人教版八年級數(shù)學(xué)下冊基礎(chǔ)知識專項講練 專題17.6 勾股定理的逆定理（知識講解）

專題17.6勾股定理的逆定理（知識講解）【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.掌握勾股定理的逆定理及其應(yīng)用．理解原命題與其逆命題，原定理與其逆定理的概念及它們之間的關(guān)系．2.能利用勾股定理的逆定理，由三邊之長判斷一個三角形是否是直角三角形.3.能夠理解勾股定理及逆定理的區(qū)別與聯(lián)系，掌握它們的應(yīng)用范圍.【要點梳理】要點一、勾股定理的逆定理如果三角形的三條邊長，滿足，那么這個三角形是直角三角形.特別說明：（1）勾股定理的逆定理的作用是判定某一個三角形是否是直角三角形.（2）勾股定理的逆定理是把“數(shù)”轉(zhuǎn)為“形”，是通過計算來判定一個三角形是否為直角三角形.要點二、如何判定一個三角形是否是直角三角形首先確定最大邊（如）.驗證與是否具有相等關(guān)系.若，則△ABC是∠C＝90°的直角三角形；若，則△ABC不是直角三角形.特別說明：當(dāng)時，此三角形為鈍角三角形；當(dāng)時，此三角形為銳角三角形，其中為三角形的最大邊.要點三、互逆命題如果兩個命題的題設(shè)與結(jié)論正好相反，則稱它們?yōu)榛ツ婷}.如果把其中一個叫原命題，則另一個叫做它的逆命題.特別說明：原命題正確，逆命題未必正確；原命題不正確，其逆命題也不一定錯誤；正確的命題我們稱為真命題，錯誤的命題我們稱它為假命題.類型一、勾股定理的逆定理??直角三角形的判定??網(wǎng)格上的直角三角形 1．如圖所示，已知中，于，，，．(1)求的長；(2)判斷的形狀，并說明理由．【答案】(1)1.2 (2)直角三角形，理由見分析【分析】（1）根據(jù)垂直定義可得，然后在中，利用勾股定理進(jìn)行計算即可解答；（2）先在中，利用勾股定理可求出的長，從而求出的長，然后利用勾股定理的逆定理證明是直角三角形，即可解答．（1）解：，，，，，的長為1.2；（2）是直角三角形，理由：在中，，，，，，，，是直角三角形．【點撥】本題考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，熟練掌握勾股定理，以及勾股定理的逆定理是解題的關(guān)鍵．舉一反三：【變式1】如圖，在中，邊上的垂直平分線為與分別交于點D、E，且．(1)求證：；(2)若，，求的長．【答案】(1)見分析 (2)的長為【分析】（1）連接，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)和勾股定理的逆定理即可求解；（2）設(shè)，則，在中，根據(jù)，列出方程計算即可求解．解：（1）證明：連接，∵邊上的垂直平分線為，∴，∵，∴，∴，∴；（2）解：設(shè)，則，在中，，∴，解得：，∴的長為．【點撥】本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，勾股定理的逆定理，勾股定理，注意方程思想的運用．【變式2】如圖，四邊形中，為對角線，于點，已知，．(1)請判斷的形狀并說明理由．(2)求線段的長．【答案】(1)是直角三角形，理由見分析 (2)【分析】（1）先根據(jù)勾股定理求出，再根據(jù)勾股定理的逆定理即可判定的形狀；（2）根據(jù)的面積不變即可求出線段的長．（1）解：是直角三角形，理由如下：在直角中，，，，，是直角三角形；（2）解：由（1）知，是直角三角形，且．【點撥】本題考查了勾股定理及其逆定理，熟練掌握勾股定理是解題關(guān)鍵．2．如圖，在邊長為1的小正方形組成的網(wǎng)格中，的三個頂點均在格點上，按要求完成下列各題．(1)試判斷的形狀并說明理由；(2)畫出邊上的高，求的長；(3)以為邊向右側(cè)做，使是等腰三角形，則的長為________．【答案】(1)是直角三角形，理由見分析 (2)畫圖見分析，2 (3)畫圖見分析，【分析】（1）利用勾股定理和勾股定理的逆定理求解即可；（2）取格點E，連接交于D，點D即為所求，利用三角形面積法求出即可；（3）如圖所示，取格點D即為所求，利用三線合一定理求出即可．（1）解：是直角三角形，理由如下：由題意得，∴，∴，∴是直角三角形；（2）解：如圖所示，點D即為所求；取格點E，連接交于D，可證得到，進(jìn)一步證明，則即為中邊上的高；∵，∴（3）解：如圖所示，即為所求；∵，∴，故答案為：．【點撥】本題主要考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，等腰三角形的性質(zhì)與判定，全等三角形的性質(zhì)與判定，三角形面積，熟知勾股定理和勾股定理的逆定理是解題的關(guān)鍵．舉一反三：【變式1】如圖，的三個頂點的坐標(biāo)分別為．(1)判斷的形狀，請說明理由．(2)求的周長和面積．(3)在x軸上有一點P，使得最小，則的最小值為________．【答案】(1)是直角三角形，理由見分析 (2)周長為，面積為5(3)【分析】（1）根據(jù)勾股定理，分別求出，再由勾股定理的逆定理，即可求解；（2）分別求出，，再由三角形的周長公式和面積公式計算，即可求解；（3）作C關(guān)于x軸的對稱點，連接交x軸于P，可得最小值即為線段的長度，再由勾股定理求出，即可求解．（1）解：∵，∴，∴是直角三角形；（2）解：∵，∴，，∴的周長為，的面積為；（3）解：作C關(guān)于x軸的對稱點，連接交x軸于P，如圖：∵C關(guān)于x軸的對稱點，∴，∴，又兩點之間線段最短，∴最小值即為線段的長度，而，∴最小值是，故答案為：．【點撥】本題主要考查了勾股定理及其逆定理，坐標(biāo)與圖形變換，熟練掌握勾股定理及其逆定理是解題的關(guān)鍵．【變式2】如圖，方格紙中每個小正方形的邊長都為1，點均在格點上．(1)求四邊形的面積，(2)是直角嗎？為什么？【答案】(1) (2)是直角，理由見分析【分析】（1）根據(jù)網(wǎng)格中圖形，用大正方形面積減去四個頂點處的直角三角形面積和一個正方形面積即可得到答案；（2）由圖，連接，分別在網(wǎng)格中利用勾股定理計算出三條線段長，利用勾股定理的逆定理驗證即可得到答案．（1）解：由網(wǎng)格圖可知，四邊形的面積為；（2）解：是直角，理由如下：連接，如圖所示：∴，，，，∴是直角三角形，是直角．【點撥】本題考查網(wǎng)格中求四邊形面積及勾股定理的逆定理判定直角三角形，掌握網(wǎng)格中求圖形面積的方法及網(wǎng)格中利用勾股定理求線段長的方法是解決問題的關(guān)鍵．類型二、勾股定理的逆定理??已知兩點求第三個點坐標(biāo)構(gòu)成直角三角形??網(wǎng)格上的直角三角形 3．已知A(，)，B(4，)，C(1，2)，判定ABC的形狀．【答案】ABC是等腰直角三角形，見分析【分析】利用兩點間距離公式，分別計算AB、AC、BC的長，再根據(jù)勾股定理逆定理判斷三條邊的關(guān)系即可解題．解：利用兩點的距離公式，可得AB=，AC=，BC=，所以AC=BC，AB2=AC2+BC2所以△ABC是直角三角形，綜上所述，△ABC是等腰直角三角形．【點撥】本題考查兩點間距離公式、勾股定理及逆定理、等腰直角三角形的判定，是常見考點，難度較易，掌握相關(guān)知識是解題關(guān)鍵．舉一反三：【變式1】點在軸上，、，如果是直角三角形，求點的坐標(biāo)．【答案】點的坐標(biāo)為或【分析】本題考查的是兩點距離與勾股定理，根據(jù)A、B坐標(biāo)構(gòu)造直角三角形，運用勾股定理與兩點間距離公式，分類討論即可求出點P坐標(biāo)解：設(shè)點的坐標(biāo)為，分兩種情況：①當(dāng)點為直角頂點時，點在軸正半軸，作軸于，軸于，軸于，如圖所示：由勾股定理，得，即，解得，∴點的坐標(biāo)為．②當(dāng)點為直角頂點時，點在軸負(fù)半軸，作軸于，軸于，如圖所示：由勾股定理，得，即，解得，∴點的坐標(biāo)為．綜上所述，如果是直角三角形，那么點的坐標(biāo)為或．【點撥】本題的關(guān)鍵是分類討論點P的情況，并靈活運用勾股定理和兩點間距離公式【變式2】如圖，方格紙中的每個小正方形的邊長均為1，點，在小正方形的頂點上，在圖中畫（點在小正方形的頂點上），使為直角三角形，并說明理由.（要求畫出兩個，且兩個三角形不全等）【答案】為直角三角形，理由詳見分析.【分析】根據(jù)勾股定理逆定理和勾股定理進(jìn)行判斷即可.解：如圖所示.圖1

圖2如圖1，在中，，，因為，所以，即為直角三角形.如圖2，在中，.在中，.在中，.所以，所以，即為直角三角形.【點撥】考核知識點：根據(jù)勾股定理逆定理畫直角三角形.掌握勾股定理逆定理并會運用是關(guān)鍵.類型三、勾股定理的逆定理??求解??證明 4．如圖，在中，的垂直平分線分別交于點，且．(1)求的度數(shù)；(2)若，求的長．【答案】(1) (2)【分析】（1）連接，如圖所示，由中垂線的性質(zhì)，得到，結(jié)合，得到，利用勾股定理的逆定理即可得到是直角三角形，且；（2）在中，利用勾股定理得到，再利用中垂線性質(zhì)即可得到．（1）解：（1）連接，如圖所示：∵的垂直平分線分別交于點，∴，∵，∴，∴，∴是直角三角形，且；（2）解：∵，∴在中，，∵垂直平分線，∴．【點撥】本題考查中垂線的性質(zhì)求角度及線段長，涉及中垂線性質(zhì)、勾股定理的逆定理、勾股定理等知識，熟練掌握勾股定理及其逆定理、中垂線的性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．舉一反三：【變式1】如圖，四邊形中，已知，，，，且．求四邊形的面積．【答案】四邊形的面積為．【分析】先在中，利用勾股定理求出，然后再利用勾股定理的逆定理證明是直角三角形，從而可得，最后根據(jù)四邊形的面積的面積的面積，進(jìn)行計算即可解答．解：∵，，，∴，∵，，∴，，∴，∴是直角三角形，且，∴四邊形的面積的面積的面積，∴四邊形的面積為．【點撥】本題考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，熟練掌握勾股定理的逆定理，以及勾股定理是解題的關(guān)鍵．【變式2】（1）如圖1，在中，，，，，求的面積；（2）如圖2，在中，，，，求的面積．【答案】（1）；（2）【分析】（1）根據(jù)已知邊的長度，得出，再根據(jù)勾股定理得出的長，最后根據(jù)三角形面積公式即可求解；（2）過作，交的延長線于點，通過設(shè)，則，求出的長，再根據(jù)勾股定理求出的長，最后用三角形的面積公式計算即可求解．（1）解：，，，是直角三角形，且，，，，，．（2）解：過作，交的延長線于點，如圖2，，，設(shè)，則，由勾股定理得，，即，則，解得：，，．【點撥】本題考查了勾股定理的逆定理和勾股定理的運用，根據(jù)勾股定理得出是解題的關(guān)鍵．5．如圖，在中，，點為上一點，連接．(1)試判斷的形狀，并說明理由；(2)求的周長．【答案】(1)是直角三角形，見分析 (2)的周長為【分析】（1）根據(jù)勾股定理的逆定理判定是直角三角形，從而得到，進(jìn)而有，即可判斷是直角三角形；（2）設(shè)，則，由已知得到，結(jié)合勾股定理得到方程，解方程得到，即，根據(jù)，從而得到的周長為．（1）解：是直角三角形，理由如下：在中，，∵，∴，∴是直角三角形，∴，∴，∴是直角三角形；（2）設(shè)，則，∵，在中，，即，解得，∴，∴的周長為，即的周長為．【點撥】本題考查勾股定理的逆定理及勾股定理，熟練掌握勾股定理的逆定理及勾股定理是解決問題的關(guān)鍵．舉一反三：【變式1】如圖，已知等腰的底邊，是腰上一點，連接，且，．(1)求證：是直角三角形；(2)求的長．【答案】(1)見分析 (2)【分析】（1）根據(jù)勾股定理的逆定理證明即可；（2）設(shè)，根據(jù)勾股定理得到，即，求解即可．解：（1）證明：∵，，，∴，，即，∴為直角三角形．（2）解：設(shè)，∵是等腰三角形，∴．∵為直角三角形，∴也為直角三角形，∴，即，解得：，∴．【點撥】此題考查了勾股定理及逆定理，正確掌握定理并熟練應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．【變式2】如圖，在中，是上一點，若，，，．(1)求證：；(2)求的面積【答案】(1)見分析 (2)60【分析】（1）先根據(jù)，，，利用勾股定理的逆定理求證是直角三角形，即可求得答案；（2）先由勾股定理求出的長，再根據(jù)三角形的面積公式即可求解．解：（1）證明：，，，，，，是直角三角形，；（2）解：，，，，，的面積為，的面積為60．【點撥】本題主要考查了勾股定理和勾股定理逆定理的運用，解答此題的關(guān)鍵是利用勾股定理的逆定理求證是直角三角形．類型四、勾股定理的逆定理??應(yīng)用??拓展 6．在一條東西走向河的一側(cè)有一村莊，河邊原有兩個取水點，，其中，由于某種原因，由到的路現(xiàn)在已經(jīng)不通，某村為方便村民取水決定在河邊新建一個取水點（、、在一條直線上），并新修一條路，測得千米，千米，千米．(1)問是否為從村莊到河邊的最近路？（即問：與是否垂直？）請通過計算加以說明；(2)求原來的路線的長．【答案】(1)是，理由見分析 (2)原來的路線的長為千米【分析】（1）根據(jù)勾股定理的逆定理解答即可；（2）根據(jù)勾股定理解答即可．（1）解：是，理由是：在中，，，，，是從村莊到河邊的最近路；（2）解：設(shè)，在中，由已知得，，，由勾股定理得：，，解這個方程，得，答：原來的路線的長為千米．【點撥】本題考查勾股定理及勾股定理的逆定理的應(yīng)用，關(guān)鍵是熟練掌握勾股定理及勾股定理的逆定理．舉一反三：【變式1】如圖，一塊四邊形花圃中，已知，，，，.(1)求四邊形花圃的面積；(2)求到的距離．【答案】(1) (2)【分析】（1）連接，勾股定理求出，利用勾股定理逆定理證明是直角三角形，且，再根據(jù)面積公式四邊形花圃的面積計算即可；（2）過點C作于E，利用面積法求出即可．（1）解：連接，∵，，，∴m，∵，，∴，∴是直角三角形，且，∴四邊形花圃的面積∴四邊形花圃的面積是；（2）過點C作于E，∵，∴，∴，∴到的距離是．【點撥】此題考查了勾股定理及勾股定理的逆定理，三角形的面積公式，正確掌握勾股定理及其逆定理是解題的關(guān)鍵．【變式2】如圖，學(xué)校操場邊有一塊四邊形空地，其中，，，，，創(chuàng)建綠色校園，學(xué)校計劃將這塊四邊形空地進(jìn)行綠化整理．(1)求需要綠化的空地的面積；(2)為方便師生出入，設(shè)計了過點A的小路，且于點E，試求小路的長．【答案】(1)114m2； (2)的長為m【分析】（1）由勾股定理求出，再由勾股定理的逆定理證出是直角三角形，，然后由三角形面積公式求解即可；（2）由三角形的面積公式求解即可．（1）解：，，，，，，是直角三角形，，需要綠化的空地的面積；（2）解：，，，，解得：，即小路的長為．【點撥】本題考查了勾股定理的應(yīng)用、勾股定理的逆定理以及三角形的面積等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握勾股定理，由勾股定理的逆定理證出．7．閱讀下列內(nèi)容：設(shè)a，b，c是一個三角形的三條邊的長，且a是最長邊，我們可以利用a，b，c三條邊長度之間的關(guān)系來判斷這個三角形的形狀：①若，則該三角形是直角三角形；②若，則該三角形是鈍角三角形；③若，則該三角形是銳角三角形．例如：若一個三角形的三邊長分別是4，5，6，則最長邊是6，，故由③可知該三角形是銳角三角形，請解答以下問題：（1）若一個三角形的三邊長分別是7，8，9，則該三角形是________三角形．（2）若一個三角形的三邊長分別是5，12，x．且這個三角形是直角三角形，求的值．（3）當(dāng)，時，判斷的形狀，并求出對應(yīng)的的取值范圍．【答案】（1）銳角；（2）169或119；（3）見分析【分析】（1）直接利用定義結(jié)合三角形三邊得出答案；（2）直接利用勾股定理得出x2的值；（3）分△ABC為銳角三角形、直角三角形和鈍角三角形結(jié)合三邊關(guān)系得出答案．解：（1）∵72+82=49+64=113＞92，∴三角形是銳角三角形，故答案為：銳角；（2）∵這個三角形是直角三角形，當(dāng)x為斜邊，∴52+122=x2，∴x2=169，當(dāng)12是斜邊，則52+x2=122，解得：x2=119，故x2的值為169或119；（3）∵a=2，b=4，∴，∴，若△ABC是銳角三角形，則或，則或，∴或；若△ABC是直角三角形，則或，則或；若△ABC是鈍角三角形，則或，則或，∴．【點撥】此題主要考查了勾股定理及其逆定理以及三角形的三邊關(guān)系，正確進(jìn)行相關(guān)計算是解題關(guān)鍵．舉一反三：【變式1】如圖所示，等腰三角形ABC的底邊為8cm，腰長為5cm．（1）求BC邊上的高線AD．（2）一動點P在底邊上從B向C以0.25cm/s的速度移動，請你探究：當(dāng)P運動幾秒時，P點與頂點A的連線PA與腰垂直？【答案】（1）AD＝3；（2）當(dāng)P運動7s或25s秒時，P點與頂點A的連線PA與腰垂直．【分析】（1）根據(jù)等腰三角形三線合一性質(zhì)可得到BD的長，由勾股定理可求得AD的長；（2）分兩種情況進(jìn)行分析：①PA⊥AC②PA⊥AB，利用勾股定理可得到運動的時間．解：（1）作AD⊥BC∵AB＝AC＝5，BC＝8，∴BD＝BC＝4，∴AD＝＝3；（2）分兩種情況：當(dāng)點P運動t秒后有PA⊥AC時，∵AP2＝PD2+AD2＝PC2﹣AC2，∴PD2+AD2＝PC2﹣AC2，∴PD2+32＝（PD+42）﹣52，∴PD＝2.25，∴BP＝4﹣2.25＝1.75＝0.25t，∴t＝7，當(dāng)點P運動t秒后有PA⊥AB時，同理可證得PD＝2