減，得gS“=J+J+最+…+一盤

（7分）

1_±

n+2

-——q————=2---------.（9分）

112"2"

1-2

高三（上）半期考試數(shù)學(xué)（理科）參考答案（第1頁，共4頁）

〃+2

于是S“=4一<4（〃GN*）.（10分）

2""1

13

又因為S&=寧＞3,所以正整數(shù)，〃的最小值為4.（12分）

18、（1）證明：連結(jié)CR交。G于點區(qū)連結(jié)EF.（1分）

由已知，易得尸是CR的中點.（2分）2G

因為E是8c的中點，所以E尸〃反九（3分）4TH

因為平面C.DE,且EFU平面C.DE,（4分）

二83〃平面CQE.（5分）

；

（2）解：由已知可得，△BCD為正三角形,\：/\

所以?！陙ABC,于是QE丄4）.（6分）

以D為坐標(biāo)原點,DA,DC,DD,為坐標(biāo)軸，建立如圖所示的空間直角B

坐標(biāo)系。-平,并設(shè)48=2.（7分）

則。（0,0,0）,（2,0,272）,￡（0,V3,0）,C,（-1,73,2V2）.（8分）

于是方=（0,百,0）,DC^=（-1,73,272）,5^=（2,0,272）.（9分）

A73V-0得平面CQE的一個法向量7=（2啦,0,1）.

（10分）

"何-2伝=0

e,/TTT一\4-72+0+2V2娓

Er⑴分）

故直線4。與平面CQE所成角a的正弦值為—.（12分）

3

19、解：⑴由題意，補充完整的2X2列聯(lián)表如下.

產(chǎn)品件數(shù)一等品二等品總計

甲生產(chǎn)線38240

乙生產(chǎn)線7310

總計45550

（3分，每兩空給1分）

=皿二空著』56.

（5分）

45x5x40x109

因為5.556e（5.024,6.635）,所以大約有98%的把握認(rèn)為產(chǎn)品的等級差異與生產(chǎn)線有關(guān).（6分）

（注:位于區(qū)間［97.5%,99%）內(nèi)均可給分）

（2）隨機變量E的可能取值為0,1,2,3,則（10分，各1分）

2。）呼4C?；_I

）

尸4=1=￡一丁

尸―屮濡_3C：石團_20123

）PC=3）=e

「?一2-方一-10,4-5,

P0.10.20.30.4

故隨機變量4的分布列如右.（11分）

隨機變量《的數(shù)學(xué)期望￡產(chǎn)0X0.1+1X0.2+2X0.3+3X0.4=2（件）.（12分）

20、解：（1）設(shè)橢圓C的半焦距為c,由已知,a+c=3.（1分）

高三（上）半期考試數(shù)學(xué)（理科）參考答案（第2頁，共4頁）

又匕=百，所以4-C?=3.（2分）

解得a=2,c=l.故橢圓C的方程為二+己=1.（3分）

43

橢圓C的離心率?=丄.（4分）

2

（2）當(dāng)直線/垂直于y軸時,直線AM,AN的斜率乘積為正,與已知矛盾.（5分）

故可設(shè)I的方程為x二伊（俄￥-2），代入3x2+4y=12,并整理得（3『+4）戶6〃?少+3（M-4）=0.（6分）

—6mt3（Z722—4）

設(shè)M（m+m,y）,N（伊2+犯必），貝Ijy+y2=3/2+4，必必=3『+4?（※丿（7分）

因為4（-2,0）,由kAM也*=」,得---------及立-----------=---

2（W[+加+2）（^2+小+2）2

整理得（『+2）歹必+（加+2）￡（y+%）+（加+2）Wk（8分）

將（*）式代入,得3（療-4）（『+2）-6加（加+2）/+（機+2）之（3f+4）=0.

因為加W-2,化簡得3（加-2）（/+2）-6加、（加+2）（3/+4）=0.（9分）

22

化簡得3（772-2）+2（加+2）2=0,解得（此時△>0恒成立），所以直線/經(jīng)過定點P。,。）.（10分）

又因為PHLFH,所以”的軌跡是以PF為直徑的圓（除去點F）.（11分）

7o

故點”的軌跡方程為（X-歷）2+歹2=需。。1）.（12分）

（說明：未注明除去點尸和X去1,整體只扣1分）

21、解：（1）求導(dǎo)，得/'（x）=e*-4cosx.（1分）

7T

①當(dāng)kWl時，因為X￡（03），于是左cosxWcosx。，所以f\x）>1-kCOSx>0.（2分）

TTIF

此時/（x）在區(qū)間（0,7）內(nèi)單調(diào)遞增，故/（x）在區(qū)間（0,]）內(nèi)無極值點.（3分）

IT

②當(dāng)k>\時，易知/'（X）在區(qū)間（0,-）內(nèi)單調(diào)遞增.（4分）

又/，（0）=1一攵<0,/，（$=1〉0,所以存在唯一的ac（0,5）,使得/'（a）=0.（5分）

綜上可知，所求實數(shù)4的取值范圍是（1,+8）.（6分）

或解：求導(dǎo)，得/'（x）=e工一左cosx.（1分）

ICOSX

由/''（X）=0,得￡=-^（顯然上#0）.（2分）

Ke

設(shè)函數(shù)左（X）=絵±（0<X<,）,則k'（x）=?n::cosx）<0（3分）

TT

所以Mx）在區(qū)間（0,2）內(nèi)單調(diào)遞減.（4分）

711

又-0）=1,儀一）=0,故0<丄<1.（5分）

2k

于是所求實數(shù)％的取值范圍是（1,+8）.（6分）

7T

（2）由（1）知，當(dāng)0<x〈a時，/'（x）<0;當(dāng)a<x<^時，/'（x）〉0.（7分）

7T

又當(dāng)5WX<兀時，/'（X）>0恒成立，

高三（上）半期考試數(shù)學(xué)（理科）參考答案（第3頁，共4頁）

所以/（X）在區(qū)間（0,a）內(nèi)單調(diào)遞減,在區(qū)間（a,兀）內(nèi)單調(diào)遞增.（8分）

故當(dāng)OGWa時,/（x）q、（0）=l恒成立.又/（兀）=鏟>1,

所以在區(qū)間（0,兀）內(nèi)存在唯一的△使得/（￡）=1,且4e（a,兀）.（9分）

由/'（a）=0,得左cosa=e",所以/（2a）=e?"-2左sinccosa=eVe。-2sina）.（10分）

設(shè)函數(shù)g（a）=ea-L-2sina（0<a<y）,則g'（a）=e"+e-a-2cosa>2-2cosa>0.

7T

所以g（a）在區(qū)間（0,5）內(nèi)單調(diào)遞增，故g（a）〉g（0）=0,即e。一25也U>片，于是/（26（）>1.（11分）

又/（⑼=1,所以/（2a）"）.因為/（x）在區(qū)間（a,兀）內(nèi)單調(diào)遞增，且2a/e（a,Tt）,所以2a>￡.（12分）

22、解：（1）由（》為/）2=23-_/）得,=2（22cos3--sin'J）.（1分）

于是/=2（cos筲-sin沿），所以C