6第7章平面立體

第七章平面立體§7-1平面立體的投影及表面取點§7-4平面立體與平面立體的相貫§7-3平面立體的貫穿點§7-2平面立體的截交線§7-5同坡屋面的交線第七章平面立體§7-1平面立體的投影及表面取點§1§7-1平面立體的投影及表面取點

任何立體均占有一定的空間，并由圍成該立體的各個表面確定其范圍及形狀。根據(jù)立體表面的平、曲性質(zhì)不同分為平面立體和曲面立體。平面立體——表面由平面多邊形圍成的立體叫平面立體，平面與平面的交線為立體的棱線，側(cè)表面稱為棱面，上下表面分別叫頂面或底面。通常平面立體又分為棱柱體、棱錐體、棱臺體等。平面立體的投影特征：由各個棱面、棱線的投影構(gòu)成投影圖，通常由一些封閉的多邊形組合而成，可見的棱線畫成粗實線，不可見的棱線畫成細虛線。§7-1平面立體的投影及表面取點任何立體均占有一定2一、棱柱的形體特征及投影特性當正棱柱的側(cè)棱垂直于投影面時，它在該投影面上的投影積聚為多邊形，另外兩個投影輪廓線為矩形。一、棱柱的形體特征及投影特性當正棱柱的側(cè)棱垂直于投影面時，它3注意:我們這里去掉了軸線和45°輔助線,這是由于通過體上的棱線的相對位置來決定三個棱線投影的位置,但是要特別注意在另一個圖上去找相對的坐標值.yy注意:我們這里去掉了軸線和45°輔助線,這是由于通過體上的棱4六棱柱的投影圖yy虛線和實線重合的時候，只畫可見的實線。六棱柱的投影圖yy虛線和實線重合的時候，只畫可見的實線。5二、棱錐的形體特征及投影特性當棱錐的底面平行于投影面時，它在該投影面上的投影為多邊形，另外兩個投影輪廓線為三角形。二、棱錐的形體特征及投影特性當棱錐的底面平行6s

a

c

b

ascbb

（c）s

a

三棱錐的投影圖尤其注意S點的側(cè)面投影位置,結(jié)果是正三棱錐的側(cè)面投影并不是等腰三角形。yysacbascbb（c）sa三棱錐的投影圖尤7三、平面立體表面上取點

平面立體表面取點的原理與單一平面內(nèi)取點、取線的方法基本相同。平面立體可看作是由若干個平面圖形所圍成的，所以在平面立體表面上取點或取線時，應由已知點的投影位置及可見性，分析判斷該點所屬表面，若該表面有積聚性，利用積聚性的投影直接作出，若該表面沒有積聚性，則過已知點在該表面內(nèi)引輔助線求出。但要注意判別所求點的所屬性和可見性，處于不可見棱面上的點是不可見的點，用括號括起來表示。三、平面立體表面上取點平面立體表面取點的原理與單一8b

ca

a

bb

aABc′Cc″(d′)dd〞()

立體表面取點的步驟﹕AA先由已知點的投影位置及可見性,分析判斷該點所屬的表面;若該面有積聚投影,利用它可直接補出點的另一投影;若該面無積聚投影,則過點在該面內(nèi)作一條輔助線,再于此線上定點,并判別可見性。棱柱表面上取點點A在鉛垂面內(nèi),可利用積聚性投影求a點B在鉛垂線上,可利用屬于直線的點的投影特性求b和b〞點C在水平面內(nèi),可利用積聚性投影求c′判別點的可見性的原則是﹕某投影中,點的可見性與點所在表面的可見性相同bcaabbaABc′Cc″(d′)dd〞(9k

三棱錐表面上取點abcc′b′a′s′sa〞(c〞)s〞SABCb〞kk

Ke

eEe

棱線上取點(較特殊的點）k三棱錐表面上取點abcc′b′a′s′sa〞(c〞)s〞10SABC三棱錐表面上取點abcc′b′a′s′sa〞(c〞)b〞s〞FEe

f

ef1

Dd′d1

Ⅰ1

平面立體可看作是由若干個平面圖形所圍成的，所以在平面立體表面上取點或取線時，應把屬于平面立體的棱面作為單獨的平面來考慮。

△SAB為一般位置平面,它的每個投影都沒有積聚。在該面上取點必須作輔助線。作輔助線常用的方法有兩種﹕1)過已知點作該面底邊的平行線；2)作已知點與頂點的連線;再于輔助線上定點。棱面上取點SABC三棱錐表面上取點abcc′b′a′s′sa〞(c〞)11SABC(4)abcc′b′a′s′sa〞(c〞)s〞b〞2′2″2Ⅱ()(3)33

4

4

SABC(4)abcc′b′a′s′sa〞(c〞)s〞b〞212§7-2平面立體的截交線平面與立體相交亦稱平面截割立體,其平面與立體的交線稱為截交線，這種線在實際生產(chǎn)及物體中十分常見?！?-2平面立體的截交線平面與立體相交13P

截平面與立體表面的交線叫做截交線。截割立體的平面叫做截平面由截交線圍成的平面圖形稱為截斷面(或斷面)。多邊形各頂點是立體棱線與截平面的交點。P截平面與立體表面的交線叫做截交線。截割立體的14平面立體截交線的性質(zhì)

（1）平面立體的截交線是截平面與平面立體表面的共有線，截交線上的點是截平面與立體表面上的共有點。（2）由于平面立體的表面都具有一定的范圍，所以截交線通常是封閉的平面多邊形。（3）多邊形的各頂點是平面立體的各棱線或邊與截平面的交點，多邊形的各邊是平面立體的棱面與截平面的交線，或是截平面與截平面的交線。平面立體截交線的性質(zhì)（1）平面立體的截交線是截平面與平面立15求平面立體截交線的方法交點法：求出截平面與立體各棱線的交點，再按一定的連線原則將交點相連，即得截交線。交線法：求出截平面與立體各棱面的交線，即得截交線。交點連成截交線的原則是：位于立體的同一表面的兩點才能相連，通常為閉合的平面折線。位于可見平面的截交線為可見線，畫成粗實線，位于不可見平面的截交線為不可見線，畫成細虛線。求平面立體截交線的方法交點法：求出截平面與立體各棱線的交點，161′1〞

2′13′36′4′5′例題求五棱柱的截交線5423″64″5″6″分析圖形求截交線上的轉(zhuǎn)折點依次連接轉(zhuǎn)折點完成圖形2″1′1〞2′13′36′4′5′例題求五棱柱的截交線17例題﹕求作正垂面P截割六棱柱的截交線。PV6254316〞1〞5〞4〞3〞2〞(5′)3′4′(6′)2′1′ⅥⅤⅣⅢⅡⅠ1、棱柱上截交線的求法⑴分析⑵作圖①作出截平面與棱柱的交點、交線②依次連接各點③判斷可見性④整理輪廓線⑶檢查加深圖線⑴分析截平面P與六棱柱的六個棱面都相交,截交線為一個六邊形;截平面P是正垂面,其正面投影PV有積聚性,截交線的正面投影積聚在PV上,又因為六棱柱的六個側(cè)棱面都垂直于水平面,故截交線的水平投影積聚在六棱柱各棱面的水平投影上。所以只需求截交線的側(cè)面投影。點在鉛垂線上,利用點屬于直線求影例題﹕求作正垂面P截割六棱柱的截交線。PV6254316〞11845例題求立體截切后的投影8"9"(6)(7)(9)(8)(10)4′1'2'（3'）(5′)110'1"322"3"yy5"4"yy8'（9'）(7′)6'7"6"10"45例題求立體截切后的投影8"9"(6)(7)(9)(8)19例題求立體截切后的投影1'（2'）7'4‘（3'）5‘（10'）6'11'（9'）（8'）1"2"3"4"5"10"9"6"8"11"7"6978111（4）2（3）510例題求立體截切后的投影1'（2'）7'4‘（3'）5‘20例題﹕求四棱錐的截交線。并求斷面實形。分析圖形,補出完整圖形根據(jù)已知條件求出棱線上的點依次連接按線型補出圖形y3y42′21′1y4y3432″1″4′(3′)4″3″例題﹕求四棱錐的截交線。并求斷面實形。分析圖形,補出完整2123541

11

6

6

5

4

3

2

64

（5

）2

（3

）例題4求四棱錐截切后的投影

ⅠⅤⅣⅢⅡⅥ235411166543264（5）2224

3

1

2

6

5

11

4

5

65234（6

）（2

）（3

）例題求立體截切后的投影

ⅠⅥⅤⅣⅢⅡ431265114565234（6）（223例題已知帶缺口正三棱錐的正面投影,補全水平投影和側(cè)面投影截平面Q為水平面，完全截斷與三棱錐的截交線為與錐底相似的三角形。PVQV截平面P為正垂面，根據(jù)棱線上的點可以求出截交點分析圖形判斷截平面的空間位置。判別可見性，加深圖線，完成作圖。例題已知帶缺口正三棱錐的正面投影,補全水平投影和側(cè)面投244

4

y3

3

332211

求帶缺口的四棱臺的H、W投影1′3′4′2′7′6

6

y2

2

44555

5

6′5′6677

44y33332211求帶缺口的四棱臺的H、W投影25例題：作出帶截面和缺口的四棱柱的水平投影。8′5′7′6′2′4′3′1′8〞7〞6〞5〞4〞3〞2〞1〞78341265V例題：作出帶截面和缺口的四棱柱的水平投影。8′5′7′6′226作業(yè)評講：作出六棱錐被P、Q平面截割后的投影。yyPWQW作業(yè)評講：作出六棱錐被P、Q平面截割后的投影。yyPWQW27作業(yè)評講：完成帶缺口三棱柱的H、W投影yy作業(yè)評講：完成帶缺口三棱柱的H、W投影yy28作業(yè)評講：

求帶缺口的四棱臺的H投影作業(yè)評講：

求帶缺口的四棱臺的H投影29§7-3平面立體的貫穿點

直線與立體表面的交點稱為貫穿點。即貫穿點既是屬于直線的點，又是屬于立體表面的點，因此，求貫穿點的問題，就是求線與面交點的問題。

求貫穿點的方法：包含已知直線作一個輔助截平面，求此截平面與立體的截交線，截交線與已知直線的交點即為貫穿點。§7-3平面立體的貫穿點直線與立體表面的交點稱為30例題求直線KL與三棱錐的貫穿點l′k′kl例題求直線KL與三棱錐的貫穿點l′k′kl31求貫穿點的方法﹕PKLMN

包含直線作輔助平面,求得該輔助平面與立體的截交線，而貫穿點是直線與截交線的交點。KLMN求貫穿點的方法﹕PKLMN包含直線作輔助平面,求得該32作圖過程：PVkl注意：

貫穿點之間沒有線。m′1′12′23′3mnl′k′(n′)

①包含直線作輔助平面②求輔助平面與立體的截交線③求上述截交線與被包含直線的交點即貫穿點。作圖過程：PVkl注意：貫穿點之間沒有線。m′1′12′33§7-4平面立體與平面立體的相貫

相交的兩立體常稱為相貫體,相貫體表面的交線稱為相貫線相貫線的性質(zhì):相貫線為兩立體表面的共有線,相貫線上的每個點都是兩立體的共有點由于立體表面有一定的范圍,所以相貫線一般都是閉合線.只有當兩立體具有重疊表面時,相貫線才不閉合.對于兩個立體都是平面立體來說,其相貫線一般都是閉合的空間折線.其每一段線段都是兩平面立體有關(guān)棱面的交線,每一個折點都是一平面體的棱線對另一平面體的貫穿點§7-4平面立體與平面立體的相貫

相交的34求兩平面立體相貫線的步驟分析形體：認識兩相貫體的形體特征，考察兩立體的相對位置。判斷是“全貫”（兩組相貫線）還是“互貫”（一組相貫線）。求相貫點：由于平面立體相貫線的性質(zhì)特殊，實際上就是求每一條棱線與另一立體的相貫點。連接相貫點：屬于同一立體的同一棱面而同時屬于另一立體也是同一棱面的兩點才能相連。判別可見性：位于兩立體均為可見表面上的相貫線才是可見的。完成圖形。求兩平面立體相貫線的步驟分析形體：認識兩相貫體的形體特征，考35例題：求三棱錐與三棱柱的相貫線d′e′f′dfea′c′b′s′acbs例題：求三棱錐與三棱柱的相貫線d′e′f′dfea′c′b′36d′e′f′dfea′c′b′s′acbs分析形體，可以看出，BS棱線與三棱柱沒有相交，而D、F棱線與三棱錐沒有相交，因此，可以分析出總共有6個相貫點。利用三棱柱的積聚性，可直接定出Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ、Ⅴ、Ⅵ點的水平投影按照求貫穿點的方法求出六個點在V面的投影。24314′3′5′5(6)6′依次連接相貫點，判別可見性2′1′整理圖形，完成圖形。作圖過程：d′e′f′dfea′c′b′s′acbs分析形體，可以看出37例題

求三棱錐和四棱柱的相貫線。s′c′b′a′e′d′g′f′asbcefdgdgefe〞s〞c〞a〞b〞g〞e〞d〞f〞d〞f〞g〞例題求三棱錐和四棱柱的相貫線。s′c′b′a′e′d38求三棱錐和四棱柱的相貫線。s′c′b′a′e′d′g′f′asbcefdgdgefe〞s〞c〞a〞b〞g〞e〞d〞f〞d〞f〞g〞PVQV1、分析(形體分析、棱線的投影分析、貫穿點的數(shù)量分析)2、求相貫點3、判別可見性畫出相貫線4、整理各棱線求三棱錐和四棱柱的相貫線。s′c′b′a′e′d′g′f′396第7章平面立體40s′c′b′a′asbcs〞c〞a〞b〞分析:如將四棱柱抽出，成為三棱錐被貫一四棱柱孔，很顯然，相貫點位置沒變，即相貫線沒變，只是在完成圖形時注意保留的線及線的虛實。s′c′b′a′asbcs〞c〞a〞b〞分析:如將四棱柱抽出41例題兩平面立體相貫，完成相貫線的投影13'2'4'5'6'1'23456解題步驟1分析相貫線的正面投影已知，水平投影未知；相貫線的投影前后、左右對稱2求出相貫線上的折點Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ、Ⅴ、Ⅵ；3順次地連接各點，作出相貫線，并且判別可見性；4整理輪廓線。例題兩平面立體相貫，完成相貫線的投影13'2'4'542例題兩平面立體相貫，完成相貫線的投影解題步驟1分析相貫線的水平投影已知，正面投影未知；相貫線的投影前后、左右對稱2求出相貫線上的折點Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ等；3順次地連接各點，作出相貫線，并且判別可見性；4整理輪廓線。3'2'1'123例題兩平面立體相貫，完成相貫線的投影解題步驟3'2'143作業(yè)評講：

求平面ABC與四棱柱的截交線abcdgbfa′b′c′d′e′(g)′f′作業(yè)評講：

求平面ABC與四棱柱的截交線abcdgbfa′b44作業(yè)評講1234,51′2′3′4′5′作業(yè)評講1234,51′2′3′4′5′45作業(yè)評講作業(yè)評講46§7－5同坡屋面的交線一、屋面的形式二、坡屋面的種類三、同坡屋面的定義四、同坡屋面投影作圖的原理五、例題§7－5同坡屋面的交線一、屋面的形式47一、屋面的形式平屋頂坡屋頂折板殼體懸索一、屋面的形式平屋頂坡屋頂折板殼體懸索48二、坡屋面的種類歇山十字脊四坡屋面廡殿兩坡屋面二、坡屋面的種類歇山十字脊四坡屋面廡殿兩坡屋面496第7章平面立體50三、什么是同坡屋面平脊斜脊屋檐

所謂的同坡屋面，是指各屋面與水平面的傾角相等（α角相等），檐線又屬于同一水平面的情況加以研究。從立體角度看，是截頭三棱柱相貫。斜溝三、什么是同坡屋面平脊斜脊屋檐所謂的同坡屋面51四、同坡屋面投影作圖原理同坡屋面交線的水平投影作圖原理水平傾角相等的兩斜屋面，其交線的水平投影為它們的等高檐線水平投影的角平分線。因此，如屋面兩檐線成直角相交，則它們的交線在平面圖上與檐線成45°。如兩檐線平行，則含此兩檐線的兩屋面交線在平面圖上為兩檐線的中線。三面共點，由于三平面的三條交線必交于一點，因此在屋面上如有兩條交線交于一點，則通過該點必有第三條交線。當相鄰檐線都成直角相交時，則在平面圖上匯交于一點的三條交線中，兩條為45°線，另一條為兩平行檐線的中線。作屋面交線的水平投影圖時，利用先碰先交，依次封閉斜屋面的作圖方法是很重要的。否則難以避免水平天溝的出現(xiàn)。同坡屋面V和W面投影作圖原理凡屋檐線垂直于V面或W面，則含此檐線的屋面是正垂面或側(cè)垂面。它們的積聚投影與水平線的夾角反映屋面的水平傾角α。還要注意每一坡屋面的各投影成類似形。四、同坡屋面投影作圖原理同坡屋面交線的水平投影作圖原理52ABⅠCⅡⅢⅣ45°求證：同坡屋面的兩斜屋面的交線的H面投影為兩檐線投影的角平分線證明：過Ⅰ點作屋檐線AB的垂線ⅠⅡ過Ⅰ點作屋檐線BC的垂線ⅠⅢ過Ⅰ點作ABC平面的垂線ⅠⅣ交于Ⅳ在三角形ⅠⅡⅣ和三角形ⅠⅢⅣ中∵∠ⅠⅡⅣ＝∠ⅠⅢⅣ（同坡屋面）ⅠⅣ⊥Ⅱ