人教版八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊基礎(chǔ)知識(shí)專項(xiàng)講練 專題17.6 勾股定理的逆定理（知識(shí)講解）

專題17.6勾股定理的逆定理（知識(shí)講解）【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.掌握勾股定理的逆定理及其應(yīng)用．理解原命題與其逆命題，原定理與其逆定理的概念及它們之間的關(guān)系．2.能利用勾股定理的逆定理，由三邊之長判斷一個(gè)三角形是否是直角三角形.3.能夠理解勾股定理及逆定理的區(qū)別與聯(lián)系，掌握它們的應(yīng)用范圍.【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、勾股定理的逆定理如果三角形的三條邊長，滿足，那么這個(gè)三角形是直角三角形.特別說明：（1）勾股定理的逆定理的作用是判定某一個(gè)三角形是否是直角三角形.（2）勾股定理的逆定理是把“數(shù)”轉(zhuǎn)為“形”，是通過計(jì)算來判定一個(gè)三角形是否為直角三角形.要點(diǎn)二、如何判定一個(gè)三角形是否是直角三角形首先確定最大邊（如）.驗(yàn)證與是否具有相等關(guān)系.若，則△ABC是∠C＝90°的直角三角形；若，則△ABC不是直角三角形.特別說明：當(dāng)時(shí)，此三角形為鈍角三角形；當(dāng)時(shí)，此三角形為銳角三角形，其中為三角形的最大邊.要點(diǎn)三、互逆命題如果兩個(gè)命題的題設(shè)與結(jié)論正好相反，則稱它們?yōu)榛ツ婷}.如果把其中一個(gè)叫原命題，則另一個(gè)叫做它的逆命題.特別說明：原命題正確，逆命題未必正確；原命題不正確，其逆命題也不一定錯(cuò)誤；正確的命題我們稱為真命題，錯(cuò)誤的命題我們稱它為假命題.類型一、勾股定理的逆定理??直角三角形的判定??網(wǎng)格上的直角三角形 1．如圖所示，已知中，于，，，．(1)求的長；(2)判斷的形狀，并說明理由．【答案】(1)1.2 (2)直角三角形，理由見分析【分析】（1）根據(jù)垂直定義可得，然后在中，利用勾股定理進(jìn)行計(jì)算即可解答；（2）先在中，利用勾股定理可求出的長，從而求出的長，然后利用勾股定理的逆定理證明是直角三角形，即可解答．（1）解：，，，，，的長為1.2；（2）是直角三角形，理由：在中，，，，，，，，是直角三角形．【點(diǎn)撥】本題考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，熟練掌握勾股定理，以及勾股定理的逆定理是解題的關(guān)鍵．舉一反三：【變式1】如圖，在中，邊上的垂直平分線為與分別交于點(diǎn)D、E，且．(1)求證：；(2)若，，求的長．【答案】(1)見分析 (2)的長為【分析】（1）連接，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)和勾股定理的逆定理即可求解；（2）設(shè)，則，在中，根據(jù)，列出方程計(jì)算即可求解．解：（1）證明：連接，∵邊上的垂直平分線為，∴，∵，∴，∴，∴；（2）解：設(shè)，則，在中，，∴，解得：，∴的長為．【點(diǎn)撥】本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，勾股定理的逆定理，勾股定理，注意方程思想的運(yùn)用．【變式2】如圖，四邊形中，為對角線，于點(diǎn)，已知，．(1)請判斷的形狀并說明理由．(2)求線段的長．【答案】(1)是直角三角形，理由見分析 (2)【分析】（1）先根據(jù)勾股定理求出，再根據(jù)勾股定理的逆定理即可判定的形狀；（2）根據(jù)的面積不變即可求出線段的長．（1）解：是直角三角形，理由如下：在直角中，，，，，是直角三角形；（2）解：由（1）知，是直角三角形，且．【點(diǎn)撥】本題考查了勾股定理及其逆定理，熟練掌握勾股定理是解題關(guān)鍵．2．如圖，在邊長為1的小正方形組成的網(wǎng)格中，的三個(gè)頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上，按要求完成下列各題．(1)試判斷的形狀并說明理由；(2)畫出邊上的高，求的長；(3)以為邊向右側(cè)做，使是等腰三角形，則的長為________．【答案】(1)是直角三角形，理由見分析 (2)畫圖見分析，2 (3)畫圖見分析，【分析】（1）利用勾股定理和勾股定理的逆定理求解即可；（2）取格點(diǎn)E，連接交于D，點(diǎn)D即為所求，利用三角形面積法求出即可；（3）如圖所示，取格點(diǎn)D即為所求，利用三線合一定理求出即可．（1）解：是直角三角形，理由如下：由題意得，∴，∴，∴是直角三角形；（2）解：如圖所示，點(diǎn)D即為所求；取格點(diǎn)E，連接交于D，可證得到，進(jìn)一步證明，則即為中邊上的高；∵，∴（3）解：如圖所示，即為所求；∵，∴，故答案為：．【點(diǎn)撥】本題主要考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，等腰三角形的性質(zhì)與判定，全等三角形的性質(zhì)與判定，三角形面積，熟知勾股定理和勾股定理的逆定理是解題的關(guān)鍵．舉一反三：【變式1】如圖，的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為．(1)判斷的形狀，請說明理由．(2)求的周長和面積．(3)在x軸上有一點(diǎn)P，使得最小，則的最小值為________．【答案】(1)是直角三角形，理由見分析 (2)周長為，面積為5(3)【分析】（1）根據(jù)勾股定理，分別求出，再由勾股定理的逆定理，即可求解；（2）分別求出，，再由三角形的周長公式和面積公式計(jì)算，即可求解；（3）作C關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)，連接交x軸于P，可得最小值即為線段的長度，再由勾股定理求出，即可求解．（1）解：∵，∴，∴是直角三角形；（2）解：∵，∴，，∴的周長為，的面積為；（3）解：作C關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)，連接交x軸于P，如圖：∵C關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)，∴，∴，又兩點(diǎn)之間線段最短，∴最小值即為線段的長度，而，∴最小值是，故答案為：．【點(diǎn)撥】本題主要考查了勾股定理及其逆定理，坐標(biāo)與圖形變換，熟練掌握勾股定理及其逆定理是解題的關(guān)鍵．【變式2】如圖，方格紙中每個(gè)小正方形的邊長都為1，點(diǎn)均在格點(diǎn)上．(1)求四邊形的面積，(2)是直角嗎？為什么？【答案】(1) (2)是直角，理由見分析【分析】（1）根據(jù)網(wǎng)格中圖形，用大正方形面積減去四個(gè)頂點(diǎn)處的直角三角形面積和一個(gè)正方形面積即可得到答案；（2）由圖，連接，分別在網(wǎng)格中利用勾股定理計(jì)算出三條線段長，利用勾股定理的逆定理驗(yàn)證即可得到答案．（1）解：由網(wǎng)格圖可知，四邊形的面積為；（2）解：是直角，理由如下：連接，如圖所示：∴，，，，∴是直角三角形，是直角．【點(diǎn)撥】本題考查網(wǎng)格中求四邊形面積及勾股定理的逆定理判定直角三角形，掌握網(wǎng)格中求圖形面積的方法及網(wǎng)格中利用勾股定理求線段長的方法是解決問題的關(guān)鍵．類型二、勾股定理的逆定理??已知兩點(diǎn)求第三個(gè)點(diǎn)坐標(biāo)構(gòu)成直角三角形??網(wǎng)格上的直角三角形 3．已知A(，)，B(4，)，C(1，2)，判定ABC的形狀．【答案】ABC是等腰直角三角形，見分析【分析】利用兩點(diǎn)間距離公式，分別計(jì)算AB、AC、BC的長，再根據(jù)勾股定理逆定理判斷三條邊的關(guān)系即可解題．解：利用兩點(diǎn)的距離公式，可得AB=，AC=，BC=，所以AC=BC，AB2=AC2+BC2所以△ABC是直角三角形，綜上所述，△ABC是等腰直角三角形．【點(diǎn)撥】本題考查兩點(diǎn)間距離公式、勾股定理及逆定理、等腰直角三角形的判定，是常見考點(diǎn)，難度較易，掌握相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵．舉一反三：【變式1】點(diǎn)在軸上，、，如果是直角三角形，求點(diǎn)的坐標(biāo)．【答案】點(diǎn)的坐標(biāo)為或【分析】本題考查的是兩點(diǎn)距離與勾股定理，根據(jù)A、B坐標(biāo)構(gòu)造直角三角形，運(yùn)用勾股定理與兩點(diǎn)間距離公式，分類討論即可求出點(diǎn)P坐標(biāo)解：設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，分兩種情況：①當(dāng)點(diǎn)為直角頂點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)在軸正半軸，作軸于，軸于，軸于，如圖所示：由勾股定理，得，即，解得，∴點(diǎn)的坐標(biāo)為．②當(dāng)點(diǎn)為直角頂點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)在軸負(fù)半軸，作軸于，軸于，如圖所示：由勾股定理，得，即，解得，∴點(diǎn)的坐標(biāo)為．綜上所述，如果是直角三角形，那么點(diǎn)的坐標(biāo)為或．【點(diǎn)撥】本題的關(guān)鍵是分類討論點(diǎn)P的情況，并靈活運(yùn)用勾股定理和兩點(diǎn)間距離公式【變式2】如圖，方格紙中的每個(gè)小正方形的邊長均為1，點(diǎn)，在小正方形的頂點(diǎn)上，在圖中畫（點(diǎn)在小正方形的頂點(diǎn)上），使為直角三角形，并說明理由.（要求畫出兩個(gè)，且兩個(gè)三角形不全等）【答案】為直角三角形，理由詳見分析.【分析】根據(jù)勾股定理逆定理和勾股定理進(jìn)行判斷即可.解：如圖所示.圖1

圖2如圖1，在中，，，因?yàn)?，所以，即為直角三角?如圖2，在中，.在中，.在中，.所以，所以，即為直角三角形.【點(diǎn)撥】考核知識(shí)點(diǎn)：根據(jù)勾股定理逆定理畫直角三角形.掌握勾股定理逆定理并會(huì)運(yùn)用是關(guān)鍵.類型三、勾股定理的逆定理??求解??證明 4．如圖，在中，的垂直平分線分別交于點(diǎn)，且．(1)求的度數(shù)；(2)若，求的長．【答案】(1) (2)【分析】（1）連接，如圖所示，由中垂線的性質(zhì)，得到，結(jié)合，得到，利用勾股定理的逆定理即可得到是直角三角形，且；（2）在中，利用勾股定理得到，再利用中垂線性質(zhì)即可得到．（1）解：（1）連接，如圖所示：∵的垂直平分線分別交于點(diǎn)，∴，∵，∴，∴，∴是直角三角形，且；（2）解：∵，∴在中，，∵垂直平分線，∴．【點(diǎn)撥】本題考查中垂線的性質(zhì)求角度及線段長，涉及中垂線性質(zhì)、勾股定理的逆定理、勾股定理等知識(shí)，熟練掌握勾股定理及其逆定理、中垂線的性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．舉一反三：【變式1】如圖，四邊形中，已知，，，，且．求四邊形的面積．【答案】四邊形的面積為．【分析】先在中，利用勾股定理求出，然后再利用勾股定理的逆定理證明是直角三角形，從而可得，最后根據(jù)四邊形的面積的面積的面積，進(jìn)行計(jì)算即可解答．解：∵，，，∴，∵，，∴，，∴，∴是直角三角形，且，∴四邊形的面積的面積的面積，∴四邊形的面積為．【點(diǎn)撥】本題考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，熟練掌握勾股定理的逆定理，以及勾股定理是解題的關(guān)鍵．【變式2】（1）如圖1，在中，，，，，求的面積；（2）如圖2，在中，，，，求的面積．【答案】（1）；（2）【分析】（1）根據(jù)已知邊的長度，得出，再根據(jù)勾股定理得出的長，最后根據(jù)三角形面積公式即可求解；（2）過作，交的延長線于點(diǎn)，通過設(shè)，則，求出的長，再根據(jù)勾股定理求出的長，最后用三角形的面積公式計(jì)算即可求解．（1）解：，，，是直角三角形，且，，，，，．（2）解：過作，交的延長線于點(diǎn)，如圖2，，，設(shè)，則，由勾股定理得，，即，則，解得：，，．【點(diǎn)撥】本題考查了勾股定理的逆定理和勾股定理的運(yùn)用，根據(jù)勾股定理得出是解題的關(guān)鍵．5．如圖，在中，，點(diǎn)為上一點(diǎn)，連接．(1)試判斷的形狀，并說明理由；(2)求的周長．【答案】(1)是直角三角形，見分析 (2)的周長為【分析】（1）根據(jù)勾股定理的逆定理判定是直角三角形，從而得到，進(jìn)而有，即可判斷是直角三角形；（2）設(shè)，則，由已知得到，結(jié)合勾股定理得到方程，解方程得到，即，根據(jù)，從而得到的周長為．（1）解：是直角三角形，理由如下：在中，，∵，∴，∴是直角三角形，∴，∴，∴是直角三角形；（2）設(shè)，則，∵，在中，，即，解得，∴，∴的周長為，即的周長為．【點(diǎn)撥】本題考查勾股定理的逆定理及勾股定理，熟練掌握勾股定理的逆定理及勾股定理是解決問題的關(guān)鍵．舉一反三：【變式1】如圖，已知等腰的底邊，是腰上一點(diǎn)，連接，且，．(1)求證：是直角三角形；(2)求的長．【答案】(1)見分析 (2)【分析】（1）根據(jù)勾股定理的逆定理證明即可；（2）設(shè)，根據(jù)勾股定理得到，即，求解即可．解：（1）證明：∵，，，∴，，即，∴為直角三角形．（2）解：設(shè)，∵是等腰三角形，∴．∵為直角三角形，∴也為直角三角形，∴，即，解得：，∴．【點(diǎn)撥】此題考查了勾股定理及逆定理，正確掌握定理并熟練應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．【變式2】如圖，在中，是上一點(diǎn)，若，，，．(1)求證：；(2)求的面積【答案】(1)見分析 (2)60【分析】（1）先根據(jù)，，，利用勾股定理的逆定理求證是直角三角形，即可求得答案；（2）先由勾股定理求出的長，再根據(jù)三角形的面積公式即可求解．解：（1）證明：，，，，，，是直角三角形，；（2）解：，，，，，的面積為，的面積為60．【點(diǎn)撥】本題主要考查了勾股定理和勾股定理逆定理的運(yùn)用，解答此題的關(guān)鍵是利用勾股定理的逆定理求證是直角三角形．類型四、勾股定理的逆定理??應(yīng)用??拓展 6．在一條東西走向河的一側(cè)有一村莊，河邊原有兩個(gè)取水點(diǎn)，，其中，由于某種原因，由到的路現(xiàn)在已經(jīng)不通，某村為方便村民取水決定在河邊新建一個(gè)取水點(diǎn)（、、在一條直線上），并新修一條路，測得千米，千米，千米．(1)問是否為從村莊到河邊的最近路？（即問：與是否垂直？）請通過計(jì)算加以說明；(2)求原來的路線的長．【答案】(1)是，理由見分析 (2)原來的路線的長為千米【分析】（1）根據(jù)勾股定理的逆定理解答即可；（2）根據(jù)勾股定理解答即可．（1）解：是，理由是：在中，，，，，是從村莊到河邊的最近路；（2）解：設(shè)，在中，由已知得，，，由勾股定理得：，，解這個(gè)方程，得，答：原來的路線的長為千米．【點(diǎn)撥】本題考查勾股定理及勾股定理的逆定理的應(yīng)用，關(guān)鍵是熟練掌握勾股定理及勾股定理的逆定理．舉一反三：【變式1】如圖，一塊四邊形花圃中，已知，，，，.(1)求四邊形花圃的面積；(2)求到的距離．【答案】(1) (2)【分析】（1）連接，勾股定理求出，利用勾股定理逆定理證明是直角三角形，且，再根據(jù)面積公式四邊形花圃的面積計(jì)算即可；（2）過點(diǎn)C作于E，利用面積法求出即可．（1）解：連接，∵，，，∴m，∵，，∴，∴是直角三角形，且，∴四邊形花圃的面積∴四邊形花圃的面積是；（2）過點(diǎn)C作于E，∵，∴，∴，∴到的距離是．【點(diǎn)撥】此題考查了勾股定理及勾股定理的逆定理，三角形的面積公式，正確掌握勾股定理及其逆定理是解題的關(guān)鍵．【變式2】如圖，學(xué)校操場邊有一塊四邊形空地，其中，，，，，創(chuàng)建綠色校園，學(xué)校計(jì)劃將這塊四邊形空地進(jìn)行綠化整理．(1)求需要綠化的空地的面積；(2)為方便師生出入，設(shè)計(jì)了過點(diǎn)A的小路，且于點(diǎn)E，試求小路的長．【答案】(1)114m2； (2)的長為m【分析】（1）由勾股定理求出，再由勾股定理的逆定理證出是直角三角形，，然后由三角形面積公式求解即可；（2）由三角形的面積公式求解即可．（1）解：，，，，，，是直角三角形，，需要綠化的空地的面積；（2）解：，，，，解得：，即小路的長為．【點(diǎn)撥】本題考查了勾股定理的應(yīng)用、勾股定理的逆定理以及三角形的面積等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握勾股定理，由勾股定理的逆定理證出．7．閱讀下列內(nèi)容：設(shè)a，b，c是一個(gè)三角形的三條邊的長，且a是最長邊，我們可以利用a，b，c三條邊長度之間的關(guān)系來判斷這個(gè)三角形的形狀：①若，則該三角形是直角三角形；②若，則該三角形是鈍角三角形；③若，則該三角形是銳角三角形．例如：若一個(gè)三角形的三邊長分別是4，5，6，則最長邊是6，，故由③可知該三角形是銳角三角形，請解答以下問題：（1）若一個(gè)三角形的三邊長分別是7，8，9，則該三角形是________三角形．（2）若一個(gè)三角形的三邊長分別是5，12，x．且這個(gè)三角形是直角三角形，求的值．（3）當(dāng)，時(shí)，判斷的形狀，并求出對應(yīng)的的取值范圍．【答案】（1）銳角；（2）169或119；（3）見分析【分析】（1）直接利用定義結(jié)合三角形三邊得出答案；（2）直接利用勾股定理得出x2的值；（3）分△ABC為銳角三角形、直角三角形和鈍角三角形結(jié)合三邊關(guān)系得出答案．解：（1）∵72+82=49+64=113＞92，∴三角形是銳角三角形，故答案為：銳角；（2）∵這個(gè)三角形是直角三角形，當(dāng)x為斜邊，∴52+122=x2，∴x2=169，當(dāng)12是斜邊，則52+x2=122，解得：x2=119，故x2的值為169或119；（3）∵a=2，b=4，∴，∴，若△ABC是銳角三角形，則或，則或，∴或；若△ABC是直角三角形，則或，則或；若△ABC是鈍角三角形，則或，則或，∴．【點(diǎn)撥】此題主要考查了勾股定理及其逆定理以及三角形的三邊關(guān)系，正確進(jìn)行相關(guān)計(jì)算是解題關(guān)鍵．舉一反三：【變式1】如圖所示，等腰三角形ABC的底邊為8cm，腰長為5cm．（1）求BC邊上的高線AD．（2）一動(dòng)點(diǎn)P在底邊上從B向C以0.25cm/s的速度移動(dòng)，請你探究：當(dāng)P運(yùn)動(dòng)幾秒時(shí)，P點(diǎn)與頂點(diǎn)A的連線PA與腰垂直？【答案】（1）AD＝3；（2）當(dāng)P運(yùn)動(dòng)7s或25s秒時(shí)，P點(diǎn)與頂點(diǎn)A的連線PA與腰垂直．【分析】（1）根據(jù)等腰三角形三線合一性質(zhì)可得到BD的長，由勾股定理可求得AD的長；（2）分兩種情況進(jìn)行分析：①PA⊥AC②PA⊥AB，利用勾股定理可得到運(yùn)動(dòng)的時(shí)間．解：（1）作AD⊥BC∵AB＝AC＝5，BC＝8，∴BD＝BC＝4，∴AD＝＝3；（2）分兩種情況：當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)t秒后有PA⊥AC時(shí)，∵AP2＝PD2+AD2＝PC2﹣AC2，∴PD2+AD2＝PC2﹣AC2，∴PD2+32＝（PD+42）﹣52，∴PD＝2.25，∴BP＝4﹣2.25＝1.75＝0.25t，∴t＝7，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)t秒后有PA⊥AB時(shí)，同理可證得PD＝2