2024屆新高考數(shù)學小題微點特訓18 解三角形含答案

微點特訓?數(shù)學（新）

微點

吾生也有涯，而知也無涯。

特訓18.解三角形

完成日期：_______月_______日

［考點對點練］一保分必拿8.在鈍角△ABC中，角八，B,C所對的邊分別為a7,c,

且a>b,已知a=6,3sinB_3sinC=sinA,cos2A=

［:考點一］正弦定理

一17■.則△ABC的面積為（）

1.以下關(guān)于正弦定理的敘述或變形錯誤的是()

A.在△ABC中，a：。：t=sinTl:sinB:sinCA.4B.8

B.在△ABC中，若sin2A=sin2B,則a=b

C.472D.872

C.在△ABC中,若sinA>sinb,則A>3；若A>

9.在△ABC中,A=60°./>=1,Saw=%'，則a=.

8.貝I］siaA>sin13都成立

［考點三］解三角形及其應(yīng)用

D.在aABC中，-Ar=

sinAsi.nogt?-sinC10.（多選題）已知AABC中，角A.B,C所對的邊分別為

a,〃,c,下列條件中.能使△ABC的形狀唯一確定的

2.在△ABC中,若KasinB=<?一bcosA,則B=

有（）

()

A.a=1.〃=、/A=30°

A.得B.4

1Z6B.a=2,〃=3，/C=60°

C.a=l.ZB=30°,ZC=45o

C—D—

43D.a=2"=3,c=4

在△ABC中，若a=18.〃=24,A=45°,則此三角形有

3.IL在地平面上有一旗桿0P（O在地面）.為了測得它的

()高度人在地平面上取一基線A瓦測得其長為20m.

A.無解B.兩解在A處測得P點的仰角為30°,在B處測得P點的

C.一解D.解的個數(shù)不確定仰角為45°,又測得NAO5=30°,則旗桿的高力等于

4.△ABC的三個內(nèi)角A,B,C所對邊的長分別為a,6,c（）

asinAsinB+。cos2A=《a,則J-等于()

3b

A.2B.3

C.4D.6

5.在△ABC中，角A,8.C的對邊分別為a/,(?且有a=A.10mB.20m

1.VJsinAcosC+(久sinC+6)cosA=0.則AC.1073mD.2073m

12.明朝早期，鄭和在七下西洋的過程中，將中國古代天

［考點二］余弦定理體測量方面所取得的成就創(chuàng)造性應(yīng)用于航海,形成

6.在AA8c中，內(nèi)角A,&C所對的邊分別是a",e,若了一套自成體系且行之有效的先進航海技術(shù)-

asinA=bsinB+(c、-b)sinC,則角A的值為()“過洋牽星術(shù)”.簡單地說?就是通過觀測不同季節(jié)、

時辰的日月星辰在天空運行的位置和測量星辰在海

A.qB.子

64面以上的高度來判斷方位，其采用的主要工具為牽

星板.由12塊正方形木板組成，最小的一塊邊長約

LC-3D1—3

為2厘米（稱一指）.觀測時,將木板立起，一手拿著

7.在△ABC中?內(nèi)角A,B,C所對邊分別為a",c,若A

木板，手臂垂直.眼睛到木板的距離大約為72厘米，

=告?。=4/人改、的面積為3四,則9由3()使牽星板與海平面垂直，讓板的下邊緣與海平面重

合，上邊緣對著所觀測的星辰，與其相切，依高低不

同替換、調(diào)整木板，木板上邊緣與被觀測星辰重合時

所用的是幾指板.觀測的星辰離海平面的高度就是

r3TIJ

IT,~~LT~凡指，然后就可以推算出船在海中的地理緯度.如圖

42

微點特訓?數(shù)學（新）

所示，若在一次觀測中，所用的牽星板為九指板，則4.'ft旗而而磕戛面茂滓板錠…

和歐亞板塊碰撞擠壓形成

的.這種擠壓一直在進行，

珠穆朗瑪峰的高度也一直

在變化.由于地勢險峻.氣

候惡劣.通常采用人工攀登

的方式為珠峰“量身高”.攀/

登者們肩負高精度測量儀

器,采用了分段測量的方法,從山腳開始，直到到達山

頂.再把所有的高度差累加I.就會得到珠峰的高度.

2020年5月,中國珠峰高程測量登山隊8名隊員開始

13.我國古代數(shù)學家秦九韶在《數(shù)書九章》中記述了“三斜求

新一輪的珠峰測量工作.在測量過程中?已知豎立在

積術(shù)”，即在△ABC中，角A,B,C所對的邊分別為叫以

點B處的測量覘標高10米.攀登者們在A處測得到

一則△ABC的面積S=尢/十號二一了,

覘標底點B和頂點C的仰角分別為70。.80°.則A、B

的高度差約為（）

根據(jù)此公式，若acosB+(ft—2c)cosA=0,且b2+c2

A.10米B.9.72米

—a?=4,則△ABC的面積為()

C.9.40米D.8.62米

A.76B.273

5.“欲窮千里目，更上一層樓”出自唐朝詩人王之渙的

C.ED.372

《登鸛雀樓》，鸛雀樓位于今山西永濟市，該樓有三層，

14.如圖，在平面四邊形AUCD'I'.AACD的面積為痣,前對中條山，下臨黃河，傳說常有鸛雀在此停留.故有

AB=2,BC=73-1.ZABC=120°,ZBCD=135°,此名.下面是復(fù)建的鸛雀樓的示意圖，某位游客（身高

則NACD_,AD=.忽略不計）從地面。點看樓頂點A的仰角為30°,沿

直線前進79米到達E點.此時看點C的仰角為45°,

若BC=2AC.則樓高AB約為（）

［素養(yǎng)提升練］一高分必搶

一、單項選擇題

1.已知△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別是a,/"c,若

C.83米D.92米

?^■^+-47；=2a,則△ABC是（）

sinnsinC6.如圖是隋唐天壇，古叫圜

A.等邊三角形B.銳角三角形丘，它位于唐長安城明德門

C.等腰直角三角形D.鈍角三角形遺址東約950米，即今西安

2.設(shè)△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,&,c,且3a市雁塔區(qū)陜西師范大學以

南.天壇初建于隋而廢棄于唐末.比北京明清天壇早

cosC=4csinA,已知△ABC的面積等于10,4=4,則

1000多年，是隋唐王朝近三百年里的皇家祭天之處.

a的值為（）

某數(shù)學興趣小組為了測得天壇的直徑，在天壇外圍測

A23B28

兒3U3得AB=60米，BC=60米，CD=40米.NA8C=60°,

,、26r、25N8CD=120",據(jù)此可以估計天壇的最下面一層的直

c-TD-T

徑AD大約為.（結(jié)果精確到1米）（參考數(shù)

3.設(shè)△ABC的三個內(nèi)角A、B、C成等差數(shù)列，sinA、sin

據(jù)：岳414,序《1.732,岳:?2.236,646）

8、,m，'成等比數(shù)歹八則這個三角形的形狀是（）（）

A.直角三角形B.等邊三角形A.39米B.43米

C.等腰直角三角形D.鈍角三角形C.49米D.53米

?43

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［答題欄］，m芬而歷入工說丙鬲屋瓦B而居近巨如彼［真題體驗練］實戰(zhàn)搶分

L2

=(5/3/?—c)sinB.則一的最小值為1.（2021?全國乙卷，9）魏晉時期劉徽撰寫的《海島算

點練ac

經(jīng)》是關(guān)于測量的數(shù)學著作，其中第一題是測量海島

1AA

A4B-T的高.如圖，點E,H.G在水平線AC上，DE和FG是

2兩個垂直于水平面且等高的測量標桿的高度.稱為

c—

3D-T

3“表高”.EG稱為“表距”.GC和EH都稱為“表目距”,

8.在△ABC中,aR、c分別為內(nèi)角A、B、C所對的邊，且

GC與EH的差稱為“表目距的差”，則海島的高八B=

4

滿足i”=品4若點°是外一點，)

6

N403=伙0〈?！簇＃?，0八=2,03=1.則平面四邊形

7

OACB面積的最大值是)

8E"HGc

44-5V3~8+5痣

4?~~4-A表高X表距上聿言

10.表目距的差〒表問

11C.3D.竽R表高X表距主點

艮表目距的差一衣局

12二、多項選擇題

表高X表距主國

袤目距的差?+表距

139.在△ABC中，a",c分別為角A,B,C的對邊，已知

表高X表距

答=4?S△,=半?且〃=3?則D.一表距

cosCZa—c4表目距的差

1

A.cosB=^-B.cosB=y

2

C.a+c=V^

3

10.在△ABC中，角A,B,C所對的邊的長分別為aAc,

4則滿足下面條件的三角形一定為直角三角形的是

5)

A.sinA+sinB=sinC(cosA+cosB)A,8,C在同一水平面上的投影滿足NA'C'

6

B'=45°,NA'B'C'=60°.由C點測得B點的仰角為

RtanA_a-

=

7'tanBV與CC'的差為100；由B點測得A點的仰角為

Ba+c45°,則A.C兩點到水平面A'B'C'的高度差A(yù)Af-

8C.cos2

22c

CC'約為(門k1.732)

9D.acosB-bcosA=c

A.346B.373

10三、填空題

C.446D.473

11.在△ABC中，NBAC=60°.BC=3,D是BC上的點,

3.(2021?浙江卷,14)在△ABC中，/B=60°,AB=2,

AD平分/BAC,若AD=2,則△ABC的面積為

1M是8c的中點，AM=26■，則AC=

2ZMAC=

12.費馬點是指三角形內(nèi)到三角形三個頂點距離之和最

小的點，當三角形三個內(nèi)角均小于1200時?費馬點與

三個頂點連線正好三等分費馬點所在的周角，即該

點所對的三角形三邊的張角相等均為120°,根據(jù)以

上性質(zhì)，已知A(—1,0),B(l,0),C(0,2),P為

4.（2021?全國乙卷J5）記△ABC的內(nèi)角A,B,C的對

△ABC內(nèi)一點，記/(P)=IPAI+IP81+IPCI,則

邊分別為。，仇（.面積為、&.3=60°,々2+，=3ac,則b

f（P）的最小值為，此時sinZPBC

?44

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7T

tan-；----tan/微點特訓18解三角形

sin2x(.1-tan.?)4.外

=sin2JC-sinZx考點對點練——保分必拿

1+tanx

1+tan-tanx1.BO寸于A：a：A：c=2RsinA:2RsinB:2RsinC=

4

sinA:sinB:sinC,所以A正確.對于B：因為sin2B=

sin(K23),所以sin2A=sin(k-23)也成立?此時2A

=it—2B,所以A+B=§■.所以A=B不一定成立?所以

9.AB^jr=-^-sin2J?一弓(1+cos2z)—畬=-^-sin21十

a=b不一定成立.所以3不正確.對于C：①若A,B均

日cos2?y-亨=sin（2?Z+3）一冷，令2久+==為銳角，結(jié)論顯然成立.②若A,3中有一鈍角.則A>B

時一AV90°,所以sin3Vsin（兀-A）=sinA,因為

=合一（《GZ）?當=1時.H=，對稱中心是sinA>sinB時，sin（7t—A）>sin3,所以C正確.由等比

定理知D正確.］

2.B［根據(jù)正弦定理，可知a=2RsinA,b=2RsinB,c=

2RsinC?代入原式可得sinAsinB=sinC—sinBcosA.

又「A+3+C=it,「?sinC=sin（A-FB）=sinAcosB+

cosAsinB,則痣sinAsinB=sinAcosB?VsinAKO,

10.CD[VC=120°,AAH-B=60\Atan(AH-B)=瓜、.sinBr,省□7rl

??------5=tanB=—B=—.J

???選項A?B錯誤；cosB36

3.Br??在△ABC中，。=18"=24,4=45°,???由正弦定

VtanA+tanB=j3(1-tanA,tanB)=

24Xy

tanA,tan3=十①,又tanA-tanB=②,，聯(lián)理就印=磊'得：411?=bsinA

183

孝，???aV0,???AVB,???3的度數(shù)有兩解.則此三角形有

立①②解得tanA=tanB=^y?cosB=V3sin八，故選項

3D正確.[兩解

o2

11.2FVtanAtanBtanC=8./.lanBtanC=------r,4.B[因為asinAsinB~\~bcosA=十a(chǎn).所以由正弦定

tanA

sinA_sin(B+C)_sinBcosC+cosBsinC_

理化簡得:sin2AsinB+sin13cos2A=---sinA,整理得：

sinBsinCsinBsinCsinBsinC

tan6十lanC_ian(3+C)(1—lan31anC)sinB(sin2A+cos2A)=sinB=+sinA.即sinA=

tanB,tanCtanBtanC

tan(R—A)(1—tan3tanC)_tanA(tanBtanC1)3sin3,則由正弦定理得：子=空空=3.]

tanBtanCtanBtanCbsinB

—_nA(tanA】)_(8—tanA)tanA15.得[由WsinAcosC+(而sinC+〃)cosA=0.得

=_8_=8$

V3^sinAcosC+^/?sinCeosA=-〃cosA.所以A/^sin(A

tanA

+C)=—〃cosA.即疝sinB=_AcosA,又.“A=.〃7；，

1/8-tanAH-tanA\'c“0“A

—?(----------------------j=2,當且僅當tanA=4時，sinAsin15

所以烹=焉asinA1人

：,從而----二

等號成立.因此，,，、的最大值是2；―—rr=----ntan

sinLisinCsmAcosAJ3

=一堂，又因為OVAVit,所以4=萼.]

12.病[/(?r)=2sincos才=有sin(?r-8),其

3o

6.C[在△ABC,因為asinA=bsinB+(c-/?)sinC?由

中中?則氐歷,

sin=^,cosa=-f(6)=sin(J—g)=正弦定理可化簡得a=b2+c(c—〃)=b2+c2~bc,即1)

/>2_|_/21

即sin(&-q)=1.0—<p=-y-+2標(上6Z),即0=(p~\~十d—a2=be.由余弦定理得cosA=----------=方，因

LbcZ

---+2kn(kGZ)?sin為AG(0,冗)，所以A=-^-.]

sin(夕一-^-+24TT+-^-)=-sin(g----j=-sin￡cos7.A[S=yftcsinA=J5c=3焉，所以c=3,由余弦定理

7T17TAJ金12痣、/V^可得：/=/+/_2加cos八=13,得a=JTI,又由正

彳+cos^sin=--X*—X=—.J

TTT弦定理可得：r%=r",所以sinB=匕smA

[真題體驗練]——實戰(zhàn)搶分sinAsinna

1.C[由/(1)=sin5+cos方可得f(8)=

岳in(9+年).故周期為7=如="=6K.最大值為8.C[已知a=6.3sin8—3sinC=sinA,由正弦定理得

\34/3I

36—3c=?=6,.'.6-c=2,cos2A=——卷=2cos2A—1,

T

尼,故選c.]

/.cosA=±■?當cosA=■時，由余弦定理得：a?=:b~

2.D[由題意可知cos?令—cos2卷=cos2-^―sin2僉=

+c2-2加cosA，即：36=2+d—等6c=(6—c)2+會加

兀_E

cosw=7"?]

62

=4+-y/?c./.be=24.與b—c=2聯(lián)立解得〃=6,c=4

sin2a2sinacosacosa

3.A［由tan2a=—————=————'=，，?化解得

cos2a1—2sin2a2—sina不滿足a>3舍去.

sina=%從而得tana=令.故選A.]?A1?'A2A2y/2

..cosA.=——?..sinA=vl-cosA=-.

?134?

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由余弦定理得：/=y+1—2bccosA，即：36=b'+c?+3.B［因為△ABC的三個內(nèi)角A.B,C成等差數(shù)列.所以

ooo與.又因為、成等比數(shù)

—bc=(b~c)2+—6c=4+—Z>c?<*.Z>c=12?與b-c=2B=m.A+C=sinA,sinBsinC

o

聯(lián)立解得〃=1+5/13,c=-l+■，滿足a>b,/\ABC列，所以sin2B=sinA?sinC=丁，所以sinA?

4

的面積為S-=1■加sinA=3X12X罕=4e1

./2K.\./.2K..2K\

sinI-.....Aj=sinA,Isin—cosA-sinAcos—j=

9.713［由三角形的面積公式知.S=+〃csin4=瓦解

gsin2A+4-si/A=gsin2A—7-cos2A+"4-=

得c=4,再由余弦定理得a2=6z+/-2/"cos60°=13,故42444

，即(又因為

a—A/13.］~sin(2A—)++=9sin2A—^)=1

［對于根據(jù)正弦定理：一^.可得

10.BCDA.4=/4所以

sinAsinBOVAV1A=F.1

sinB=￥.又因為6>a,所以NB>NA,所以NB=：4.C［根據(jù)題意畫出如圖的模型.則C3=10，NOA3=

70°,ZOAC=80°.所以ZCAB=10%ZACB=10°,所以

或牛，故A不正確；對于B,由余弦定理可得。2=@2+從八3=10,所以在RtAAOB中，BO=10sin70°、9.4(米)

~2abcosC=7,解得e="，故B正確；對于C,由三角

形的內(nèi)角和可知NA=105°.又a=1，利用正弦定理

a

4=，，=.'「,可知〃“均有唯一值.故C正確；

sinAsinnsinC

對于D,a=2/=3,e=4,三角形的三邊確定，三角形的

形狀唯一確定,故D正確

11.B［由題意得.在直角三角△PAO,APBO中.得

ZPAO=30°,ZPBO=45°MO=V3A,BO=刀.再在

/XABO中，由余弦定理可得AB2=202=(V3A)2-F/?-5.B［設(shè)AC的高度為工，則由已知可得AB=3N,BC=

2V3A?h?cos30°，因此^?2=400,。=20,故選B.］

BE=2.r,BD=—誓2=3底］，所以DE=BD-BE

12.C?［由題意a所對直角邊長為18,相鄰直角邊長為72,tanZ.AL)B

1—7Q

則斜邊長為18\/17,sina――；—.cosa=一~.=3焉/一21=79,解得.=*比24.7,所以樓高

3V3-2

14QA3=3X24.7=74.1*74(米).］

=

?e?sin2a=2sinacosa2X―；—X—；—=-r-^.J6.D［在AACB中，AB=6O,BC=6O.NABC'=6O0,所以

.x/n71717

在△中，

13.C［由正弦定理邊角互化可知acosB+(6-2c)cosAAC=60?CDAAbnAd+CD?—2AC-CD?

=0化簡為sinAcosB+(sinB—2sinC)cosA=0,cos60P=602+402-2X60X40Xi=2800，所以AD=

sinAcosB+sinBcos八=2sinCeosA.即sin(A+B)

=sinC=2sinCcosA.VsinCWO,?，?cosA=十，20"&53(米).［

7.C［*.*bsinA=(V^Z>—c)sinB,，ab=(癡b—c)b、：?a=

A2-\~r2—a"141

cosA=------------==可，解得：兒=4,根據(jù)V^。一c,即a+c=痣〃.<a+c>2-Jac-Vac?

Zoe22bc2當且僅當a=c=/時.等號成立..,佇多3故/的最

面積公式可知S=卷』(灰"」+：—0)=~Zac3ac

小值為告,1

-/T6ZZ4=73.］

14.900272［在△ABC中，AB=2,8C=畬一LNABC8.B［?.?3=三￥,由正弦定理得吟=匕口?，

=120°,由余弦定理可得AC2=AB2+BC2-2AB?BCacosAsinAco