專題3.4雙曲線的簡單幾何性質(zhì)（九個重難點突破）

標(biāo)準(zhǔn)方程22xy a2b222yx a2b2焦點位置焦點在x軸上焦點在y軸上性質(zhì)焦點F(c,0),F2(c,0)F(0,c),F2(0,c)焦距范圍對稱性關(guān)于坐標(biāo)軸、原點對稱頂點A(a,0),A2(a,0)A1(0,a),A2(0,a)軸長實軸長2a,虛軸長2b離心率a漸近線實軸和虛軸等長的雙曲線叫做等軸雙曲線,它有以下性質(zhì)：(1)方程形式為x2-y2=λ(λ子0)；(2)漸近線方程為y=士x,它們互相垂直；該雙曲線的焦距為(x2yx2a23)x22．雙曲線y2m=1的實軸長是虛軸長的3倍，則m的值為()B9C. 191D．-922xy -a2b2=1(a>0,b>0)的左頂點為A，右焦點為F，焦距為6，點M在雙曲線C上，且MFLAF，MF=2AF，則雙曲線C的實軸長為()4．如圖，這是一個落地青花瓷，其外形被稱為單葉雙曲面，可以看成是雙曲線C：-=1的一部分繞其虛軸所在直線旋轉(zhuǎn)所形成的曲面.若該花瓶橫截面圓的最小直徑為8cm，瓶高等于雙曲線C的虛軸長，則該花瓶的瓶口直徑為()A．離心率相等B．焦距相等C．實軸長相等D．虛軸長相等6．等軸雙曲線y2=1(a>0)的焦距為.+=1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，M是C1上任意一點，△MF1F2的面積的229．已知雙曲線9．已知雙曲線 a2b2=1(a>0,b>0)的離心率為e，若點(2,)與點(e,2)都在雙曲線上，則該雙曲線的漸近DD．y210．雙曲線=1的兩條漸近線的夾角為()11．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，雙曲線2x2一y2=1的漸近線方程為()=1(a>0,b>0)的一個焦點是F，點F到C的漸近線的距離為d，則d()A．與a有關(guān)B．與a無關(guān)15．已知雙曲線C:=1的一條漸近線斜率為2，實軸長為4，則C的標(biāo)準(zhǔn)方程為()A．y2x2=1By2x2=1Cy2x2=1D16．若雙曲線的實軸長與虛軸長之和等于其焦距的倍，且一個頂點的坐標(biāo)為(2,0)，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方x2yx2C．x2x24=1=1(a>0,b>0)的焦點到漸近線的距離=1的焦點為頂點，且以橢圓的頂點為焦點，則雙曲線的方程是()A.x2yx2B.x2yx2=1D.x2yx2=1x2yx2a2b2C位于第一象限內(nèi)的一點，則m=()21．如果中心在原點，對稱軸在坐標(biāo)軸上的等軸雙曲線的一個焦點為F1(0,_6)，那么此雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.22．若雙曲線C與雙曲線是._=1有相同的漸近線，且經(jīng)過點(2,)，則雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程23．與雙曲線__=1漸近線相同，且一個焦點坐標(biāo)是(0,5)的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是.24．若雙曲線C與_y2=1有共同漸近線，且與橢圓+=1有相同的焦點，則該雙曲線C的方程為.2_y25．雙曲線C:2_y25．雙曲線C:x22xx226．求與雙曲線x2yx2=1有共同的漸近線，且經(jīng)過點M(3,一2)的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.y2y2)，若雙曲線M以雙曲線E的實軸為虛軸，虛軸為實軸，試求雙曲線M的標(biāo)準(zhǔn)方程.(1)求雙曲線C的虛軸長；(2)求與雙曲線C有相同漸近線，且過點Q(一3,6)的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.29．過原點的直線l與雙曲線E：22xy a2b2=1(a>0,b>0)交于A，B兩點（點A在第一象限ACLx交x軸于C點，直線BC交雙曲線于點D，且kAB.kAD=1，則雙曲線的漸近線方程為()30．雙曲線E:x2y2a2b2=1(a>0,b>0)，點A，B均在E上，若四邊形OACB為平行四邊形，且直線OC，AB的斜率之積為3，則雙曲線E的漸近線的傾斜角為(),F2分別是雙曲線x2y2a2b2且cosZPF1F2=，則雙曲線的漸近線方程為()33．已知F為雙曲線C：-=1（a>0，b>0）的右焦點，過點F線在第一象限內(nèi)依次交于點A和點B．若AB=AF，則雙曲線C的漸近線方程為()34．如圖，已知F1，F(xiàn)2為雙曲線22xy -a2b2=1(a>0,b>0)的焦點，過F2作垂直于x軸的，則雙曲線的漸近線方程為.35．過雙曲線W:-=1的右焦點F作x軸的垂線，與兩條漸近線的交點分別為A，B，若‘OAB為等邊三角形，則W的漸近線方程為，W的離心率為.22,F2是雙曲線C: -a2b2若2MF若2=b，則雙曲線C的離心率為()A.33B.33D.5537．已知F為雙曲線C：22xy -a2b2=1(a>0,b>0)的右焦點，平行于x軸的直線l分A.662B.22C.32D.3322、F2分別為雙曲線 a2b2=1(a>0,b>0)的左右焦點，O為坐標(biāo)原點，過左焦點F1作直線F1P與圓x22切于點E，與雙曲線右支交于點P，且|OP|=F1F2，則雙曲線的離心率為()39．已知雙曲線C:x2y2a2b2，點F2關(guān)于一條漸近線的對稱點在另一條漸近線上，則雙曲線C的離心率是()=1與雙曲線C2：=1的離心率分別為e1，A．e1e2的最小值為B．e1e2的最小值為e2的最大值為D．e1e2的最大值為41．已知雙曲線C:22yx a2b22=a2=a相切于點A，并與雙曲線C的一條漸近線交于點B(A,B不重合若2=5，則雙曲線C的離心率為.22xy a2b2=1(a>0,b>0)的右焦點為F，過F分別作C的兩條漸近線的平行線與C交于A，B兩點，若B兩點，若43．已知雙曲線C:x2y2部分上存在一點P，且OP=OF1，直線PF1的斜率為，則該雙曲線的離心率為.2244．過雙曲線x44．過雙曲線 a2b2=1(a>0,b>0)的左焦點且垂直于x軸的直線與雙曲線交于A,B兩點，D為虛軸上的一個端點，且ZADB為鈍角，則此雙曲線離心率的取值范圍為())22xy a2b2則雙曲線離心率的最小值為()yx a2b2yx a2b2=1(a>0,b>0),F為雙曲線的右焦點，過點F作漸近線的垂線MN(kMN<0)，垂足為M，交另一條漸近線于N，若=λ(λ之2)，則雙曲線C的離心率的取值范圍是()48．雙曲線x2=1的左焦點為F，A(0,b)，M為雙曲線右支上一點，若存在M，使得FM+AM=5，則雙曲線離心率的取值范圍為())49．如圖為陜西博物館收藏的國寶——唐·金筐寶鈿團化紋金杯，杯身曲線內(nèi)收，玲瓏嬌美，巧奪天工，是唐朝金銀細(xì)作的典范之作．該杯的主體部分可以近似看作是雙曲線C：22xy a2b2轉(zhuǎn)體．若該雙曲線右支上存在點P，使得直線PA，PB（點A，B為雙曲線的左、右頂點）的斜率之和為則該雙曲線離心率的取值范圍為.8x2yx2a2b2點使得ZPF2F1=3ZPF1F2，則C的離心率的取值范圍為.51．已知有公共焦點的橢圓與雙曲線的中心為原點，焦點在x軸上，左右焦點分別為F1，F(xiàn)2，且它們在第一象限的交點為P，△PF1F2是以PF1為底邊的等腰三角形.若PF1=10，雙曲線的離心率的取值范圍為(1,2)，則該橢圓的焦距的取值范圍是()PF1LPF2．若△PF1F2的面積為4，則a=()54．已知F1，F(xiàn)2是雙曲線C的兩個焦點，P為C上一點，且ZF1PF2=60。，PF1=λPF2(λ>1)，若C的離心率為，則λ的值為.2255．已知雙曲線55．已知雙曲線 a2b2，F(xiàn)2，P是雙曲線右支上一點，.=0，O為坐標(biāo)原點，過點O作F1P的垂線，垂足為點H，若雙曲線的離心率e=，存在實數(shù)m滿足OH=mOF1，56．已知雙曲線C:_=1的離心率大于，則實數(shù)m的取值范圍是()，F(xiàn)2分別是雙曲線C的左，右焦點，M為△PF1F2的內(nèi)心，若雙曲線C的離心率e=，且S‘MPF=S‘MPF+λS‘MFF，則λ=()2458．某中心接到其正東、正西、正北方向三個觀測點的報告；正西、正北兩個觀測點同時聽到了一聲巨響，正東觀測點聽到的時間比其它兩觀測點晚2s，已知各觀測點到該中心的距離是680m，則該巨響發(fā)生在接報中心的處(假定當(dāng)時聲音傳播的速度為340m/s，相關(guān)各點均在同一平面上)A．西偏北45°方向，距離340mB．東偏南45°方向，距離340mC．西偏北45°方向，距離170mD．東偏南45°方向，距離170m59．如圖，B地在A地的正東方向4km處，C地在B地的北偏東30。方向2km處，河流的沿岸PQ（曲線）上任意一點到A的距離比到B的距離遠(yuǎn)2km．現(xiàn)要在曲線PQ上選一處M建一座碼頭，向B、C兩地轉(zhuǎn)運貨物．經(jīng)測算，從M到B、C兩地修建公路的費用分別是a萬元/km、2a萬元/km，那么修建這兩條公路的總費用最低是()60．如圖是等軸雙曲線形拱橋，現(xiàn)拱頂離水面5m，水面寬AB=30m.若水面下降5m，則水面寬是結(jié)果精確到0.1m）61．如圖，一個光學(xué)裝置由有公共焦點F1,F2的橢圓C與雙曲線C'構(gòu)成，一光線從左焦點F1發(fā)出，依次經(jīng)則該光線從點F1發(fā)出，經(jīng)過C兩次反m .過C'與C的反射，又回到點F1.，則該光線從點F1發(fā)出，經(jīng)過C兩次反m .射后又回到點F1歷時n秒，若C'的離心率為C的離心率的4倍，則n62．如圖1，北京冬奧會火種臺以“承天載物”為設(shè)計理念，創(chuàng)意靈感來自中國傳統(tǒng)青銅禮器一尊的曲線造型，基座沉穩(wěn)，象征“地載萬物”，頂部舒展開闊，寓意迎接純潔的奧林匹克火種．如圖2，一種尊的外形近似為某雙曲線的一部分繞著虛軸旋轉(zhuǎn)所成的曲面，尊高63cm，上口直徑為40cm，底部直徑為26cm，最小直徑為24cm，則該雙曲線的漸近線與實軸所成銳角的正切值為.63多選）我國首先研制成功的“雙曲線新聞燈”，如圖，利用了雙曲線的光學(xué)性質(zhì)：F1，F(xiàn)2是雙曲線的左、右焦點，從F2發(fā)出的光線m射在雙曲線右支上一點P，經(jīng)點P反射后，反射光線的反向延長線過F1；當(dāng)P異于雙曲線頂點時，雙曲線在點P處的切線平分F1PF2.若雙曲線C的方程為x2y2=1，A．射線n所在直線的斜率為k，則kE一,C．當(dāng)n過點Q(7,5)時，光線由F2到P再到Q所經(jīng)過的路程為1364．如圖1所示，雙曲線具有光學(xué)性質(zhì)：從雙曲線右焦點發(fā)出的光線經(jīng)過雙曲線鏡面反射，其反射光線的反向延長線經(jīng)過雙曲線的左焦點．若雙曲線E：x2yx2a2b2從F2發(fā)出的光線經(jīng)過圖2中的A，B兩點反射后，分別經(jīng)過點C和D，且tanZCAB=一，ABLBD，則雙曲線E的離心率為.標(biāo)準(zhǔn)方程22xy a2b222yx a2b2焦點位置焦點在x軸上焦點在y軸上性質(zhì)焦點F(c,0),F2(c,0)F(0,c),F2(0,c)焦距范圍對稱性關(guān)于坐標(biāo)軸、原點對稱頂點A(a,0),A2(a,0)A1(0,a),A2(0,a)軸長實軸長2a,虛軸長2b離心率a漸近線實軸和虛軸等長的雙曲線叫做等軸雙曲線,它有以下性質(zhì)：(1)方程形式為x2-y2=λ(λ子0)；(2)漸近線方程為y=士x,它們互相垂直；該雙曲線的焦距為(x2yx2a23)【答案】D(c22【分析】根據(jù)題意列出方程組〈22進(jìn)行求解即可.x2yx2a232，(a22，(a22．雙曲線y2-=1的實軸長是虛軸長的3倍，則m的值為()【答案】C【分析】根據(jù)雙曲線的方程，求得a=1,b=，結(jié)合題意，列出方程，即可求解.x2m 1.922xy -a2b2=1(a>0,b>0)的左頂點為A，右焦點為F，焦距為6，點M在雙曲線C上，且MFLAF，MF=2AF，則雙曲線C的實軸長為()【答案】A【分析】運用代入法，結(jié)合已知等式進(jìn)行求解即可.2-a2=2ac+2a2，4．如圖，這是一個落地青花瓷，其外形被稱為單葉雙曲面，可以看成是雙曲線C：-=1的一部分繞其虛軸所在直線旋轉(zhuǎn)所形成的曲面.若該花瓶橫截面圓的最小直徑為8cm，瓶高等于雙曲線C的虛軸長，則該花瓶的瓶口直徑為()【答案】D【分析】求出a=4，設(shè)出M(r,b)，代入雙曲線方程，求出r=4，得到直徑.【詳解】因為該花瓶橫截面圓的最小直徑為8cm，所以a=4.設(shè)M是雙曲線C與瓶口截面的一個交點，該花瓶的瓶口半徑為r，則M(r,b)，所以-=1，解得r=4，故該花瓶的瓶A．離心率相等B．焦距相等-2C．實軸長相等D．虛軸長相等【答案】B【分析】根據(jù)雙曲線的性質(zhì)逐一分析判斷即可.所以曲線22xy -155-mx2y215-m5=1都是焦點在x軸上的雙曲線，所以兩曲線的焦點和焦距都相同，故B正確；因為5-m子5，所以虛軸長不相等，故D錯【答案】2【分析】根據(jù)等軸雙曲線定義得到a2=b2=1，進(jìn)而求出c=，得到焦距.故答案為：2+=1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，M是【答案】4【分析】根據(jù)橢圓焦點三角形的性質(zhì)即可列方程求解〈2,，進(jìn)而可求解.【詳解】由于△MF1F2的面積為2,所以M ,故雙曲線C2的方程為一=1，則C2的實軸長為4.故答案為：4【答案】C【分析】利用雙曲線漸近線方程定義計算即可.【詳解】由題意可得：雙曲線yx a2ayx a2aa229．已知雙曲線9．已知雙曲線 -a2b2=1(a>0,b>0)的離心率為e，若點(2,)與點(e,2)都在雙曲線上，則該雙曲線的漸近【答案】B【分析】根據(jù)給定條件，列出方程組，結(jié)合離心率的意義求出a,b作答.|la2-b2, 4-e22 a2b2e2e2a22，此時方程-=1無解，b2所以該雙曲線的漸近線方程為y=士x.10．雙曲線-=1的兩條漸近線的夾角為()【答案】C【分析】根據(jù)題意求得雙曲線的漸近線方程，進(jìn)而求得其夾角.11．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，雙曲線2x2-y2=1的漸近線方程為()【答案】B【分析】化簡雙曲線的方程為標(biāo)準(zhǔn)方程，求得a,b的值，結(jié)合雙曲線的幾何性質(zhì)，即可求解.2-y【詳解】由雙曲線2-y222-y=1，可得其標(biāo)準(zhǔn)方程為1212．已知雙曲線C:x2y2a2-b2=1(a>0,b>0)的一個焦點是F，點F到C的漸近線的距離為A．與a有關(guān)B．與a無關(guān)【答案】BC【分析】根據(jù)雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程可求得焦點坐標(biāo)，再利用點到直線距離即可求出d=b，便可得出結(jié)論.【詳解】設(shè)雙曲線C的焦距為2c，不妨取右焦點F的坐標(biāo)為(c,0)，如下圖所示：所以d=所以d與a無關(guān)，故選：BC.與b有關(guān).【答案】3【分析】根據(jù)雙曲線的漸近線方程即可求解.故答案為：3所以6a【答案】n2【分析】根據(jù)雙曲線的漸近線方程結(jié)合條件可得=n2常n=2，進(jìn)而求出雙曲線的離心率.n2所以有=n2故答案為：15．已知雙曲線C:=1的一條漸近線斜率為2，實軸長為4，則C的標(biāo)準(zhǔn)方程為()A．y2x2=1B．y2x【答案】C【分析】根據(jù)雙曲線的基本量關(guān)系，結(jié)合漸近線方程求解即可.16．若雙曲線的實軸長與虛軸長之和等于其焦距的倍，且一個頂點的坐標(biāo)為(2,0)，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方DD．y2x2yx2=1x24=1【答案】A【分析】根據(jù)條件列關(guān)于a，b，c的方程組求解即可.【詳解】設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為【詳解】設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為22所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為-=1故選：A.2217．已知雙曲線C:17．已知雙曲線C: -a2b2=1(a>0,b>0)的焦點到漸近線的距離【答案】D【分析】由距離公式得出b=4，進(jìn)而由雙曲線的性質(zhì)得出方程.【詳解】右焦點F2(c,0)到漸近線bx-ay=0的距離=b=4，因為實軸長為2a=6，18．求雙曲線以橢圓+=1的焦點為頂點，且以橢圓的頂點為焦點，則雙曲線的方程是()【答案】A【分析】根據(jù)橢圓+=1方程，可得出其焦點坐標(biāo)、頂點坐標(biāo)，進(jìn)而得到雙曲線的焦點坐標(biāo)、頂點坐標(biāo)，即可得到雙曲線的方程.【詳解】在橢圓+=1中，c==，橢圓的焦點坐標(biāo)為(,0)，(-,0)，左右頂點坐標(biāo)分別為(2,0)，(-2,0)，|a2|a2|22-a2,lc=所以雙曲線C：-y2=1.則雙曲線的頂點坐標(biāo)為(,0)，(-,0)，焦點坐標(biāo)為(2,0)，(-2,0)，且雙曲線的焦點在x軸上，b22xyb22xy=1.所以雙曲線的方程為：故選：A.x2yx2a2b2C位于第一象限內(nèi)的一點，則m=()【答案】B【分析】根據(jù)已知條件求得a,b，從而求得雙曲線的方程，代入P點坐標(biāo)，由此求得m的值.【詳解】法一：雙曲線的幾何性質(zhì)又點P(2,m)是雙曲線C位于第一象限內(nèi)的一點，所以4-m所以法二：22a所以雙曲線C：-y2=1.又點P(2,m)是雙曲線C位于第一象限內(nèi)的一點，所以4-m所以【答案】A【分析】根據(jù)漸近線方程、實軸長求得m,n，由此求得m-n.(|a221．如果中心在原點，對稱軸在坐標(biāo)軸上的等軸雙曲線的一個焦點為F1(0,-6)，那么此雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.【分析】根據(jù)焦點坐標(biāo)及題意，設(shè)方程為-=1(a>0)，根據(jù)焦點坐標(biāo)，可求得a2，即可得答案.【詳解】因為一個焦點是F1(0,-6)，所以c=6，且焦點在y軸，所以設(shè)等軸雙曲線方程為-=1(a>0)，2所以雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程為-=1，22．若雙曲線C與雙曲線是.-=1有相同的漸近線，且經(jīng)過點(2,)，則雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程設(shè)雙曲線C的方程為由雙曲線C與雙曲線x2yx22x2y=λ,根據(jù)雙曲線C經(jīng)過的點求得λ,從而求得雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程.=1有相同的漸近線，可設(shè)雙曲線C的方程為-=λ,又C過點(2,)，2xx2所以λ=-，-=-，y-xy-x=1.23．與雙曲線-=1漸近線相同，且一個焦點坐標(biāo)是(0,5)的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是.【分析】設(shè)所求雙曲線的方程為-=1，由題意有a22y2y2x，由焦點坐標(biāo)是(0,5)，可設(shè)所求雙曲線的方程為22yx -a2b222雙曲線漸近線的方程為y=士所以雙曲線的方程為-=1.24．若雙曲線C與-y2=1有共同漸近線，且與橢圓+=1有相同的焦點，則該雙曲線C的方程為.【分析】根據(jù)雙曲線與橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，求得漸近線方程與焦點坐標(biāo)，由雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程，建立方程，可得答案.由題意可知，雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程設(shè)為-則雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為則雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為22,=1，寫出一個與雙曲線C有共同的漸近線但離心率不同的雙曲線方程=1，寫出一個與雙曲線C有共同的漸近線但離心率不同的雙曲線方程.2-y4x2xx2x2【答案】-x2=1（答案不唯一）【分析】根據(jù)有共同漸近線的雙曲線方程的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.2【詳解】與雙曲線C有共同的漸近線的雙曲線方程可設(shè)為【詳解】與雙曲線C有共同的漸近線的雙曲線方程可設(shè)為x22=λ,2當(dāng)λ=當(dāng)λ=-1時，得到雙曲線方程為-x2=1，顯然該雙曲線與雙曲線C有共同的漸近線但離心率不同，故答案為：-x2=126．求與雙曲線x2yx2=1有共同的漸近線，且經(jīng)過點M(3,-2)的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.【分析】利用待定系數(shù)法即可得到所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.【詳解】與雙曲線-=1有相同的漸近線的雙曲線可設(shè)為-=λ(λ產(chǎn)0)又所求雙曲線過點M(3,-2)，則-=λ,則λ=-2則所求雙曲線的方程為-=-2，即-=1.y2y2虛軸為實軸，試求雙曲線M的標(biāo)準(zhǔn)方程.4y2y2=t(t產(chǎn)0)，代入點A可得雙曲線E的標(biāo)準(zhǔn)方程，從而得到雙曲線雙曲線M的標(biāo)準(zhǔn)方程.∵點A(2,-3)在雙曲線E上，∴(21)2∴t=-42y,∴雙曲線E的標(biāo)準(zhǔn)方程為94又雙曲線M以雙曲線E的實軸為虛軸，虛軸為實軸，∴雙曲線M的標(biāo)準(zhǔn)方程為-=1.(1)求雙曲線C的虛軸長；(2)求與雙曲線C有相同漸近線，且過點Q(一3,6)的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.【答案】(1)22（2）設(shè)與雙曲線C有相同漸近線的雙曲線的方程為x2一=λ(λ子0)，將點Q(一3,6)的坐標(biāo)代入上述方程得λ即可.PF2PFFFFF在RtΔPF2F1中，PF1=PF22+F1F22=4故雙曲線C的虛軸長為22 22y2設(shè)與雙曲線C有相同漸近線的雙曲線的方程為y229．過原點的直線l與雙曲線E：22xy a2b2=1(a>0,b>0)交于A，B兩點（點A在第一象限ACLx交x軸于C點，直線BC交雙曲線于點D，且kAB.kAD=1，則雙曲線的漸近線方程為()【答案】D【分析】由題可設(shè)，A(x0,y0),B(一x0,一y0),D(x1,y1)，C(x0,0)，分別表示出kAB,kBC,kAD，逐步轉(zhuǎn)化，即可求得本題答案.【詳解】因為A,B直線過原點，所以A,B關(guān)于原點對稱，設(shè)A(x0,y0),B(-x0,-y0),D(x1,y1)，因為AC與x軸垂直，所以C(x0,0)，設(shè)kAB=k1,kBC=k2,，30．雙曲線E:x2y2a2-b2=1(a>0,b>0)，點A，B均在E上，若四邊形OACB為平行四邊形，且直線OC，AB的斜率之積為3，則雙曲線E的漸近線的傾斜角為()【答案】B【分析】利用點差法，結(jié)合雙曲線漸近線方程、平行四邊形的性質(zhì)、中點坐標(biāo)公式進(jìn)行求解即可.【詳解】設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2)，顯然線段AB的中點坐標(biāo)為,，因為四邊形OACB為平行四邊形，所以線段OC的中點坐標(biāo)和線段AB的中點坐標(biāo)相同，即為,，因為直線OC，AB的斜率之積為3，所以y1+y2y1一y2x+22y1一y222xxx因為點A，B均在E上，22y1一y222xxxb22a=3常b a33所以兩條漸近線方程的傾斜角為或，【點睛】關(guān)鍵點睛：本題的關(guān)鍵是應(yīng)用點差法和平行四邊形的性質(zhì).【答案】B【分析】由離心率求得即得漸近線方程.【詳解】a2a22a,F2分別是雙曲線x2y2a2b2且cosZPF1F2=，則雙曲線的漸近線方程為()【答案】B【分析】結(jié)合雙曲線的定義，以及條件，得到=，再根據(jù)c2=a2+b2，即可求解雙曲線漸近線的斜率.【詳解】作F2QLPF1于點Q，如圖所示，=PF2，所以Q為PF1的中點，x2yx2a2b2線在第一象限內(nèi)依次交于點A和點B．若AB=AF,則雙曲線C的漸近線方程為()A. 【答案】Bb【分析】分別求出點A,B的坐標(biāo)，利用線段相等建立方程求出b即可得解.【詳解】由題意得F(c,0)，雙曲線C的漸近線方程為y=士x．設(shè)點A，B的縱坐標(biāo)依次為y1，y2，因為y2因為y2所以BFbc.a因為AB=AF，所以 cc2b234．如圖，已知F1，F(xiàn)2為雙曲線22xy a2b2=1(a>0,b>0)的焦點，過F2作垂直于x軸的，則雙曲線的漸近線方程為.【分析】利用點在雙曲線上及直角三角形中30。所對的直角邊等于斜邊的一半，結(jié)合雙曲線的定義和漸近線方程即可求解.∵PF∵PF2a,2.∴∴雙曲線的漸近線方程為y=士x.135．過雙曲線W:=1的右焦點F作x軸的垂線，與兩條漸近線的交點分別為A，B，若ΔOAB為等邊三角形，則W的漸近線方程為，W的離心率為.【分析】根據(jù)圖形則得到=tan30。=，再利用離心率公式即可.【詳解】雙曲線漸近線方程為y=士x，22 a2b2=b，則雙曲線C的離心率為()【答案】A【分析】根據(jù)題意，先求得焦點F1到漸近線的距離為b，在直角△MOF1中，求得cosZOF1M=，再在22【詳解】由雙曲線C【詳解】由雙曲線C: a2b2x，bca22bca22在直角△MOF1中，可得cosZOF1M==，a2ba2b22+在△MF1F2中，由余弦定理得MF2MF2=FFFFMF1MF22FFFFMFMFcosZOF1M，bbc又由b2=c2a2，所以2c2=3(c2a2)，所以雙曲線的離心率為e==.故選：A.37．已知F為雙曲線C：22xy a2b2=1(a>0,b>0)的右焦點，平行于x軸的直線l分【答案】B離心率.22xy a2b2【詳解】雙曲線C：22xy a2b2【詳解】雙曲線C：,化簡得到2a2=c2，進(jìn)而求得雙曲線的b. x.a ab.c=OF由ZOBF=ZOFB，=OF,所以m22ac+a22，22、F2分別為雙曲線 a2b2=1(a>0,b>0)的左右焦點，O為坐標(biāo)原點，過左焦點F1作直線F1P與圓x22切于點E，與雙曲線右支交于點P，且|OP|=F1F2，則雙曲線的離心率為()【答案】A【詳解】因為直線F1P與圓x2+y2=a2切于點E，則OELF1P，所以E為F1P的中點，而O為F1F2中點，于是OE//PF2，有PF1LPF2，所以雙曲線的離心率e=.39．已知雙曲線C:x2y2a2b2，點F2關(guān)于一條漸近線的對稱點在另一條漸近線上，則雙曲線C的離心率是()【答案】C【分析】利用雙曲線的漸近線方程及點關(guān)于線對稱的特點，結(jié)合雙曲線的離心率公式即可求解.設(shè)點F2關(guān)于一條漸近線y=一x的對稱點為m,m，bm2=1與雙曲線C2：=1的離心率分別為e1，A．e1e2的最小值為e2的最大值為B．e1e2的最小值為D．e1e2的最大值為【答案】B【分析】由雙曲線方程，把離心率表示出來，再利用基本不等式求得最小值.e241．已知雙曲線C:22yx a2b22=a2=a相切于點A，并與雙曲線C的一條漸近線交于點B(A,B不重合若2=5，則雙曲線C的離心率為.【答案】/【分析】設(shè)出過上焦點F的直線方程為y一c=kx，由圓心到直線距離等于半徑得到k=士，再分別聯(lián)立直線與圓，直線與漸近線，求出xAxB=，根據(jù)比例關(guān)系得到方程，得到a,b,c的關(guān)系式，求出離心率.設(shè)過其上焦點F的直線方程為y-c=kx，如圖所示，故過其上焦點F的直線方程為y-c=-x，聯(lián)立y-c=-x與x2+y2=a2可得，x2-x+b2=0，聯(lián)立y-c=-x與y=x，可得xB=，此時，A,B重合，舍去，聯(lián)立y-c=-x與y=-x，可得xB=，此時A,B不重合，滿足要求， 2abc5ab因為2FB=5FA，所以2xB=5xA，故b2- 2abc5ab化簡得2c2=5b2-5a2，又b2解得=，雙曲線C的離心率為.故答案為：22xy -a2b2=1(a>0,b>0)的右焦點為F，過F分別作CB兩點，若B兩點，若22xy -a2b2【分析】設(shè)直線方程為22xy -a2b2【詳解】解：如圖所示：=2b求解.=2b求解.設(shè)直線方程為y=(x-c)與雙曲線方程-=1(a>0,b>0)43．已知雙曲線C:x2-y2部分上存在一點P，且OP=OF1，直線PF1的斜率為，則該雙曲線的離心率為.【答案】2【分析】根據(jù)題意，設(shè)點P的坐標(biāo)為x0,x0，根據(jù)OP=OF1，求得點P的坐標(biāo)為(a,b)，再由PF1的斜率為，得到b=a+c，化簡得到離心率e的方程，即可求解.【詳解】由雙曲線C:-x，(b)(b)2=c2=c22所以點P的坐標(biāo)為(a,b)，故答案為：2.2244．過雙曲線x44．過雙曲線 a2b2=1(a>0,b>0)的左焦點且垂直于x軸的直線與雙曲線交于A,B兩點，D為虛軸上的一個端點，且ZADB為鈍角，則此雙曲線離心率的取值范圍為())【答案】D【分析】根據(jù)雙曲線的性質(zhì)求出A,B,D的坐標(biāo)，寫出向量,，根據(jù)∠ADB為鈍角，結(jié)合向量的數(shù)量積公式化簡求解即可.可設(shè)Ac,,Bc,由題意知A,D,B三點不共線，所以∠ADB為鈍角常.<0，即為c2將b22a2代入化簡得e44a2c2+2a4>0，故選：D.45．已知F1，F(xiàn)2是雙曲線22xy a2b2則雙曲線離心率的最小值為()【答案】D【分析】設(shè)P的坐標(biāo)，代入雙曲線的方程，利用數(shù)量積的坐標(biāo)表示，結(jié)合雙曲線離心率的計算公式求解即得.【詳解】設(shè)P(x0,y0)，雙曲線的半焦距為c，則有|x0|之a(chǎn)，(c,0),F2(c,0)，------------2c2所以雙曲線離心率的最小值為.2c2c a22ayx a2b2(1【分析】確定雙曲線的漸近線方程，由題意可得關(guān)于a,b的不等關(guān)系，即可求得離心率范圍.2 <2(147．已知雙曲線C:-=1(a>0,b>0),F為雙曲線的右焦點，過點F作漸近線的垂線MN(kMN<0)，垂足為M，交另一條漸近線于N，若=λ(λ>2)，則雙曲線C的離心率的取值范圍是()【答案】C【分析】設(shè)人MOF=θ,根據(jù)=λ(λ>2)列式，根據(jù)λ的取值范圍求得的取值范圍，進(jìn)而求得離心率的取值范圍.【詳解】依題意可知M在第一象限，N在第二象限，MF即MF即-------由NM=λMF(λ>2)得MN-------則tanθ=tan人NOM=tan(π-2θ)則tanθ==λb=λb,:tan人NOM=2tanθtan2θ-12abb2-a22ab.故選:C48．雙曲線x2-=1的左焦點為F，A(0,-b)，M為雙曲線右支上一點，若存在M，使得FM+AM=5，則雙曲線離心率的取值范圍為())【答案】Bb2b22求雙曲線離心率的取值范圍.【詳解】取雙曲線的右焦點F1，由雙曲線定義FM=F1M+2，如圖所示，故存在點M使得FM+AM=5等價為存在點M使得F1M+AM=3，所以F1A<3，當(dāng)且僅當(dāng)A,M,F1三點共線時等號成立，2249．如圖為陜西博物館收藏的國寶——唐·金筐寶鈿團化紋金杯，杯身曲線內(nèi)收，玲瓏嬌美，巧奪天工，是唐朝金銀細(xì)作的典范之作．該杯的主體部分可以近似看作是雙曲線C：22xy a2b28轉(zhuǎn)體．若該雙曲線右支上存在點P，使得直線PA，PB（點A，B為雙曲線的左、右頂點）則該雙曲線離心率的取值范圍為.(5)(5)【分析】A(a,0)，B(a,0)，設(shè)P(x0,y0)，計算kPA.kPB=，根據(jù)均值不等式計算得到<，得到離心率范圍.a022，PFOFPFOFkPAa22a5(5)5(5)(5)(5)x2yx2a2b2點使得ZPF2F1=3ZPF1F2，則C的離心率的取值范圍為.【分析】PF1與y軸交點Q，連接QF2，可求離心率的取值范圍.【詳解】設(shè)PF1與y軸交點Q，連接QF2，由對稱性可知，ZQF1F2=ZQF2F1，如圖所示，又∵ZPF2F1=3ZPF1F2，∴ZPF2Q=ZPQF2=-2PF又∵1-2PF又∵1QFQFe=a。:ZPFF<=45由ZPF2F:ZPFF<=4541QF1 41QF1 2a2故答案為：51．已知有公共焦點的橢圓與雙曲線的中心為原點，焦點在x軸上，左右焦點分別為F1，F(xiàn)2，且它們在第一象限的交點為P，△PF1F2是以PF1為底邊的等腰三角形.若PF1=10，雙曲線的離心率的取值范圍為(1,2)，則該橢圓的焦距的取值范圍是()【答案】B【分析】設(shè)橢圓的焦距為2c，雙曲線的實軸長為2a，根據(jù)雙曲線的定義及雙曲線的離心率的取值范圍求出c的范圍，進(jìn)而可得出答案.【詳解】解：設(shè)橢圓的焦距為2c，雙曲線的實軸長為2a，則FF2又雙曲線的離心率的取值范圍為(1,2)，20(20)20(20)52．設(shè)雙曲線C:-PF1LPF2．若△PF1F2的面積為4，則a=()【答案】D【分析】由雙曲線的離心率為可得c=a①,又因為PF1LPF2．若△PF1F2的面積為4，設(shè)P在雙曲線22+16，結(jié)合①,即可求得a的值.【詳解】解：因為雙曲線的離心率為，又因為PF1LPF2，△PF1F2的面積為4，所以n2+m2=(n-m)2+2nm=4a2+16，2故選：D.53．設(shè)k為實數(shù)，已知雙曲線-=1的離心率ee(2,3)，則k的取值范圍為【答案】(12,32)【分析】根據(jù)雙曲線離心率公式進(jìn)行求解即可【詳解】因為-=1表示雙曲線的方程，即k的取值范圍為(12,32)，54．已知F1，F(xiàn)2是雙曲線C的兩個焦點，P為C上一點，且ZF1PF2=60。，PF1=λPF2(λ>1)，若C的離心率為，則λ的值為.OFPFOFPF【答案】3【分析】根據(jù)雙曲線的定義及條件，表示出PF1,PF2，結(jié)合余弦定理求解即可.=λPF2(λ>1)及雙曲線的定義可得PF1PF2=(λ1)PF2=2a，2即(λ1)2c2=(λ2λ+1)a2，所以e2==λ1=，13即3λ210λ+3=0，解得λ=3或λ13故答案為：32255．已知雙曲線55．已知雙曲線 a2b2為坐標(biāo)原點，過點O作F1P的垂線，垂足為點H，若雙曲線的離心率e=，存在實數(shù)m滿足OH=mOF1， 19由題意，可得相似三角形，根據(jù)相似三角形性質(zhì)，建立等量關(guān)系，結(jié)合離心率的公式，建立方程，可得答案.-------=0可得PF2LF1F2，由題易得ΔF1OH~ΔF1PF2.1111由相似三角形的性質(zhì)可知，b2 a2PF2a2PFa2m2m2：e2c2ab2a2 19故答案為：.56．已知雙曲線C:-=1的離心率大于，則實數(shù)m的取值范圍是()【答案】A【分析】根據(jù)雙曲線方程，討論實軸位置，求出離心率，由已知離心率范圍列出不等式可解得m的范圍. ,當(dāng)雙曲線實軸在，F(xiàn)2分別是雙曲線C的左，右焦點，M為△PF1F2的內(nèi)心，若雙曲線C的離心率e=，且S‘MPF=S‘MPF+λS‘MFF，則λ=()24【答案】D【分析】設(shè)出△PF1F2內(nèi)切圓的半徑，表示出S‘MPF,S‘MPF,S‘MFF，由S‘MPF=S‘MPF+λS‘MFF得λ=，結(jié)合雙曲線的定義及離心率即可求解.【詳解】設(shè)△PF1F2內(nèi)切圓的半徑為r，則S‘MPF=.r.PF1,S‘MPF=.r.PF2,S‘MFF=.r.F1F2，由S‘MPF=S‘MPF+λS‘MFF可得.r.PF1=.r.PF2+λ..r.F1F2，化簡得PF1=PF2+λF1F2，故選：D.58．某中心接到其正東、正西、正北方向三個觀測點的報告；正西、正北兩個觀測點同時聽到了一聲巨響，正東觀測點聽到的時間比其它兩觀測點晚2s，已知各觀測點到該中心的距離是680m，則該巨響發(fā)生在接報中心的處(假定當(dāng)時聲音傳播的速度為340m/s，相關(guān)各點均在同一平面上)A．西偏北45°方向，距離340mB．東偏南45°方向，距離340mC．西偏北45°方向，距離170mD．東偏南45°方向，距離170m【答案】A【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，由條件確定該巨響發(fā)生的軌跡，聯(lián)立方程組求其位置.【詳解】如圖，以接報中心為原點O，正東、正北方向為x軸、y軸正向，建立直角坐標(biāo)系．設(shè)A、B、C分別是西、東、設(shè)P（x，y）為巨響為生點，由A、C同時聽到巨響聲，得PA=PC，故方程為y=x，因B點比A點晚2s聽到爆炸聲，故，PBPA=340x2=680故PO＝340.故巨響發(fā)生在接報中心的西偏北450距中心340m處.故選：A.5