變化率問題同步課堂教學設計 高二下學期數(shù)學人教A版（2019）選擇性必修第二冊

教學設計課題名稱5.1.1變化率問題課時計劃：1課時第1課時授課日期：教學目標1.通過實例分析，經(jīng)歷由平均速度過渡到瞬時速度的過程.2.理解割線的斜率與切線的斜率之間的關(guān)系.3.體會極限思想．重點難點理解割線的斜率與切線的斜率之間的關(guān)系教學方法教師講授、師生互動、學生主導科組模式板書設計作業(yè)布置課后反思教學過程設計教學環(huán)節(jié)教師活動(可附帶學生活動)【導入新課】我們經(jīng)常在高速路上“區(qū)間測速”的提醒，是為了提醒司機安全駕駛，它是通過測算在一定的路程上所花的時間來測量速度的；大家在生活中也會聽到人們討論車輛油耗的問題：你的車要用多少油？這里所說的多少油其實就是汽車百公里消耗的油量，而有些車是可以查看汽車的某段時間甚至是瞬間的油耗，今天我們就來研究這變化率問題吧．（設計意圖：通過舉生活中的例子，比如平均速度，平均油耗等，引出變化率的概念，吸引同學們的注意力和探究興趣）【講授新課】一、平均速度問題1在高臺跳水運動中，運動員相對于水面的高度(單位：)與起跳后的時間(單位：)之間的函數(shù)關(guān)系式為.你可以求該運動員在下列情況的平均速度嗎?(1)在第一個內(nèi)的平均速度；(2)在這段時間內(nèi)的平均速度.【答案】(1)(2)【分析】根據(jù)平均速度的求法求得平均速度.【詳解】（1）運動員在第一個內(nèi)的平均速度即高度在區(qū)間上的平均變化率，即，故運動員在第一個內(nèi)的平均速度為.（2）運動員在這段時間內(nèi)的平均速度即高度在區(qū)間上的平均變化率，即，故運動員在這段時間內(nèi)的平均速度為.（設計意圖：平均速度可以是正數(shù)，也可以是負數(shù)，甚至可以是0，說明平均速度并不能精確描述運動員的運動狀態(tài)。通過舉例來加深同學們對平均速度的理解和認識）【題型探索】例1已知某物體運動的位移s是時間t的函數(shù)，且.(1)求這個物體t從3秒到3.1秒的平均速度；(2)求這個物體t從3秒到3.01秒的平均速度.【詳解】（1）當時，，∵，∴.（2）當時，，∵，∴.（設計意圖：引導學生如何求解一段時間內(nèi)的平均速度，加深對平均速度的認識和理解，同時對平均變化率能有個初步認識。）跟蹤訓練1某質(zhì)點沿直線運動，其位移（單位：）與時間（單位：）之間的關(guān)系為，則該質(zhì)點在這段時間內(nèi)的平均速度為（

）A． B． C． D．【詳解】由題意知位移（單位：）與時間（單位：）之間的關(guān)系為，則該質(zhì)點在這段時間內(nèi)的平均速度為（），故選：B二、瞬時速度問題2我們知道平均速度不能精確地實時描述運動狀態(tài)，司機在高速路如果發(fā)現(xiàn)超速了，他只需踩下剎車，讓車輛低速行駛一段時間即可避免區(qū)間測速的超速現(xiàn)象，你認為，我們應該如何改進這一個區(qū)間測速問題？提示根據(jù)平均速度定義，eq\x\to(v)＝eq\f(ft2－ft1,t2－t1)，無論是在短路程里測算速度還是在較少時間內(nèi)測算速度，似乎都無法避免這個問題，但是如果能測量汽車的瞬時速度就可以很好地避免這一問題．于是，我們把函數(shù)值的增量f(t2)－f(t1)記為Δy，即Δy＝f(t2)－f(t1)，自變量的增量t2－t1記為Δt，即Δt＝t2－t1，這里的Δt可以看成是t1的一個增量，可用t1＋Δt來表示t2，則平均則平均速度可記為eq\f(Δy,Δt)＝eq\f(ft2－ft1,t2－t1)＝eq\f(ft1＋Δt－ft1,Δt)，如果時間的增量Δt無限小，此時在極短的時間內(nèi)的平均速度就可近似等于在時間t＝t1的瞬時速度，這就需要用到我們數(shù)學中的“極限”思想，意思就是讓Δt無限趨近于0.（設計意圖：引導學生思考平均速度的意義及如何精確描述物體運動狀態(tài)，讓學生理解和辨析平均速度與瞬時速度的區(qū)別與練習，從而引出“極限”的概念，讓學生們體驗“極限”思想。）知識梳理1．瞬時速度：物體在某一時刻或某一位置的速度稱為瞬時速度．2．瞬時速度與平均速度的關(guān)系：從物理角度看，當時間間隔|Δt|無限趨近于0時，平均速度eq\x\to(v)就無限趨近于t＝t0時的瞬時速度．3．瞬時速度的計算：設物體運動的時間與位移的函數(shù)關(guān)系式為y＝h(t)，則物體在t0時刻的瞬時速度為eq\o(lim,\s\do4(Δt→0))eq\f(ht0＋Δt－h(huán)t0,Δt).注意點：Δt可正，可負，但不能為0.例2一輛汽車在公路上沿直線變速行駛，假設ts時汽車的速度（單位：）為，求汽車在第2s與第6s時的瞬時加速度，并說明它們的意義．【詳解】解：在第2s和第6s時，汽車的瞬時加速度就是和．根據(jù)導數(shù)的定義，，所以．同理可得．在第2s與第6s時，汽車的瞬時加速度分別是與．說明在第2s附近，汽車的速度每秒大約增加；在第6s附近，汽車的速度每秒大約減少．（設計意圖：讓學生理解瞬時速度的計算方式，同時，讓學生們直觀感受“極限”思想在數(shù)學中的應用，激發(fā)學生們對數(shù)學的學習興趣。）延伸探究1．若本例中的條件不變，試求物體的初速度．解2．若本例中的條件不變，試問物體在哪一時刻的瞬時速度為9m/s.解方法總結(jié)求運動物體瞬時速度的三個步驟(1)求位移改變量Δs＝s(t0＋Δt)－s(t0)．(2)求平均速度eq\x\to(v)＝eq\f(Δs,Δt).(3)求瞬時速度，v＝eq\o(lim,\s\do4(Δt→0))eq\f(Δs,Δt).跟蹤訓練2一做直線運動的物體，其位移s與時間t的關(guān)系是（位移：m，時間：s）.(1)求此物體的初速度；(2)求此物體在時的瞬時速度；(3)求到時的平均速度.【詳解】（1）初速度（2），所以此物體在時的瞬時速度為，方向與初速度方向相反，（3），所以到時的平均速度為三、拋物線的切線的斜率問題3在點P0(1,1)的附近任取一點P(x，x2)，考察拋物線f(x)＝x2的割線P0P有什么變化趨勢？提示當點P無限趨近于點P0時，割線P0P無限趨近于一個確定的位置．（設計意圖：讓學生們認識與體驗函數(shù)圖像中“極限”思想，理解“極限”的幾何意義，同時認識與理解切線的概念與演變，從而知道如何去計算曲線的切線斜率和方程。）知識梳理1．拋物線的切線：設P0是拋物線上一定點，P是拋物線上的動點，當點P無限趨近于點P0時，割線P0P無限趨近于一個確定的位置，這個確定位置的直線P0T稱為拋物線在點P0處的切線．2．切線的斜率與割線的斜率的關(guān)系：從幾何圖形上看，當橫坐標間隔|Δx|無限變小時，點P無限趨近于點P0，于是割線PP0無限趨近于點P0處的切線P0T，這時，割線PP0的斜率k無限趨近于點P0處的切線P0T的斜率k0.注意點：極限的幾何意義：曲線y＝f(x)在x＝x0處的切線斜率．例3求拋物線f(x)＝3x2－4x－1在點(2，3)處的切線方程.【詳解】因為所以k＝(3Δx＋8)＝8，則切線方程y－3＝8(x－2)，即8x－y－13＝0.延伸探究本例函數(shù)不變，求與2x－y＋4＝0平行的該曲線的切線方程．解方法總結(jié)(1)求拋物線在某點處的切線方程的步驟(2)求曲線過某點的切線方程需注意，該點不一定是切點，需另設切點坐標．跟蹤訓練3求拋物線f(x)＝2x2－x在點(1,1)處的切線方程．解f(1＋Δx)－f(1)＝(1＋Δx)2－(1＋Δx)－1＝3Δx＋(Δx)2，所以切線的斜率k＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(f2＋Δx－f2,Δx)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f