1角的平分線(xiàn)-冀教版八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)

16.3角的平分線(xiàn)第十六章軸對(duì)稱(chēng)和中心對(duì)稱(chēng)冀教版八上16.3角的平分線(xiàn)第十六章軸對(duì)稱(chēng)和中心對(duì)稱(chēng)冀教版八上1學(xué)習(xí)目標(biāo)冀教版八上1.理解并掌握角平分線(xiàn)的性質(zhì)定理及其逆定理.2.能利用角平分線(xiàn)的性質(zhì)定理及其逆定理證明相關(guān)結(jié)論并應(yīng)用.3.能利用尺規(guī)作出一個(gè)已知角的角平分線(xiàn).學(xué)習(xí)目標(biāo)冀教版八上1.理解并掌握角平分線(xiàn)的性質(zhì)定理及其2舊知鏈接1.下圖中表示點(diǎn)P到直線(xiàn)l的距離的是

.線(xiàn)段PC的長(zhǎng)PlABCD點(diǎn)到直線(xiàn)的距離是指：點(diǎn)到直線(xiàn)的垂線(xiàn)段的長(zhǎng)度.舊知鏈接1.下圖中表示點(diǎn)P到直線(xiàn)l的距離的是3舊知鏈接2.本章中，從哪些方面學(xué)習(xí)線(xiàn)段的中垂線(xiàn)？①線(xiàn)段中垂線(xiàn)的定義③線(xiàn)段中垂線(xiàn)的性質(zhì)定理④線(xiàn)段中垂線(xiàn)的性質(zhì)定理的逆定理⑤線(xiàn)段中垂線(xiàn)的尺規(guī)作圖類(lèi)似地，今天我們將從這些角度學(xué)習(xí)角平分線(xiàn)的相關(guān)知識(shí)......②線(xiàn)段的軸對(duì)稱(chēng)性舊知鏈接2.本章中，從哪些方面學(xué)習(xí)線(xiàn)段的中垂線(xiàn)？①線(xiàn)段中垂線(xiàn)4新課學(xué)習(xí)一、角的對(duì)稱(chēng)性如圖，OC是∠AOB的平分線(xiàn)，當(dāng)沿OC所在的直線(xiàn)對(duì)折時(shí)，∠AOB兩旁的部分會(huì)重合，因此∠AOB關(guān)于OC所在的直線(xiàn)對(duì)稱(chēng).AOBC角是軸對(duì)稱(chēng)圖形對(duì)稱(chēng)軸是角平分線(xiàn)所在的直線(xiàn)1角的平分線(xiàn)-冀教版八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)1角的平分線(xiàn)-冀教版八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)新課學(xué)習(xí)一、角的對(duì)稱(chēng)性如圖，OC是∠AOB的平分線(xiàn)，當(dāng)沿OC5新課學(xué)習(xí)二、用尺規(guī)作已知角的角平分線(xiàn)ABMNCO已知:∠AOB.求作：∠AOB的平分線(xiàn).作法：（1）以點(diǎn)O為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交OA于點(diǎn)M，交OB于點(diǎn)N.（2）分別以點(diǎn)MN為圓心，大于MN的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧在∠AOB的內(nèi)部相交于點(diǎn)C.（3）畫(huà)射線(xiàn)OC.射線(xiàn)OC即為所求.1角的平分線(xiàn)-冀教版八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)1角的平分線(xiàn)-冀教版八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)新課學(xué)習(xí)二、用尺規(guī)作已知角的角平分線(xiàn)ABMNCO已知:∠AO6新課學(xué)習(xí)ABMNCO證明：連接CM,CN由作圖過(guò)程知，OM=ON,CM=CN,又OC=OC∴△OMC≌△ONC∴∠AOC=∠BOC即OC是∠AOB的角平分線(xiàn).試一試：在練習(xí)本上分別作銳角，鈍角，平角的角平分線(xiàn).1角的平分線(xiàn)-冀教版八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)1角的平分線(xiàn)-冀教版八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)新課學(xué)習(xí)ABMNCO證明：連接CM,CN由作圖過(guò)程知，OM=7新課學(xué)習(xí)三、角平分線(xiàn)的性質(zhì)定理用尺規(guī)畫(huà)∠AOB的平分線(xiàn)OC,，在OC上任取一點(diǎn)P,作出點(diǎn)P到OA,OB的距離，即圖中的垂線(xiàn)段PD,PE.PD與PE有何數(shù)量關(guān)系呢？PAOBCDE探究：你能用什么方法說(shuō)明你的結(jié)論是正確的？PD=PE1角的平分線(xiàn)-冀教版八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)1角的平分線(xiàn)-冀教版八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)新課學(xué)習(xí)三、角平分線(xiàn)的性質(zhì)定理用尺規(guī)畫(huà)∠AOB的平分線(xiàn)OC,8用刻度尺測(cè)量PD,PE，得到兩條線(xiàn)段的長(zhǎng)度相等.PAOBCDE新課學(xué)習(xí)方法一：方法二：利用角的對(duì)稱(chēng)性，當(dāng)沿OC所在的直線(xiàn)對(duì)折時(shí)，PD與PE重合，因此PD=PE.1角的平分線(xiàn)-冀教版八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)1角的平分線(xiàn)-冀教版八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)用刻度尺測(cè)量PD,PE，得到兩條線(xiàn)段的長(zhǎng)度相等.PAOBCD9PAOBCDE證明：∵PD⊥OA,PE⊥OB，∴∠PDO=∠PEO=90°.在△PDO和△PEO中，∠PDO=∠PEO，∠AOC=∠BOC，OP=OP，∴△PDO≌△PEO(AAS).∴PD=PE.新課學(xué)習(xí)方法三：1角的平分線(xiàn)-冀教版八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)1角的平分線(xiàn)-冀教版八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)PAOBCDE證明：∵PD⊥OA,PE⊥OB，∴∠PDO10

角的平分線(xiàn)上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等.請(qǐng)你用語(yǔ)言描述你所得到的結(jié)論用途：

證明兩條垂線(xiàn)段相等.BADOPEC新課學(xué)習(xí)試一試：角平分線(xiàn)的性質(zhì)定理1角的平分線(xiàn)-冀教版八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)1角的平分線(xiàn)-冀教版八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)角的平分線(xiàn)上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等.請(qǐng)你用語(yǔ)言描述11幾何語(yǔ)言：∵OP

是∠AOB的平分線(xiàn)，∴PD=PEPD⊥OA,PE⊥OB，BADOPEC新課學(xué)習(xí)注意：一定要表明是兩條垂線(xiàn)段.1角的平分線(xiàn)-冀教版八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)1角的平分線(xiàn)-冀教版八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)幾何語(yǔ)言：∵OP是∠AOB的平分線(xiàn)，∴PD=PEPD⊥12精準(zhǔn)辨析，提升認(rèn)知（1）∵如圖，AD平分∠BAC（已知）∴

=

，()角的平分線(xiàn)上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等BDCD×BADC判斷下列的寫(xiě)法是否正確？理由：沒(méi)有垂直，不能確定BD,CD是點(diǎn)D到角兩邊的距離.1角的平分線(xiàn)-冀教版八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)1角的平分線(xiàn)-冀教版八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)精準(zhǔn)辨析，提升認(rèn)知（1）∵如圖，AD平分∠BAC（已知）13(2)∵

如圖，DC⊥AC，DB⊥AB

（已知）.

∴

=

,

()角內(nèi)任意一條線(xiàn)上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等BDCD×BADC精準(zhǔn)辨析，提升認(rèn)知理由：無(wú)法確定點(diǎn)D在∠BAC的角平分線(xiàn)上.1角的平分線(xiàn)-冀教版八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)1角的平分線(xiàn)-冀教版八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)(2)∵如圖，DC⊥AC，DB⊥AB（已知）.∴141.下列各圖中，OP是∠MON的角平分線(xiàn)，點(diǎn)E,F,G分別在射線(xiàn)OM,ON,OP上，則可以解釋定理“角的平分線(xiàn)上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等”的圖形是（）.

D鞏固練習(xí)ENOGFMENOGFMENOGFMENOGFMGABCDPPPP1角的平分線(xiàn)-冀教版八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)1角的平分線(xiàn)-冀教版八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)1.下列各圖中，OP是∠MON的角平分線(xiàn)，點(diǎn)E,F,G分別在152.如圖，在△ABC中，∠C=90°，AC=8，AD=3CD,BD平分∠ABC，則點(diǎn)D到AB的距離等于（）.

C鞏固練習(xí)ACDBA.4B.3C.2D.11角的平分線(xiàn)-冀教版八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)1角的平分線(xiàn)-冀教版八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)2.如圖，在△ABC中，∠C=90°，AC=8，AD=3CD16新課學(xué)習(xí)線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)定理有逆定理，角的平分線(xiàn)的性質(zhì)定理是否也有逆定理呢？請(qǐng)你說(shuō)出角平分線(xiàn)的性質(zhì)定理的逆命題如果一個(gè)點(diǎn)到角兩邊的距離相等，那么這個(gè)點(diǎn)在角的平分線(xiàn)上.1角的平分線(xiàn)-冀教版八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)1角的平分線(xiàn)-冀教版八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)新課學(xué)習(xí)線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)定理有逆定理，角的平分線(xiàn)的性質(zhì)17四、角平分線(xiàn)性質(zhì)定理的逆定理到角的兩邊的距離相等的點(diǎn)在角的平分線(xiàn)上.PAOBCDE新課學(xué)習(xí)用途：

證明點(diǎn)在角平分線(xiàn)上，即可以判定角平分線(xiàn).在17章進(jìn)行證明1角的平分線(xiàn)-冀教版八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)1角的平分線(xiàn)-冀教版八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)四、角平分線(xiàn)性質(zhì)定理的逆定理到角的兩邊的距離相等的點(diǎn)在角的平18幾何語(yǔ)言：∵PD⊥OA,PE⊥OB，PD=PE.∴點(diǎn)P在∠AOB的平分線(xiàn)上.新課學(xué)習(xí)PAOBCDE∴OP是∠AOB的角平分線(xiàn).1角的平分線(xiàn)-冀教版八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)1角的平分線(xiàn)-冀教版八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)幾何語(yǔ)言：∵PD⊥OA,PE⊥OB，PD=PE.∴點(diǎn)P在19典例精析例題

已知：如圖，△ABC的角平分線(xiàn)BM，CN相交于點(diǎn)P，求證：點(diǎn)P到三邊AB，BC，CA的距離相等.A

B

C

PN

M1角的平分線(xiàn)-冀教版八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)1角的平分線(xiàn)-冀教版八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)典例精析例題已知：如圖，△ABC的角平分線(xiàn)BM，CN相交于20典例精析D

E

F

A

B

C

P

N

M

證明：過(guò)點(diǎn)P作PD，PE，PF分別垂直于A(yíng)B，BC，CA，垂足分別為D，E，F(xiàn).∵BM是△ABC的角平分線(xiàn)，點(diǎn)P在BM上，PD⊥AB,PE⊥BC,∴PD=PE.同理PE=PF.∴PD=PE=PF.即點(diǎn)P到三邊AB，BC，CA的距離相等.1角的平分線(xiàn)-冀教版八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)1角的平分線(xiàn)-冀教版八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)典例精析DEFABCPNM證明：過(guò)點(diǎn)P作P21典例精析思考：點(diǎn)P在∠A的平分線(xiàn)上嗎？這說(shuō)明三角形的三條角平分線(xiàn)有什么關(guān)系？點(diǎn)P在∠A的平分線(xiàn)上.D

E

F

A

B

C

P

N

M

結(jié)論：三角形的三條角平分線(xiàn)交于一點(diǎn)，這點(diǎn)到三角形三邊的距離相等.1角的平分線(xiàn)-冀教版八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)1角的平分線(xiàn)-冀教版八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)典例精析思考：點(diǎn)P在∠A的平分線(xiàn)上嗎？這說(shuō)明三角形的三條角平22課堂小測(cè)1.如圖，已知四邊形ABCD中，∠BCD=90°,BD平分∠ABC，AB=6，BC=9，CD=4，則四邊形ABCD的面積是______.DA

BC

BA.24B.30C.36D.421角的平分線(xiàn)-冀教版八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)1角的平分線(xiàn)-冀教版八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)課堂小測(cè)1.如圖，已知四邊形ABCD中，∠BCD=90°,B23課堂小測(cè)125°2.如圖，O是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，且點(diǎn)O到三邊AB,BC,AC的距離OF=OD=OE,若∠BAC=70°,則∠BOC=______.FDEA

BC

O1角的平分線(xiàn)-冀教版八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)1角的平分線(xiàn)-冀教版八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)課堂小測(cè)125°2.如圖，O是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，且點(diǎn)O到三邊A243.用尺規(guī)作圖作一個(gè)已知角的平分線(xiàn)的示意圖如圖所示，則能說(shuō)明∠AOC=∠BOC的依據(jù)是（）A.SSSB.ASAC.AASD.角平分線(xiàn)上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等ABMNCOA課堂小測(cè)1角的平分線(xiàn)-冀教版八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)1角的平分線(xiàn)-冀教版八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)3.用尺規(guī)作圖作一個(gè)已知角的平分線(xiàn)的示意圖如圖所示，則能說(shuō)明25課堂小測(cè)4.如圖，已知△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分線(xiàn)相交于點(diǎn)F，求證：點(diǎn)F在∠DAE的平分線(xiàn)上．

證明：過(guò)點(diǎn)F作FG⊥AE于G，F(xiàn)H⊥AD于H，F(xiàn)M⊥BC于M.∵點(diǎn)F在∠BCE的平分線(xiàn)上，F(xiàn)G⊥AE，F(xiàn)M⊥BC.∴FG＝FM.又∵點(diǎn)F在∠CBD的平分線(xiàn)上，F(xiàn)H⊥AD，F(xiàn)M⊥BC，∴FM＝FH，∴FG＝FH.∴點(diǎn)F在∠DAE的平分線(xiàn)上.

GHMABCFED1角的平分線(xiàn)-冀教版八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)1角的平分線(xiàn)-冀教版八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)課堂小測(cè)4.如圖，已知△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分26課堂小結(jié)角的平分線(xiàn)性質(zhì)定