高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第14講 導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性學(xué)案理 新人教版

第14講導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性

課前雙基鞏固

-以嬴^如識(shí)蓼百畝藍(lán)點(diǎn)-

知識(shí)聚焦:

函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)

導(dǎo)數(shù)單調(diào)遞在區(qū)間(a,6)上，若￡(x)X,則/Xx)在這個(gè)區(qū)間

到增上單調(diào)

單調(diào)單調(diào)遞在區(qū)間(a,?上，若/''(x)。則/tv)在這個(gè)區(qū)間

性減上單調(diào)

單調(diào)單調(diào)遞若函數(shù)了=/'(1)在區(qū)間(&6)上單調(diào)遞增,則

性增f'(x)

到導(dǎo)單調(diào)遞若函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,6)上單調(diào)遞減，則

數(shù)減f'(x)

“函數(shù)片f(x)在區(qū)間(a")上的導(dǎo)數(shù)大(小)于0”是“其單調(diào)

遞增(減)”的條件

對(duì)點(diǎn)演練:

題組一常識(shí)題

L［教材改編］函數(shù)f(x)書(shū)'-X的單調(diào)遞增區(qū)間是.

2.［教材改編］比較大小:xInx(xQ(1,+8)).

3.［教材改編］函數(shù)尸ax"1在(_嗎+8)上是減函數(shù),則實(shí)數(shù)a的取值范圍為.

4.［教材改編］己知f(x)是定義在R上的可導(dǎo)函數(shù)，函數(shù)ym""的圖像如圖2T4T所示,則

F(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是.

圖2T4T

題組二常錯(cuò)題

?索引：可導(dǎo)函數(shù)在某區(qū)間上單調(diào)時(shí)導(dǎo)數(shù)滿足的條件;利用單調(diào)性求解不等式時(shí)不能忽視原

函數(shù)的定義域;求單調(diào)區(qū)間時(shí)忽略定義域;討論函數(shù)單調(diào)性時(shí)分類標(biāo)準(zhǔn)有誤.

5.若函數(shù)f(x)如Tnx在區(qū)間(1,+8)上為增函數(shù)，則力的取值范圍是.

6.若函數(shù)f(x)=ln則不等式/U-x)?(2『1)的解集為.

7.函數(shù)f(x)=x+ln(2-x)的單調(diào)遞增區(qū)間為.

8.討論函數(shù)片af-x在R上的單調(diào)性時(shí),a應(yīng)分、、三種情況討

論.

課二施初堂首位考.京i點(diǎn)菽茯探后荽究⑥二

。探究點(diǎn)一函數(shù)單調(diào)性的判斷或證明

例1［2018?商丘二模］己知函數(shù)Ax)=a-DertW,其中加為常數(shù)，且叫討論函數(shù)/U)

的單調(diào)性.

［總結(jié)反思］用導(dǎo)數(shù)法判斷和證明函數(shù)/l(?在區(qū)間(a,3內(nèi)的單調(diào)性的一般步驟：

⑴求f'(x).

(2)確認(rèn)f'(x)在區(qū)間(a,6)內(nèi)的符號(hào)(如果含有參數(shù),則依據(jù)參數(shù)的取值討論符號(hào)).

(3)得出結(jié)論:/''(x)%時(shí)，函數(shù)/U)為增函數(shù);6(x)<0時(shí)，函數(shù)/U)為減函數(shù).

變式題已知函數(shù)F(x)［+-)e',aGR.

(1)求f(x)的零點(diǎn)；

(2)當(dāng)a2當(dāng)時(shí),求證:f(x)在區(qū)間(1,+9)上為增函數(shù).

O探究點(diǎn)二求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間

例2［2018?北京朝陽(yáng)區(qū)一模］已知函數(shù)f(x)J」-ax(aGR).

⑴若aR,求曲線尸f(x)在點(diǎn)(1,F(D)處的切線方程；

(2)若a<-l,求函數(shù)/(A)的單調(diào)區(qū)間.

［總結(jié)反思］(1)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的關(guān)鍵是確定導(dǎo)數(shù)的符號(hào).不含參數(shù)的問(wèn)題直接

解導(dǎo)數(shù)大于(或小于)零的不等式,其解集即為函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；含參數(shù)的問(wèn)題，應(yīng)就參數(shù)范圍

討論導(dǎo)數(shù)大于(或小于)零的不等式的解，其解集即為函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.

(2)所有求解和討論都必須在函數(shù)的定義域內(nèi)，不要超出定義域的范圍.

變式題⑴函數(shù)H*)=31n分的單調(diào)遞增區(qū)間為()

A.(0,1),(3,+2

B.(1,3)

C.(-8,1),(3,+8)

D.(3,,8)

(2)函數(shù)/Xx)=*±+21nx的單調(diào)遞減區(qū)間是.

。探究點(diǎn)三已知函數(shù)單調(diào)性確定參數(shù)的取值范圍

例3已知函數(shù)/'(x)=x+lnx-ax.

(1)當(dāng)a=3時(shí)，求f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間；

(2)若f(*)在(0,1)上是增函數(shù),求a的取值范圍.

［總結(jié)反思］(Df(x)在〃上單調(diào)遞增(減)，只要滿足尸(x)20(W0)在〃上恒成立即可.如果

能夠分離參數(shù),則可分離參數(shù)后轉(zhuǎn)化為參數(shù)值與函數(shù)最值之間的關(guān)系.

(2)二次函數(shù)在區(qū)間〃上大于零恒成立，討論的標(biāo)準(zhǔn)是二次函數(shù)的圖像的對(duì)稱軸與區(qū)間〃的相

對(duì)位置，一般分對(duì)稱軸在區(qū)間左側(cè)、內(nèi)部、右側(cè)進(jìn)行討論.

變式題⑴[2018?哈爾濱師大附中三模]若函數(shù)f(x)x,cosx+acosx在(-8,,8)

上單調(diào)遞增，則a的取值范圍是()

A.[-1,1]

B.[-1,3]

C.[-3,3]

D.[-3,-1]

(2)若函數(shù)f(x)=x+alnx不是單調(diào)函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()

A.[0,2)

B.(-8,0]

C.S0)

D.(0,+2

O探究點(diǎn)四函數(shù)單調(diào)性的簡(jiǎn)單應(yīng)用

例4⑴定義域?yàn)镽的可導(dǎo)函數(shù)/U)的導(dǎo)函數(shù)為f'(x),且滿足F(x)"'(X),f(0)2,則不等

式f(x)<2e'的解集為()

A.(-8,o)

B.(一千2)

C.(0,+8)

D(2,+叫

(2)已知函數(shù)g(x)是偶函數(shù),f(*)招(x-2),且當(dāng)正2時(shí)，導(dǎo)函數(shù)F(x)滿足(x-2)6(x)刀,若

1<3<3,則()

a

A.f(4)"(3)<f(log3a)

B.f(3)"(logsa)"(4")

C.Alog3a)<f(3)<f(4")

D./(logsa)"(4")<f(3)

［總結(jié)反思］用導(dǎo)數(shù)比較大小或解不等式,常常要構(gòu)造新函數(shù),把比較大小或求解不等式的問(wèn)

題轉(zhuǎn)化為利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性的問(wèn)題,再由單調(diào)性比較大小或解不等式.常見(jiàn)構(gòu)造的輔

助函數(shù)有:g(x)=xf{x},g{x)-(\g(x),g(x)_1g(x)-f(x)Inx,g(x),：)等.

變式題(1)已知a2.r)。之.22」,c=logzz2.1,貝lj()

A.c<b<a

B.c<a<b

C.a<b<c

D.a<c<b

(2)已知定義在實(shí)數(shù)集R上的函數(shù)f(x)滿足f(2)寸,且f(x)的導(dǎo)函數(shù)f'(x)<3,則不等式Ain

x)>31nx+1的解集為.

第14講導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性

考試說(shuō)明1.了解函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)的關(guān)系；

2.能利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；

3.會(huì)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間(其中多項(xiàng)式函數(shù)一般不超過(guò)三次).

【課前雙基鞏固】

知識(shí)聚焦

遞增遞減NOW0充分

對(duì)點(diǎn)演練

1.(0,9)［解析］由f'(x)m'-lA),解得$X),故其單調(diào)遞增區(qū)間是(0,+8).

2.>［解析］設(shè)/Xx)=xTnx,xW(1,+2,則6(%)=1」■為，所以函數(shù)/、(x)在(1,+8)上是增

函數(shù)，所以f(x)=x-lnx>\X),所以x>\nx.

3.(-so)［解析］:，/方af,函數(shù)在區(qū)間(-8,+8)上是減函數(shù)，

.：y'W0在(-,+?>)上恒成立，即3afWO恒成立，

.：aW0.：?當(dāng)a4時(shí)，尸T,不是減函數(shù)，

?:a<0,即&W(-8,0).

4.(-8,2］［解析］因?yàn)楫?dāng)xW2時(shí),e"”Wl,所以當(dāng)xW2時(shí)，f'(x)W0,所以f(x)的單調(diào)遞

減區(qū)間是(-千2］.

5.［1,+8)［解析］因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間(1,+2上為增函數(shù)，所以/J)包上一o

在(1,+2上恒成立，即發(fā)》上在(1,+8)上恒成立,可得Q1.

6.［解析］因?yàn)閤C(0,+R),f'(x),弓X,所以函數(shù)/V)=lnX」■在(0,f2上為增

函數(shù),所以只需滿足l-x>2xTX),解得生專

7.(-'1)［解析］由2-如0,得了<2,即函數(shù)人力的定義域?yàn)?-3,2).

易知r(x)=1白,令/l'(x)為,可得—<1,

結(jié)合2-xX),得2-x〉l,解得x<\,

即函數(shù)f(x)中+ln(2-x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-'1).

8.aXa=Qa<0［解析］/書(shū)a/T,所以對(duì)a分a>0,aR,a<0三種情況討論比較合理.

【課堂考點(diǎn)探究】

例1［思路點(diǎn)撥］先對(duì)而進(jìn)行分類討論,再結(jié)合f'(x)的符號(hào)討論函數(shù)Ax)的單調(diào)性.

解：易知xG(-刃，+co),F(*)氣*"+(xT)e’"+2勿x=x(e"'+2必).

gw20時(shí)，：?e'"X,.入川也勿為.

.:當(dāng)xX)時(shí)，f'(x)為；當(dāng)x<0時(shí),f'(x)<0.

故F(x)在區(qū)間(-e0)上單調(diào)遞減,在區(qū)間(0,+2上單調(diào)遞增.

②時(shí)，f'(x)=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，即X1O,Jf2-ln(-2ffl)T,且x、》瓜

則當(dāng)上0時(shí),f'COY;

當(dāng)in(-2〃)Tae時(shí),f(x)e；

當(dāng)x<ln(-2/fl)-1時(shí)，f'(x)>0.

故〃必在區(qū)間(-8,111(-2血-1),(0,+叫上單調(diào)遞增,在區(qū)間(In(-2?)-1,0)上單調(diào)遞減.

綜上所述,當(dāng)GQ時(shí)，/Xx)在(-、0)上單調(diào)遞減,在(0,+8)上單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí),/'(*)在(-8,111(-2m)T),(0,+(?)上單調(diào)遞增,在(ln(-2必)T,0)上單調(diào)遞減.

變式題解：(l)f(x)的定義域?yàn)?-8,o)u(O,+8).

令f(x)=0,得/+a=0,即x--a.

當(dāng)a>0時(shí),方程無(wú)解,f(x)沒(méi)有零點(diǎn)；

當(dāng)a<0時(shí)，得x=±F-.

綜上,當(dāng)a20時(shí)，/'(X)無(wú)零點(diǎn)；當(dāng)a<0時(shí)，f(x)的零點(diǎn)為上

⑵證明：F'(x)

令g(x)=x+x+ax-a(x>。,

則g'(x)Wf+2x+a,其圖像的對(duì)稱軸為直線x=g

所以屋(x)在(1,+8)上單調(diào)遞增,

所以g'(x)>3XI"+2XI+a=5+a.

因?yàn)閍》節(jié),所以/⑷加在(1,+8)上恒成立，

所以g(x)在(1,+8)上為增函數(shù)，

可得g(x)>g(l)=2與，即f(x)X),

所以f(x)在區(qū)間(1,+叫上為增函數(shù).

例2［思路點(diǎn)撥］(1)求出/U)及6(1)的值,利用點(diǎn)斜式可得曲線的切線方程.(2)在定義

域內(nèi)，令63為,求得x的取值范圍,可得函數(shù)Hx)的單調(diào)遞增區(qū)間;令f'(x)念求得x的

取值范圍,可得函數(shù)F(x)的單調(diào)遞減區(qū)間.

解：⑴若aR,則/>⑴=-1,6(x)包9,所以尸⑴2

所以曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,T)處的切線方程為2x-y-3O.

⑵易知xe(0,+2,fJ)上2_二

令g(x)^2-a/-Inx、則g'(x)」-----

令g'(x)包得x=或才=-j_.(舍去).

由g'(x)>0,得x>由gf(x)<0,得0

所以g(x)在區(qū)間(0,、仔)上單調(diào)遞減,在區(qū)間(J

+8上單調(diào)遞增，所以

g(x)z《后注Tn。.

因?yàn)閍<T,所以0—4所以In

所以g(x)X,即f'(x)為,

所以函數(shù)/Xx)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,+8).

變式題(DA(2)(0,1)［解析］(l)f'(x)'F+x-(T*⑹，由/J)與，得或

x>3,.：/、(*)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,1),(3,+吟.

(2)函數(shù)/V)的定義域是(0,+9),

f，(x)=—

令F’(x)<0,可得OG<1,

故函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0,D.

例3［思路點(diǎn)撥］(1)當(dāng)a田時(shí)，求出函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù),然后由f'(x)為可得單調(diào)遞增區(qū)

間；(2)將原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間(0,1)上大于等于零恒成立問(wèn)題求解即可.

解:(1)Ax)的定義域?yàn)?0,+8),當(dāng)a=3時(shí)，/U)4+ln*-3x,

；.F(X)3*J-3.y+1,

由f(x)X),得oag或x>\,

.：函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,i),(1,+8).

⑵由題意得f'(x)=2xJ-a.

：7Xx)在(0,1)上是增函數(shù)，

.：f'(x)2xJ-a20在(0,1)上恒成立，

即aW2xJ在(0,1)上恒成立.

位,當(dāng)且僅當(dāng)2x」,即x號(hào)時(shí),等號(hào)成立,

.：aW2V5,

故實(shí)數(shù)a的取值范圍為(-8,2方］.

變式題(1)A(2)C［解析］⑴：V(x)x,cosx+acos,x,

.：f'(x)=2允os2x-asin^=-2sin'x-asinx+3.

設(shè)t=sinx,T<tWl,

則g(t)=-2t2-at+3,

「f(x)在(-8,+8)上單調(diào)遞增，

.泊(?！?在［T,1］上恒成立.

「二次函數(shù)g(t)的圖像開(kāi)口向下，

.：(可得TWaWl,即a的取值范圍是［-1,1］,故選A.

⑵函數(shù)f(x)=x^alnx的定義域?yàn)?0,+吟,尸(x)=1一當(dāng)@20時(shí)，F(xiàn)'(x)X),函數(shù)

f(x)=x+alnx是增函數(shù).當(dāng)a<0時(shí)，由f'(x)<0,得由ff(x)>0,得x>-a,所以函數(shù)

f(x)口后Inx在(0,-a)上單調(diào)遞減，在(-a+2上單調(diào)遞增.因?yàn)閒(x)=x+alnx不是單調(diào)函

數(shù),所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是J-,0),故選C.

例4［思路點(diǎn)撥］⑴構(gòu)造函數(shù)g(x)—A通過(guò)g'(x)的符號(hào)判斷函數(shù)g(x)的單調(diào)性，利用

e

單調(diào)性得出X的取值范圍；(2)先根據(jù)函數(shù)圖像的平移得到函數(shù)f(x)的圖像關(guān)于直線x/對(duì)

稱,再通過(guò)討論導(dǎo)數(shù)的符號(hào)得到函數(shù)f{x}的單調(diào)性,最后將4；log3a,3轉(zhuǎn)化到同一個(gè)單調(diào)區(qū)

間上比較其對(duì)應(yīng)函數(shù)值的大小.

(DA(2)B［解析］⑴設(shè)g(x)則g'(x),:V(x)(x),.：晨(x)X),

eCe2

即函數(shù)g(x)在R上單調(diào)遞增.：V(0)a.“(0)=f(0)即

則不等式f(x)<2e'等價(jià)于g(x)<g(0).

「函數(shù)g(x)在R上單調(diào)遞增，.:x<0,

即不等式的解集為(-S0).

(2):Z(x)是偶函數(shù)，.：其圖像關(guān)于y軸對(duì)稱，

.：f(x)招(x-2)的圖像關(guān)于直線xt對(duì)稱.

：'(x-2)f'(x)X,

,:當(dāng)x>2時(shí),f'(x)X),

即函數(shù)f(x)在⑵+8)上為增函數(shù).

:'1Q<3,?：4<T<64,0<log3a<l,

又A1ogaa)=f(4-1og35),3《Tog3aS,

.：3^-log3a^,?：F(3)<A4-log3a)<F(4)

即f(3)<f(log3a)<f(40.

變式題(1)B(2)(0,e2)［解析］⑴設(shè)/刈，則/''(*)￡

可得函數(shù)f(x)在(0,e)上單調(diào)遞增,所以A2.1)<A2.2),即詈若，

21

可化為2.產(chǎn)念2,即1<a<b,又c-log2.22.1<1,

所以故選B.

(2)設(shè)t-lnx,則不等式Ainx)>31nx+\等價(jià)于

設(shè)g(x)=F(x)-3^-1,則g'(x)=ff(x)-3,

:丫(x)的導(dǎo)函數(shù)6(x)<3,

」g'(x)=ff(x)-3<0,

?：函數(shù)g(x)=f\x)-3xT在R上單調(diào)遞減.

:丁(2)=7,?：g(2)=f(2)-3X2T-0,

則由g(t)=f(t)-3tTX)招(2),解得t<2f

Zinx<2,解得046；

即不等式f(lnx)>31nxH的解集為(0,e)

麴鬻颼本欄目為教師專用,

【備選理由】例1討論函數(shù)的單調(diào)性;例2可以進(jìn)一步明確不等式f'(x)3的解集對(duì)應(yīng)的區(qū)

間是函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間,不等式f'(x)<0的解集對(duì)應(yīng)的區(qū)間是f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間；

例3為含參函數(shù)單調(diào)性的討論及利用單調(diào)性求參的綜合問(wèn)題，旨在使學(xué)生加深對(duì)導(dǎo)數(shù)與單調(diào)

性關(guān)系的理解，并強(qiáng)化處理參數(shù)問(wèn)題的原則和方法.

例1［配合例1使用］已知函數(shù)F(x)=(x-a)e*:ax，a(aT)x(xGR).

⑴若曲線片f(x)在點(diǎn)(0,f(0))處的切線為與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為⑵0),求a的值；

(2)討論f(x)的單調(diào)性.

解：⑴：?'(x)=(x-a)e**e'-ax+a(aT),

.：r(0)-(a-1)2,

又：T(0)=-a,

.：切線方程為y+a=(a-l)2(；H)).

令y=0,得x=1---^=2,

(-1)

.：2a-5a+2-O,.：a=2或a=.

⑵ff(x)=(x-a)e-^x-ax+a{a~\)=［x-(aT)］(e'-a).

A

當(dāng)WO時(shí),e-a>0,若xQ(-，a-l),則/(x)<0,f(力為減函數(shù);若xJ(<3-1,+哈,則

f'(x)K),F(x)為增函數(shù).

當(dāng)aX)時(shí),令/(才)=0,得xi=a-ltX2=lna.

令g?=a-\-Ina,貝ljg'(a)-1

當(dāng)<?e(0,1)時(shí),g'(a)<0,g(a)為減函數(shù),當(dāng)ae(1,+R)吐屋?為,g⑸為增函數(shù)，

?：g(d)min招⑴項(xiàng)

-：a-l^lna(當(dāng)且僅當(dāng)a=l時(shí)取“二”).

.:當(dāng)08<1或時(shí)，若x￡(-叼in丸則6(x)X,f(x)為增函數(shù);若(Ina,a-1),則

f'(x)<0,f(x)為減函數(shù);若xG(a-1,+吟,則F'(x)X),F(x)為增函數(shù).

當(dāng)a=\時(shí)，/(x)=x(e*T)20,f(x)在(-、+8)上為增函數(shù).

綜上所述：當(dāng)W0時(shí)，f(x)在(-8,dT)上為減函數(shù)，在(aT,+8)上為增函數(shù);當(dāng)OQ<I或

a>\時(shí)，F(xiàn)(x)在(Ina,aT)上為減函數(shù),在(-巴1口山和(&-1,+2上為增函數(shù);當(dāng)a-l時(shí)，f(x)

在(-8,+8)上為增函數(shù).

例2［配合例2使用］［2018?東莞模擬］己知函數(shù)F(x)行/屋1#0),求函數(shù)人力的單調(diào)

區(qū)間.

解:對(duì)f{x)求導(dǎo),得f'(x)=a,-―j?J=a"—~~

(e)e

a0,則當(dāng)(0,2)時(shí)，F(xiàn)(x)A),當(dāng)(-8,0)或xW(2,+8)時(shí)，(x)<0,

所以f(x)在(0,2)上單調(diào)遞增，在(-8,0),(2,+2上單調(diào)遞減.

a<0,則當(dāng)xG(0,2)時(shí)，F(xiàn)'(x)