2023-2024學(xué)年上海市奉賢區(qū)九年級(jí)上學(xué)期期末考數(shù)學(xué)試卷（中考一模）含詳解

上海市奉賢區(qū)2023-2024學(xué)年九年級(jí)上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試卷（一模）

一、選擇題（本大題共6題，每題4分，滿分24分）

1.下列函數(shù)中是二次函數(shù)的是()

A.y=2x+lB.y=—C.y=x2+2D.y=+2

2x

2.將拋物線y二爐向右平移3個(gè)單位長(zhǎng)度得到的拋物線是()

A.y=X2+3B.y=X2-3C.y=(x-3)2D.y=(x+3)2

3.在中，ZC=90°,AC=5,NA=a,那么5C的長(zhǎng)是()

A5tanaB.5cotaC.5sincrD.5cosa

4.如圖，在中，點(diǎn)。、E分別在A3、AC的反向延長(zhǎng)線上，已知=下列條件中能判定。石〃3c

AC_2AE2

D.——

~EC~3EC3

5.已知忖=5,卜|=3,且〃與a的方向相反，下列各式正確的是（

,3-,5

Ab=-aB.b——aC.b——aD.b~—a

5533

6.如圖，將_ABC繞點(diǎn)2順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使得點(diǎn)A落在邊AC上，點(diǎn)4、C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為D、E,邊DE交BC于

點(diǎn)、F,連接CE.下列兩個(gè)三角形不一定相似的是（）

A.BAD與BCEB.YBDF與AECF

C._DCF與LBEFD.DBF與.DEB

二、填空題（本大題共12題，每題4分，滿分48分）

7.如果x:y=5:3,那么

y

8.計(jì)算：3（2。+人）一4a=

9.已知拋物線y=（。-2）--%開口向上，那么a的取值范圍是.

10.已知拋物線y=-2/+1在對(duì)稱軸左側(cè)部分是的.（填“上升”或“下降”）

11.如果P是線段A5的黃金分割點(diǎn)，AB=2cm,那么較長(zhǎng)線段AP的長(zhǎng)是cm.

12.某人順著坡度為1：石的斜坡滑雪，下滑了120米，那么高度下降了米.

13.如圖，已知人￡>〃5石〃。尸，它們依次交直線4于點(diǎn)A、B、C,交直線4于點(diǎn)。、E、F,已知

AB:AC=3:5,DF=10,那么防的長(zhǎng)為.

14.如圖，已知AABC周長(zhǎng)為15,點(diǎn)E、尸是邊BC的三等分點(diǎn)，DE//AB，DF//AC,那么△DEP的周長(zhǎng)是

15.如圖，已知.A5C在邊長(zhǎng)為1個(gè)單位的方格紙中，三角形的頂點(diǎn)在小正方形頂點(diǎn)位置，那么NABC的正切值為

16.在_ABC中，ZA=45°,cosZB=—（/B是銳角），BC=石，那么AB的長(zhǎng)為.

5

17.如圖是某幢房屋及其屋外遮陽篷，已知遮陽篷的固定點(diǎn)A距離地面4米（即A5=4米），遮陽篷的寬度AC為

2.6米，遮陽篷與房屋墻壁的夾角a的余弦值為工，當(dāng)太陽光與地面的夾角為60。時(shí)，遮陽篷在地面上的陰影寬度

13

BD為米.

A

18.如圖，在梯形A3CD中，AD//BC,5C=3A。，點(diǎn)E是A5中點(diǎn)，如果點(diǎn)尸在。。上，線段ER把梯形

DF

分成面積相等的兩個(gè)部分，那么一=

DC

三、解答題(本大題共7題，滿分78分)

tan45°

19.計(jì)算:-|cot300-l|.

2sin60°-2cos60°

20已知拋物線了=爐+法+。經(jīng)過點(diǎn)4(3,0),5(0,—3).

(1)求拋物線表達(dá)式并寫出頂點(diǎn)坐標(biāo)；

(2)聯(lián)結(jié)AB,與該拋物線的對(duì)稱軸交于點(diǎn)P,求點(diǎn)尸的坐標(biāo).

21.如圖，在.ABC中，G是一ABC重心，聯(lián)結(jié)AG并延長(zhǎng)交于點(diǎn)D.

(1)如果AC=b，那么A￡>=(用向量a、3表示)；

(2)已知AZ)=6,AC=8,點(diǎn)E在邊AC上，且NAGE=NC,求AE的長(zhǎng).

22.如圖1,某小組通過實(shí)驗(yàn)探究凸透鏡成像的規(guī)律，他們依次在光具座上垂直放置發(fā)光物箭頭、凸透鏡和光屏，并

調(diào)整到合適的高度.如圖2,主光軸/垂直于凸透鏡MN,且經(jīng)過凸透鏡光心O,將長(zhǎng)度為8厘米的發(fā)光物箭頭A3

進(jìn)行移動(dòng)，使物距0C為32厘米，光線40、60傳播方向不變，移動(dòng)光屏，直到光屏上呈現(xiàn)一個(gè)清晰的像A8,

此時(shí)測(cè)得像距0D為12.8厘米.

(1)求像A3'的長(zhǎng)度.

(2)已知光線AP平行于主光軸/，經(jīng)過凸透鏡折射后通過焦點(diǎn)R求凸透鏡焦距。尸的長(zhǎng).

23.如圖，在一ABC中，A6=AC,點(diǎn)。在邊上，已知〃LED=N3,邊。少交AC于點(diǎn)E.

(1)求證：AFCE=CDFE；

(2)連接A。，如果學(xué)=空，求證：AD2=AE-AC.

AFDF

24.在平面直角坐標(biāo)系中，如果兩條拋物線關(guān)于直線尤=〃2對(duì)稱，那么我們把一條拋物線稱為另一條拋物線關(guān)于直線

彳=小的鏡像拋物線.

(1)如圖，已知拋物線y-2x頂點(diǎn)為A.

①求該拋物線關(guān)于y軸的鏡像拋物線的表達(dá)式；

②已知該拋物線關(guān)于直線x=，篦的鏡像拋物線的頂點(diǎn)為8,如果tanNQR4=L(N0B4是銳角)，求〃z的值.

4

(2)已知拋物線y=：x2+歷:+c僅＞0)的頂點(diǎn)為C,它的一條鏡像拋物線的頂點(diǎn)為。，這兩條拋物線的交點(diǎn)為

￡(2,1).如果.CDE是直角三角形，求該拋物線的表達(dá)式.

25.在直角梯形A3CD中，AD//BC,ZB=9Q°,AD=6,AB=4,BOAD,NADC的平分線交邊5C于

點(diǎn)、E,點(diǎn)尸在線段。石上，射線C尸與梯形A3CD的邊相交于點(diǎn)G.

4

(1)如圖1,如果點(diǎn)G與A重合，當(dāng)tan/BCD=］時(shí)，求3E的長(zhǎng)；

B

圖1

(2)如圖2,如果點(diǎn)G在邊AD上，聯(lián)結(jié)BG,當(dāng)OG=4,且VCGBsVA4G時(shí)，求s%NBCD的值;

(3)當(dāng)尸是OE中點(diǎn)，且AG=1時(shí)，求CD的長(zhǎng).

上海市奉賢區(qū)2023-2024學(xué)年九年級(jí)上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試卷（一模）

一、選擇題（本大題共6題，每題4分，滿分24分）

1.下列函數(shù)中是二次函數(shù)的是（）

A.y—2x+1B.y=C.y—x2+2D.y=+2

2x--

【答案】C

【分析】本題考查了二次函數(shù)的定義，根據(jù)二次函數(shù)的定義逐項(xiàng)分析即可，熟練掌握其定義是解決此題的關(guān)鍵.

【詳解】A.y=2x+l是一次函數(shù)，故不符合題意；

B.y=工是反比例函數(shù)，故不符合題意；

2%

C.丁=必+2是二次函數(shù)，故符合題意；

D.已=，人+2不是二次函數(shù),故不符合題意；

故選：C.

2.將拋物線y=x2向右平移3個(gè)單位長(zhǎng)度得到的拋物線是（）

A.y=x?+3B.y=%2-3C.y=（x—3）~D.y=（x+3j

【答案】C

【分析】根據(jù)拋物線的平移規(guī)律：上加下減，左加右減解答即可.

【詳解】解：拋物線丁=必向右平移3個(gè)單位長(zhǎng)度得到拋物線是y=（x-3）2.

故選：C

【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)圖象的平移，理解平移規(guī)律是解題的關(guān)鍵.

3.在RtZkABC中，ZC=90°,AC=5,NA=a,那么的長(zhǎng)是（）

A.5tanaB.5cot<zC.5sincrD.5cos。

【答案】A

【分析】本題考查了正切的定義，正切等于對(duì)邊比鄰邊，先畫出圖形，再根據(jù)正切三角函數(shù)的定義即可得.

【詳解】由題意，畫出圖形如下：

e4BCBC

則tanA=-----,即nntana=------

AC5

解得BC=5tanof,

故選：A.

4.如圖，在中，點(diǎn)。、E分別在A3、AC的反向延長(zhǎng)線上，已知A5=2AD，下列條件中能判定。E〃3C

AC2AE2

C.-----一D.----——

EC3EC3

【答案】C

【分析】本題考查了相似三角形的判定及性質(zhì)，利用相似三角形的判定及性質(zhì)逐一判斷即可求解，熟練掌握相似三

角形的判定及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

AJJ

【詳解】解：AB=2AD,：.——=2,

AD

AC14R

A、由及——=2不能判定。￡〃3。，故不符合題意；

~AE~2AD

DE1

B、由，——=2不能判定。石〃BC,則錯(cuò)誤，故不符合題意;

~BC~2AD

AC_2

C、，

五一3

AC_2_

,---：2,

"AE

AB

=2,

~AD

:.AADE^AABC,

：.ZADE=ZABC,

:.DE//BC,故符合題意；

Ap2AB

D、由——=—、——=2不能判定￡>￡〃3。，故不符合題意

EC3AD

故選：C

5.已知忖=5,什=3,且〃與。的方向相反，下列各式正確的是（）

A73,3八75,5

A.b——uB.b=—ciC.b=—aD.b=—ci

5533

【答案】B

【分析】本題考查了平面向量的線性運(yùn)算.由6與a的方向相反，且同=5,忖=3,可得6和a的關(guān)系.

【詳解】解：???同=5,忖=3,

,?H=|iai,

：6與a的方向相反，

」3

,.b——a.

5

故選：B.

6.如圖，將,ABC繞點(diǎn)2順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使得點(diǎn)A落在邊AC上，點(diǎn)4、C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為。、E,邊DE交BC于

點(diǎn)尸，連接CE.下列兩個(gè)三角形不一定相似的是（）

A.BAD與dBCEB.YBDF與4ECF

C.DCF與ABEFD.DBF馬4DEB

【答案】D

【分析】本題考查相似三角形的判定、旋轉(zhuǎn)性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和相似三角形的判定逐項(xiàng)判

斷即可.熟練掌握相似三角形的判定是解答的關(guān)鍵.

由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)得鉆=%>,BC=BE,ZABD=ZCBE,ZA=ZBDE，ZACB=NDEB

.ABBD

,?BC~BE'

/XBAD^ZXBCE,故選項(xiàng)A不符合題意；

VZABD=ZCBE,AB=BD,BC=BE,

：.ZA=ZADB=ZBCE=ZBEC,

/.ZBDF=ZBCF,又ZDFB=NCFE,

ABDF^AECF,故選項(xiàng)B不符合題意；

ZDCF=ZFEB,又ZDFC=ZBFE,

；._DCFs二BEF,故選項(xiàng)C不符合題意；

根據(jù)題意，無法證明，尸與，DEB相似，故選項(xiàng)D符合題意，

故選：D.

二、填空題(本大題共12題，每題4分，滿分48分)

--^-y

7.如果x:y=5:3,那么-----=.

y

【答案】|2

【分析】根據(jù)x：y=5:3得到x=|y,把它代入后面的式子求出比值.

【詳解】解：；x：y=5:3,

/.3x=5y,即x=

5

x—y_3yy_2.

yy3

9

故答案是：j.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了比例的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握比例基本的性質(zhì).

8.計(jì)算：3(2a+b)-4a=.

【答案12a+3b

【分析】本題主要考查了平面向量，利用平面向量的定義與運(yùn)算性質(zhì)解答即可，熟練掌握平面向量的運(yùn)算性質(zhì)是解

題的關(guān)鍵.

【詳解】3(2a+b)-4a

=6a+3b-4a

=2〃+3b；

故答案為：2a+3b-

9.已知拋物線y=(a-2)/-x開口向上，那么a的取值范圍是.

【答案】。>2##2<。

【分析】本題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

利用二次函數(shù)丁=奴2+法+。的性質(zhì)：?！?時(shí)，拋物線開口向上，列出不等式解答即可.

【詳解】解：：拋物線y=(a—2)/—x開口向上，

a—2>0,

??a>2.

???。的取值范圍是：a>2.

故答案為：a>2.

10.已知拋物線y=-2/+1在對(duì)稱軸左側(cè)部分是的.（填“上升”或“下降”）

【答案】上升

【分析】本題考查了二次函數(shù)圖象的性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)丁=以2+上的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵.根據(jù)性質(zhì)解答

即可.

【詳解】解：：y=—2/+1,。=—2<0,

拋物線開口向下.

:對(duì)稱軸是直線y軸，

/.在對(duì)稱軸左側(cè)部分是上升的.

故答案為：上升.

11.如果P是線段A3的黃金分割點(diǎn)，AB=2cm,那么較長(zhǎng)線段AP的長(zhǎng)是cm.

【答案】（-1+君）

【分析】本題考查了黃金分割的定義，關(guān)鍵是明確黃金分割所涉及的線段的比.

根據(jù)黃金分割的定義解答.

【詳解】解：設(shè)AP=xcm,

根據(jù)題意列方程得，%2=2（2-%）,

即必+2%—4=0，

解得％=—1+君,々=一1—百（負(fù)值舍去）.

故答案為：（-1+J?）.

12.某人順著坡度為1：百的斜坡滑雪，下滑了120米，那么高度下降了米.

【答案】60

【分析】此題考查了解直角三角形的應(yīng)用一一坡度坡角問題，設(shè)垂直高度，表示出水平距離，利用勾股定理求解

即可，解題的關(guān)鍵是掌握坡度坡角的定義.

【詳解】???坡度為1:6，

；?設(shè)高度下降了%（光>0）米，則水平前進(jìn)了瓜米，

由勾股定理得：x2+（氐『=1202,

解得：％=60,

故答案為：60.

13.如圖，已知AO〃郎〃CN,它們依次交直線人于點(diǎn)A、B、C,交直線4于點(diǎn)E、F,已知

AB:AC=3:5,DF=10,那么所的長(zhǎng)為

【答案】4

【分析】本題考查的是平行線分線段成比例定理，根據(jù)平行線分線段成比例定理列出比例式，代入已知數(shù)據(jù)計(jì)算

即可，靈活運(yùn)用定理、找準(zhǔn)對(duì)應(yīng)關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

【詳解】ADBECF,AB：AC=3：5,

.ABDE3

"AC-DF_5’

"：DF=10,

.DE_3

,,記”，

DE=6,

...所=10—6=4.

故答案為：4.

14.如圖，已知AABC的周長(zhǎng)為15,點(diǎn)E、E是邊BC的三等分點(diǎn)，DE//AB，DF//AC,那么△。跖的周長(zhǎng)

是?

【答案】5

【分析】本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，利用平行線的性質(zhì)和相似三角形的判定與性質(zhì)

解答即可，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：???點(diǎn)￡、/是邊的三等分點(diǎn)，

：.EF=-BC,

3

'JDE//AB,DF//AC,

：.ZDEF=ZB,ZDFE=NC,

：.DEFjABC,

FF1

。斯的周長(zhǎng)：ABC的周長(zhǎng)=F=Z，

BC3

.?.二￡)砂的周長(zhǎng)=』乂15=5.

3

故答案為：5.

15.如圖，已知A5C在邊長(zhǎng)為1個(gè)單位的方格紙中，三角形的頂點(diǎn)在小正方形頂點(diǎn)位置，那么NABC的正切值為

【答案】g##0.5

【分析】本題考查勾股定理及三角形函數(shù)的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，構(gòu)建合適的直角三角形即可解決問題，構(gòu)造出合適的直

角三角形是解題的關(guān)鍵.

【詳解】連接CD,如圖所示，

易得△3CD是直角三角形,

由勾股定理得，

CD=Vl2+12=V2,BD=722+22=2y/2-

在RtBCD中,

.CD411

BD2722

故答案：；.

16.在_ABC中，ZA=45°,cosZB=—（/B是銳角），BC=石，那么AB的長(zhǎng)為.

5

【答案】3

【分析】本題主要考查了解直角三角形，勾股定理，過點(diǎn)C作CDLA5于Z),先解RtZYDBC得到50=1,即

可利用勾股定理求出8=2,再解RtADC求出AD=2,則A5=AO+5r>=3.

【詳解】解：如圖所示，過點(diǎn)C作CDLAB于。，

在RtZkDBC中，cosB=—=—,BC=4i，

BC5

???BD=1,

?*-CD=ylBC2-BD2=2>

CD

在RtADC中，tanA=-----=1,

AD

：.AD=2,

AB=AD+BD=3,

故答案為：3.

17.如圖是某幢房屋及其屋外遮陽篷，已知遮陽篷的固定點(diǎn)A距離地面4米（即A5=4米），遮陽篷的寬度AC為

2.6米，遮陽篷與房屋墻壁的夾角a的余弦值為上，當(dāng)太陽光與地面的夾角為60。時(shí)，遮陽篷在地面上的陰影寬度

13

BD為米.

【答案】（2.4—月）

【分析】本題考查解直角三角形的應(yīng)用，先作于點(diǎn)/，作交3。的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,然后根據(jù)

銳角三角函數(shù)和勾股定理，可以求得即和。石的值，從而可以求得3。的值.

【詳解】解：作CELAB于點(diǎn)R，作CELB。，交3。的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,如圖，

由已知可得，47=2.6米，cosa=—,ZAFC=90°,AB=4米,

13

AF=AC-cosa-2.6x—=1

13

.。=〃02—”2=12.62—F=2.4（米），5F=AB—AF=4—1=3（米）,

.?.?！?呼=3米，。5=5石=2.4米,

ZCDE=6Q°,ZCED=90°,

:.BD=BE-DE=（2.4-g）（米）

故答案為：（2.4-百）.

18.如圖，在梯形A3CD中，AD//BC,5C=3A。，點(diǎn)E是A5中點(diǎn)，如果點(diǎn)尸在。C上，線段所把梯形

DF

分成面積相等的兩個(gè)部分，那么一=.

3

【答案】—##0.75

4

【分析】本題考查梯形，相似三角形的判定和性質(zhì)，三角形的面積，關(guān)鍵是由三角形的面積公式得到

FM=3FN,證明VEDA/svrav,即可求解.

連接4尸,8尸，過F作MN上BC交BC于N,交A。延長(zhǎng)線于M,由A￡>〃3C,得到aWIAD,由點(diǎn)E是

A5中點(diǎn)，得到，E4E的面積=V￡BE的面積，由線段所把梯形分成面積相等的兩個(gè)部分，得到△相>/的面積

FDMF

=△33的面積，由三角形面積公式得到Ml/=3FN,由NFDMKFCN,得至【J—=—=3,即可求出

FCNF

DF_3

DC-4'

【詳解】解：連接4尸,6尸，過F作MN上BC交BC于N,交A。延長(zhǎng)線于加,

AD//BC,

：.MN±AD,

:點(diǎn)E是AB中點(diǎn)，

.E4E的面積=V￡BE的面積,

:線段石尸把梯形分成面積相等的兩個(gè)部分，

，△ADF的面積=ABCF的面積，

：.-ADFM=-BCFN,

22

,?BC=3AD,

：.FM=3FN,

?：DM//CN,

：.NFDM^NFCN,

?.?FD=MF=3.,

FCNF

■DF3

"DC-4)

3

故答案為：一.

4

三、解答題(本大題共7題，滿分78分)

tan45°

19.計(jì)算:-|cot300-l|

2sin60°-2cos60°

【答案］三8

【分析】本題考查了實(shí)數(shù)的運(yùn)算，原式利用特殊角的三角函數(shù)值計(jì)算即可求出值，熟練掌握運(yùn)算法則和特殊角的三

角函數(shù)值是解本題的關(guān)鍵.

tan45°

【詳解】-|cot300-l|

2sin60°-2cos60°

|73-1|

二七一51)

=何一員1

2

3-73

2

20.已知拋物線y=爐+法+。經(jīng)過點(diǎn)A(3,0),3(0,—3).

(1)求拋物線表達(dá)式并寫出頂點(diǎn)坐標(biāo)；

(2)聯(lián)結(jié)A5,與該拋物線的對(duì)稱軸交于點(diǎn)尸，求點(diǎn)P的坐標(biāo).

【答案】(1)拋物線表達(dá)式為＞=爐-2x-3；頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1,T)；

(2)P(l,-2)

【分析】本題主要考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，一次函數(shù)的圖象與性質(zhì).

(1)利用待定系數(shù)法和配方法解答即可；

(2)利用待定系數(shù)法求得直線A3的解析式，令x=l,求得丁值，則結(jié)論可得.

【小問1詳解】

解：拋物線丁=必+法+。經(jīng)過點(diǎn)4(3,0),8(0,—3),

9+3b+c=0

[c=-3

b=-2

[c=-3

拋物線表達(dá)式為y=x2-2x-3；

■J=X2-2X-3=(X-1)2-4,

，拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1,-4)；

【小問2詳解】

解：設(shè)直線A3的解析式為丁="+〃，

3左+〃=0

n--3'

k=l

n=-3

???直線AB的解析式為y=%-3.

AB與該拋物線的對(duì)稱軸交于點(diǎn)尸，拋物線的對(duì)稱軸為直線x=l,

.??當(dāng)％=1時(shí)，y=1-3=-2.

.?.P(L-2).

21.如圖，在一ABC中，G是二ABC的重心，聯(lián)結(jié)AG并延長(zhǎng)交5c于點(diǎn)Q.

(1)如果A5=〃，AC-b那么AD二(用向量〃、表不)；

(2)已知AD=6,AC=8,點(diǎn)E在邊AC上，且NAGE=NC,求的長(zhǎng).

【答案】(1)—ClH—b

22

(2)3；

【分析】本題主要考查了平面向量，三角形的重心，相似三角形的判定與性質(zhì)，

(1)利用平面向量的定義解答即可；

(2)利用三角形的重心的定義和相似三角形的判定與性質(zhì)解答即可.

【小問1詳解】

解：AB=a，AC=b，

BC=BA+AC=-a+b

G是&ABC的重心，聯(lián)結(jié)AG并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)

:.AD為,ABC的邊上的中線，

即點(diǎn)。為的中點(diǎn)，

BD=-BC=--a+-b

222

??AD=AB+BD=a—aT—b=—ci—b,

2222

故答案為：一an—b.

22

【小問2詳解】

G是/ABC的重心，

22

：.AG=-AD=-x6=4.

33

AAGE=AC,ZGAE=ZCAD,

GAE^CAD,

AE_AD

,AG-AC

,AE_6

"~~8

AE=3

22.如圖1,某小組通過實(shí)驗(yàn)探究凸透鏡成像的規(guī)律，他們依次在光具座上垂直放置發(fā)光物箭頭、凸透鏡和光屏，并

調(diào)整到合適的高度.如圖2,主光軸/垂直于凸透鏡MN,且經(jīng)過凸透鏡光心O,將長(zhǎng)度為8厘米的發(fā)光物箭頭A3

進(jìn)行移動(dòng)，使物距0C為32厘米，光線A。、60傳播方向不變，移動(dòng)光屏，直到光屏上呈現(xiàn)一個(gè)清晰的像A8,

此時(shí)測(cè)得像距0D為12.8厘米.

(1)求像A5'的長(zhǎng)度.

(2)已知光線AP平行于主光軸/,經(jīng)過凸透鏡折射后通過焦點(diǎn)R求凸透鏡焦距。尸的長(zhǎng).

【答案】(1)3.2厘米

64

(2)一厘米.

7

【分析】本題主要考查了相似三角形的應(yīng)用，平行四邊形的判定與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，

(1)利用相似三角形的判定與性質(zhì)，通過證明△OABs/XOAB與△Q4CS-Q47)解答即可；

(2)過點(diǎn)A作A'EIOD交MN于點(diǎn)、E,利用平行四邊形的判定與性質(zhì)和相似三角形的判定與性質(zhì)解答即可;

熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

【小問1詳解】

由題意得：ABMNA'B',OC=32cm,OD=12.8cm,AB=8cm,

AB//AB

：.△OWOA'B',

.AB_OA

?,~~7~7=..，，

ABOA

AB//AB

AQ4c%OAD,

.OAOC

"OA!~OD'

.ABOC

"A'B'~OD'

?832

"A7B7-1Z8，

/.AB'=32.

.,.像4E的長(zhǎng)度3.2厘米.

【小問2詳解】

過點(diǎn)A'作4EOD交MN于點(diǎn)、E,如圖,

A!EOD,MN\A!B',

四邊形為平行四邊形，

AE=OD=12.8cm,OE=AD.

同理：四邊形ACO尸為平行四邊形,

AP=OC=32cm，

?：APCD,AEOD,

：.APAE,

：.APO^^AEO,

.PO_AP_325

"OE~A1E~12.S~2'

?PO_5

"A'D~2'

■：MN|A'B',

：.LPOFs-NDF,

,POOF5

,?而一而一5'

564

：.OF=—OD=——（厘米）.

77

64

凸透鏡焦距O尸的長(zhǎng)為一厘米.

7

23.如圖，在ABC中，AB=AC,點(diǎn)。在邊上，已知=邊。/交AC于點(diǎn)E.

'E

BDC

（1）求證：AFCE=CDFE；

（2）連接AD,如果竺=空，求證：AD~=AEAC.

AFDF

【答案】（1）見詳解（2）見詳解

【分析】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解

題的關(guān)鍵.

（1）利用等腰三角形的性質(zhì)和相似三角形的判定與性質(zhì)解答即可；

（2）利用相似三角形的判定與性質(zhì)解答即可.

【小問1詳解】

證明：???AB=AC,

：.ZABC=ZACB,

?/ZAFD=ZB,

：.ZAFD^ZACB.

???ZAEF=ZDEC,

：.AAEFs^DEC,

,AF_FE

:.AFCE=CDFE;

【小問2詳解】

八ABCs^AFD,

ZACB=ZADF,

ZDAC=ZEAD,

：.ADCsAED,

.ADAC

,瓦―75'

:.Alf=AEAC.

24.在平面直角坐標(biāo)系中，如果兩條拋物線關(guān)于直線x=〃z對(duì)稱，那么我們把一條拋物線稱為另一條拋物線關(guān)于直線

x=m的鏡像拋物線.

（1）如圖，已知拋物線y=f-2x頂點(diǎn)為A.

①求該拋物線關(guān)于y軸的鏡像拋物線的表達(dá)式；

②已知該拋物線關(guān)于直線x=，"的鏡像拋物線的頂點(diǎn)為8,如果tanNO84=L（N08A是銳角），求的值.

4

（2）已知拋物線丁=；/+法+。伍＞0）的頂點(diǎn)為。，它的一條鏡像拋物線的頂點(diǎn)為這兩條拋物線的交點(diǎn)為

E（2,l）.如果_CDE是直角三角形，求該拋物線的表達(dá)式.

35

【答案】（1）①y=x?+2x；②—二或士

-22

1,

（2）y=z（x+2）2—3

【分析】（1）①由y=d—2x=（x—1『一1,可得4（1,—1）,則該拋物線關(guān)于y軸的鏡像拋物線的頂點(diǎn)為

A（-L-l）,然后求鏡像拋物線的表達(dá)式即可；②當(dāng)x="在點(diǎn)A左側(cè)時(shí)，該拋物線關(guān)于直線x=，〃的鏡像拋物線

的頂點(diǎn)為5（2加一1,一1）,如圖1—1,連接A5交y軸于點(diǎn)E，則OE=1,由tanN。8A=；,可得

BE=-2m+l=4,計(jì)算求解即可；如圖1-2,當(dāng)方=機(jī)在點(diǎn)A右側(cè)時(shí)，同理可得，2加一1=4,計(jì)算求解即可；

（2）如圖2,由題意知，若.CDE是直角三角形，則CDE是等腰直角三角形，則EH=CH=DH,設(shè)

EH=CH=DH=t,由￡（2,1）,可得。（2—31V）,即拋物線的表達(dá)式為y=；（x—2+f『+l—/,將

￡（2,1）代入得，1=；（2—2+/y+l—求出滿足要求的，，進(jìn)而可得拋物線的表達(dá)式.

【小問1詳解】

@W：y=x2-2x=（x-l）^-1,

A（L-l）,

該拋物線關(guān)于y軸的鏡像拋物線的頂點(diǎn)為A（-L-1）,

該拋物線關(guān)于y軸的鏡像拋物線的表達(dá)式為y=（%+Ip—1,即y=￡+2x；

②當(dāng)x=〃z在點(diǎn)A左側(cè)時(shí)，

該拋物線關(guān)于直線X=機(jī)的鏡像拋物線的頂點(diǎn)為B,

_6（2冽-1,-1）,

如圖1—1,連接AB交y軸于點(diǎn)E,則OE=1,

4

BE=—2m+1=4,

3

解得，m=一一；

2

如圖1-2,當(dāng)彳=加在點(diǎn)A右側(cè)時(shí),

圖1-2

同理可得，2〃z—1=4,

解得，m=-|；

2

綜上所述，機(jī)的值為-巳3或一5；

22

【小問2詳解】

解:如圖2,

由題意知，若qCDE是直角三角形，貝/CDE是等腰直角三角形，則EH=CH=DH,

設(shè)EH=CH=DH=t,

???E（2,l）,

C（2-。,

19

拋物線的表達(dá)式為y=7（x—2+。+17,

將E（2,l）代入y=：（x—2+ry+l—/得，l=i（2-2+Z）2+l-Z,

解得，/=4或/=0(舍去),

19

，拋物線的表達(dá)式為y=-(x+2)--3.

【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)解析式，軸對(duì)稱的性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，正切等知識(shí)，熟練掌握二次函數(shù)

解析式，軸對(duì)稱的性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，正切是解題的關(guān)鍵.

25.在直角梯形A3CD中，AD//BC,ZB=9Q°,AD=6,AB=4,BOAD,NADC的平分線交邊BC于

點(diǎn)E,點(diǎn)廠在線段。石上，射線Cb與梯形A3CD的邊相交于點(diǎn)G.

4

(1)如圖1,如果點(diǎn)G與A重合，當(dāng)tan/BCD=一時(shí)，求BE長(zhǎng);

3

圖I

,當(dāng)OG=4,且VCGBsVR4G時(shí)，求的值;

(3)當(dāng)尸是。石中點(diǎn)，且AG=1時(shí)，求CD的長(zhǎng).

【答案】(1)4(