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PAGE 數(shù)學(xué)試題第4頁(共4頁)科目:數(shù)學(xué)(試題卷)注意事項:1.答題前,考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。2.回答選擇題時,選出每小題答案后,用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑。如需改動,用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案標(biāo)號,不留痕跡。回答非選擇題時,將答案寫在答題卡上,寫在本試卷上無效。3.本試卷共4頁,如缺頁,考生須及時報告監(jiān)考老師,否則后果自負(fù)。4.考試結(jié)束后,將本答題卷和答題卡一并交回。姓名準(zhǔn)考證號祝你考試順利!2024年常德市高三年級模擬考試數(shù)學(xué)一、選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的.1.已知集合,,則A.B.C.D.2.已知等差數(shù)列的前項和為,,,則A.B.C.D.3.已知奇函數(shù)是定義域為R的連續(xù)函數(shù),且在區(qū)間上單調(diào)遞增,則下列說法正確的是A.函數(shù)在R上單調(diào)遞增B.函數(shù)在上單調(diào)遞增C.函數(shù)在上單調(diào)遞增D.函數(shù)在上單調(diào)遞增4.如圖,現(xiàn)有棱長為6cm的正方體玉石缺失了一個角,缺失部分為正三棱錐,且分別為棱靠近的四等分點,若將該玉石打磨成一個球形飾品,則該球形飾品的體積的最大值為A.B.C.D.5.已知,,則A.B.C.D.6.已知平面向量均為單位向量,且夾角為,若向量與共面,且滿足,則A.B.C.D.7.已知,則=A.9B.10C.18D.198.設(shè)有甲、乙兩箱數(shù)量相同的產(chǎn)品,甲箱中產(chǎn)品的合格率為90%,乙箱中產(chǎn)品的合格率為80%.從兩箱產(chǎn)品中任取一件,經(jīng)檢驗不合格,放回原箱后在該箱中再隨機(jī)取一件產(chǎn)品,則該件產(chǎn)品合格的概率為A.B.C.D.二、選擇題:本題共3小題,每小題6分,共18分.在每小題給出的選項中,有多項符合題目要求.全部選對的得6分,部分選對的得部分分,有選錯的得0分.9.下列說法正確的是A.數(shù)據(jù)6,5,3,4,2,7,8,9的上四分位數(shù)(75%分位數(shù))為7B.樣本數(shù)據(jù)與樣本數(shù)據(jù)滿足,則兩組樣本數(shù)據(jù)的方差相同C.若隨機(jī)事件,滿足:,則,相互獨立D.若,且函數(shù)為偶函數(shù),則10.過點的直線交拋物線于A,B兩點,線段AB的中點為,拋物線的焦點為,下列說法正確的是A.以AB為直徑的圓過坐標(biāo)原點B.C.若直線的斜率存在,則斜率為D.若,則1211.若函數(shù)的零點為,函數(shù)的零點為,則A.B.C.D.三、填空題:本題共3小題,每小題5分,共15分.12.已知曲線在處的切線與圓相交于A、B兩點,則____________.13.若復(fù)數(shù)滿足:,則________.14.已知雙曲線C:的左、右焦點分別為,過的直線與雙曲線的左、右兩支分別相交于兩點,直線與雙曲線的另一交點為,若為等腰三角形,且的面積是的面積的2倍,則雙曲線C的離心率為_________.四、解答題:本題共5小題,共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.(本小題滿分13分)在中,內(nèi)角,,的對邊分別為,,,且.(1)求角;(2)若,,成等差數(shù)列,且的面積為,求的周長.16.某市組織宣傳小分隊進(jìn)行法律法規(guī)宣傳,某宣傳小分隊記錄了前9天每天普及的人數(shù),得到下表:時間(天)123456789每天普及的人數(shù)y8098129150203190258292310(1)從這9天的數(shù)據(jù)中任選4天的數(shù)據(jù),以X表示4天中每天普及人數(shù)不少于240人的天數(shù),求X的分布列和數(shù)學(xué)期望;(2)由于統(tǒng)計人員的疏忽,第5天的數(shù)據(jù)統(tǒng)計有誤,如果去掉第5天的數(shù)據(jù),試用剩下的數(shù)據(jù)求出每天普及的人數(shù)y關(guān)于天數(shù)的線性回歸方程.(參考數(shù)據(jù):附:對于一組數(shù)據(jù),,……,,其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計分別為:).17.(本小題滿分15分)如圖,在四棱錐中,平面平面,,,,.(1)證明:平面;(2)已知三棱錐的體積為,點為線段的中點,設(shè)平面與平面的交線為,求直線與平面所成角的正弦值.18.(本小題滿分17分)已知O為坐標(biāo)原點,橢圓C:的上、下頂點為A、B,橢圓上的點P位于第二象限,直線PA、PB、PO的斜率分別為,且.(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)過原點O分別作直線PA、PB的平行線與橢圓相交,得到四個交點,將這四個交點依次連接構(gòu)成一個四邊形,則此四邊形的面積是否為定值?若為定值,請求出該定值;否則,請求出其取值范圍.19.(本小題滿分17分)已知函數(shù).(1)判斷函數(shù)在區(qū)間上極值點的個數(shù)并證明;(2)函數(shù)在區(qū)間上的極值點從小到大分別為,設(shè)為數(shù)列的前項和.①證明:;②試問是否存在使得?若存在,求出的取值范圍;若不存在,請說明理由.2024年常德市高三年級模擬考試數(shù)學(xué)參考答案一一、選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的.題號12345678答案CDCBABDA二、選擇題:本題共3小題,每小題6分,共18分.在每小題給出的選項中,有多項符合題目要求.全部選對的得6分,部分選對的得部分分,有選錯的得0分.題號91011答案BCABCBCD 三、填空題:本題共3小題,每小題5分,共15分.12.13.14.或四、解答題:本題共5小題,共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.(本小題滿分13分)解:(1)由正弦定理,2分由余弦定理5分又,6分(2)由,,成等差數(shù)列,①7分的面積為,,即②9分由(1)③由①②③解得:12分,故的周長為1513分16.(本小題滿分15分)解:(1)每天普及人數(shù)不少于240人的天數(shù)為3天,則X的所有可能取值為0,1,2,31分,,,5分故X的分布列為X0123P7分(2)設(shè)原來數(shù)據(jù)的樣本中心點為,去掉第5天的數(shù)據(jù)后樣本中心點為,8分10分故13分,∴15分17.(本小題滿分15分)解:(1)證明:取AD的中點O,,1分又平面平面,平面平面=,平面3分又平面,4分,,,,5分又,平面,平面6分(法二:,,,,3分又平面平面,平面平面,平面平面6分閱卷說明:若考生用方法二:第(2)問建系沒有證明的平面扣2分)(2),8分取PB的中點M,又為的中點,,又,平面即為平面,為平面與平面的交線10分取AB的中點Q,連結(jié)OQ,由(1)可知,OA、OP、OQ兩兩垂直.如圖建立空間直角坐標(biāo)系,則,,,,11分設(shè)平面的法向量為,,則,取,則,13分設(shè)直線與平面夾角為,則故直線與平面夾角的正弦值15分18.(本小題滿分17分)解:(1)由題易得設(shè),則1分∵,∴3分化簡得:①又在橢圓上,②由①②得又,∴5分故橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程6分(2)設(shè)直線PA的平行線與橢圓相交于點E、F(E在上方);直線PB的平行線與橢圓相交于點G、H(G在上方).∴直線EF的方程為,直線GH的方程為.又,∴8分聯(lián)立,解得∴10分聯(lián)立,解得∴12分設(shè)直線EF的傾斜角為,直線GH的傾斜角為,∴則14分∴四邊形面積為故該四邊形的面積為定值17分19.(本小題滿分17分)解:(1),設(shè),又1分當(dāng)時,在上單調(diào)遞減,,在上無零點2分當(dāng)時,在上單調(diào)遞增,,在上有唯一零點3分當(dāng)時,在上單調(diào)遞減,,在上有唯一零點4分綜上,函數(shù)在區(qū)間上有兩個零點且在零點左右函數(shù)符號發(fā)生改變,故函數(shù)在區(qū)間內(nèi)恰有兩個極值
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