版權(quán)說明:本文檔由用戶提供并上傳,收益歸屬內(nèi)容提供方,若內(nèi)容存在侵權(quán),請進(jìn)行舉報或認(rèn)領(lǐng)
文檔簡介
旋轉(zhuǎn)模型(三十三)——奔馳模型◎結(jié)論:如圖,等邊△ABC,PA=3,PB=4,PC=5,則①∠APB=150o,②S△ABC=34AB2=關(guān)鍵:旋轉(zhuǎn)可以讓線段動起來①【證明】以AP為邊向左側(cè)作等邊△APD,連接BD,∵△ABC,△ADP為等邊三角形∴∠DAB=60°-∠BAP,∠PAC=60°-∠BAP∴∠DAB=∠PAC可得△DAB≌△PAC∴DB=PC=5∵DP2+BP2=DB2,∴∠DPB=90°,∠APB=150°②過B作BQ⊥AP于Q,∵∠APB=150°∴∠BPQ=30°,BP=4,BQ=2∴PQ=BP2?BQ2=23∴AB2=AQ2+BQ2=25+123∴34AB2=各種旋法:超酷炫又實用:S=34a1.(2023·黑龍江佳木斯·九年級期中)如圖,P是等邊三角形ABC內(nèi)一點(diǎn),將△ACP繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)60°得到△ABQ,若PA=2,PB=4,,則四邊形APBQ的面積為(
)A. B. C. D.2.(2023·貴州畢節(jié)·八年級期末)如圖,P是等邊三角形內(nèi)的一點(diǎn),且,將繞點(diǎn)B順時針旋轉(zhuǎn)得到,連接,則以下結(jié)論中不正確是(
)A. B. C. D.3.(2023·廣西桂林·八年級期末)如圖,在等邊三角形ABC中,點(diǎn)P是內(nèi)一點(diǎn),,,,則的度數(shù)為(
)A.160° B.155° C.150° D.145°4.(2023·全國·九年級專題練習(xí))如圖,等邊三角形ABC內(nèi)一點(diǎn)P到三角形三個頂點(diǎn)的距離PA=3,PB=4,PC=5,則∠APB的大小是(
)A.150° B.120° C.100° D.以上都不對1.(2023·遼寧·丹東第九中學(xué)八年級期末)如圖,點(diǎn)是等邊三角形內(nèi)的一點(diǎn),且,,,則的度數(shù)為______.2.(2023·浙江溫州·八年級期中)如圖,點(diǎn)P到等邊三角形ABC各頂點(diǎn)的距離分別是PA=2,PB=1.5,PC=2.5.若將線段AP繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)60°得到線段AQ,連接BQ.則∠APB的度數(shù)是______度.3.(2023·廣東順德德勝學(xué)校八年級階段練習(xí))如圖,等邊三角形內(nèi)有一點(diǎn)P,分別連接、、,若,,.(1)則線段、、構(gòu)成的三角形是______三角形(填“鈍角、直角、銳角”);(2)將繞點(diǎn)B順時針旋轉(zhuǎn)60°,畫出旋轉(zhuǎn)后的,并由此求出的度數(shù);(3)求三角形的面積.1.(1)如圖,在等邊三角形內(nèi)有一點(diǎn),且,,,冰墩墩同學(xué)作了如圖的輔助線,將繞點(diǎn)按逆時針方向旋轉(zhuǎn)、如圖所示,連接,請你按照冰墩墩的方法求出的度數(shù).(2)如圖,在正方形內(nèi)有一點(diǎn),且,,,類比第(1)題的方法.求的度數(shù);與的面積之和.(3)如圖,在(2)的基礎(chǔ)上請求出正方形的面積.2.如圖,點(diǎn)是等邊三角形外一點(diǎn),,,.將繞點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)60°后得到.(1)求證:是直角三角形;(2)求的面積.旋轉(zhuǎn)模型(三十三)——奔馳模型◎結(jié)論1:如圖,等邊△ABC,PA=3,PB=4,PC=5,則①∠APB=150o,②S△ABC=34AB2=關(guān)鍵:旋轉(zhuǎn)可以讓線段動起來①【證明】以AP為邊向左側(cè)作等邊△APD,連接BD,∵△ABC,△ADP為等邊三角形∴∠DAB=60°-∠BAP,∠PAC=60°-∠BAP∴∠DAB=∠PAC可得△DAB≌△PAC∴DB=PC=5∵DP2+BP2=DB2,∴∠DPB=90°,∠APB=150°②過B作BQ⊥AP于Q,∵∠APB=150°∴∠BPQ=30°,BP=4,BQ=2∴PQ=BP2?BQ2=23∴AB2=AQ2+BQ2=25+123∴34AB2=各種旋法:超酷炫又實用:S=34a1.(2023·黑龍江佳木斯·九年級期中)如圖,P是等邊三角形ABC內(nèi)一點(diǎn),將△ACP繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)60°得到△ABQ,若PA=2,PB=4,,則四邊形APBQ的面積為(
)A. B. C. D.【答案】B【分析】如圖,連接PQ.由題意△PQA是等邊三角形,利用勾股定理的逆定理證明∠PQB=90°即可解決問題.【詳解】解:如圖,連接PQ.∵△ACP繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)60°得到△ABQ,∴AP=AQ=2,PC=BQ=2,∠PAQ=60°,∴△PAQ是等邊三角形,∴PQ=PA=2,∵PB=4,∴,∴∠PQB=90°,∴,故選:B.【點(diǎn)睛】本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì),旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及勾股定理的逆定理,熟練掌握相關(guān)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵.2.(2023·貴州畢節(jié)·八年級期末)如圖,P是等邊三角形內(nèi)的一點(diǎn),且,將繞點(diǎn)B順時針旋轉(zhuǎn)得到,連接,則以下結(jié)論中不正確是(
)A. B. C. D.【答案】D【分析】根據(jù)等邊三角形性質(zhì)以及勾股定理的逆定理,即可判斷A、D;依據(jù)△BPQ是等邊三角形,即可得到∠QPB=∠PBQ=∠BQP=60°,進(jìn)而得出∠BPA=∠BQC=60°+90°=150°,即可判斷C、B選項.【詳解】解:∵△ABC是等邊三角形,∴∠ABC=60°,∵將△ABP繞點(diǎn)B順時針旋轉(zhuǎn)60°到△CBQ位置,∴△BQC≌△BPA,∴∠BPA=∠BQC,BP=BQ=4,QC=PA=3,∠ABP=∠QBC,∴∠PBQ=∠PBC+∠CBQ=∠PBC+∠ABP=∠ABC=60°,∴△BPQ是等邊三角形,△BPQ的面積=,故A正確,D錯誤;∴PQ=BP=4,∵,,∴,∴∠PQC=90°,即△PQC是直角三角形,△PQC的面積=×3×4=6,故C正確,∵△BPQ是等邊三角形,∴∠QPB=∠PBQ=∠BQP=60°,∴∠BPA=∠BQC=60°+90°=150°,故B正確.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)和判定、勾股定理的逆定理的應(yīng)用,解題關(guān)鍵是綜合運(yùn)用定理進(jìn)行推理.3.(2023·廣西桂林·八年級期末)如圖,在等邊三角形ABC中,點(diǎn)P是內(nèi)一點(diǎn),,,,則的度數(shù)為(
)A.160° B.155° C.150° D.145°【答案】C【分析】由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得∠PAE=60°,AP=AE=3,CP=BE=4,∠AEB=∠APC,可證△PAE是等邊三角形,可得PE=AE=3,∠AEP=60°,由勾股定理的逆定理可求∠PEB=90°,即可求解.【詳解】解:如圖,將△ACP繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)60°,得到△ABE,連接PE,∴△ACP≌△ABE,∠PAE=60°,∴AP=AE=3,CP=BE=4,∠AEB=∠APC,∴△PAE是等邊三角形,∴PE=AE=3,∠AEP=60°,∵=25,+=9+16=25,∴=+,∴∠PEB=90°,∴∠AEB=150°=∠APC,故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),全等三角形的性質(zhì),等邊三角形的性質(zhì),勾股定理逆定理,熟練利用勾股定理逆定理得出是解題關(guān)鍵.4.(2023·全國·九年級專題練習(xí))如圖,等邊三角形ABC內(nèi)一點(diǎn)P到三角形三個頂點(diǎn)的距離PA=3,PB=4,PC=5,則∠APB的大小是(
)A.150° B.120° C.100° D.以上都不對【答案】A【分析】將△BPC繞點(diǎn)B逆時針旋轉(zhuǎn)60°得△BEA,根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得BE=BP=4,AE=PC=5,∠PBE=60°,則△BPE為等邊三角形,得到PE=PB=4,∠BPE=60°,在△AEP中,AE=5,AP=3,PE=4,根據(jù)勾股定理的逆定理可得到△APE為直角三角形,且∠APE=90°,即可得到∠APB的度數(shù)【詳解】解:∵△ABC為等邊三角形,∴BA=BC,可將△BPC繞點(diǎn)B逆時針旋轉(zhuǎn)60°得△BEA,如圖②,連接EP,∴BE=BP=4,AE=PC=5,∠PBE=60°,∴△BPE為等邊三角形,∴PE=PB=4,∠BPE=60°,在△AEP中,AE=5,AP=3,PE=4,∴AE2=PE2+PA2,∴△APE為直角三角形,且∠APE=90°,∴∠APB=90°+60°=150°.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì):旋轉(zhuǎn)前后的兩個圖形全等,對應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心的連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角,對應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等.也考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)以及勾股定理的逆定理.1.(2023·遼寧·丹東第九中學(xué)八年級期末)如圖,點(diǎn)是等邊三角形內(nèi)的一點(diǎn),且,,,則的度數(shù)為______.【答案】##150度【分析】將繞點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)后得到的,由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得,,可得為等邊三角形,由勾股定理的逆定理可得,即可求解.【詳解】解:如圖,將繞點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)后得到的.≌,,,為等邊三角形,,,,,,為直角三角形,,;故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查等邊三角形的性質(zhì),旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),勾股定理的逆定理,利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和勾股定理的逆定理得到為直角三角形是解題的關(guān)鍵.2.(2023·浙江溫州·八年級期中)如圖,點(diǎn)P到等邊三角形ABC各頂點(diǎn)的距離分別是PA=2,PB=1.5,PC=2.5.若將線段AP繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)60°得到線段AQ,連接BQ.則∠APB的度數(shù)是______度.【答案】150【分析】連接PQ,如圖,根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得∠BAC=60°,AB=AC,再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得AP=PQ=2,∠PAQ=60°,則可判斷△APQ為等邊三角形,所以PQ=AP=2,接著證明△APC≌△ABQ得到PC=QB=2.5,然后利用勾股定理的逆定理證明△PBQ為直角三角形,于是得到結(jié)論.【詳解】連接PQ,如圖,∵△ABC為等邊三角形,AP=2,PB=1.5,PC=2.5,∴∠BAC=60°,AB=AC,∵線段AP繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)60°得到線段AQ,∴AP=AQ=2,∠PAQ=60°,∴△APQ為等邊三角形,∠APQ=60°,∴PQ=AP=2,∵∠CAP+∠BAP=60°,∠BAP+∠BAQ=60°,∴∠CAP=∠BAQ,在△APC和△AQB中,∴△APC≌△AQB(SAS),∴PC=QB=2.5,∵在△BPQ中,,,,而,∴△PBQ為直角三角形,∠BPQ=90°,∴∠APB=90°+60°=150°.故答案為:150.【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì):對應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等;對應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角;還考查了全等三角形的判定與性質(zhì),勾股定理的逆定理以及等邊三角形的知識.證明△BPQ是直角三角形是解答本題的關(guān)鍵.3.(2023·廣東順德德勝學(xué)校八年級階段練習(xí))如圖,等邊三角形內(nèi)有一點(diǎn)P,分別連接、、,若,,.(1)則線段、、構(gòu)成的三角形是______三角形(填“鈍角、直角、銳角”);(2)將繞點(diǎn)B順時針旋轉(zhuǎn)60°,畫出旋轉(zhuǎn)后的,并由此求出的度數(shù);(3)求三角形的面積.【答案】(1)直角;(2);(3).【分析】(1)根據(jù)勾股定理的逆定理判斷即可;(2)由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得,,,證明是等邊三角形,,進(jìn)而可得的度數(shù);(3)將繞點(diǎn)B順時針旋轉(zhuǎn)60°得到,根據(jù)是等邊三角形,是直角三角形,求出=,同理,將繞點(diǎn)C順時針旋轉(zhuǎn)60°得到,將繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)60°得到,可得=,=,求出的面積,進(jìn)而根據(jù)得出答案.(1)解:∵,,,∴,,∴,∴線段、、構(gòu)成的三角形是直角三角形,故答案為:直角;(2)解:如圖,將繞點(diǎn)B順時針旋轉(zhuǎn)60°得到,點(diǎn)與點(diǎn)C重合,由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得,,,∴是等邊三角形,∴,,由(1)可知,∴,∴,∴;(3)解:如圖,將繞點(diǎn)B順時針旋轉(zhuǎn)60°得到,點(diǎn)與點(diǎn)C重合,由(2)可得是等邊三角形,是直角三角形,,,過點(diǎn)P作PH⊥,則BH=,∴PH=,∴,∴=,將繞點(diǎn)C順時針旋轉(zhuǎn)60°得到,同理可得,是以PC=10為邊的等邊三角形,是以6、8、10為邊的直角三角形,=,將繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)60°得到,同理可得,是以AP=6為邊的等邊三角形,是以6、8、10為邊的直角三角形,=,∴,∴.【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),等邊三角形的判定和性質(zhì),勾股定理及其逆定理的應(yīng)用等知識,通過旋轉(zhuǎn)構(gòu)造出等邊三角形和直角三角形是解答本題的關(guān)鍵.1.(1)如圖,在等邊三角形內(nèi)有一點(diǎn),且,,,冰墩墩同學(xué)作了如圖的輔助線,將繞點(diǎn)按逆時針方向旋轉(zhuǎn)、如圖所示,連接,請你按照冰墩墩的方法求出的度數(shù).(2)如圖,在正方形內(nèi)有一點(diǎn),且,,,類比第(1)題的方法.求的度數(shù);與的面積之和.(3)如圖,在(2)的基礎(chǔ)上請求出正方形的面積.【答案】(1)150°;(2)①135°;②;(3)5【分析】(1)將繞點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn),畫出旋轉(zhuǎn)后的圖形(如圖,連接,可得△是等邊三角形,而△又是直角三角形(由勾股定理的逆定理可證),所以,而;(2)①求出,根據(jù)勾股定理的逆定理求出,推出;②由(1)知,,,,,即可求出答案.(3)過點(diǎn)作,交的延長線于點(diǎn),求出,,關(guān)鍵勾股定理即可求出,即可求出答案.【詳解】解:(1)是等邊三角形,,將繞點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)得出,,,,,,,是等邊三角形,,,,,,,則△是直角三角形;;(2)①如圖,將繞點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)得到,與(1)類似:可得:,,,,,,在中,由勾股定理得:,,,,;②由①知,,,,,,與的面積之和為;(3)由(2)知,,,過點(diǎn)作,交的延長線于點(diǎn);,,;在中,由勾股定理,得;正方形的面積為5.【點(diǎn)睛】本題主要考查勾股定理及逆定理,等邊三角形的性質(zhì)和判定,等腰三角形的性質(zhì),含30度角的直角三角形的性
溫馨提示
- 1. 本站所有資源如無特殊說明,都需要本地電腦安裝OFFICE2007和PDF閱讀器。圖紙軟件為CAD,CAXA,PROE,UG,SolidWorks等.壓縮文件請下載最新的WinRAR軟件解壓。
- 2. 本站的文檔不包含任何第三方提供的附件圖紙等,如果需要附件,請聯(lián)系上傳者。文件的所有權(quán)益歸上傳用戶所有。
- 3. 本站RAR壓縮包中若帶圖紙,網(wǎng)頁內(nèi)容里面會有圖紙預(yù)覽,若沒有圖紙預(yù)覽就沒有圖紙。
- 4. 未經(jīng)權(quán)益所有人同意不得將文件中的內(nèi)容挪作商業(yè)或盈利用途。
- 5. 人人文庫網(wǎng)僅提供信息存儲空間,僅對用戶上傳內(nèi)容的表現(xiàn)方式做保護(hù)處理,對用戶上傳分享的文檔內(nèi)容本身不做任何修改或編輯,并不能對任何下載內(nèi)容負(fù)責(zé)。
- 6. 下載文件中如有侵權(quán)或不適當(dāng)內(nèi)容,請與我們聯(lián)系,我們立即糾正。
- 7. 本站不保證下載資源的準(zhǔn)確性、安全性和完整性, 同時也不承擔(dān)用戶因使用這些下載資源對自己和他人造成任何形式的傷害或損失。
最新文檔
- 承包國企鍋爐工程合同范例
- 保驗收合同范例
- 土地房屋租憑合同范例
- 出租廠房安全生產(chǎn)合同范例
- 學(xué)校采購地板合同范例
- 建機(jī)械費(fèi)合同范例
- 青石供貨合同范例
- 斗魚主播合同范例
- 武侯租房合同范例
- 施工勞務(wù)擔(dān)保合同范例
- 初中英語試題命制的原則與方法課件
- 健康醫(yī)療公司經(jīng)營范圍(10個范本)
- XXX中學(xué)國旗班隊員選拔方案
- 三級英語閱讀習(xí)題(3篇)
- 四位數(shù)乘四位數(shù)乘法題500道
- “阿里巴巴”并購“餓了么”案例分析
- 人教版初中九年級英語全冊單詞(按詞性分類)-
- 中國當(dāng)代文學(xué)知到章節(jié)答案智慧樹2023年泰山學(xué)院
- 酒店項目消防工程招標(biāo)文件
- 醫(yī)院食堂經(jīng)營方案
- 110kV輸變電工程旁站監(jiān)理方案含流程圖
評論
0/150
提交評論