二次函數(shù)的解析式與圖像變換

二次函數(shù)的解析式與圖像變換REPORTING目錄二次函數(shù)基本概念與性質(zhì)二次函數(shù)解析式求解方法二次函數(shù)圖像變換規(guī)律探究典型例題分析與解答技巧學(xué)生自主練習(xí)與鞏固提高PART01二次函數(shù)基本概念與性質(zhì)REPORTING形如$f(x)=ax^2+bx+c$（$aneq0$）的函數(shù)稱為二次函數(shù)。二次函數(shù)定義通過(guò)完成平方，二次函數(shù)可以寫為標(biāo)準(zhǔn)形式$f(x)=a(x-h)^2+k$，其中$(h,k)$為頂點(diǎn)坐標(biāo)。標(biāo)準(zhǔn)形式二次函數(shù)定義及標(biāo)準(zhǔn)形式

二次函數(shù)圖像特征拋物線形狀二次函數(shù)的圖像是一條拋物線，開(kāi)口方向由系數(shù)$a$決定，當(dāng)$a>0$時(shí)開(kāi)口向上，當(dāng)$a<0$時(shí)開(kāi)口向下。對(duì)稱性二次函數(shù)的圖像關(guān)于直線$x=h$對(duì)稱，其中$h$為頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)。頂點(diǎn)與最值頂點(diǎn)坐標(biāo)$(h,k)$為圖像的最值點(diǎn)，當(dāng)$a>0$時(shí)，頂點(diǎn)為最小值點(diǎn)；當(dāng)$a<0$時(shí)，頂點(diǎn)為最大值點(diǎn)。零點(diǎn)與判別式二次函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)取決于判別式$Delta=b^2-4ac$的值。當(dāng)$Delta>0$時(shí)，有兩個(gè)不相等的零點(diǎn)；當(dāng)$Delta=0$時(shí)，有一個(gè)重根零點(diǎn)；當(dāng)$Delta<0$時(shí)，無(wú)實(shí)數(shù)零點(diǎn)。增減性當(dāng)$a>0$且$x<h$時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)$x>h$時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增。當(dāng)$a<0$且$x<h$時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)$x>h$時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減。對(duì)稱軸與最值對(duì)稱軸為直線$x=h$，最值為頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)$k$。當(dāng)$a>0$時(shí)，最小值為$k$；當(dāng)$a<0$時(shí)，最大值為$k$。二次函數(shù)性質(zhì)總結(jié)PART02二次函數(shù)解析式求解方法REPORTING設(shè)二次函數(shù)解析式為$y=ax^2+bx+c$，將三個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)分別代入解析式，得到三個(gè)關(guān)于$a$、$b$、$c$的方程，解方程組即可求出$a$、$b$、$c$的值，從而得到二次函數(shù)的解析式。注意事項(xiàng)：需要確保三個(gè)點(diǎn)不在同一直線上，否則無(wú)法確定一個(gè)唯一的二次函數(shù)。已知三點(diǎn)坐標(biāo)求解析式0102已知頂點(diǎn)坐標(biāo)和對(duì)稱軸求解析式注意事項(xiàng)：需要確保對(duì)稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)的準(zhǔn)確性，否則求得的解析式可能不準(zhǔn)確。設(shè)二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為$(h,k)$，對(duì)稱軸為直線$x=h$，則二次函數(shù)的解析式可以表示為$y=a(x-h)^2+k$。根據(jù)對(duì)稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)可以確定$a$和$k$的值。已知與x軸交點(diǎn)坐標(biāo)求解析式設(shè)二次函數(shù)與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為$(x_1,0)$和$(x_2,0)$，則二次函數(shù)的解析式可以表示為$y=a(x-x_1)(x-x_2)$。根據(jù)交點(diǎn)坐標(biāo)可以確定$a$的值。注意事項(xiàng)：需要確保交點(diǎn)坐標(biāo)的準(zhǔn)確性，否則求得的解析式可能不準(zhǔn)確。同時(shí)，當(dāng)二次函數(shù)與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，需要利用其他條件來(lái)求解。PART03二次函數(shù)圖像變換規(guī)律探究REPORTING當(dāng)二次函數(shù)圖像沿x軸平移k個(gè)單位時(shí)，解析式中的x替換為x-k，即y=a(x-k)^2+b。若k>0，圖像右移；若k<0，圖像左移。當(dāng)二次函數(shù)圖像沿y軸平移h個(gè)單位時(shí)，解析式中的y替換為y-h，即y-h=ax^2+b。若h>0，圖像上移；若h<0，圖像下移。平移變換規(guī)律二次函數(shù)圖像關(guān)于y軸對(duì)稱，即當(dāng)x取正值和負(fù)值時(shí)，y值相同。因此，對(duì)稱軸為x=0。若二次函數(shù)圖像關(guān)于直線x=k對(duì)稱，則解析式中的x替換為2k-x，即y=a(2k-x)^2+b。此時(shí)，對(duì)稱軸為x=k。對(duì)稱變換規(guī)律當(dāng)二次函數(shù)圖像的橫坐標(biāo)伸縮m倍時(shí)（m>0），解析式中的x替換為mx，即y=a(mx)^2+b。若m>1，圖像橫向壓縮；若0<m<1，圖像橫向拉伸。當(dāng)二次函數(shù)圖像的縱坐標(biāo)伸縮n倍時(shí)（n>0），解析式中的y替換為ny，即ny=ax^2+b。若n>1，圖像縱向拉伸；若0<n<1，圖像縱向壓縮。伸縮變換規(guī)律PART04典型例題分析與解答技巧REPORTING例題2：已知二次函數(shù)的頂點(diǎn)為(2,3)，且過(guò)點(diǎn)(1,1)，求該二次函數(shù)的解析式。解答技巧若已知頂點(diǎn)坐標(biāo)，可設(shè)二次函數(shù)的頂點(diǎn)式為$y=a(x-h)^2+k$，其中$(h,k)$為頂點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)已知條件求出$a$的值。設(shè)二次函數(shù)的一般式為$y=ax^2+bx+c$，根據(jù)已知條件列出方程組，解出$a$、$b$、$c$的值。例題1：已知二次函數(shù)的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1,2)，(2,3)和(3,6)，求該二次函數(shù)的解析式。求解二次函數(shù)解析式典型例題判斷二次函數(shù)圖像位置關(guān)系典型例題解答技巧例題2：已知二次函數(shù)$y=ax^2+bx+c$的圖像與$x$軸有兩個(gè)交點(diǎn)，且分布在$y$軸的兩側(cè)，試判斷$a$、$b$、$c$的符號(hào)。例題1：判斷二次函數(shù)$y=x^2-2x$與$y=2x^2-4x+1$的圖像位置關(guān)系。通過(guò)比較兩個(gè)二次函數(shù)的開(kāi)口方向、頂點(diǎn)坐標(biāo)和判別式的大小關(guān)系，判斷它們的圖像位置關(guān)系。根據(jù)二次函數(shù)與$x$軸的交點(diǎn)情況，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，判斷系數(shù)$a$、$b$、$c$的符號(hào)。例題1：某公司推出一款新產(chǎn)品，其銷售量$y$(萬(wàn)件)與廣告費(fèi)用$x$(萬(wàn)元)之間的關(guān)系可近似地用二次函數(shù)$y=-0.01x^2+0.6x+15.4$來(lái)表示。若公司要求銷售量不低于20萬(wàn)件，則廣告費(fèi)用的取值范圍是多少？例題2：一拋物線型拱橋，當(dāng)水面距拱頂5m時(shí)，水面寬8m。若水面下降1m后，水面寬多少m？解答技巧根據(jù)題意設(shè)定二次函數(shù)模型，將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題。利用二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)，結(jié)合已知條件求解未知量。0102030405利用圖像變換解決實(shí)際問(wèn)題典型例題PART05學(xué)生自主練習(xí)與鞏固提高REPORTING設(shè)計(jì)一道關(guān)于二次函數(shù)圖像變換的題目，并給出詳細(xì)的解答過(guò)程。結(jié)合生活實(shí)際，設(shè)計(jì)一道與二次函數(shù)相關(guān)的應(yīng)用題，并給出詳細(xì)的解答過(guò)程。設(shè)計(jì)一道關(guān)于二次函數(shù)解析式的題目，并給出詳細(xì)的解答過(guò)程。編寫并解答自己設(shè)計(jì)的題目分享自己在學(xué)習(xí)二次函數(shù)解析式與圖像變換過(guò)程中的經(jīng)驗(yàn)和技巧。討論在解題過(guò)程中遇到的困難和挑戰(zhàn)，以及如何克服這些困難的方法。交流對(duì)于二次函數(shù)在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用和意義的看法。小組內(nèi)交流討論，分享學(xué)習(xí)心得總結(jié)二次函數(shù)解析式